《系统辨识》第3次课_第三章
系统辨识课程教学大纲09
《系统辨识》教学大纲一、概况1．开课学院、学科：信息工程学院、控制理论与控制工程2．课程代码：3．课程名称：系统辨识4．学时/学分：36学时/2学分5．预修课程：自动控制原理6．教材和参考材料：侯媛彬等编著，《系统辨识及其MATLAB仿真》，科学出版社，2004；李鹏波等，系统辨识基础，中国水利水电出版社，2006。
7．适用专业：控制理论与控制工程专业二、课程的地位、作用和任务本课程是硕士学位课，为学习《自适应控制》、《先进控制》等后续课程打下基础。
系统辨识是研究建立系统数学模型的一种理论和方法，在对系统进行分析、综合、仿真、预测时，必须首要建立系统的数学模型，而系统辨识就是通过实验或运行数据，得出一个与所测系统等价的数学模型，是一门应用范围很广泛的学科。
三、课程的教学内容和基本要求系统辨识讲述辨识的基本理论和方法，并分析各种方法的特点和内在联系，并介绍辨识技术的实际应用。
本课程的教学内容较多，由于只有36学时，所以主要介绍基本原理和方法。
通过本课程的教学，学生要掌握基本的辨识理论和辨识技术；能独立设计辨识实验，并编程计算；学习一些现代建模技术。
各章节的教学内容和学时分配如下：第一章辨识的基本概念（2学时）第一节系统和模型了解第二节辨识建模的定义掌握第三节辨识问题的表示形式及原理掌握第四节辨识的内容和步骤作掌握第二章经典的传递函数辨识方法（6学时）第一节时域法——阶跃响应法掌握一阶惯性滞后环节的辨识、二阶自衡对象的辨识、二阶欠阻尼自衡对象的辨识、n阶自衡对象的辨识、n阶等容对象的辨识、无自衡对象的辨识。
第二节面积法了解第三节频域法——频率特性拟合掌握第三章辨识的基本理论及古典辨识方法（相关分析法）（8学时）第一节随机过程的基本概念及其数学描述了解第二节白噪声的产生方法及其仿真掌握白噪声概念，白噪声的产生方法及仿真，伪随机信号的产生与性质、M序列自相关函数，逆M序列的概念与性质，M序列生成仿真。
第三节相关分析法掌握频率响应辨识、脉冲响应辨识、相关分析法应用。
《系统辨识》课件
可采用结构：
y(t)
G(s) K
y( )
Ts1
待估参数为：K，T
稳态增益： K y()
U0
将试验曲线标么化，即
y(t), y(t)
y()
t
y()1
26
第二章 过渡响应法和频率响应法
则标么化后响应：
y(t)
t
1e T
要确定 T ，只要一对观测数据：y*(t1)，t1
G(s)T2s2K 2T s1es
先观察试验所得响应曲线的形状特征，据此判断，从模型类中确 定一种结构。然后进行参数估计，最后验证数据拟合程度，反复 多次，直至误差e(t)最小（验证数据拟合可只取若干点）。
25
第二章 过渡响应法和频率响应法
1）若阶跃响应曲线特征为： y (0 )my a (t)x ]0 [
理论建模的难点在于对有关学科知识及实际经验的掌 握，故不属于课程的讨论范围。
➢ 由于许多系统的机理和所处的环境越来越复杂，因 此，理论建模法的运用亦越来越困难，其局限性越 来越大, 需要建立新的建模方法。
➢ 在理论建模方法难以进行或难以达到要求的情况下，
系统辨识建模方法就幸运而生。
8
2、辨识建模法：
建立数学模型来预报。
4
第一章 概 述
2. 用于分析实际系统 工程上在分析一个新系统时，通常先进行数学仿真， 仿真的前提必须有数学模型。
3. 为了设计控制系统 目前,对被控系统的控制器的设计方法的选取,以及如 何进行具体的控制结构和参数的设计都广泛依赖于对 被控系统的理解及所建立的被控系统数学模型。
对于线性系统，脉冲响应，阶跃响应和方波响应之间
是可以相互转换的。
系统辨识实验三
《系统辨识》课程报告题目：最小二乘参数估计法班级：工控08.1姓名：学号：日期：2011.6.1成都信息工程学院控制工程学院最小二乘参数估计摘要：最小二乘法提供了一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。
最小二乘的一次性完成辨识算法，他的特点是直接利用已经获得的观测数据进行运算处理。
求出一个使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小的数值，求出带辨识参数。
最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。
关键词：最小二乘法，AIC 准则，M 序列1 引言：最小二乘法是 1795 年高斯在预测星体运行轨道最先提出的 , 它奠定了最小二乘估计理论的基础 . 到 20 世纪 60 年代瑞典学者 Austron 把这个方法用于动态系统的辨识中 , 在这种辨识方法中 , 首先给出模类型 , 在该类型下确定系统模型的最优参数 .这种具有格式规范的辨识方法可以演绎成递推形式 .递推最小二乘算法计算量小 , 可以用于在线辨识 , 即使辨识对象随时间发生化 , 模型也可以对其进行跟踪断地进行更新和修正辨识参数 , 从而成为一种被广泛采用的辨识方法，最小二乘法有一次完成算法和递推算法，其中 一次完成算法存在一定的局限性，工业系统辨识常采用递推算法进行系统辨识。
2 实验原理：由于运用最小二乘一次完成算法进行系统参数辨识的时候，存在一定的限定条件，并且需要用到全部的观测数据，每采样一次就需要增添一组新的观察数据，所以引入递推最小二乘法来辨识系统参数，递推最小二乘法是用旧的估计值加上修正值得到的新的估计值，用新的测量数据对上一次的估计结果进行修正，直到估计值达到需要的精度为止。
