数形结合思想专题六

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专题数形结合思想

A.k 2
B. 1 k 0 C. 2 k 1 D.k 2
能力提升2 (14.重庆) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) f ( x) x 2 , 对任意实数 x 都有 f ( x 2) f ( x), 当 x [0,1], 时，若在区间 [1,3] 内，函数 y f ( x) 与函数 y kx k 的图象恰有4个交点，则实数 k 的取值范围是（）
类型一
数形结合思想在方程、函数问题中的应用
x x B 例 1（2013.天津) 函数 f ( x) 2 log1 1 的零点个数为（）
2
A.1Βιβλιοθήκη B.2C.3D.4
能力提升1 kx 2, x 0, (k R), 若函数 y f ( x) k 已知函数 f ( x) ln x, x 0, 有三个零点，则实数 k 的取值范围是（）
类型二数形结合在线性规划中的应用
例题2. 求 z 3x 5 y的最大值和最小值,使x , y 满足约束条件 5 x 3 y 15,
y x 1, x 5 y 3
变式1.求 z
3x 5 y
的最值.
y 3 变式2.求的最值. x3 2 2 变式3.求 x 3 y 3 的最值.
规律方法: 1. 研究方程根的个数问题时,经常采取数形结合的方法,一般的,方程 f ( x) 0 的根,就是函数 f ( x) 的零点.方程f ( x) g ( x) 的根,就是 f ( x) 与 g ( x)交点的横坐标. 2.用函数的图象讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法，先把方程两边的代数式看做是两个熟悉函数的表达式，不熟悉的，先变形为熟悉的函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数。

数学中考复习：数形结合思想PPT课件

距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。（1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5．已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性质，
函数的解析式是从数量关系上反应量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0

数形结合思想专题

数形结合思想专题一、概述1.概述：数形结合思想是初中数学解题中一种重要思想。

它包含以形助数和以数解形两个方面。

利用数形结合思想可使初中数学中的复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨性与形的直观性两大优势，是优化解题过程的一种重要途径。

基于数学结合思想的重要性本文就数学结合思想在初中数学中的解题的应用作简要的探讨。

2.关键：数形结合思想以形助数以数解形二、例题分析1.以数助形从“以数助形”的角度来看“数形结合”思想主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、平面直角坐标系把几何问题进行代数化；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用线段比例证明相似等。

例1：如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的高。

试证：AB CF AC BE +≥+:证法一：（三角法）因为0sin 1A ≤≤，()s i n A B A C A B A C A∴-≥-⋅ s i n s i n A B A C A A C A B A∴+⋅≥+⋅(90)A B C F A C B E A ∴+≥+∠=当时取等号证法二：（代数法）由AB ＞AC ＞CF ，AB ＞BE 及S △ABC1122AB CF AC BE =⋅=⋅A BCEF.AB AC AC CF BE CF AC -∴==AB-BE 变形得：AB AB BE ∴-＞AC CF-AB CF ∴+＞AC BE + 90A ∠= 当时,AB CF+=AC BE +.综上：.AB CF AC BE +≥+总结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。

例2：如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.分析：先假设符合条件的点 D 、E 、F 已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。

[全]高中数学-数形结合六大应用及例题详解

[全]高中数学-数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。

例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。

如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

人教版七年级数学上册课件：专题六数形结合思想(共14张PPT)

