第07章 测量误差的基本知识

7.4.2 观测值倍数函数的中误差
问题的提出：设有函数 z＝kx 式中z为观测值x的函数，k为常数。 已知x的中误差是mx，求z的中误差mz
求解：
△z＝k△x
若对x共观测了n次，则：
△zi＝k△xi （i＝1，2……n）
将上述n个公式两边平方，然后相加得：
[2z ] k 2[2x ]
上式两边除n得：
z

f x1
x1

f x2
x2



f xn
xn
参考线性函数中误差的关系式有：
mz
(
f x1
)
2
m12

(
f x2
)
2
m22



(
f xn
)
2
mn2
举例：设有某函数
Z Dcos
式中 D＝20.000m，中误差 mD 2mm ； 600000 ，
中误差 m 20 ；求 Z 的中误差 mZ 。
解：根据函数式 Z Dcos ， Z 是 D 及 的一般函数。
其真误差的关系式为：
Z

(
z D
)
D

(
z

)
将上式转化为中误差关系式：
mZ2


z D

2
mD2


z

2

m2
式中：
已知 x1、x2 xn 的中误差分别为
m1、m2 mn 求Z的中误差。
求解： 引入函数 yi ki xi，则有
z y1 y2 yn
参考和差函数和倍数函数中误差的关系，有：
mz2 k12m12 k22m22 kn2mn2
mz
k12 m12
7.4 观测值函数的中误差——误差传播定律
7.4.1 观测值和或差函数的中误差
问题的提出：设有函数
z x y
式中z是x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值。 设x、y的中误差分别为mx、my，求z的中误差mz。
求解：
z x y
假如对x和y分别以同精度各观测了n次，则：
zi xi yi
第7章 测量误差的基本知识
武汉大学水利水电学院 邓念武
7.1 测量误差的来源及其分类
7.1.1 测量误差的定义
真 值 X：观测对象客观存在的量。 观测值L：每次观测所得的数值。 真误差△：
△＝L– X
7.1.2 测量误差的来源
误差来源的来源： 仪器设备不尽完善 人的感官不稳定 自然环境的影响
仪器、人、外界条件三方面的因素综合起来称为观测条件。 观测条件相同的各次观测称为等精度观测。 观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。
m1 m2 mn
则有：
mz nm
举例：设在两点间进行水准测量，已知一次读数的中误差 m读 2mm ，
求观测 n 站所得高差的容许误差（取 容 2m ）为多少？ 解：水准测量一站的高差
h站 a b
则一站高差的中误差为：
m站 m读2 m读2 2m读 2 2 2.8mm
[2z ] k 2 [2x ]
n
n
按中误差定义，将上式写成：
mz2 k 2mx2
或
mz k mx
算例：在1：1000比例尺地形图上，量得某直线长度d ＝ 234.5mm，中误差md=±0.1mm，求该直线的实地长 度D及中误差mD。
解： 实地长度 D＝1000×d=1000×234.5mm＝
观测值中误差及算术平均值（最或是值）中误差。
解：
1、计算最或然值
X L 524306
n
2、计算观测值中误差
m vv 360 9.5
n 1 51
3．计算算术平均值中误差
M m 9.5 4.2
n
5
编号 1 2 3 4 5
15
0.086
11
0.063
5
0.029
2
0.012
0
0.000
88
0.506
负误差
个数
相对个数
31
0.178
21
0.121
17
0.098
11
0.063
4
0.023
2
0.011
0
0.000
86
0.494
结论
1.在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限 度；
2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
z cos ， z D sin
D

故： mZ2

cos2 mD2
(D sin )2 ( m )2
= (0.5)2 (2)2 (20 103 0.866)2 ( 20 )2 206265
=1+2.82=3.82
mZ 1.95mm
应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下列步骤进行： （1） 根据要求列出函数式
注意区分误差和错误的区别
7.1.3 测量误差的分类
1．系统误差
在相同的观测条件下对某量进行多次观测，如果误差在大小 和符号上按一定规律变化，或者保持常数，则这种误差称为系统 误差。
经过一定的观测手段或加改正数的方法，系统误差基本可以 消除。
2．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，其误差在大小 和符号上都具有偶然性，从表面上看，误差的大小和符号没有明 显的规律，这种误差称为偶然误差。
观测 n 站所得总高差 Σh 为：
h h1 h2 hn
观测 n 站所得高差 Σh 的中误差为：
mh nm站 2.8 nmm
观测 n 站所得高差 Σh 的容许误差为：
h 2mh 2 2.8 n 5.6 nmm
需要指出的是：上述分析仅仅考虑了读数误差，不能作为实际 测量中的限差要求。
26mx
解 2：由 y 5x 可得： my 5mx ；
由 z x y 及 y 5x 可得： z 6x
z 的中误差为： my 6mx
和差函数
7.5 等精度直接平差
7.5.1 观测值中误差m
在已知观测值真误差 的情况下，同精度观测值的中误差公式为：
m
n 其中 i Li X （i=1、2……n）
（i＝1，2……n）
将上述n个公式两边平方，然后相加得：
[2z ] [2x ] [2y ] 2[xy ]
将上式两边除n，得：
[2z ] [2x ] [2 y ] 2 [ x y ]
n
n
n
n
[2z n
]

m
2 z
[2x n
]