2.1根据汉格尔矩阵估计模型的阶次设一个可观可控的SISO 过程的脉冲响应序列为{个g(1),g(2),……g(L)},可以通过汉格尔（Hankel ）矩阵的秩来确定系统的阶次。
《系统辨识》课件
脉冲响应法
总结词
脉冲响应法是一种通过输入和输出数据 估计系统脉冲响应的非参数方法。
VS
详细描述
脉冲响应法利用系统对单位脉冲函数的响 应来估计系统的动态特性。通过观察系统 对脉冲输入的输出，可以提取出系统的传 递函数。这种方法同样适用于线性时不变 系统，且不需要知道系统的具体数学模型 。
随机输入响应法
。
线性系统模型具有叠加性和齐次性，即 多个输入产生的输出等于各自输入产生 的输出的叠加，且相同输入产生的输出
与输入的倍数关系保持不变。
线性系统模型可以通过频域法和时域法 进行辨识，频域法主要通过频率响应函 数进行辨识，时域法则通过输入和输出
数据直接计算系统参数。
非线性系统模型
非线性系统模型具有非叠加性和非齐次性，即多个输 入产生的输出不等于各自输入产生的输出的叠加，且 相同输入产生的输出与输入的倍数关系不保持不变。
递归最小二乘法
递归最小二乘法是一种在线参数估计方法，通过递归地更新参数估计值来处理动态系统。在系统辨识中，递归最小二乘法常 用于实时估计系统的参数。
递归最小二乘法的优点是能够实时处理动态数据，且对数据量较大的情况有较好的性能表现。但其对初始参数估计值敏感， 且容易陷入局部最优解。
广义最小二乘法
广义最小二乘法是一种改进的最小二乘法，通过考虑误差的 方差和协方差来估计参数。在系统辨识中，广义最小二乘法 常用于处理相关性和异方差性问题。
系统辨识
目录
• 系统辨识简介 • 系统模型 • 参数估计方法 • 非参数估计方法 • 系统辨识的局限性与挑战 • 系统辨识的应用案例
01
系统辨识简介
定义与概念
定义
系统辨识是根据系统的输入和输出数 据来估计系统动态特性的过程。
系统辨识第3讲
《系统辨识》第3讲要点第3章 系统（过程）的数学描述3.1 线性系统（过程）的基本概念 ● 系统的分类线性与非线性、分布参数与集总参数等； 描述方式：连续时间系统、离散时间系统；研究方法：输入输出模型（外特性）、状态空间模型（内部特性）； ● 任意系统的输入输出关系可以表示为{})()(t u L t y =其中)(t u 代表输入，)(t y 代表输出，L 是一个算子。
● 如果算子L 是线性的，则称该系统为线性系统；满足下列条件的算子称为线性算子：（1）))(())((t u L t u L αα=，α是任意常数 （2）))(())(())()((2121t u L t u L t u t u L +=+● 如果输出)(t y 在t 时的值只决定于在t 时的输入)(t u 的值，则称该系统是瞬时系统；不是瞬时的系统称为动态系统。
● 一个系统在t 时的输出完全由闭区间[]t T t ,-内的输入值所决定，其中0>T ，则称该系统为记忆时间为T 的记忆系统。
● 在t 时的输出)(t y 值仅与过去（包括现在的）输入值有关，而和将来的输入值无关的系统称为可实现的系统，或称为具有因果性的系统。
● 一个动态系统如果它的输入、输出是连续时间函数，而且可以用一组常微分方程来描述，则称该系统为集中参数、连续时间动态系统。
如果输入、输出是离散时间函数，而且可以用一组差分方程来描述该系统，则称该系统为集中参数、离散时间的动态系统。
任何线性、集中参数的动态系统均可以表示成卷积形式：⎰∞∞-=τττd u t h t y )(),()(其中))((),(τδτ-=t L t h 。
对于具有因果性的动态系统，有)(0),(t t h >=ττ，因此输入输出关系可以写成为：⎰∞-=td u t h t y τττ)(),()(● 一个系统它的输入在时间轴上有一个平移，输出也有同样的平移，即：)}({)(ττ-=-t u L t y ，则称该系统为时不变系统，对于时不变系统有，)()}({ττδ-=-t h t L 。
系统辨识课件方崇智
e
ˆ (假设的数学关系) f
系统的 实际输 出
(1)数学模型
• 数学模型和真实系统的区别
不可测干扰 可测 输入
u, d , f z
可测 输出
可测 输入
e
综合误差
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ , e拟合u, z关系 u, z f
可测 输出
(1)数学模型
• 数学模型的两类形式及其用途
可测 输入
第6章 模型阶次辨识 内 容：Hankel矩阵法、F-Test定阶法。
第7章 系统辨识在实际中注意的问题
参考书：
1.方崇智、萧德云编著，《过程辨识》，清华大学出版社，北京 2.李言俊，张科编著，《系统辨识理论及应用》，国防工业出版社，北京 3.蔡季冰编著，《系统辨识》，北京理工大学出版社，北京
预修课程：自动控制原理，概率统计与随机过程
e
综合误差
可测 输出 •系统分析 •系统设计
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ f
•预测(预测控制) •性能监测与故障诊断 •仿真
ˆ z
•在线估计和软测量 •模型评价与系统辨识
(1)数学模型
• 数学模型的近似性和外特性等价
u u
d f
e ˆ f u
z