解：（1）如答图3-6-3所示.
因为BC=AB=AD，所以CD=AD+AB+BC=18(cm).
（2）如答图3-6-4.
因为M,N分别是AD,BC的
中BN点= 12，B所C=以3(AcMm=).12 AD=3(cm),
所以MN=AM+AB+BN=3+6+3=12(cm)．
11
拓展提升
6. 已知如图3-6-9,数轴上有A,B,C三个点，分别表示有理数-24，-10，8，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P到点A和点C的距离： PA=_____t___，PC=___3_2_-_t__；（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P,Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点 P表示的数；如果不能，请说明理由.
解：因为a＜0，所以-a＞0.因为b＞0，所以-b＜0. 所以a-b＜a+b＜0.所以-a＞a+b＞a-b.
3
考点二：与几何相关的数形结合【例3】已知线段AB=10 cm，直线AB上有一点C，且 BC=4 cm，M是线段AC的中点．（1）如图3-6-5，当点C在线段AB上时，求AM的长；（2）若点C在线段AB的延长线上，求BM的长．
13
③如答图3-6-7，当Q点到达C点后返回，且P点在Q 点左侧时，此时有 t+2+3（t-14）-32=32，解得t=26. 所以此时点P表示的数为2.
④如答图3-6-8，当Q点到达C点后返回，且P点在Q 点右侧时，此时有 t-2+3（t-14）-32=32，解得t=27. 所以此时点P表示的数为3.

数形结合的思想方法

数形结合的思想方法每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

一、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

高考文科数学-数形结合法(练)-专题练习(六)有答案

]3{}4)3{}4．在平面内，定点A ||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ===-，动点||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值是（） 4B ．4C ．PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是___________．33-＝)()0b c．2．，故选3]{}44．11130(2=22．3．【解析】由得，故，当且仅当，即时取等号，故其最大值为，即为真；如图所示作出的简图，且由图可知不等式的解集为集合的真子集，即为真；要使恒成立，只需即可，通过观察图象可知，即正确，故选A ．()52-=x x f ()52-=--xx f ()()()()()252526522xxx x f x f x --⋅-=--=-+265216≤-⋅=x x -=220=x 161p ()()225,4x f x g x x x =-=-()()11-<-g f ()()f x g x <{}|13x x -<<2p []()()1212,,2,x x a a f x g x ∀∈+≥()()max min x g x f ≥3a ≥3p4．5．【解析】如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，，得为等腰直角三角形，故异面直线与所成角为．3．练原创 1．︒=∠60PAC PA EO //BEO ∠PA BE 2=PA BEO Rt ∆1=EO 1==AO BO BEO ∆PA BE452．如图所示，设OC＝c，OA＝a，OB＝b，CA＝a－，CB＝b－．3．4．5．11 / 11。

