定积分在几何中的应用

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自学导引 曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示函数的关系 (1)如图 1，阴影部分的面积为 S＝－ g(x)dx＋ f(x)dx
＝
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(2)如图2，阴影部分的面积为 所以，曲边梯形的面积等于 曲边梯 形上、下两个边界所表示的函数的差
化归与转化的思想，在解题的过程中要注意数学知识之间的相互 联系，才能在适当的时候用化归转化的思想来解决问题和简化问 题．
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一般来说，利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下： 第一步：画出图形； 第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点横坐标，确定 积分上、下限；
第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位
置； 第四步，写出平面图形面积的积分表达式； 第五步，运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面 积．
法二
x2 y2 设椭圆25＋16＝1 围成的面积为 S， 椭圆在第一象限内围成
图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， π 令 x＝5 cos t，则当 x＝0 时，t＝2； 当 x＝5 时，t＝0 x2 y2 在第一象限内椭圆25＋16＝1 的方程可化为 4 y＝5 25－x2＝4 sin t
以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．
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【变式 2】 计算由曲线 y2＝x，y＝x3 所围成图形的面积 S.
解
作出曲线 y2＝x， y＝x3 的草图， 所求面积为图中阴影部分
的面积．
y2＝x， 解方程组 y＝x3，
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【变式 3】 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线 1 以及 x 轴所围成图形的面积为 ，试求切点 A 的坐标及过切 12 点 A 的切线方程． 解 设切点 A(x0，x2)， 0
切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝2x0. ∴切线方程为 y－x2＝2x0(x－x0)． 0 x0 令 y＝0，得 x＝ 2 ，
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S1＝ 而 从而
4 4 2 25－x dx＝ 5 5
2
25－x2dx，
1 25－x dx 表示以 5 为半径的4圆的面积， 1 25 2 25－x dx＝ π×5 ＝ π， 4 4
2
4 25 所以 S1＝5× 4 π＝5π， 从而，S＝20 π.
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[规范解答] (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根， 所以 Δ＝4－4c＝0，即 c＝1. 故 f(x)＝x2＋2x＋1. (5 分) (6 分) (3 分) (1 分)
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
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由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在
不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方 程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间 段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区 段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可
解
y＝2x－x2， 由 y＝2x2－4x，
得 x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为
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题型二 分割型图形面积的求解
1 【例 2】 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－3x 所围成图形的面积． [思路探索] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区 间，然后分段利用公式求解． 解 法一 画出草图，如图所示．
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x2 y2 【示例】 求椭圆25＋16＝1 围成的面积． [思路分析] 本题首先要解决的是被积函数， 就要求出 y 关于 x 的函数，但是由椭圆的方程求 y 关于 x 的函数的计算过程中， 会遇到开平方，就有正负平方根两种情况，为解决此问题， 我们注意到椭圆的对称性，其围成图形的面积是它在第一象 限与坐标轴围成的图形的面积的 4 倍，从而只需求出它在第 一象限与坐标轴围成图形的面积，这样在第一象限内只需算 术平方根即可．积分的下限就是 0，上限就是椭圆右顶点的横 坐标 5.
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(2)画函数y＝f(x)的图象如图．
由图象知所求面积为
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【题后反思】 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面 积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最
值、不等式等相关知识进行融合．
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解
y＝x2－4， 由 y＝－x＋2， x＝2， 或 y＝0，
得
x＝－3， y＝5
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的
交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，根据图形可得
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方法点评 观察是解决问题的第一要素，在法一中观察到 1 25－x dx 表示以 5 为半径的 圆的面积，使定积分值很快地 4
2
求出；与方法一不同，法二考虑到椭圆的参数方程，利用三角代 换求出了定积分 4 25－x2dx 的值．两种方法实际上都体现了 5
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x2 y2 解 法一 设椭圆25＋16＝1 围成的面积为 S， 椭圆在第一象限内 围成图形的面积为 S1，则由对称性得 S＝4S1， x2 y2 在第一象限内椭圆 ＋ ＝1 的方程可化为 25 16 4 y＝ 25－x2，椭圆在第一象限内围成的面积为 5
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的定积分
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想一想：当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？
提示 如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数 (0－f(x))dx＝－ f(x)dx.
为f(x)，所以S＝
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名师点睛
利用定积分求曲边图形面积的步骤
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∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.
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方法技巧 化归与转化在求定积分中的应用
在应用定积分时，定积分的计算是其中的重点也是难点．为
计算定积分，要细心观察，有时某个定积分整体表示某些易求面 积的图形的面积，求定积分的值就可转化为求图形的面积．当有 些被积函数的原函数不易求得时，可考虑换元，转换为易求原函 数的被积函数，这时积分变量也要改变．
1．7 定积分的简单应用
1．7.1 定积分在几何中的应用
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【课标要求】
1．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积． 2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积 分的几何意义的理解． 【核心扫描】
由多条曲线围成的分割型图形的面积的求解是考查的重点．
得交点横坐标为x＝0及x＝1. 因此，所求图形的面积为
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题型三 定积分的综合应用 【例3】 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
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注意：由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0， 还可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当
定积分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正．
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题型一 不分割型图形面积的求解 【例1】 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
y＝ x， 解方程组 x＋y＝2，
y＝ x， x＋y＝2， 及 1 1 y＝－3x， y＝－3x，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
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法二 若选积分变量为y，则三个函数分别为
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不分割型图形面积的求解步骤：
(1)准确求出曲线的交点横坐标；
(2)在坐标系Байду номын сангаас画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
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【变式 1】 求由曲线 y＝2x－x2， y＝2x2－4x 所围成的图形的面积．