近似性
ˆ f
ˆ z
d
u u
从黑箱角度出 发,外特性等价 (统计意义)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
数据集是辨识的三要素之一
min J fˆ , K ( z (1)
z ( L), u(1)
u( L), )
数据集性质→影响辨识结果，u →数据集，因 此要设计辨识实验(重点设计u)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
《系统辨识第三章》PPT课件
h
10
三、最小二乘估计 的求法
⒈ ˆLS 解法
ˆLS
由最小二乘辨识定义，求 的：
ˆLS
必要条件:
J ()
0
ˆLS
充分条件:
2 J ()
0 及
2
ˆ LS
J ()
0
ˆLS
Y
J()T ( Y )T(Y ) Y T Y T T Y Y T T T
h
11
由 于是得：
由充分条件:
2J() 2
2T0
与参数向量 无关。 θ
h
12
⒉ 解ˆL的S 唯一性
因 阵行数大于列数，T为 2n2方n阵。若 存 (T)1
在，则 T必ˆLS正定；反之，若 T 正定，则逆 必 (T)1
存在。因此， 必有解，且满足充分条件
2 J ( ) 2
0
与 无关，所以ˆLS解唯一。
h
13
⒊最小二乘法所需信息量与持续激励条件
☆ 3-6 适应最小二乘法
h
3
第三章 最小二乘辨识
用来进行系统参数辨识的最小二乘法，是一种经典的数据处理方法，最早的应用可追 溯到18世纪，高斯为了提高天体运动观测的准确性，曾应用了最小二乘法。
本章将介绍一般最小二乘法、加权最小二乘法、递推最小二乘法以及广义最小二乘法 等内容。
由于最小二乘法比较简单实用，而且又可与其他辨识方法相组合，因此最小二乘辨识 是一种基本的、重要的辨识方法。
表示为:
Y(N) Y Ub a(N,)
bn0
(N)(N, )
h
8
Y(N) Y Ub a(N,)
(N)(N,)
其中： Y(N)( 测R 量(向N量n) ，1)1
系统辨识a
§1.1.4 建模方法 建立数学模型的方法多种多样。一般来讲，建 立系统的数学模型有以下三种方法。这些方法既可 单独用，也可混合用，视系统的复杂程度和建模目 的而定。 1 ．机理分析法（科学基础理论推演法）。 这种方法通常需要通过分析过程的运动规律， 运用已知的定律，定理和原理，如化学动力学原理、 生物学定律、牛顿定律、能量平衡方程等，来建立 起过程的数学模型。 这种方法只能用于简单过程的建模。对于比较 复杂的实际生产过程来说，这种方法有很大的局限 性。这是因为在进行理论建模时，对所假定的对象 必须提出合理的简化假设，否则会使问题过于复杂 化。然而这些假定往往不一定能符合实际情况。再 说实际过程的机理有时也并非完全清楚。
2 ．测试法。 系统输入输出信号一般是可以测量的。由于系统的动态特性必然表 现在这些输入输出数据中，利用输入输出数据所提供的信息就可推算出系 统的关系式，从而建立起系统的数学模型。这种建模方法就叫做辨识，如 图所示。
测试法建模示意图 从某种意义上来说，测试法较机理分析法有一定的优越性，因为它 无须深入了解过程的机理。但这又不是绝对的。测试法关键之一是必须设 计一个合理的实验，以便从输入输出数据中获得关于系统的最大信息量。 这点往往又是非常困难的。如果把理论建模方法比喻为“白箱”问题，而 把辨识建模看做“黑箱”问题，则二者都太绝对。二者的结合而导致的 “灰箱”问题，则比较容易解决。因此，在实际应用时，“机理分析法” 和“测试法”这两种方法应该是相互补充而不能互相代替。一般的作法是， 机理已知部分采用理论建模的方法，机理未知的部分采用辨识建模的方法， 或是先用理论建模的方法得到一个含有待定参数的数学模型，然后再用一 合理的参数估计（辨识的部分内容）方法来辨识参数。
第一章 系统辨识引论
§1 . 1 系统辨识的历史与发展 人类社会的一切活动，是认识世界和改造世界。人们通过实践去认 人类社会的一切活动，是认识世界和改造世界。 识世界，而认识世界的目的又在于改造世界。 识世界，而认识世界的目的又在于改造世界。 观察和测量是自然科学和社会科学研究工作认识客观世界的最重要 的基础。根据实验和观察结果， 的基础。根据实验和观察结果，科学工作者借助于某些方法进行去粗取 去伪存真的分析与整理，进行归纳和推理， 精，去伪存真的分析与整理，进行归纳和推理，从而对所研究的问题提 出概念，确定一些见解，进而构成对所研究的问题的较系统的认识， 出概念，确定一些见解，进而构成对所研究的问题的较系统的认识，形 成一种理论。即用语言形式，数学形式或其它形式， 成一种理论。即用语言形式，数学形式或其它形式，表达所研究的事物 的模型。 的模型。 系统辨识，就是用未知系统的观测数据（输入，输出数据） 系统辨识，就是用未知系统的观测数据（输入，输出数据）来建立该 系统数学模型的理论和方法。 系统数学模型的理论和方法。 系统，应理解为广义的系统概念：世界上一切由各个相互作用， 系统，应理解为广义的系统概念：世界上一切由各个相互作用，又相 互依赖的事物组成的具有某一特定功能的整体都可以认为是一个系统 （Webbster : a regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole ）。譬如一个马达，一个人体，多机架的连续轧 ）。譬如一个马达，一个人体， 譬如一个马达 一种药物在人体中的被吸收的过程， 钢，一种药物在人体中的被吸收的过程，一地域的多种经济成份的平衡 等等。 等等。 为了寻求各种各样系统的运动规律，并用数学语言加以描述， 为了寻求各种各样系统的运动规律，并用数学语言加以描述，就有 必要建立一种对各种学科都具有普遍适用意义的一种方法论。 必要建立一种对各种学科都具有普遍适用意义的一种方法论。系统辨识 就是这样一种方法论。它是研究系统的一种有效的工具， 就是这样一种方法论。它是研究系统的一种有效的工具，利用这个工具 可以对我们要研究的系统进行定量的描述。 可以对我们要研究的系统进行定量的描述。
