《系统辨识》第3次课_第三章

惯性加纯滞后环节来近似。确定参数 K 、T 及 的方法
如下： 在阶跃响应曲线变化速率最快处作一切线，交时间
轴于B点，交稳态值的渐近线于A点。OB即为对象的滞
后时间 ，BA在时间轴上的投影BC即为对象的时间常
数 T 。对象放大系数 K的求法同上。
22
x(t)
x0
0
t
y(t)
y(∞)
A
y(0)
BC
白噪声定义
回顾
白噪声过程是一种最简单的随机过程。它是一种均值 为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。
定义：如果随机过程ω(t)的均值为0，自相关函数为：
其中： 且
Rω(t)=σ2δ(t)

(t)

, t

0,
t

0 0

(t)dt 1

则称该随机过程为白噪声3过程。
白噪声序列产生方法
● 连续系统的传递函数形式：
G(s)

Y (s) U (s)

b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
拉氏变换 与反变换
3.1.2 离散系统的数学描述
● 离散系统输入输出模型的基本形式是差分方程：
y(k) a1 y(k 1) L an1 y(k n 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) L bn1u(k n 1) bnu(k n)

t1
y0 (t1) 1 e T

y0
(t2
)

1

t2
eT
则经求解后有
T

ln[1
t1 y0 (t1)]
t2 ln[1
y0 (t2 )]



t2 ln[1
y0 (t1)] t1 ln[1
y0 (t2 )]

ln[1 y0 (t1)] ln[1 y0 (t2 )]
②在输入阶跃信号前，对象必须处于平衡工况。 但是，当对象长时间处于较大扰动量作用下，被控
量的变化幅度可能超出实际生产所允许的范围。这时， 就要把对象输入信号改用矩形脉冲的形式，测出对象的 矩形脉冲响应曲线，如上图所示。当测到了对象的矩形 脉冲响应曲线后，就可以转换成阶跃响应曲线，其转换 方法如下。
15
x(t)
线性系统
y(t)
g(σ)
则

y(t) g( )x(t )d
0
上式两端同乘x(t )，进而取时间均值，有
一阶惯性环节来近似，因而需要确定 K 和 T。
设对象的输入信号的阶跃量为 x0 ，由图 4 的阶跃
响应曲线上可定出y()，则 K 和 T 可按以下步骤求得：
①求放大系数K ，公式为
K y() y(0) x0
②通过 t 0 这一点作阶跃响应曲线的切线，交稳态值
的渐近线 y()于点A，则OA在时间轴上的投影即为时间
● 随机型差分方程
y(k) a1 y(k 1) L an1 y(k n 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) L bn1u(k n 1) bnu(k n)
(k) c1 (k 1) L cn1 (k n 1) cn (k n)
引入单位延迟算子 z1，令： z1x(k) x(k 1) A(z1) y(k) B(z1)u(k)
其中
A(z1) 1 a1z1 a2 z2 L an zn B(z1) b0 b1z1 b2 z2 L bn zn
3.1.2 离散系统的数学描述
Oτ T
t
图5 求取一阶惯性加纯滞后环节 K、T 和 的作图法
23
由于在响应曲线上的拐点处作切线时，其拐点位置
不和易 选的准数，值切有线可方能向因也人难而以异准。确于定是位可，用因下此面，的测方定法的。T
在计算对象时间常数 T 和纯滞后时间 时，将 y(t)
转换为相对值y0 (t) ，即
y0 (t)
A(z1) y(k) B(z1)u(k) C(z1) (k)
其中, ε(k)为白噪声
A(z1) 1 a1z1 a2 z2 L an zn B(z1) b0 b1z1 b2 z2 L bn zn C(z1) 1 c1z1 c2 z2 L cn zn
这种方法主要是测取对象的阶跃响应曲线或矩形 脉冲响应曲线。根据该响应曲线，通过图解法或计算 方法得到被辨识对象的频率特性。
3.2.1 阶跃响应曲线的实验测定
当对象的输入量做阶跃变化时，其输出量是随时间 而变化的曲线，则称为阶跃响应曲线。
输入 x(t)
输出 y(t) 过程对象
(a) 过程对象
13
x(t)
经典辨识方法概述
首先获得系统的非参数模型（频率响应，阶跃响应，脉 冲响应)， 然后通过特定的方法将非参数模型转化成参数模型 (如传递函数)。
① 阶跃响应辨识方法 ② 脉冲响应辨识方法 ③ 频率响应辨识方法 ④ 相关分析辨识方法 ⑤ 谱分析辨识方法
要求无噪声或噪声很小

