王谱17基础班高数讲义(上册)
(完整word版)《高数专升本讲义》第一至第五章
第一章函数、极限、连续首先请允许我做一个自我介绍.我叫周世国，郑州大学数学系副教授，从事大学数学教学研究十三年,从事《高数》专升本教学五年。
普通高校的专科生,最大的愿望就是希望通过“专升本”来提高自己的学历层次,弥补因高考的一次失误而不能进入本科层次深造的遗憾.由于全国各专科院校专业设置繁杂，没有统一标准，各省市设置的考试方案各不相同。
河南省设置考试两门课程:一门是公共大学英语（150分）；一门是专业基础课程（150分）。
《高数》是大学理工类专业的基础课程，也是河南省普通高校“专升本”理工类专业的必考课程。
但该课程抽象性强,某些内容对于那些高中阶段数学基础薄弱的学生有一定难度。
例如对某些概念理解不透，运算技巧掌握不好等.因此，很多同学都希望通过参加“《高数》专升本”培训班来大力提升自己的数学水平。
在这里我恭喜大家明智地选择了耶鲁外语学校08《高数》专升本培训班，因为它是郑州最具实力和盛名的“《高数》专升本”培训班。
耶鲁自举办《高数》专升本培训班以来，其学员高数科目100分以上的占到80％，历年来全省高数的最高分都出自耶鲁学员,达到140多分.耶鲁外语为什么能取得如此优异的成绩？我想可从以下两个方面找到原因:（一）耶鲁学校有一支教学经验丰富，教学态度认真负责的较为稳定的教师队伍。
这些老师对《高数》专升本考试的考试大纲、每章节重点、难点的分布，题型题量的布局，卷面分值的比例，出题思想及其动态等都了如执掌，做到知己知彼，百战不殆.（二）耶鲁诚实办学的品牌效应，使越来越多的同学们毫不犹豫地作出了正确的选择，并认真地贯彻老师的要求，使自己的《高数》水平有了质的提升。
可以这样说：踏进耶鲁们，美梦定成真。
老师的最大成就莫过于看到自己的学生有进步。
记得去年我教的一个女孩叫梅婷,架着双拐来上课,后来考上了河南中医学院，还特发短信向我报喜.《高数》专升本考试的题型、题量及考察的知识点,分值的分布相对固定,近几年的考卷具有明显的连续性和强烈的可参考性。
高数上册复习讲义
第一章 微积分的基本思想——极限（复习）一、基础知识1. 数列的极限（当n →∞时数列的敛散性态）数列{}n x 收敛，则①极限唯一；②数列整体有界；③数列元素局部保号；④子列也收敛于同一极限。
若数列{},{},{}n n n x y z 从某一项开始满足n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则l i m n n x a →∞=（数列的夹逼准则）。
若数列{}n x 单调增加且有上界，或者{}n x 单调减少且有下界，则此数列一定收敛有极限。
（单调有界数列必收敛）。
2．函数的极限（当0 x x x →→∞或时函数的敛散性态）函数0() f x x x x →→∞当（或）收敛于A ，即0lim ()x x f x A →=，则①极限唯一；②函数局部有界；③函数局部保号；④收敛于0x 的任一数列{}n x 构成的函数列{()}n f x 也收敛于同一极限A 。
注意：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==，所以对于分段函数而言有时需要注意讨论左右极限是否存在且相等。
3. 无穷小无穷小的概念（若0lim ()0x x f x →=，则称0()f x x x →是时的无穷小）lim ()(),lim 0.x x x x f x A f x A αα→→=⇔=+=且有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小。
有界函数乘以无穷小是无穷小！ 若0, ()x x x αβ→→∞都是时的无穷小，则lim 0lim lim (0)lim 1lim (0)k C k C ββααββααββααββααββαα⎧⇔=⎪⎪⎪⇔=∞⎪⎪⎪⇔=≠⎨⎪⎪⇔=⎪⎪⎪⇔=≠⎪⎩是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小是的同阶无穷小与等价是的阶无穷小 4. 极限的求法（1）极限的四则运算（注意必须在极限都存在的前提下，且做除法运算时分母极限不为零） （2）无穷小的概念（已知0()f x x x →是时的无穷小，则0lim ()0x x f x →=）（3）无穷小的运算（有界函数乘以无穷小是无穷小，有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小）（4）两个重要极限0sin 1lim1, lim(1)e x x x x x x→→∞=+=可以推广到()()0()sin ()1lim 1, lim (1)e ()()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ→→∞=+=或者10lim(1)e x x x →+=（5）等价无穷小替换乘除法因子： 0x →时的等价无穷小：12sin , arcsin , tan , arctan ,111cos , (1) 1 , ln(1), e 12xn x x x x x x x x xx x x x x xn-+-~+-一定要注意等价无穷小的使用条件（在无穷小的情况下用且只能对乘除法因子使用！） 要学会相应的推广！即当()0x ϕ→时有sin ()(), ln(1())()x x x x ϕϕϕϕ+等。