系统辨识理论及应用(课后题答案第三章3.2、3.3)国防工业出版社
1、系统辨识——连续系统传递函数——脉冲传递函数function h=Continuous_system_transferFcn(N,G,dt)% N——系统阶数% G——采样数据（个数大于等于2N+1）% G为一维行向量% dt——采样间隔if nargin<3errordlg('not enough input varibles','error hint');elseg_NN=zeros(N,N);for i=1:Ng_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1);endg_N=-G(1:N)';a=inv(g_NN)*g_N;%% x的求解syms xfor i=1:NX(i)=x^i;endf=X*a+1;x=double(solve(f));%%极点的求解p=log(x)/dt;c_NN=zeros(N,N);for i=1:Nc_NN(i,:)=x.^(i-1);endc_N=G(1:N)';%%增益求解k=inv(c_NN)*c_N;pkz=zeros(1,N);p=p';k=k';Continuous_TransferFcn=0;for i=1:NContinuous_TransferFcn=Continuous_TransferFcn+zpk(z(i),p(i),k(i)); endContinuous_TransferFcnendend例题 3.1(P32)>>G=[0 0.1924 0.2122 0.1762];>> N=2;>> dt=1;>> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p =-0.4934-0.7085k =1.6280-1.6280Continuous_TransferFcn =0.35024 s---------------------(s+0.4934) (s+0.7085)Continuous-time zero/pole/gain model.习题3.2(P34)>> G=[0 0.196 0.443 0.624 0.748 0.831]; >> N=3;>> dt=0.2;>> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p =-0.0633-1.7846-11.1860k =1.1249-1.33990.2150Continuous_TransferFcn =-0.08507 s (s-253.1)-------------------------------(s+0.06329) (s+1.785) (s+11.19) Continuous-time zero/pole/gain model.2 系统辨识——离散系统传递函数——脉冲传递函数function h=Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)% N——系统阶数% G——采样数据（个数大于等于2N+1）% G为一维行向量% dt——采样间隔if nargin<3errordlg('not enough input varibles','error hint');elseg_NN=zeros(N,N);for i=1:Ng_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1);endg_N=-G(N+2:2*N+1)';a1=inv(g_NN)*g_N;a=zeros(N,1);for j=1:Na(j,1)=a1(N+1-j,1);endB=zeros(N+1,N+1);B=diag(linspace(1,1,N+1));for i=1:N+1for j=1:N+1if (i==j)&(i<N+1)&(j<N+1)B(i+1:N+1,j)=a(1:N+1-i,1);endendendg__N=G(1:N+1)';b=B*g__N;abnum=b';den=[1 a'];Discrete_TransferFcn=tf(num,den,dt);Discrete_TransferFcnendend例题 3.2(P33)>> G=[0 7.157039 9.491077 8.563839 5.930506 2.845972 0.144611]; >> N=3;>> dt=0.05;>> Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)a =-2.23001.7606-0.4950b =7.1570-6.4691-0.0009Discrete_TransferFcn =7.157 z^2 - 6.469 z - 0.0008933--------------------------------z^3 - 2.23 z^2 + 1.761 z - 0.495Sample time: 0.05 secondsDiscrete-time transfer function.