部编数学七年级上册专题06选择压轴题分类练(十一大考点)(期末真题精选)(解析版)含答案

专题06 选择压轴题分类练（十一大考点）一．数形结合--数轴与绝对值1．如图，数轴上4个点表示的数分别为a 、b 、c 、d ．若|a ﹣d |＝10，|a ﹣b |＝6，|b ﹣d |＝2|b ﹣c |，则实战训练|c﹣d|＝（）A．1B．1.5C．15D．2试题分析：根据|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．答案详解：解：∵|a﹣d|＝10，∴a和d之间的距离为10，假设a表示的数为0，则d表示的数为10，∵|a﹣b|＝6，∴a和b之间的距离为6，∴b表示的数为6，∴|b﹣d|＝4，∴|b﹣c|＝2，∴c表示的数为8，∴|c﹣d|＝|8﹣10|＝2，所以选：D．2．如图，数轴上点A表示的有理数为a，下列各数中在0，1之间的是（）A．|a|B．﹣a C．|a|﹣1D．a+1试题分析：先根据数轴确定a的范围，再判断每个选项的范围，即可得出答案．答案详解：解：由图可知﹣2＜a＜﹣1，∴1＜|a|＜2，1＜﹣a＜2，0＜|a|﹣1＜1，﹣1＜a+1＜0，∴在0到1之间的为|a|﹣1，所以选：C．二．定义的理解--难度不大，但易错3．下列说法中：①|﹣a|一定是正数；②m+|m|的结果必为非负数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个试题分析：根据绝对值的非负性判断①；根据绝对值的性质分两种情况计算来判断②；根据a 是正数，b是负数判断③；根据n个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定判断④；根据如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数判断⑤．答案详解：解：当a＝0时，|﹣a|＝0，不是正数，故①不符合题意；当m≥0时，m+|m|＝m+m＝2m≥0；当m＜0时，m+|m|＝m﹣m＝0；综上所述，m+|m|的结果必为非负数，故②符合题意；当a＝2，b＝﹣1，a的倒数是12，b的倒数是﹣1，12＞−1，故③不符合题意；n个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故④不符合题意；如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故⑤不符合题意；正确的个数是1个，所以选：A．4．下列说法中：①任何数都有倒数；②一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以（﹣1），便得这个数的相反数；③同号两数相乘，取原来的符号，并把绝对值相乘；④m+|m|的结果必为非负数；⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑥若|x|＝|y|，则x＝y；⑦﹣a 一定是负数；正确的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个试题分析：根据倒数的定义判断①；根据相反数的定义判断②；根据有理数的乘法法则判断③；根据绝对值的性质判断④；根据绝对值的定义判断⑤；根据绝对值的性质判断⑥；分三种情况讨论﹣a来判断⑦．答案详解：解：0没有倒数，故①不符合题意；一个数乘以1，便得这个数本身，一个数乘以（﹣1），便得这个数的相反数，故②符合题意；同号两数相乘，积为正，并把绝对值相乘，故③不符合题意；若m≥0，m+|m|＝m+m＝2m≥0；若m＜0，m+|m|＝m﹣m＝0；综上，m+|m|的结果为非负数，故④符合题意；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故⑤符合题意；若|x|＝|y|，则x＝y或x＝﹣y，故⑥不符合题意；当a＞0时，﹣a是负数；当a＝0时，﹣a是0；当a＜0时，﹣a是正数，故⑦不符合题意；综上所述，符合题意的有3个，所以选：D．三．找规律及规律的应用5．已知整数a1，a2，a3，a4，…，a n满足下列条件：a1＝0，a2＝|a1﹣1|，a3＝|a2﹣2|，a4＝|a3﹣3|，…，a n＝|a n﹣1﹣（n﹣1）|，以此类推，则a2021的值为（）A．2020B．1009C．1010D．1011试题分析：通过计算发现，从a2开始，连续两个式子的运算结果相同，再由（2021﹣1）÷2＝1010，即可求解．答案详解：解：∵a1＝0，∴a2＝|a1﹣1|＝1，a3＝|a2﹣2|＝1，a4＝|a3﹣3|＝2，a5＝|a4﹣4|＝2，a6＝|a5﹣5|＝3，a7＝|a6﹣6|＝3，a8＝|a7﹣7|＝4，…，从a2开始，连续两个式子的运算结果相同，∵（2021﹣1）÷2＝1010，∴a2021的值1010，所以选：C．6．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，当n＝11时，该图形总的点数是（）A．27B．30C．33D．36试题分析：从第一个图形分析已知的图形中点的个数的计算方法，得出变化规律进而求出即可．答案详解：解：当n＝2时，有3×2﹣3＝3个点，当n＝3时，有3×3﹣3＝6个点，当n＝4时，有4×3﹣3＝9个点…第n个图形中有3n﹣3个点当n＝11时，3n﹣3＝3×11﹣3＝30．