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列(K12教育文档)
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内是任然希望（2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列(word版可编辑修改)）的内容能够给您您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为201 (word版可编辑修改)的全部内容。
（2017 高考文科数学）讲义一数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法( 列表（2)．了解数列是自变量为正整数的一类函数．（3）．理解等差数列的概念．(4）．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．（5)．了解等差数列与一次函数的关系．（6）．理解等比数列的概念．(7）．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．（8)．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12 分。
考是选择题+填空题的形式,第二种是解答题的形式。
并且全国文题第一题是数列和三角函数二选一。
因此数列题在高考中尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题.1二、基础知识 +典型例题1、等差数列的概念与运算（1)．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母（2）．等差数列的通项公式如果等差数列｛ an 的首项为a1，公差为 d，则它的通项公式是}an 1)d（3）．等差中项a b如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．2(4）．等差数列的前 n 项和等差数列｛ an 的前项和公式:n(n1）n（a1an）n Snna1d（}22（5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，an－ an－ 1＝ d(常数 )② 第二种是利用等差中项，即2an＝ an＋ 1＋an 学科网]背诵知识点一：( 1）等差数列的通项公式：an a1（n 1）d( n N（2）等差中项: a,b，c构成等差数列，则 a c 2（ 3）等差数列的前n 项和：Snna1n（n 1)dn（a1a n )222（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通再给出第三个条件就可以完成an ，a1, d, n， Sn的“知三程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前 n 项和公式例 1、（ 15 全国卷一)已知 {an } 是公差为1的等差数列， S为{ an｝的前n则a10(）A 、1719C、 10 2B、2例 2、（ 15 安徽卷)已知数列｛ an｝中, a11 ， anan 11（2前 9 项和等于.32、等差数列的性质（1）通项推广： a n ＝ a m ＋ (n － m)d ，的公差 )．（ 2）若 m ＋ n ＝ p ＋q(m ， n ， p ， q∈ N *)，则 a特别地: a 1＋ a n ＝ a 2＋ a n － 1＝ a 3＋ a n － 2＝⋯。
17+代数学基础(1)群和子群的基本概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
举例
下面，我们给出群旳某些详细例子。
群旳例子（1）
整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一种无限群、阿贝尔群。
有理数集Q、实数集R和复数集C有关加法 都形成无限群。单位元，逆元素旳定义与 整数加法群相同。
群旳例子（2）
Q、R 和 C中旳非零元素在乘法下构成 群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。
i
记为 a i G 。
注释： （1）a i G 只是将 a 与自身做 i 1次群运算的结果，整数 i 和 a 之间
的“运算”并不是群运算。
（2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn，+(mod n)）。对于这些群，a i
就是 i a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
是群中的元素。
注:
此处，首先应阐明商群上旳运算是一种二元运算。 实际上，商群上旳运算能够看作集合之间旳乘法运算，因
为： (a H ) (b H ) (a b) H
商群旳例子(1)
设 n>0 是一种整数，在加法运算下，集合 nZ={0, n, -n, 2n, -2n,…}是Z旳一种子群， 那么商群 Z/nZ={x+nZ | x为任一整数} 有n个元素，即
对于群 G 旳一种非空子集H，要鉴别H是否是 G旳子群，需要验证4条：
封闭性 结合律（不必验证） 单位元 逆元素
子群旳例子（1）
在加法运算下，Z Q R C.
