2012学府考研数学冲刺班-线代-张伟讲义

⎪⎨⎧3ax11x1++b72 xx22
+ a3x3 + x4 + 2x3 + 2x4
= =
d1 d 2的解, 则该方程组的通解为
⎪⎩ 9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2
例题6 设A为m × n实矩阵,则以下4个命题 (1)若Ax = b有唯一解,则Ax = 0只有零解;
(2)若r( A) = n,则AAT x = 0一定有非零解;
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例题7 设m × n矩阵A经过有限次初等行变换后得到矩阵B,则以下4个命题 (1) A与B的行向量组等价 (2) A与B的列向量组等价 (3) AT Ax = 0与BT Bx = 0同解 (4)对于任意的b, Ax = b与Bx = b同解 中, 正确的是 ( A)(1)(3) (B)(2)(4) (C)(1)(4) (D)(2)(3)
Aβ = 3α ,则下列说法中正确的是
( A) A不可以相似对角化
(B)
A可以相似对角化,
且与⎜⎜⎛
0 0
0 0
0 0
⎟⎟⎞相似
⎜⎝0 0 3⎟⎠
(C)
A可以相似对角化, 且与⎜⎜⎛
−3 0
0 0
0 0
⎟⎟⎞相似
⎜⎝ 0 0 3⎟⎠
(D)
A可以相似对角化, 且与⎜⎜⎛
0 0
0 0
0 0
⎟⎟⎞相似
⎜⎝0 0 − 3⎟⎠
例题12 设A, B均为n阶矩阵, (1)证明: 若A或者B可逆,则AB相似于BA; (2)如果没有A或者B可逆的条件, AB是否一定相似于BA? 如果是请给予证明; 如果否请举出反例.
例题13 A, B均为3阶矩阵, r( AB) < r(B),α , β是两个线性无关的3维列向量,且Aα = 3β ,
( A)αi ' = (ain , ai2 ,..., ai1)T (B)αi ' = (−ai1, ai2 ,..., ain )T (C)αi ' = (ai1,0,..., ain )T (D)αi ' = (ai1,0, ai2 ,..., ain )T
例题3 设有n维列向量组α1,α2 ,...,αs , r( Am×n ) = n, 证明:α1,α2 ,...,αs线性无关的充分必要条件是Aα1, Aα2,..., Aαs线性无关
例题19 已知α , β均为3维单位列向量, A = αβ T + βα T ,且α T β = 1 ,证明: 3
(1)0是A的特征值; (2)α + β ,α − β是A的特征向量; (3) A可以相似对角化.
例题20 设A, B均为n阶正定矩阵,证明: AB正定的充要条件是AB = BA.
3
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例题8 设3阶非奇异矩阵A的特征值为1, a − 3, a, Aij为A的代数余子式,且A11 + A22 + A33 = −3,则a =
例题9
设3阶矩阵A
=
⎜⎛ ⎜
1 c
a −2
b d
⎟⎟⎞只有一个线性无关的特征向量, 则
A
+
2E
=
⎜⎝ e f 4 ⎟⎠
例题10 设A为n阶矩阵(n ≥ 2),且A2 − 2A + E = O,则一定有
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2012 年考研 数学冲刺班讲义
线性代数 主讲：张伟
2011 年 11 月
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线性代数六大类考点 一 行列式 二 矩阵 三 向量 四 方程组 五 特征值与特征向量 六 二次型
例题18 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的列向量, Aα1 = α1 + 2α2 − aα3, Aα2 = −α1 + aα2 −α3, Aα3 = −aα1 − 2α2 + α3, (1)求矩阵B, 使A(α1,α2,α3) = (α1,α2 ,α3)B; (2)判断A能否相似对角化; (3)若A不能相似对角化, 求A的特征值与特征向量.
2
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例题14 设A为m × n实矩阵,满足r( Am×n ) = m,则以下5个命题
(1) AAT ≠ 0;
(2) AAT一定与m阶单位矩阵等价
(3) AAT一定可以相似对角化; (4) AAT一定与m阶单位矩阵合同;
(5) AAT一定为m阶正定矩阵.
中, 正确的个数为
( A)2
(B)3
(C)4
(D)5
例题15 设A, B均为n阶矩阵,则以下几个条件
(1) A与B均可以相似对角化;
(2) A与B有相同的特征向量,且均可以相似对角化;
(3) AB = A + B;
(4) A2与B2可以交换;
(5) A*与B*可以交换.
( A) A = E
(B) A可以相似对角化
(C) A有不等于1的特征值(D)若A为实对称矩阵,则A = E
例题11 设A, B均为n阶矩阵, A*, B*分别为A与B的伴随矩阵,则A与B相似是A*与B*相似的 ( A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
例题1
已知A
=
⎜⎛ ⎜
1 2
2 4
3 6
⎟⎞ ⎟,
P为3阶可逆矩阵,
且B
=
P−1AP, 则(B − E)2012
=
⎜⎝ −1 − 2 − 3⎟⎠
例题2 已知n维列向量组α1,α2 ,...,α s线性无关,αi = (ai1, ai2 ,..., ain )T ,则向量组α1',α2 ',...,αs ' 有可能线性相关的是
中,是A与B可以交换的充分条件有( )个
( A)1
(B)2
(C)3
(D)4
例题16
矩阵A
=来自百度文库
⎜⎛ ⎜
0 0
0 1
−01⎟⎟⎞与矩阵B
=
⎜⎛ ⎜
0 a
0 1
1 b
⎟⎟⎞相似的充分必要条件是a与b满足等式
⎜⎝ −1 0 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
例题17 已知3阶矩阵A的3个特征值是 − 3,0,3,则下列说法中错误的是 ( A)一定存在一个3维向量不可以由A的列向量组线性表示; (B)线性方程组A*x = 0的基础解系有且仅有两个线性无关解; (C) A的主对角线元素之和为0; (D) A的特征值 − 3与特征值3所对应的特征向量必相互正交.
例题4 已知4阶方阵A＝(α1,α2,α3,α4 ),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,若方程组Ax = β的通解是
(1,3,−1,2)T + k(−2,4,1,0)T .又B = (α3,α2 ,α1, β − 2α4 ), 求方程组Bx = α1 − α2 + α3的通解.
例题5 已知ξ1 = (−9,1,2,11)T ,ξ2 = (1,−5,13,0)T ,ξ3 = (−7,−9,24,11)T ,是方程组
(3)若AAT x = 0只有零解,则AAT x = b一定有唯一解;
(4)若AT x = 0只有零解,则Ax = b一定有无穷多解. 中, 正确的是
( A)(1)(3)
(B)(1)(4)
(C)(2)(3)
(D)(2)(4)
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