所以选：B．7．如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），按这种方法继续下去，第6个图形有（）个三角形．A．20B．21C．22D．23试题分析：根据图形的变化归纳出第（n）个图形中有（4n﹣3）个三角形即可．答案详解：解：由图知，第（1）个图形有1个三角形，以后每个图形都比前一个多4个三角形，故第（n）个图形中有（4n﹣3）个三角形，∴第6个图形中三角形的个数为4×6﹣3＝21，所以选：B．8．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第（）个图形中面积为1的正方形的个数为2024个．A．402B．403C．404D．405试题分析：由第1个图形有9个面积为1的小正方形，第2个图形有9+5＝14个面积为1的小正方形，第3个图形有9+5×2＝19个面积为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个面积为1的小正方形，由此求得答案即可．答案详解：解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝（5n+4）个，根据题意得：5n+4＝2024，解得n＝404．所以选：C．9．在1+12+122+123+124+⋯中，“…”代表按规律不断求和．设1+12+122+123+124+⋯=x，则有x＝1+12x，解得x＝2，故1+12+122+123+124+⋯=2．类似地1+132+134+136+⋯的结果是（）A．43B．98C．65D．2试题分析：仿照题目中的例题进行解答即可．答案详解：解：设1+132+134+136+⋯=x，则1+132+134+136+⋯=1+132（1+132+134+136+...），∴x＝1+132 x，∴x＝1+19 x，∴x=9 8，所以选：B．10．如图，∠AOB＝α，OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA2、OB2分别是∠A1OM和∠MOB1的平分线，OA3、OB3分别是∠A2OM和∠MOB2的平分线，…，OA n，OB n分别是∠A n﹣1OM和∠MOB n﹣1的平分线，则∠A n OB n的度数是（）A．αnB．α2n−1C．α2nD．αn2试题分析：根据角平分线的性质分别表示出∠A1OB1、∠A2OB2、…，即可归纳出此题规律，求得此题结果．答案详解：解：∵OA1、OB1分别是∠AOM和∠MOB的平分线，∴∠A1OM=12∠AOM，∠B1OM=12∠BOM，∴∠A1OB1＝∠A1OM+∠B1OM=12∠AOM+12∠BOM=12（∠AOM+B0M）=12∠AOB=12α，同理，∠A2OB2=12∠A1OB1=12×12α=122α，∠A3OB3=12∠A2OB2=12×122α=123α，…∴∠A n OB n=α2n，所以选：C．四．正负号的巧用11．桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过n次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．5试题分析：根据题意将杯口朝上和朝下用“上”和“下”表示经过几次翻转即可得结论．答案详解：解：∵原来：上，上，上，上，上，上，第一次翻转后：下，下，下，下，上，上，第二次翻转后：下，上，上，上，下，上，第三次翻转后：下，下，下，下，下，下，即：最少经过3次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，∴n的最小值为3，所以选：B．五．等式的性质提升12．如图中“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平如图（1）、（2）所示均保持平衡．为了使第三架天平如图（3）所示也能保持平衡，现在“？”处只放置“■”物体．那么应放“■”的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：分别设圆，正方形和三角形为x，y，z，列出它们之间的关系式，再利用等式的性质即可得出答案．答案详解：解：设圆为x，正方形为y，三角形为z，∵2x＝y+z，x+y＝z，∴y＝2x﹣z，y＝z﹣x，∴x＝2y，z＝3y，∴x+z＝2y+3y＝5y，∴需要5个正方形，所以选：C．13．若等式m+a＝n﹣b根据等式的性质变形得到m＝n，则a、b满足的条件是（）A．相等B．互为倒数C．互为相反数D．无法确定试题分析：根据等式的性质，两边都减去b，然后判断即可得解．答案详解：解：m+a＝n﹣b两边都加b得，m+a+b＝n，∵等式可变形为m＝n，∴a+b＝0，∴a＝﹣b，即互为相反数，所以选：C．六．新定义--紧扣定义，化归思想14．定义：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（）个．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log2128＝log216+log28；A．4B．3C．2D．1试题分析：根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可．