注意，在这个例子中：
子群中旳单位元和群中旳单位元相同，都是0 子群中元素旳逆元素和群中该元素旳逆元素一致
子群旳例子（2）
代数学基础
内容提要
群 环和域 有限域
群
一般来说，一种代数构造是指一种非空 集合S以及定义在S上旳二元运算旳总体， 要求二元运算满足一定旳条件。
高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十三章 几何证明选讲 理
第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质对应学生用书P1711．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 的长为________． 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝ACCD，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD DB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：452．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90° 对应学生用书P172考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5. 即BF ∶FD ＝25.答案：252.(2014·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6， ∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG AD＝________. 解析：由平行线分线段成比例定理得EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1. 答案：1[备课札记] [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质[典例] (2013·陕西高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PE PA，于是PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6. [答案]6[备课札记] [类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2014·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD＝AE AC， 解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2. 答案：4 2考点三射影定理的应用[典例] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC.③ 由①③得：DF AF ＝AB BC ， ④由②④得：DF AF ＝AE EC.[备课札记] [类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm. 解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ， ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn(m ，n >0)，取CF的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋nn.两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn.答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72.答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ， ∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED . ∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 35．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BABC ＝33，所以∠BCA ＝30°， ∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt△BCE 中，CE ＝BC ·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos∠ECD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：212[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC .所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AF AG ＝BFAD， 即AF ·AD ＝AG ·BF .2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 上且CD ＝1，若∠CAD ＝∠B ，求BD 的长．解：作出图形(如图)，依题意， 有tan ∠CAD ＝tan ∠B ， 即12＝21＋BD . 故BD ＝3.3.已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BPCP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP .4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19， 即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEFS 四边形DEFC＝114. 6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AFAC的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ， 交BF 的延长线于点G . ∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ， ∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ， ∴AF FC ＝AG BC ＝16， ∴AF AC ＝17. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD .(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于________．解析：设PC ＝x ，由割线定理知PA ·PB ＝PC ·PD .即5×25＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故PC ＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD 等于________．解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A ，B ，C ，D 四点共圆，得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2014·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2014·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35， 即AB ＝35.答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ， 所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83.答案：83 2．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC＝________.解析：连结OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定 [典例] (2014·郑州模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段[典例] (2014·锦州模拟)如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连结DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，所以BE BA ＝DE CA， 而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得，BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE . 求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD .(2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF . 由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2. 