概率论试卷2(附答案)

一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）

1．从总体2(10, 2)X

N 中随机抽取一个容量为16的样本, X 为样本平均数, 则

(10)P X ≥=（ C ）

（A ）0 （B ）1 （C ）0.5 （D ）0.8413 2．设随机变量() (1), X t n n >随机变量21

Y X

=

，则（ C ） （A ）2()Y n χ （B ）2(1)Y

n χ-

（C ）(, 1)Y

F n （D ）(1, )Y

F n

3．设10个电子管的寿命i X (1~10i =)独立同分布，且()i D X A =，则10个电子管的平均寿命Y 的方差()D Y =（ B ）

（A ）A （B ）0.1A （C ）0.2A （D ）10A

4．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05α=下接受

00:H μμ=，那么在0.01α=下，下列结论中正确的是（ A ）

（A ） 必接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H

5．设12, μμ和3μ为总体期望值μ的三个无偏估计量，且12()()D D μμ<，

23()()D D μμ<，则以下结论（ D ）成立

（A ）1μ是μ的有效估计量 （B ）2μ是比1μ有效的估计量 （C ）3μ是比1μ有效的估计量 （D ）1μ是比2μ有效的估计量

6．设B A ,为两互斥的事件，且0)(>A P ,0)(>B P ，则一定成立（ B ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）0)|(=B A P （C ）1)|(=B A P （D ）0)(=AB P 7．A 和B 是任意两个随机事件，则与A

B B =不等价的是（

C ）

（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B φ= （D ）A

B φ=

8．已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A

B =，则()P A B =（ D ）

（A ）0.2 （B ）0.45 （C ）0.6 （D ）0.75

9．随机变量X 概率密度, 02()0a bx x f x +≤≤⎧=⎨⎩

，其它，且1

(1)4P X ≥=，则有

（ A ）

（A ）1, 0.5a b ==- （B ）0.5, 1a b =-= （C ）1, 0.5a b == （D ）0.5, 1a b == 10．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为

(),01, 02

(,)0,a x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩

其它，则常数 a =（ D ）

（A ）3 （B ）2 （C ）12 （D ） 1

3

二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

1．已知随机变量X 的数学期望为5，方差为2，利用切比雪夫不等式，估计概率

{28}P X <<≥7

9

.

2．设随机变量~(1, 2), ~(0, 1), X N Y N 且 ,X Y 相互独立，随机变量

2Z X Y =-，则Z 服从的正态分布为 (2,9) N .

3．统计量(6, 8),Y

F 概率()0.05P Y B ≤=，则B =1

0.241 4.15

=.

4．随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0, 2)N ，19,...,Y Y 是来自总体Y

的样本，则统计量U =

服从的分布为 (9) t .

5．设某种小包装糖果的重量（以g 计）服从正态分布(, 4)N μ，从中随机抽取了10包进行检验，得样本平均数=56.8X , 则糖果平均重量μ的置信水平为0.95的置信区间为 (55.56, 58.04) （保留两位小数）.

6．设 ,,A B C 是某随机现象的三个事件，则事件“ ,,A B C 中不多于两个发生”可表示为： A

B C ABC =.

7．甲、乙射手各对目标独立地射击一次，命中概率分别为0.3和0.4，则目标至少被命中一次的概率为 0.58 .

8．袋中装有10个球，其中3个红球，7个白球，每次从中不放回的抽取一个球，则直到第3次才取到红球的概率为

7(0.175)

40

.

9．设随机变量X 的概率分布为： 0

1234560.10.150.20.120.10.03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

a 其中为未知参数，则概率(25)P X ≤<=

0.62

.

10．已知随机变量X 的分布函数为/(1), 0() 0, 0

x x x F x x +≥⎧=⎨<⎩，则概率

(23)P X -<<= 3/40.75 =.

三、计算题（共5小题，每小题8分，共40分）

1．设总体 (,)X

B m p , .m p 其中参数已知，未知12,,...,n X X X 是总体X 的样本，

12,,...,n x x x 是样本观测值. 求 p 未知参数的矩估计，最大似然估计.

解：（1）因为 (,)()X B m p E X mp ⇒=，

mp X =， p 的矩估计 ˆX

p

m

= 2分

（2）(, ) {}(1) (0,1,...,)x x

m x m X

B m p P X x

C p p x m -==-=，分布律

似然函数 1

1

1

111()()

()

n

n

i

i

i

i

i

i i i n

n

x mn x x x m x x m

m

i i L p C p p C p

p ==-

-==∑

∑=-=⨯⨯-∏∏ 2分

对数似然函数为 1

1

1

1ln ()ln ln ()ln()i n

n

n

x m

i i i i i L p C x p mn x p ====++--∑∑∑

对数似然方程为

11

11

01ln ()()n n

i i i i d L p x mn x dp p p ===--=-∑∑ 得到p 的最大似然估计值为 11ˆn i i x

p x mn m

===∑ 4分

2．一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少有80%的部件正常工作，系统才能正常工作，试用中心极限定理计算n 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于0.95？ 解：(, 0.9)X

B n ()0.9, ()0.09E X n D X n ==）

(0.9,0.09)X N n n −−−→近似

由中心极限定理 3分

0.95{0.8}1(P X n P ≤≥=≥=-Φ

(1.645)0.95 1.64533

Φ=≤Φ⇒≤

24.35 25n n ⇒≥⇒= 5分

3．设X 服从区间[1, 6]上的均匀分布，现对X 进行三次独立重复观测. 求：（1）随机变量X 概率密度. （2）至少有两次观测值大于4的概率.

解：X 的概率密度为1/5, 16

()0,.

x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 2分

令Y 表示三次独立观测中观测值大于4的次数，则~(3, )Y B p 其中64

12

{4}55

p P X dx =>=

=⎰

3分