答案详解：解：∵61＝6，∴log66＝1，故①不符合题意；∵34＝81，∴log381＝4，故②符合题意；∵44＝256，∴a+14＝256，∴a＝242，故③不符合题意；∵27＝128，∴log2128＝7，∵24＝16，∴log216＝4，∵23＝8，∴log28＝3，∵7＝4+3，∴log2128＝log216+log28，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个，所以选：C．15．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（）A．﹣4B．8C．4D．﹣8试题分析：原式利用题中的新定义计算即可求出值．答案详解：解：根据题中的新定义得：﹣4※2＝﹣4×2+22＝﹣8+4＝﹣4．所以选：A ．16．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，AC ＝BD ，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的任意两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA ＝PB ，则点P 为点A 和B 的黄金伴侣点，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次试题分析：当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的任意两个点距离相等时，点P 恰好为其中一条线段的中点，而图中有6条线段，从而得到出现黄金伴侣点最多的次数．答案详解：解：由题意可知，当点P 经过任意一条线段的中点时会出现黄金伴侣点，∵图中共有线段6条，分别为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，又AC ＝BD ，∴线段AD 与线段BC 的中点是同一个，∴点P 成为黄金伴侣点的机会有5次．所以选：B ．17．对于两个不相等的有理数a 、b ，我们规定符号min {a ，b }表示a 、b 两数中较小的数，例如min {﹣2，3}＝﹣2．按照这个规定，方程min {x ，﹣x }＝﹣2x ﹣1的解为（）A ．x =−13B ．x ＝﹣1C ．x ＝1D ．x ＝﹣1或x =−13试题分析：根据题意，可得：min {x ，﹣x }＝x 或﹣x ，所以﹣2x ﹣1＝x 或﹣x ，据此求出x 的值是多少即可．答案详解：解：∵min {a ，b }表示a 、b 两数中较小的数，∴min {x ，﹣x }＝x 或﹣x ．∴﹣2x ﹣1＝x 或﹣x ，（1）﹣2x ﹣1＝x 时，解得x =−13，此时﹣x =13，∵x ＜﹣x ，∴x =−13符合题意．（2）﹣2x ﹣1＝﹣x 时，解得x ＝﹣1，此时﹣x ＝1，∵﹣x ＞x ，∴x ＝﹣1不符合题意．综上，可得：按照这个规定，方程方程min {x ，﹣x }＝﹣2x ﹣1的解为：x =−13．所以选：A ．七．方向角18．如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿A 处向正南方向航行到B 处时，向右转60°航行到C 处，再向左转80°继续航行，此时快艇的航行方向为（）A ．南偏东20°B ．南偏东80°C ．南偏西20°D ．南偏西80°试题分析：根据平行线的性质，可得∠HCF 的度数，根据角的和差，可得答案．答案详解：解：过点C 作DC ∥AB ，如图：∵DC∥AB，∠GBH＝60°，∴∠HCF＝∠GBH＝60°．∵∠HCE＝80°，∴∠ECF＝∠HCE﹣∠HCF＝80°﹣60°＝20°，此时快艇的航行方向为南偏东20°，所以选：A．19．如图，下列说法中错误的是（）A．OA方向是北偏东60°B．OB方向是北偏西15°C．OC方向是南偏西65°D．OD方向是东南方向试题分析：根据方位角的概念，结合图形分析逐一判断即可．答案详解：解：A．由题意得：90°﹣30°＝60°，∴OA方向是北偏东60°，故A不符合题意；B．由题意得：90°﹣75°＝15°，∴OB方向是北偏西15°，故B不符合题意；C．OC方向是南偏西25°，故C符合题意；D．OD方向是东南方向，故D不符合题意；所以选：C．八．两点间的距离20．如图，延长线段AB到点C，使BC=12AB，点D是线段AC的中点，若线段BD＝2cm，则线段AC的长为（）cm．A．14B．12C．10D．8试题分析：设BC＝xcm，则AB＝2xcm，由中点的定义可知DC＝1.5x，然后由DC﹣BC＝DB列方程可求得x的值，从而得到AB和BC的长，最后根据AC＝AB+BC求解即可．答案详解：解：设BC＝xcm．∵BC=12 AB，∴AB＝2xcm，∴AC＝AB+BC＝3xcm，∵D是AC的中点，∴DC=12AC＝1.5xcm，∵DC﹣BC＝DB，∴1.5x﹣x＝2，解得：x＝4，∴AC＝3x＝3×4＝12cm，所以选：B．21．已知线段AB，延长AB至C，使BC＝2AB，D是线段AC上一点，且BD=12AB，则ACAD的值是（）A．6B．4C．6或4D．6或2试题分析：当点D在线段AB时，当点D在线段BC上时，根据已知条件得到AC＝AB+BC＝3AB，根据线段的倍分关系即可得到结论．