对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2014·惠州模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7. 答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连结AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC ＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.答案： 23．(2014·广州模拟)如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．解析：如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. [课下提升考能] 1．(2013·辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .2．(2013·江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .3．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M .(1)求证：MD ＝ME ；(2)设圆O 的半径为1，MD ＝3，求MA 及CE 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵∠CEO ＋∠ECO ＝90°，∠MDE ＋∠EDO ＝90°，又∠EDO ＝∠ECO ，∴∠CEO ＝∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME .(2)∵MD 2＝MA ·MB ，∴3＝MA ·(MA ＋2)，∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3， ∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°， CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2. 4．(2014·洛阳模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D .求证：(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB. 证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP .∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE .又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED .(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE .又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD . 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 5．如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F (不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC .求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC 2＝AE ·AF .证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC ＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC .又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AF AC，所以AC 2＝AE ·AF . 6．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.。
大一高数上 P P T课件ppt课件
-2
奇函数举例：
y=x3， y=sin x
都是奇函数。
4. 函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不 为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)
的周期。 周期函数的图形特点：
y y=f(x)
-2l
-l
O
对于任意x(-r, r)，对应的函数值
有两个： y=-
r2 - x2 及y =
r2 - x2 。
如果自变量在定义域内任取一个数值
时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做
单值函数，否则叫做多值函数。
以后凡是没有特别说明时，函数都是
指单值函数。
例2. 函数 y=2。 函数的定义域为D = (-, +)。 函数的值域为Rf ={2}。 函数的图形为一条平行于x 轴的直线。
D={x| |x|³2}, 或D=(-¥, -2][2, +¥)。
4. 函数的图形
在坐标系xOy内，集合 C={(x, y) | y=f(x)，xD}
所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。
y
Rf y
y=f(x)
(x, y) C
O
x
x
D
5. 函数举例
例1. 在直角坐标系中，由方程
x2+y2=r2确定了一个函数。
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
第一章 函数与极限
§1.1 函 数
一、集合及其运算
1.集合
高等数学(上册)第4章 微分方程
第4章 数积方程
7
第4章 数积方程
8
第4章 数积方程
9
第4章 数积方程
10
第4章 数积方程
11
第4章 数积方程
12
第4章 数积方程
13
第4章 数积方程
14
第4章 数积方程
15
第4章 数积方程
16
第4章 数积方程
17
第4章 数积方程
18
第4章 数积方程
19
第4章 数积方程
33
第4章 数积方程
34
第4章 数积方程
35
第4章 数积方程
36
第4章 数积方程
37
第4章 数积方程
38
第4章 数积方程
39
第4章 数积方程
40
第4章 数积方程
41
第4章 数积方程
42
第4章 数积方程
43
第4章 数积方程
44
第4章 数积方程
45
第4章 数积方程
46
第4章 数积方程
第4章 数积方程
第4章 微 分 方 程
4.1 微分方程的基本概念 4.2 一阶微分方程 4.3 特殊的可降阶的微分方程 4.4 二阶线性微分方程
1
第4章 数积方程
2
第4章 数积方程
3
第4章 数积方程
4
第4章 数积方程
5
第4章 数积方程
定义3 如果有这样的函数, 把它们代入微分方程能使方 程成为恒等式, 那么这个函数就称为微分方程的解.
20
第4章 数积方程
第4章 数积方程
22
第4章 数积方程
23
第4章 数积方程
《高等数学(上册)》 第一章
1．奇偶性 一 般 地 ， 设 函 数 y f (x) 在 集 合 D 上 有 定 义 ， 如 果 对 任 意 的 xD ， 恒 有 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为偶函数；如果对任意的 xD ，恒有 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为奇函数． 根据定义可知，奇、偶函数的定义域必关于原点对称．奇函数的图像关于原点对称； 偶函数的图像关于 y 轴对称．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
1.1.4 反函数与复合函数
2．复合函数 在很多实际问题中，两个变量的联系有时不是直接的．例如，函数 y esin x ，x 是自变量，y 是 x 的函数，为了确定 y 的值，对给定的 x 值，应先计算 sin x ，若令 u sin x ，再由已求得的 u 值计算 eu ，便得到 y 的值，即 y eu ．这里，可把 y eu 理解成 y 是 u 的函数；把 u sin x 理解成 u 是 x 的函数，那么函数 y esin x 就是把函 数 u sin x 代入 y eu 中而得到的．按这种理解，函数 y esin x 就是由 y eu 和 u sin x 这两个函数复合在一起构成的，称为复合函数．
高数大一上知识点总结ppt
高数大一上知识点总结ppt一、导论高等数学是大一上学期的一门重要的基础课程。
本次总结将通过PPT的形式逐个介绍高数大一上学期的知识点。