允许有噪声

3.2 阶跃响应法
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1
回顾
第二章 系统辨识常用输入信号
合理选择辨识的输入信号是能否获得好的辨识结 果的关键之一
u(k)
输入量
SISO
线性 离散系统
y(k)
输出量
w(k )
测量噪声
z(k)
输出量实测值
输入信号极大地影响着系统的可辨识性和辨识精度。 从理论上、工程上两方面给出了输入信号选择准则。
26
n （3）根据阶跃响应曲线上两个点的位置，确定二阶或
阶环节对象的近似传递函数
二阶对象的传递函数可表示为
W0 (s)

(T1s
K 1)(T2 s
1)
式中的T1 、T2、K 需从阶跃响应曲线上取得。
T1

T2

t1 t2 2.16
T1T2 (T1 T2 )2

1.74t1 t2
0.55
常数 T。
20
x(t)
x0
0
t
y(t) y(∞) AA
y(0)
0 TT
t
图4 求取一阶惯性环节 K 和 T 的作图法21
（2）根据对象阶跃响应曲线确定一阶加纯滞后环节
的 K 、T 和
如图 5 所示，当阶跃响应曲线在 t 0时，斜率为
t 零；随着 的增加，其斜率逐渐增大；当达到拐点后斜
率又慢慢减小，可见该曲线的形状为S形，可以用一阶
27
y(t) y(∞) 0.8y(∞)
0.4y(∞)
K y() y(0)
x0
y* (t) 1 T1
t
e T1
T2
t
e T2
T1 T2
T1 T2
y2 y1
o
t1
t2
t
图6 阶跃响应曲线
28
3.3 辨识系统脉冲响应的相关分析法
3.3.1 相关分析法原理
一个单入单出线性定常系统的动态特性可用它的脉冲 响应函数g(σ)来描述。
ln
1
1
)2
1
cos
22
2 （-2 ln 1)2 sin 22
是相互独立，服从N（0，1）分布的随机变量。
M序列产生方法
回顾
输出
X1
X2
X3
X4
移位脉冲
XOR
1111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 1001 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111
第三章 系统数学描述及经典辨识法
8
3.1 系统常用数学描述方法
3.1.1 连续系统的数学描述
● 连续系统输入输出模型的基本形式是常微分方程：
y(n) (t) a1 y(n1) (t) L an1 y(1) (t) an y(t) b0u(m) (t) b1u(m1) (t) L bm1u(1) (t) bmu(t)
K W0 (s) Ts 1
W0
(s)

K Ts
1
e
s
W0
(s)

(T1s
K 1)(T2 s
1)
W0 (s)

(T1s
K 1)(T2 s
1)
e s
19
（1）根据阶跃响应曲线确定一阶环节的 K 、T
如图 4 所示，当 t 0时，阶跃响应曲线的斜率最
大，然后逐渐上升到稳态值 y()，则该响应曲线可以用
y
y3
y2
y1
y2
y1
ห้องสมุดไป่ตู้
y1=y*1 y*2
y*3
y*(t)
0
a
2a 3a
4a
t
图3 阶跃响应曲线的分段作图法示意图
18
3.2.2 数据处理
为了研究和分析过程系统，为过程控制和优化等的 设计提供依据，需要将实验所得的结果进行数据处理， 即由阶跃响应曲线求出对象的微分方程式或传递函数。 在工业生产中，大多数对象特性常常可以近似地以一阶、 二阶以及一阶、二阶加纯滞后特性之一来描述，即在下 列模型中选择其一。
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为了计算方便，一般选取在t1和t2时刻的输出信号 分别为 y*(tl)=0.39，y*(t2)=0.63，此时由上式可得
T=2(t2-t1)， =2t1-t2
其中，t1和t2可利用右图进行 确定。
利用上式求取的参数 和T
准确与否，可取另外两个时刻 进行校验。
两点法的特点是单凭两个孤立点的数据进行拟合， 而不顾及整个测试曲线的形态。此外，两个特定点的 选择也具有某种随意性，因此所得到的结果其可靠性 也是值得怀疑的。
y(t)