答案详解：解：如图，当点D在线段AB时，∵BC＝2AB，∴AC＝AB+BC＝3AB，2∴AD=12 AB，∴ACAD=3AB12AB=6，当点D在线段BC上时，∵BC＝2AB，∴AC＝AB+BC＝3AB，∵BD′=12 AB，∴AD′=32 AB，∴ACAD=3AB32AB=2，综上所述，ACAD的值是6或2，所以选：D．22．如图，点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，则下列式子不成立的是（）A．MN＝GB B．CN=12(AG−GC)C．GN=12(BG+GC)D．MN=12(AC+GC)试题分析：由中点的定义综合讨论，一一验证得出结论．答案详解：解：A、∵点G是AB的中点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴GB=12AB，MC=12AC，NC=12BC，∴MN＝MC+NC=12AC+12BC=12AB，∴MN＝GB，故A选项不符合题意；B、∵点G是AB的中点，∴AG＝BG，∴AG﹣GC＝BG﹣GC＝BC，2∴NC=12（AG﹣GC），故B选项不符合题意；C、∵BG+GC＝BN+NC+CG+GC＝2CN+2CG＝2GN，∴GN=12（BG+GC），故C选项不符合题意；D、∵MN=12AB，AB＝AC+CB，∴MN=12（AC+CB），∵题中没有信息说明GC＝BC，∴MN=12（AC+GC）不一定成立，故D选项符合题意．所以选：D．23．已知线段AB＝a，延长线段AB到点C；若点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，且a是方程1−2x3=3x17−3的解，则线段MN的长为（）A．4117B．5221C．5936D．6746试题分析：先解一元一次方程求出a的值，然后分两种情况，点M在点B的左侧，点M在点B 的右侧．答案详解：解：1−2x3=3x17−37（1﹣2x）＝3（3x+1）﹣63 7﹣14x＝9x+3﹣63﹣14x﹣9x＝3﹣63﹣7﹣23x＝﹣67x=67 23，∴a=67 23，∴AB=67 23，分两种情况：当点M在点B的左侧，如图：∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴MC=12AC，NC=12BC，∴MN＝MC﹣NC=12AC−12BC=12 AB=67 46，当点M在点B的右侧，如图：∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，∴MC=12AC，NC=12BC，∴MN＝MC﹣NC=12AC−12BC=12 AB=67 46，∴线段MN的长为67 46，所以选：D．九．角度的计算---余角和补角24．如图，点O在CD上，OC平分∠AOB，射线OE经过点O且∠AOE＝90°，若∠BOD＝153°，则∠DOE的度数是（）A．27°B．33°C．28°D．63°试题分析：先根据补角的定义求出∠BOC的度数，再利用角平分线定义即可求解．答案详解：解：∵∠BOD＝153°，∴∠BOC＝180°﹣153°＝27°，∵CD为∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝27°，∵∠AOE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠AOC＝63°．所以选：D．25．如图，三角尺COD的顶点O在直线AB上，∠COD＝90°．现将三角尺COD绕点O旋转，若旋转过程中顶点C始终在直线AB的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，则下列说法中，正确的是（）A．若α＝10°，则β＝70°B．α与β一定互余C．α与β有可能互补D．若α增大，则β一定减小试题分析：先画出图形，再根据补角的定义得出即可．答案详解：解：①如图，当C、D在直线AB的同旁时，α+β＝∠AOC+∠BOD＝180°﹣90°＝90°，即α和β互余，②如图，当C和D不在直线AB的同旁，即D在直线AB的下方时，当∠AOC＝135°，∠BOD＝45°时，α+β＝∠AOC+∠BOD＝180°，即α与β有可能互补，所以选：C．十．正方体---拼图，展开与折叠26．图中都是由棱长为a的正方体叠成的几何体．第1个几何体由1个正方体叠成，第2个几何体由4个正方体叠成，第3个几何体由10个正方体叠成，…，按此规律，记第n个几何体由x n个正方体叠成，其中n＝1，2，3，…，则1x2−x1+1x3−x2+1x4−x3+⋯+1x9−x8+1x10−x9的值为（）A．911B．1011C．2011D．2111试题分析：从数字找规律，求出x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，然后代入上述式子进行计算即可．答案详解：解：由题意得：第1个几何体由1个正方体叠成，第2个几何体由4个正方体叠成，即4＝1+3，第3个几何体由10个正方体叠成，即10＝1+3+6，第4个几何体由20个正方体叠成，即1+3+6+10＝20，..．第n个几何体中的正方体个数为：1+3+6+10+...+n(n1)2，∴x1＝1，x2＝3，x3＝6，x4＝10，...x n＝1+3+6+10+...+n(n1)2，∴1x2−x1+1x3−x2+1x4−x3+⋯+1x9−x8+1x10−x9=14−1+110−4+120−10+...