二、数列与极限1. 数列的概念与性质- 数列的定义- 数列的分类- 数列的性质2. 极限的概念与运算法则- 极限的定义- 极限的运算法则- 极限存在的判定方法三、函数与连续1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的性质- 函数的分类2. 连续性与间断点- 连续性的概念- 连续性的判定方法- 间断点的分类四、导数与微分1. 导数的概念与基本性质- 导数的定义- 导数的基本性质- 导数的计算方法2. 微分与微分中值定理- 微分的定义- 微分中值定理的原理- 微分中值定理的应用五、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的基本性质- 基本积分表2. 定积分与定积分的性质- 定积分的概念- 定积分的性质- 定积分的计算方法六、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质- 多元函数的定义- 多元函数的性质- 多元函数的分类2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法- 全微分的概念与计算方法七、二元函数与二重积分1. 二元函数的概念与性质- 二元函数的定义- 二元函数的性质- 二元函数的分类2. 二重积分的概念与计算方法- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法- 二重积分的应用八、向量与空间解析几何1. 向量的概念与运算- 向量的定义- 向量的运算法则- 向量间的关系2. 空间解析几何的基本概念与性质- 点、直线的表示与方程- 平面的表示与方程- 空间几何中的距离与角度九、作业与课堂练习通过本次PPT的学习，我们对高等数学大一上学期的知识点进行了系统的总结。
接下来，我们将通过作业和课堂练习进一步巩固和深化所学内容。
结语通过本次总结PPT，我们回顾了高数大一上学期的重要知识点。
希望这个PPT对你巩固和扩展数学知识有所帮助。
祝你在高等数学学习中取得出色的成绩！。
2017数学一轮课件：17-2 参数方程
撬题·对点题 必刷题
第三页，编辑于星期六：二点 五十分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
第四页，编辑于星期六：二点 五十分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是_某__个__变__数__t_的函数xy＝＝fgtt，， ① 并且对于 t 的_每__一__个__允__许__值___，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲 线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做__参__变__数__，简称_参__数__．_相对于参数方程而言，直接给出点的坐 标间关系的方程叫做__普__通__方__程__．_ 2 参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需_消__去__参__数__． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如，x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数
第十三页，编辑于星期六：二点 五十分。
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
注：极坐标系下点的表示不唯一． ②由①可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)，故直线 PQ 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0. 由参数方程可得 y＝b2(x－a)＋1＝b2x－a2b＋1，
所以2－b＝a2b1，＋1＝2，
x＝－1＋ y＝12t
3 2t
(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ.
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并指明 C 是什么曲线；
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P，Q 两点，求|PQ|的值．
17-1 数学分析全套课件
z
P•
O
dh Q•
S
y x
前页 后页 返回
例1 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处 的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
例2 曲面z ( x2 y2 ) 3 在何处的切平面平行
于平面2x 2 y z 0，写出切平面方程
y0 )
fx ( 0x0,, y0x)2x
x2 y2
在 (0, 0)的连续性与可微型
y
2f
y ( 0x0 , y0
前页
)y
后页
0
返回
本次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )可微定义 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
A x B y o( ),
（1） fx ( x0 , y0 )与 fx ( x0 , y0 ) 存在
（2） lim (x,y )(0,0)
f ( x0 ,
y0 )
fx ( x0 , y0 )x x2 y2
f y ( x0 ,
y0 )y
0
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( , y) ( x x0 ) f y ( x0,) ( y y前0 )页. 后页 返回
前页 后页 返回
定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微. 此时，切平面方程为
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f
高等数学第七版上册总复习PPT课件.ppt
基本初等函数 复合函数
函数的定义
反函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1
(二)数列极限
2
3
4
(三)函数极限
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(三)连续与间断
14
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
40
（2） 三角函数有理式的积分
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
17
18
19
第二章 导数与微分
20
21
22
23
24
25
26
第三章 中值定理和导数的应用
27
28
29
30
31
32
33
34
35
第四章 不定积分
36
37
38
39
四 、有理函数与可化为有理函数的积分
（1）有理函数的积分
P( Q(
讨论类型： R( x, n ax b) R( x, n ax b ) cx e
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
201709年高考数学函数与方程讲义.doc(2021年整理)
(完整)201709年高考数学函数与方程讲义.doc(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)201709年高考数学函数与方程讲义.doc(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)201709年高考数学函数与方程讲义.doc(word版可编辑修改)的全部内容。
《新课标》必修Ⅰ复习 第八讲 函数与方程2008年7月一．课标要求:1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;2．根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2009年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
(1）题型可为选择、填空和解答；（2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想.三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
高2017级---数学---高二上期第一周基础性教案.
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）一、教学目标:1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台结构特征。
难点：柱、锥、台结构特征的概括及判断组合体是由哪些简单几何体构成的。
三、教学过程一、创设情景，揭示课题：在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。
由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。
下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，然后回答以下问题:这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？学生观察思考，发现上图中的物体大体可分为两大类.其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形;(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形.想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢?（一）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
（二）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
这节课我们主要学习多面体——柱、锥的结构特征。