中国著名大学自主招生试题集锦

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复旦大学2004年保送生考试数学试题(150分钟)2003.12.21

一、填空题(每题8分，共80分)

842421(，则_________( x，1,(x，2x，1)(x，ax，1)a,

5x，3，5x,4,72(已知，则的范围是___________( x

22xy3(椭圆，,1，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________( 169

4(12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有

____种取法(

中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______( 5(已知等比数列,,aa,3n1

26(的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________( x,(a，1)x，a,0a

2222(x,4)yxy，7(已知，,1，则的最大值为____________( 4949

3328(设是方程的两解，则=__________( x,xsin,，cos,,0x,xarctgx，arctgx121255

3z,z9(的非零解是___________(

1,x

1，xy,210(的值域是____________(

二、解答题(每题15分，共120分)

log(x,x,3),11(解方程:( 5

412,tg2,sin(,),,2(已知sin(，),，，且0,0,，求( ,,,,,,，,,,,,1352

223(已知过两抛物线C:，C:的交点的各自的切线互1x，

1,(y,1)2(1)41yxa,,,,，

相垂直，求( a

f(x)f(x)f(x),Mt,D4(若存在，使任意(为函数的定义域)，都有，则称函数MD 111有界(问函数在上是否有界, f(x),sinx,(0,)xx2

1111，，，？，,35(求证:( 33323n

6(已知E为棱长为a的正方体ABCD—ABCD的棱AB的中点，求点B到平面AEC 的11111

距离(

7(比较与的大小并说明理由( log26log252524

8(已知数列、满足，且，又，， ,,,,ba,,a,2bab,6a，6ba,2b,4nn，1nnnn，1nn11

anlim求 (1) ; (2) ( a,bnnbn

简单解答:

1(,0.6,0.8)一、填空题:1. 2. 3.20 4. ,23二、解答题:

5(证明1:

11111,,(,), 3(m,1)m(m，1)(m,1)m(m，1)mm，1,m，1m

111m，1，m,1 =( ,),,2m,1m，1m

m，1，m,1m，1，m,1,,m而 22

111,, 3m,1m，1m

111111211,，,，？，,原式<1+= 2，,,,312324n,1n，1nn，1

2n,n，n,n(n,1)，(n,1)(n,1)证明2:

11n,n,1,, 2nn,1(n，n,1)n,1

1n,n,111,,,

2nnn(n,1)n,1n

111111原式〈1，2(1,，,，？，,),3,,3 223n,1nn

同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题(本大题共

有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本大题满分40分)

1(函数fxxx()log(sincos),，的单调递增区间是

_______________________( 12

vvt,()的2(如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数

v(cm/s) 图象，则该质点运动的总路程s=_____(厘米)(

20 3(设a与b是两条非相互垂直的异面直线，,与,分别是过直线a与b

15 的平面，有以下4个结论:(1) b//,，(2) b,,，(3) ,//,，(4) ,,,，

10 则其中不可能出现的结论的序号为__________(

4(设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位5

恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。若水位高度h(米)O 15 t(s) 5

10 的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h(米)作为时间

(单位:时，从该日零时起算)的函数的表达式为t_______________(

357,,,,,5(设,是第二象限角，sin,sin2,,则=_____________________( ,,58,, 6(已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i，线段AB上的动点P对应复

数Z，若

2复数z对应点Q，点Q坐标为(x,y)，则点Q的轨迹方程为

________________________( 7(设有正数a与b，满足a

x+y是a与b的算术平均数，x?y11221122

xy 11是a与b的几何平均数，则的取值范围是_________________( 2()xy，

22

8(从0,1,2，…,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除

的五位数的概率是_______________(用分数给出答案)(

二、解答题(本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分)

22fxxxx()421,,，,9((本题满分12分)试利用三角函数求函数的最大值与最小值(

10((本题满分12分)求证:对于任何实数a与b，三个数:|a+b|,|a-b|,|1,a|中至少有一个不

1小于( 2

211((本题满分12分)设抛物线y=x,(2k,7)x，4k,12与直线y=x有两个不同的交点，且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖，试问:实数k应满足什么条件,

P 12((本题满分12分)设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA?面ABCD(

(1) 求证:直线PC?直线BD;

(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥

E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高( E

A D

B C

213((本题满分12分)设有抛物线y=2px(p>0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物线上，试问:点C在什么范围之内时?BAC是锐角, 上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)