+1220−165=13+16+110+...+155＝2×（12−13+13−14+14−15+...+110−111）＝2×（12−111）＝2×922=911，所以选：A ．27．用6个棱长为1的小正方体可以粘合形成不同形状的积木，将如图所示的两块积木摆放在桌面上，再从下列四块积木中选择一块，能搭成一个长、宽、高分别为3、2、3的长方体的是（）A ．B ．C ．D ．试题分析：根据题目的已知并结合图形分析即可解答．答案详解：解：由题意可知：要搭成一个长、宽、高分别为3、2、3的长方体，结合图形可得：侧面缺少一个由4个小正方体，它是2×2铺成的四方体，由此排除A ，C ，再从正面可知，还缺少一条边由3个小正方体组成的直条，由此排除B ，所以选：D ．28．如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图所示，如果相对两个面上的数或式的值互为相反数，则（a +c ﹣x ）2022的值为（）A ．1B ．﹣1C ．0D ．2022试题分析：结合图形找出相对面，求出a +c 与x 的值，代入式子中即可解答．答案详解：解：由图可知：a +b 与c +d 为相对面，a ﹣b 与c ﹣d 为相对面，x 与﹣1位相对面，∵相对两个面上的数或式的值互为相反数，∴a +b ＝﹣（c +d ）①，a ﹣b ＝﹣（c ﹣d ）②，x ＝1，∴①+②得：2a ＝﹣c ﹣d ﹣c +d ，2a ＝﹣2c ，2a +2c ＝0，∴a +c ＝0，∴（a +c ﹣x ）2022＝（0﹣1）2022＝1，所以选：A ．十一．由实际问题抽象出一元一次方程29．几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则少4棵树苗；如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种．若设参与种树的人数为x 人，则下面所列方程中正确的是（）A ．5x ﹣3＝6x ﹣4B ．5x +3＝6x +4C ．5x +3＝6x ﹣4D ．5x ﹣3＝6x +4试题分析：根据题意可得等量关系：每人种6棵，x 人种的树苗数﹣4＝每人种5棵时，x 人种的树苗数+3，根据等量关系列出方程即可．答案详解：解：设参与种树的人数为x 人，由题意得：5x +3＝6x ﹣4，所以选：C ．30．学校需制作若干块标志牌，由一名工人做要50h 完成．现计划由一部分工人先做4h ，然后增加5人与他们一起做6h 完成这项工作．假设这些工人的工作效率一样，具体应先安排多少人工作？小华的解法如下：设先安排x 人做4h ．所列方程为4x 50+6(x 5)50=1，其中“4x 50”表示的意思是“x 人先做4h 完成的工作量”，“6(x 5)50”表示的意思是“增加5人后（x +5）人再做6小时完成的工作量”．小军所列的方程如下：(46)x 50+5×650=1，其中，“(46)x 50”表示的含义是（）A ．x 人先做4h 完成的工作量B ．先工作的x 人前4h 和后6h 一共完成的工作量C ．增加5人后，新增加的5人完成的工作量D ．增加5人后，（x +5）人再做6h 完成的工作量试题分析：由一部分工人先做4h ，然后增加5人与他们一起做6h 完成这项工作，可得即可得出结论．答案详解：解：设先安排x 人做4h ．由题意得：先工作的x 人共做了（4+6）小时，∴(46)x50表示先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量．所以选：B．31．某网店销售一件商品，按标价的8折销售，可获利10%，已知这件商品的进价为每件300元，设这件商品的标价为x元，根据题意可列出方程（）A．0.8x﹣300＝10%×0.8x B．0.8x﹣300＝300×10%C．（1﹣10%）×0.8x＝300D．（1﹣10%）×300＝0.8x试题分析：根据题意可得等量关系：标价×打折﹣进价＝利润率×进价，根据等量关系可得方程．答案详解：解：设这件商品的标价为x元，根据题意得：0.8x﹣300＝300×10%，所以选：B．32．一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏试题分析：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本＝利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．答案详解：解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，解得：x＝120，y＝200，∴150+150﹣120﹣200＝﹣20（元）．所以选：A．33．一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（）米．A．4003B．133C．200D．400试题分析：设火车的长为x米，根据经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，灯光照在火车上的时间是10秒和火车的速度不变，列出方程求解即可．答案详解：解：设火车的长为x米，由题意得：400x 30=x 10，解得：x＝200．答：这列火车的长度是200米．所以选：C．。

