12第十二章 滑移线法

AOD 为均匀应力场。边界 AB 和边界AO受力情况不同，故 AC 和 AD 为同族的滑移线。由于 AC 和 AD 为直线，故该族的其 它滑移线也是直线。 2) 确定自由表面的平均应力和滑移线角度。 在AB面上有：
AB
4 ;
1 0;
3 2 K ; 2 m K
3)
沿着一条连接已知边界和未知边界的滑移线，确定两 处的角度和平均应力，并运用汉基方程求出未知边界 的应力分量。
例一：平冲头压入半无限体，冲头 L 长度远大于宽度 2b 。设接 触面光滑无摩擦，材料无加工硬化，的屈服剪应力为 K ， 求单位变形力。
第十二章 塑性成形的滑移线法
解：1) 作滑移线场，确定滑移线的方向。ABC 为均匀应力场，
1
m

第十二章 塑性成形的滑移线法 §12.3 汉基(HENCKY)方程
变形时应力分量应该满足应力平衡微分方程。平面应变时，沿着滑 移线上的剪应力保持不变，而滑移线边界上的正应力是变化的，其 变化规律可以通过汉基方程表示。 汉基方程可以通过将平面变形 的应力特点代入平衡方程来求得。


( y , yx )
样两条滑移线相截的线段) 也是直线。
均匀场
简单场
第十二章 塑性成形的滑移线法 §12.5 应力边界条件
1) 自由表面 2) 无摩擦接触面 3) 剪应力达到最大值 K 的接触面 4) 摩擦力为某一中间值的接触面
第十二章 塑性成形的滑移线法 §12.6 滑移线法应用
解题步骤：
1) 2)
根据变形特点建立滑移线场 由已知边界情况确定边界上的平均应力(应力分量)
线和 线。所有的 线组成
线组成 族。 滑移线与最大主应力之间的方向关 线两侧剪应力为顺时针排

3
系如图所示。如以滑移线为边界做单元体就会看出：1) 滑移线两
侧剪应力为 K ，正应力为 m 。 2) 列；
线两侧的剪应力为逆时针排列。
m


K


m
K
2
1


y

3
( x , xy )


2
2
1

x
m

第十二章 塑性成形的滑移线法
根据莫尔圆，得到以下关系： x m K sin( 2 )
y m K sin( 2 ) xy K cos( 2 )
代入平衡方程：
x x

yx y
0
y
K 2K ( ) p K 2K ( ) c 4 4 p 2 K K
例二：平冲头压入半无限体，冲头长度远大于宽度。设接触面摩擦 力达到屈服时的最大剪应力 K ，材料无加工硬化，求单位 变形力。
第十二章 塑性成形的滑移线法
例三：尖角为 2 的楔体切入材料(如图所示)。设接触面光滑无摩
第十二章 塑性成形的滑移线法 §12.1 平面变形的应力应变特点
1) 应变特点----两个小应变莫尔圆 相等，一个主应变等于零.

2) 应力特点----两个小应力莫尔圆 相等，另一个主应力等于平均应力.
平面变形时 K = ？ 将 1 m k; 2 m ; 3 m k 代入屈服条件，得
y
m x m y x y

xy x
0
y x
得：
2 K cos( 2 ) 2 K cos( 2 )
2 K sin( 2 ) 2 K sin( 2 )
0 0
当 0，设 d 和 d 分别为 线和 线的微分弧长，则有：
C
D
第十二章 塑性成形的滑移线法
3) 确定未知接触面的压力和角度：在AO面上, 设接触面压力为
p ，根据变形特点可以得到：
AO
4 ;
y 3 p( p 0)
m 3 K p K
4) 根据汉基方程，沿着一条 即：

滑移线有：

m 2 K c
K 2 K ( ) p K 2 K ( ) c 4 4 p 2 K 2 K
总变形力 2 p sin 楔体投影面积
第十二章 塑性成形的滑移线法
练习：利用滑移线法求解拉深变形中法兰(凸缘) 部份的应力发
布。
k 1 3
3
2
1


K
s
可见，平面变形时，要确定一点的应Baidu Nhomakorabea 状态，只需知道期中一个应力的大小。 例如只需要知道 2 m 的大小。
3
2
1

第十二章 塑性成形的滑移线法 §12.2 基本概念
滑移线--塑性变形时物体内各点最大剪应力的轨迹。过一点有两条
相互垂直的滑移线，分别称为 族； 所有的
第十二章 塑性成形的滑移线法
dx d ; dy d ;
2K 2K
cos 2 1 ;
0 0
sin 2 0
则：
m m
( m 2 K ) ( m 2 K )
分别沿着一条滑移线积分，即可以得到汉基方程： 沿一条 沿一条
第十二章 塑性成形的滑移线法 §12.4 滑移线的基本几何性质
同族的两条滑移线(如
1和 1)与另一族(如 )的任一条滑移
线相交，交点切线的倾角差()与平均应力(m)的差成正比。 推论1：如果塑性区的滑移线为正交直线族，则该塑性区的应力状 态相同。这种应力场称为均匀应力场。 推论2：如果某滑移线段为直线，则同族的相应线段(被另一族的同
线：
d ( m 2 K ) d d ( m 2 K ) d
0; 0;
m 2 K c m 2 K c
线：
设在一条
线上有 A 和 B 两点，根据汉基方程有：
mA 2K A mB 2K B c ; mA mB 2K ( A B )
B
A
O D
C
第十二章 塑性成形的滑移线法
3) 确定未知接触面的压力和角度：在AO面上, 设接触面压力为
p ，根据变形特点可以得到：
AO
3 4 ;
y 3 p( p 0)
m 3 K p K
4) 根据汉基方程，沿着一条 即：

滑移线有：
3
m 2 K c
擦，求此时的变形力。
解：1) 作滑移线场。ABC 为均匀应力场， AED 也为均匀应力场。边界 AB 和边界 AO 受力情况 不同，故 AC 和 AD 为同族的滑移线。 2) 确定自由表面的平均应力和滑移线角度。
AB
4 ;
1 0;
B
A

E
3 2 K ; 2 m K