y* (t )

y(t

a)
（2）
式中：y*(t) ——矩形脉冲响应曲线； y(t) ——正阶跃响应曲线；
y(t a) ——负阶跃响应曲线。
16
x
x0
+x0
0
a
t
-x0
y
0
a
t
图2 矩形脉冲响应分解为两个阶跃响应示意图 17
式（2）就是由矩形脉冲响应曲线 y*(t) 画出阶跃响应曲 线 y(t) 的依据。
对象输入矩形脉冲信号的幅值为 x0 ，宽度为a 。矩
形脉冲信号可以分解为两个方向相反、幅值相等的阶跃
信号，如下图所示。
x(t) x1(t) x1(t a)
（1）
假如对象是线性的，则对象输出的矩形脉冲响应 y*(t)
由两个阶跃响应叠加而成。即
y*(t) y(t) y(t a)
回顾
白噪声序列产生方法
回顾
(2) 正态分布随机数的产生
1) 统计近似抽样法
+
N i 1
i

N 2
N
12
其中i为（0，1）均匀分布随机数；

~
N
(

,

2
) 为正态分布随机数。
2) 变换抽样法
设1，
是2个相互独立的（0，1）均匀分布的
2
随机变量，则
1
（- 2

y(t) y()
在阶跃作用下，y0(t) 的解为
y0
(t
)

0,
t
t
1 e T , t
24
对不同的时间 t1 和 t2 （要求 t1 t2 ），其 y0(t)的两
个坐标值 y0 (t1) 、y0 (t2 )，联立求解即可得 T 和 ，具体
过程如下：先得出
(1) (0,1)均匀分布随机数的产生
1) 乘同余法
xi Axi1(mod M ) , i 1, 2, 3ggg
i

xi M
, i 1, 2,3,ggg
2) 混合同余法
xi ( Axi1 C)(mod M ) , i 1, 2, 3ggg
i

xi M
, i 1, 2,3,ggg
1 1 1 1 0 0 0 16 0 0 1 1 0 1 0
M序列的性质
回顾
（1）由n级移位寄存器产生的M序列是确定的周期性序 列，它的周期长度为N=2n-1。 （2）n级移位寄存器中必须避免全部为“0”的状态，M 序列一个周期内状态“0”出现的次数比状态“1” 少1。 （3）M序列中，状态“0”或“1”连续出现的段称为游程。 游程中“0”或“1”的个数称为游程长度。
长度为i（1≤i≤n-2）的游程占总数的1/2i，有2n-i-1个; 长度为n-1的游程为“0”的游程; 长度为n的游程为“1”的游程;
（4）所有M序列均具有移位可加性，即2个彼此移位等价 的相异M序列，按位模2相加所得到序列仍与原M序列等价。 （5）M序列的自相关函数R(τ)在原点处最大，离开原点后 迅速下降，具有近似白噪声序列的性质。
x(t)
0 t0 y(t)
t
0 t0 t1
t
y(t)
0 t0
t
(b) 阶跃响应曲线
0 t0
t
(c) 矩形脉冲响应曲线
图1 响应曲线 14
采用阶跃响应曲线的实验方法，必须注意以下事项：
①阶跃信号不能太大，以免影响正常生产。但是阶跃信 号也不能太小，以防止对象特性的不真实性。在一般情 况下，取阶跃信号约为正常输入信号的5%～15%。