人教版数学七年级：数形结合思想专题复习课件(共17张PPT)

2001-2003年高考试题中对数形结合的考查统计表
年份
2001 15
2002 15
2003 14
题数
权重
60%
62%
63%
1、集合M={(x,y)|x=3cosθ,y=3sinθ,0 θ π },
N={ (x,y)| y= x + b},若M∩N=φ 则b满
足
。
分析：点集M表示的图形是半圆，点集N表示为直线，它随b值变化位置不断变化。本题即转化为b取何值时两图形没有公共点,由图形变化可得结论。 y 故有： b>b 2 或 b<b 1 b2
a2 c2 b a2 b2 c
b2 c2 a

C tg =
tg =
B
tg tg tg =
a b a c b c
2 2
2
2
b c a
2
2
=

(b c )( a c )( a b ) 2 abc
2 2 2 2 2 2
2bc 2ac 2ab abc 2
y=x+b
b3 即b>3
2
或b<-3
L2
L3
o
L1
x
问题：b取何值时M∩N分别有两个子集；四个子集。
b1
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 随a值变化而变化 2 x 分析：构造两个函数y= a 与y= - x +2x+a 由两个函数交点个数求得方程解的个数
2、关于 x 的方程 a = - x +2x+a，（a>0且a 1)解的个数是（ C）
3．设函数 f ( x ) x 1 ax ，其中 a >0．解不等式f (x)≤1

专题复习课《数形结合思想》教学设计

专题复习课---《数形结合思想》教学设计一、课型：复习课二、授课教师：王宗岳授课对象：高三（7）班三、授课时间：2013年4月18日授课地点：多媒体教室四、教学目标（1）知识与技能①从不同角度探索数形结合思想在解题中的运用，理解数与形的相互转化；②理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图象的性质.（2）过程与方法①通过典型例子和变式迁移，让学生体会如何把代数问题通过数形结合进行转化。

②渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.（3）情感、态度与价值观培养学生积极参与、大胆探索的精神和勤于思考、善于思考的学习习惯, 激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.五、教学重点：理解“数形结合”思想的实质，有效掌握该类问题的基本技能.六、教学难点：利用“数形结合”思想，通过“以形助数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.七、教学过程板书设计一、数形结合的概念：代数问题可以几何化（借形辅数），几何问题可以代数化（以数促形）二、例题分析：例1 例2 ……教学反思：1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程． 2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性。

中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件

2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在（ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已知二次函数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的图象相交于点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标；（2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则（ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将函数的解析式、图象和性质三者有机地结合起来
-1
0

高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)

1 3 1 时，要使 P 点落在指定区域内，即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。题型 3：代数式的几何意义应用例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边界 ) 运动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的取值范围是是；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段