来自百度文库
mx2
[2y n
]

m
2 y
观测值 L 52°43′18″ 52°43′12″ 52°43′06″ 52°42′54″ 52°43′00″
7.2 偶然误差的特性及算术平均值原理
7.2.1 偶然误差的特性
举例： b
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ········174）
a
c
误差区间 （″）
0～10 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 60以上
和
误差分布表
正误差
个数
相对个数
32
0.184
23
0.132
举例：丈量两段长短不等的距离，一段长100米，中 误差为±0.1米，另一段长1000米，中误差为±0.2米。
前一段的相对中误差为：
1 m1 0.1m 1 N1 L1 100 m 1000
后一段的相对中误差为：
1 m2 0.2m 1 N2 L2 1000 m 5000
通过相对中误差判断：第二段距离比第一段距离丈 量的精度高。
我们取各个真误差平方和的平均值的平方根，定义为 中误差m，即：
m
n
举例：设有甲、乙两组观测值，其真误差分别为： 甲组：-3″、- 2″、0″、＋1″、＋3″ 乙组：＋3″、-4″、0″、＋1″、-2″
则两组观测值的中误差分别为：
m甲
9 4 0 1 9 2.1 5
问题的提出：设有函数
z f (x1, x2 , , xn )
式中 x（i i=1，2……n）为独立观测值，
中误差为mi（i＝1，2……n），求函 数z的中误差mz。
求解：上述函数的全微分表达为：
dz
f x1
dx1

f x2
dx2



f xn
dxn
由于真误差△均为小值，故可用真误差替代微分量，得：
将各式相加，两边除以n，有： 即： x X [] n
[L] X
nn
由偶然误差特性4可知，当观测次数无限增加时，偶然
误差的算术平均值趋近于零，此时观测值的算术平均值x将
趋近于真值X。
7.3 衡量精度的标准
7.3.1 中误差
设对一个未知量X进行多次等精度观测，其观测值为 L1、L2、…、Ln，其真误差为 1、 2、 、 n
z f (x1、x2 xn )
（2） 对函数式求全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式
z

f x1
x1

f x2
x2



f xn
xn
（3） 写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式
mz
(
f x1
)
2
m12

(
f x2
)
2
m22



(
现推导算术平均值中误差 M 的计算公式如下：
x

L
n
1 n
L1

1 n
L2


1 n
Ln
中误差为：
M 2 1 2 m2 1 2 m2 1 2 m2 m2
n
n
n
n
故
M m n
举例：设对某一水平角进行五次等精度观测，其观测值列于下，试求其观测值的最或然值、
f xn
)
2
mn2
误差独立：
设有函数 z x y ，式中 y 5x ，已知 x 的中误差为 mx ，求 y 和 z 的中误差。
解 1: 由 y 5x 可得： my 5mx ；
由 z x y 可得 z 的中误差为 mz
mx2

m
2 y

mx2 25mx2
观测量的算术平均值 x 与观测值 Li 的差数称为改正数，用 vi 表示：
vi x Li （i＝1、2……n）
m vv
n 1
上式就是用改正数 v 来计算观测值中误差的公式。
7.5.2 算术平均值中误差M
设对某量进行 n 次等精度观测，得观测值 L1、L2、……、Ln， 各观测值的中误差均为 m，算术平均值的中误差以 M 表示。

k
2 2
m22



k
2 n
mn2
举例：设有某线性函数
11 1 z 4 x1 5 x2 6 x3
式中：x1、x2、x3 分别为独立观测值，中误差分别为
m1、m2、m3 求函数z的中误差
解： 由线性函数中误差的关系式有：
、
mz
1 16
m12

1 25
m22

1 36
m32
7.4.4 一般函数的中误差
m乙
9 16 0 1 4 2.4 5
注意：以上所计算的中误差称为一次观测中误差。
7.3.2 容许误差
在实际工作中，常采用二倍中误差作为容许误差，即： Δ容＝2m
当要求较低时，也可采用三倍中误差作为容许误差，即： Δ容＝3m
容许误差又称极限误差、 最大误差和允许误差。
7.3.3 相对中误差
mz2 mx2 my2
或
mz
mx2

m
2 y
跳到误差独立问题
讨论：
（1）当函数z为n个独立观测值的代数和时，即：
z x1 x2 xn
按上述的推导方法，可得出函数z的中误差为：
mz m12 m22 mn2
（2）当观测值为同精度观测时，即各观测值的中误 差均为m，即
234.5m 中误差 mD＝1000×md
＝1000×(±0.1mm)=±0.1m 最后结果写成： D=234.5m±0.1m
7.4.3 线性函数的中误差
问题的提出：设有线性函数
z k1x1 k2 x2 kn xn
式中 x1、x2 xn 均为独立观测值，
k1、k2 kn 为常数，
3.绝对值相等的正负误差出现的机会几乎相等；
4.当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于 零，即
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
7.2.2 算术平均值原理
设对某个量X（真值）进行了n次等精度观测，得 观测值L1、L2、…、Ln，则其算术平均值x为：
x L1 L1 L1 L
n
n
算术平均值原理认为：观测值的算术平均值是 真值的最可靠值。
算术平均值原理的证明：
以 1、2、 、n 分别表示L1、L2、……Ln的真误差，则
1 L1 X

2 L2 X

n Ln X