习题3.3(P34)>> G=[10 6.989 4.711 3.136 2.137 1.559 1.252 1.096 0.938 0.860]; >> N=3;>> dt=0.1;>> Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)a =-2.19191.7166-0.4794b =10.0000-14.92956.55810.0139Discrete_TransferFcn =10 z^3 - 14.93 z^2 + 6.558 z + 0.01389--------------------------------------z^3 - 2.192 z^2 + 1.717 z - 0.4794Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.。
《系统辨识第三章》PPT课件
(N+1)时刻的估计输出值
之差。
第五十五页，共161页。
55
递推公式基本形成，但其中涉及矩阵求逆运算，即 为了避免求逆运算，由矩阵反演公式： 令
第五十六页，共161页。
56
最后，加权最小二乘递推算法归纳如下：
在上列式中，令
，得最小二乘递推算法。
第五十七页，共161页。
57
二、初值的确定
进行递推估计，必须设定初值
由于最小二乘法比较简单实用，而且又可与其他辨识
方法相组合，因此最小二乘辨识是一种基本的、重要的辨 识方法。
第四页，共161页。
4
§3-1 最小二乘法
一、最小二乘辨识方程
用最小二乘辨识技术辨识系统的数字模型的原理方 块图如下：
被辨识系统
测量装置
D/A
A/D
计算机
（最小二乘辨识 算法)
数学模型
第五页，共161页。
但由于简单实用，仍不失为一种好的参数估计方法，
为了克服最小二乘法的不足，在最小二乘法的基础
上，发展了辅助变量法和广义最小二乘法，但计算
量较大。
第三十一页，共161页。
31
例3-2 设有下列二阶系统
输入序列 为振幅等于1的伪随机二位式序列， 噪声 为零均值且方差为 可调正态 分布随机数序列。试说明最小二乘估计精度。
5
被辨识系统
测量装置
D/A
A/D
计算机
（最小二乘辨识算法)
数学模型
设被辨识系统的脉冲传递函数为
第六页，共161页。
6
则当存在观测误差 及建模误差时，相应的差分方程：
式中， 称为方程误差， 为模型参数向量；若令 代 表真实参数向量，显然有
第03讲 系统辨识的基本原理(2)
图1.4.3 伪随机噪声的自相关函数
（2）伪随机二位式信号prbs的产生
Np=2n-1 (1.4.24)
（3）M序列的性质 （4）M序列的自相关函数
图1.4.4 n级移位寄存器生成prbs信号的结构图
图1.4.5 四级移位寄存器生成M 序列及对应的自相关函数
图1.4.6 0＜τ＜Δ的情况 （以4级M序列为例）
（2）白噪声的产生办法
zi=(azi-1+C)(mod m)，i=1,2,… (1.4.11) 0≤zi≤m-1 (1.4.12) xi=zi/m，i=1,2,… (1.4.13)
图1.4.1 白噪声过程 的自相关函数
图1.4.2 白噪声过程的谱密度
1.4.2 伪随机码的产生及其性质 （1）伪随机噪声的性质
④进行有效性检验以考核所选模型对于最终的辨识对象来说 是否适当地代表了该系统。 ⑤如果有效性检验通过，则辨识过程结束,否则必须选择另一 类模型并且重复步骤②到④,直到获得有效的模型为止。
图1.5.1 辨识过程示意图
1.5.2 系统辨识的步骤 （1）先验知识与明确辨识目的 （2）试验设计 （a）扰动信号的选择 （b）采样方法和采样间隔 （3）模型结构确定 （4）模型参数的估计 （5）模型的验证 1.6 系统辨识的基本应用
• 离散系统的非参数模型
1.3 随机信号的描述与分析 1.3.1 （1）随机过程的概念 （2）随机过程的数字特征
图1.3.1 样本总体 构成随机过程
图1.3.2 自相关函数测量示意图
1.3.2 平稳随机过程与各态历经性
1.3.3 随机过程的谱分解及谱密度函数
1.4 白噪声与伪随机码 1.4.1 白噪声பைடு நூலகம்其产生 （1）白噪声的基本概念
系统辨识讲义
一个极简单的参数方法例子
我们测得0—N采样时刻的输入输出数据，即
u (0), u (1)," , u ( N − 1), u ( N ) y (0), y (1)," , y ( N − 1), y ( N )
假定系统的模型属于如下的模型类：
y ( k ) + ay ( k − 1) = bu (k − 1) + v(k )
k =1
N
∂V (θ ) N = ∑ 2ay 2 (k − 1) + 2 y (k ) y (k − 1) − 2by (k − 1)u (k − 1) ∂a k =1 ∂V (θ ) N = ∑ 2bu 2 (k − 1) − 2 y (k )u (k − 1) − 2ay (k − 1)u (k − 1) ∂b k 等：子空间辨识
