江苏省宝应中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题 PDF版含答案

江苏省宝应中学2019-2020学年度第二学期月考卷
高一数学
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列说法中正确的是()
A.经过两条平行直线，有且只有一个平面
B.如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行
C.三点确定唯一一个平面
D.如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则这两个平面相互平行
2.正方体被平面所截得的图形不可能是（）
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
3.给定△ABC的三个条件：A=60°，b=4，a=2，则这样的三角形解的个数为（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
4.是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是（）
①②
③④
A.1
B.2
C.3
D.4
5.△ABC中，已知a=2，b=x，B=60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围（）.
A.x＞2
B.x＜2
C.2＜x＜
D.2＜x≤
6.已知直线，直线，且，则m的值为（）
A. B. C.或 D.或
7.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10
千米，速度为180千米/小时，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420秒后又
看到山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为（取，）（）
A. 2.65千米
B.7.35千米
C.10千米
D.10.5千米
8.已知点A（2，-3），B（-3，-2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取
值范围是（）
A. B. C. D.
9.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则∠B的值为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
10.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为
（）
A. B. C. D.
11.已知直线若，则的值为（）
A..
B.
C.
D.
12.三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的表面积
为（）
A.12π
B.3π
C.
D.2π
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=2sin B，则A=___°．
14.直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为______．
15.对于△ABC，有如下命题：
（1）若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形．
（2）若sin A=sin B，则△ABC一定为等腰三角形．
（3）若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC一定为钝角三角形．
（4）若tan A+tan B+tan C＞0，则△ABC一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是______．（把所有正确的命题序号都填上，序号要加（），按从小到大
顺序排列，序号之间不要
．．用符号隔开）
16.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1、1、2，则其外接球的表面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．
（1）证明：sin A sin B=sin C；
（2）若b2+c2-a2=bc，求tan B．
18.（10分）求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍．
19.（12分）已知直线l经过直线与的交点P．
1若直线l平行于直线：，求l的方程；
2若直线l垂直于直线：，求l的方程．
20.（12分）如图，在三棱锥中，，，，，
为线段的中点，为线段上一点．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）当平面时，求三棱锥的体积．
21.（12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西方向有一个海面观
测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．
求的值；
试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？
22.(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC，设EA=AB=2a，DC=a，且F为BE
的中点，如图所示．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.A
5.B
6.D
7.A
8.A
9.B10.C11.C12.B13.30°14.-115.（2）（3）（4）16.6π
17.（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sin C．
∴整理可得：sin A sin B=sin C，----------------------------------------------------5’（Ⅱ）解：b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cos A=．
sin A=，=
+==1，=，
tan B=4．-------------------------------------------------------------------10’18.解：（1）当直线过原点时，直线的斜率为=，
∴所求直线的方程为y=x，即2x-3y=0；
当直线不过原点时，设方程为，
代入点（3，2）可得a=5，即方程为，
化为一般式可得x+y-5=0，
∴所求直线的方程为2x-3y=0或x+y-5=0；--------------------------------------5’
（2）∵直线y=x的倾斜角为45°，
∴所求直线的倾斜角为90°，
又直线经过点A（-1，-3），
∴所求直线的方程为x=-1，即x+1=0.--------------------------------------------------------------10’
19.解：联立，解得P（2，1）．
（Ⅰ）设直线l：4x-y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2-1+m=0，m=-7．
∴l的方程为：4x-y-7=0；-----------------------------------------------------------6’（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，
把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=-6．
∴x+4y-6=0．---------------------------------------------------------------------12’20.（1）证明：∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC，
∵BD⊂平面ABC，
∴PA⊥BD；-------------------------------------------------------------------3’（2）证明：∵D为AC中点，AB=BC，
∴BD⊥AC，
又∵BD⊥PA，PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PAC；-------------------------------------------------------7’(3)解：∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE=DE，PA⊂平面PAC，
∴PA∥DE，
又∵D为AC的中点，
∴E为PC的中点，
又∵PA⊥平面ABC，
∴点E到平面ABC的距离，-----------------------------------------10’S△BDC=S△ABC=××2×2=1，
则三棱锥E-BCD的体积为V=d S△BDC=×1×1=．--------------------------------12’21.解：由已知可得，
中，根据余弦定理求得，
．--------------------------------------------------------------5’由已知可得，
．
中，由正弦定理可得，
分钟．
即海警船再向前航行分钟即可到达岛A．---------------------------------------12’
22解：（1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．
∵EF=FB，AG=GB，
∴FG EA．
又DC EA，∴FG DC．
∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．
∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，
∴DF∥平面ABC．-------------------------------------4’
（2）证明：∵EA⊥平面ABC，
∴AE⊥CG．
又△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB．
∴CG⊥平面AEB．
又∵DF∥CG，
∴DF⊥平面AEB．
∴平面AEB⊥平面BDE．
∵AE=AB，EF=FB，
∴AF⊥BE．
∴AF⊥平面BED，
∴AF⊥BD．-----------------------------------------8’（3）解：延长ED交AC延长线于G′，连BG′．
由CD=AE，CD∥AE知，D为EG′的中点，
∴FD∥BG′．
又CG⊥平面ABE，FD∥CG．
∴BG′⊥平面ABE．
∴∠EBA为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形AEB中，可得∠ABE=45°．
∴平面BDE与平面ABC所成的较小二面角是45°．-----14’。