1990年代，为了克服PEM针对多变量系统辨识
时需要进行非线性优化，以及IV不能同时辨识 出噪声模型的缺点。Bart De Moor, Verhaegen 等提出了针对多变量系统的subspace identification methods。该类方法不是基于优化 某个criterion，主要用到矩阵的奇异值分解， 无需非线性优化，因而计算量较小。
1.2 模型
数学模型是用来描述系统行为的数学语
言。 非线性系统的数学模型是非线性状态方 程和输出方程。线性系统的数学模型可 以有多种相互等价的形式：状态空间方 程、传递函数、阶跃响应、差分方程等。
扰 动 输入
系统
输出
1.3 建模的两大类方法
机理分析法(first principles modeling）或称为白
何求取参数估计值。least-squares, prediction error, instrumental variable 参数估计算法的统计性质：无偏性、一致性。 如何验证所得模型的有效性？如何选择模型阶数？
系统辨识第三章作业
第三章作业
1：修改课本p61的程序，并画出相应的图形；
2：修改课本p63的程序，并画出相应的图形（V 的取值范围为
54-200）；
前面两题所说的修改程序，指的是用LU 分解或Gauss 消元法求解方程组。
3：表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在C ︒70时的电阻值。
要求用递推最小二乘求解：
（a ）设观测模型为
z a bt v =++
其中v 表示白噪声。
利用头两个数据给出（即20=L ）
⎪⎩
⎪⎨⎧===-0L T L L T L L z H P θH H P P 000)0()0(ˆ)()()0(1
0 （b ）写出最小二乘的递推公式； （c ）利用Matlab 计算
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=)()()(ˆk a k b k θ
表1 热敏电阻的测量值
并画出相应的图形。
第三章补充习题
4：叙述并推导递推最小二乘递推公式（pp64-66）。
《系统辨识第三章》课件
系统辨识第三章 - PPT课 件
这个PPT课件将介绍系统辨识的基本概念和流程，以及应用举例和常用方法。
什么是系统辨识
系统辨识是一种将实际系统转化为数学模型的技术，以便深入研究系统的特 性和行为。通过对模型的参数估计和检验，可以对实际系统进行预测和控制。
系统辨识的基本流程
1
模型描述
2
将实际系统转化为数学模型，通常使
针对不同系统或者应用场景， 可以采用不同的方法进行辨识， 例如基于时间序列的方法用于 脑电图数据分析。
模型检验
1
残差分析
通过检查模型的残差序列来判断模型的适用性和准确度。
2
不同类型的模型检验方法
例如用于参数个数选择的AIC和BIC准则，以及拟合优度的R方值。
系统辨识的应用举例
机械结构系统的辨识
通过振动信号的观测和模型拟合，可对机械结构系统的弹性系数等进行辨识。
差分方程
用差分方程表示系统状态变量之间的关系，一般适用于离散的系统。
传递函数
用频域特性描述系统动态响应的函数，通常用于电子和控制领域。
参数估计方法
最小二乘法
通过最小化误差平方和来求解 模型参数，具有数值稳定性强 的优点。
极大似然法
系统辨识中的特殊方法
通过最大化似然函数来求解模 型参数，能够通过估计参数的 置信区间来评估模型的准确度。
电机的辨识
通过对电机转速、输出扭矩等信号进行观测和拟合，可对电机的电磁特性等进行辨识。
气压系统的辨识
通过对气压信号的观测和拟合，可对气压系统的动态响应曲线等进行辨识。
总结
系统辨识是一种强大的技术工具，可以帮助我们深入理解各类系统的本质和 行为特性。通过了解基本流程和方法，我们可以更好地应用系统辨识技术， 进行模型拟合、参数估计和模型检验，为实际问题提供解决方案。
系统辨识si-03
T O O In
co1 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 an b1 bn 0 an 1 b2 bn 1 bo 2 0 a2 bn b1 0 1 a1
y(t ) g (t )u( )d g ( )u(t )d
0 0
t
t
y(t ) g (t ) * u(t )
g (t ) 0, 当t
初始松弛、线性时不变系统且是因果系统 g (t , ) 0(t ) 当输入信号为脉冲函数
y(t ) g (t ) ( )d g (t )
y
0 1 a1
可控规范Ⅱ型(能控性标准型) 1
u
s 1 s 1
0 1 0 2 1 3
2
s 1 a1
3
x3
x1
a3
x2 a2
y
23
可观测规范Ⅰ型(能观测性标准型) 1 2 s 1 3 s 1 s 1
y a bx cx 2
7
⑵ 本质线性和本质非线性
针对非线性模型而言 如果模型经过适当的数学变换可将原非线性的模型 转换为线性模型，那么原模型为本质线性，否则， 原模型为本质非线性
Y ALa1 K a2 , a1 0; a2 1 其中Y 为产值，L为劳动力，K为资本。
y log Y , u1 log L, u2 log K , a0 log A y a0 a1u1 a2u2
q 1 y(k ) y(k 1)
单位时移算子
n j 1
A(q 1 ) 1 a1q 1 a2 q 2 L an q n 1 a j q j B(q ) b0 b1q b2 q L bn q
System Identification 2020-5(Chap 3)系统辨识-李宏光-北京化工大学
System IdentificationLecture 5 - Chapter 3Prof. Li Hongguang Automation Department Beijing University of Chemical TechnologyChapter 3 Least-Squares Principles 3.1 Foundations最小二乘方法的目的: 求取实际(受到随机噪声干扰的)系统数学模型 中的未知参数(系数)1• Assumptions一个系统的输出变量y, 与 输入变量 x=( x 1，x 2，……，x n)T 构成一个线性数学模型关系，即：y=θ1 x 1+θ2 x 2+……θn x n 其中，θ=(θ1 , θ2,……θn)T为一组未知常数。
2• Identification Tasks通过观测变量y和x, 估计(辩识) θi (i=1,2,…n）的 值。
x1参数系统yx2 xnθ1, θ2，…θn3• Methodologies假设在时刻t 1, t 2,……，t m(间隔相同)，对y和x 做m次测量，得到数据y(i)和x1(i), x2(i),……, x n(i), i=1, 2, …, m。
于是，可建立如下的方程组(m个方程)：y(1)=θ1 x 1(1)+θ2 x 2(1)+……θn x n(1) ... ... y(m)=θ1 x 1(m)+θ2 x 2(m)+……θn x n(m)4写成矢量矩阵的形式：Y=Xθ 其中，Y⎡ y(1) ⎤⎢ ⎢y(2)⎥ ⎥= ⎢ ⎥, X⎢⎥⎡x1(1)......xn (1)=⎢ ⎢x1(2)......xn⎢(2)⎤ ⎥⎡θ1 ⎤⎢⎢θ2⎥ ⎥⎥⎥,Θ=⎢ ⎢⎥ ⎥⎢⎥ ⎢⎣ y(m)⎥⎦⎢⎥⎣x1(m)......xn (m)⎦⎢⎥⎢⎣θn ⎥⎦θ在此表示系统的真实模型参数，即“真 值”。
5• Solutions(1) 无干扰情况： y(i),x(i)(i=1,2,…，m）的值绝对正确，即没有受到任何随机干扰,或随机干扰可以忽 略。
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ln
1
1
)2
1
cos
22
2 （-2 ln 1)2 sin 22
是相互独立，服从N（0，1）分布的随机变量。
M序列产生方法
回顾
输出
X1
X2
X3
X4
移位脉冲
XOR
1111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 1001 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111
26
n （3）根据阶跃响应曲线上两个点的位置，确定二阶或
阶环节对象的近似传递函数
二阶对象的传递函数可表示为
W0 (s)
(T1s
K 1)(T2 s
1)
式中的T1 、T2、K 需从阶跃响应曲线上取得。
T1
T2
t1 t2 2.16
T1T2 (T1 T2 )2
1.74t1 t2
0.55
y(t)
y* (t )
y(t
a)
（2）
式中：y*(t) ——矩形脉冲响应曲线； y(t) ——正阶跃响应曲线；
y(t a) ——负阶跃响应曲线。
16
x
x0
+x0
0
a
t
-x0
y
0
a
t
图2 矩形脉冲响应分解为两个阶跃响应示意图 17
式（2）就是由矩形脉冲响应曲线 y*(t) 画出阶跃响应曲 线 y(t) 的依据。
回顾
白噪声序列产生方法
回顾
(2) 正态分布随机数的产生
1) 统计近似抽样法
+
N i 1
i
N 2
N
12
其中i为（0，1）均匀分布随机数；
~
N
(
,
2
) 为正态分布随机数。
2) 变换抽样法
设1，
是2个相互独立的（0，1）均匀分布的
2
随机变量，则
1
（- 2
②在输入阶跃信号前，对象必须处于平衡工况。 但是，当对象长时间处于较大扰动量作用下，被控
量的变化幅度可能超出实际生产所允许的范围。这时， 就要把对象输入信号改用矩形脉冲的形式，测出对象的 矩形脉冲响应曲线，如上图所示。当测到了对象的矩形 脉冲响应曲线后，就可以转换成阶跃响应曲线，其转换 方法如下。
15
A(z1) y(k) B(z1)u(k) C(z1) (k)
其中, ε(k)为白噪声
A(z1) 1 a1z1 a2 z2 L an zn B(z1) b0 b1z1 b2 z2 L bn zn C(z1) 1 c1z1 c2 z2 L cn zn
一阶惯性环节来近似，因而需要确定 K 和 T。
设对象的输入信号的阶跃量为 x0 ，由图 4 的阶跃
响应曲线上可定出y()，则 K 和 T 可按以下步骤求得：
①求放大系数K ，公式为
K y() y(0) x0
②通过 t 0 这一点作阶跃响应曲线的切线，交稳态值
的渐近线 y()于点A，则OA在时间轴上的投影即为时间
25
为了计算方便，一般选取在t1和t2时刻的输出信号 分别为 y*(tl)=0.39，y*(t2)=0.63，此时由上式可得
T=2(t2-t1)， =2t1-t2
其中，t1和t2可利用右图进行 确定。
利用上式求取的参数 和T
准确与否，可取另外两个时刻 进行校验。
两点法的特点是单凭两个孤立点的数据进行拟合， 而不顾及整个测试曲线的形态。此外，两个特定点的 选择也具有某种随意性，因此所得到的结果其可靠性 也是值得怀疑的。
t1
y0 (t1) 1 e T
y0
(t2
)
1
t2
eT
则经求解后有
T
ln[1
t1 y0 (t1)]
t2 ln[1
y0 (t2 )]
t2 ln[1
y0 (t1)] t1 ln[1
y0 (t2 )]
ln[1 y0 (t1)] ln[1 y0 (t2 )]
惯性加纯滞后环节来近似。确定参数 K 、T 及 的方法
如下： 在阶跃响应曲线变化速率最快处作一切线，交时间
轴于B点，交稳态值的渐近线于A点。OB即为对象的滞
后时间 ，BA在时间轴上的投影BC即为对象的时间常
数 T 。对象放大系数 K的求法同上。
22
x(t)
x0
0
t
y(t)
y(∞)
A
y(0)
BC
长度为i（1≤i≤n-2）的游程占总数的1/2i，有2n-i-1个; 长度为n-1的游程为“0”的游程; 长度为n的游程为“1”的游程;
（4）所有M序列均具有移位可加性，即2个彼此移位等价 的相异M序列，按位模2相加所得到序列仍与原M序列等价。 （5）M序列的自相关函数R(τ)在原点处最大，离开原点后 迅速下降，具有近似白噪声序列的性质。
y
y3
y2
y1
y2
y1
y1=y*1 y*2
y*3
y*(t)
0
a
2a 3a
4a
t
图3 阶跃响应曲线的分段作图法示意图
18
3.2.2 数据处理
为了研究和分析过程系统，为过程控制和优化等的 设计提供依据，需要将实验所得的结果进行数据处理， 即由阶跃响应曲线求出对象的微分方程式或传递函数。 在工业生产中，大多数对象特性常常可以近似地以一阶、 二阶以及一阶、二阶加纯滞后特性之一来描述，即在下 列模型中选择其一。
x(t)
0 t0 y(t)
t
0 t0 t1
t
y(t)
0 t0
t
(b) 阶跃响应曲线
0 t0
t
(c) 矩形脉冲响应曲线
图1 响应曲线 14
采用阶跃响应曲线的实验方法，必须注意以下事项：
①阶跃信号不能太大，以免影响正常生产。但是阶跃信 号也不能太小，以防止对象特性的不真实性。在一般情 况下，取阶跃信号约为正常输入信号的5%～15%。
常数 T。
20
x(t)
x0
0
t
y(t) y(∞) AA
y(0)
0 TT
t
图4 求取一阶惯性环节 K 和 T 的作图法21
（2）根据对象阶跃响应曲线确定一阶加纯滞后环节
的 K 、T 和
如图 5 所示，当阶跃响应曲线在 t 0时，斜率为
t 零；随着 的增加，其斜率逐渐增大；当达到拐点后斜
率又慢慢减小，可见该曲线的形状为S形，可以用一阶
经典辨识方法概述
首先获得系统的非参数模型（频率响应，阶跃响应，脉 冲响应)， 然后通过特定的方法将非参数模型转化成参数模型 (如传递函数)。
① 阶跃响应辨识方法 ② 脉冲响应辨识方法 ③ 频率响应辨识方法 ④ 相关分析辨识方法 ⑤ 谱分析辨识方法
要求无噪声或噪声很小
允许有噪声
3.2 阶跃响应法
白噪声定义
回顾
白噪声过程是一种最简单的随机过程。它是一种均值 为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。
定义：如果随机过程ω(t)的均值为0，自相关函数为：
其中： 且
Rω(t)=σ2δ(t)
(t)
, t
0,
t
0 0
(t)dt 1
则称该随机过程为白噪声3过程。
白噪声序列产生方法
x(t)
线性系统
y(t)
g(σ)
则
y(t) g( )x(t )d
0
上式两端同乘x(t )，进而取时间均值，有
● 连续系统的传递函数形式：
G(s)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y (s) U (s)
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
拉氏变换 与反变换
3.1.2 离散系统的数学描述
● 离散系统输入输出模型的基本形式是差分方程：
y(k) a1 y(k 1) L an1 y(k n 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) L bn1u(k n 1) bnu(k n)
这种方法主要是测取对象的阶跃响应曲线或矩形 脉冲响应曲线。根据该响应曲线，通过图解法或计算 方法得到被辨识对象的频率特性。
3.2.1 阶跃响应曲线的实验测定
当对象的输入量做阶跃变化时，其输出量是随时间 而变化的曲线，则称为阶跃响应曲线。
输入 x(t)
输出 y(t) 过程对象
(a) 过程对象
13
x(t)
引入单位延迟算子 z1，令： z1x(k) x(k 1) A(z1) y(k) B(z1)u(k)
其中
A(z1) 1 a1z1 a2 z2 L an zn B(z1) b0 b1z1 b2 z2 L bn zn
3.1.2 离散系统的数学描述
(1) (0,1)均匀分布随机数的产生
1) 乘同余法
xi Axi1(mod M ) , i 1, 2, 3ggg
i
xi M
, i 1, 2,3,ggg
2) 混合同余法
xi ( Axi1 C)(mod M ) , i 1, 2, 3ggg
i
xi M
, i 1, 2,3,ggg
1 1 1 1 0 0 0 16 0 0 1 1 0 1 0