离散数学-复旦大学数学科学学院
数学科学学院2008～2009学年第一学期课程表
常微分方程 孙元功 203
概率选讲 毕秀春综合楼 501
数值代数 林秀丽 104
试验设计 赵胜利 108
教材教法(学分互认) 陆书环综合楼 606
5～7 8～10
数学分析 杜新生 201 法律基础 综合楼 201
数学分析 杜新生 201 法律基础 综合楼 201 听力 第 2 节 A301
体育
体育
ห้องสมุดไป่ตู้
体育
数学分析 杜新生 201
数学分析 杜新生 201
常微分方程 1 班 郑召文综合楼 101 实变函数 2 班 钱爱霞综合楼 401 常微分方程 2 班 蒋继强试验楼 A401
抽样调查 毕秀春 108
应用统计 陈晓林 208
数据结构 204 叶传秀
时间序列分析 赵祥华 108
常微分方程选讲 孟凡伟综合楼 106
计算机图像学 赵京东 204
1～2
二
3～4 5～7 8～10
英语 综合楼 603
英语 1 班王燕 综合楼 205 数学分析 2 班 张克梅综合楼 606 英语 2 班王燕 综合楼 105 马克思主义原理 综合楼 106 普通物理 1 班 王晓静 201
高等代数 彭桢 201
高等代数 彭桢 201
概率论 宗昭君 108 离散数学 杨淑娣 204 马克思主义原理 综合楼 101 数学分析 栾世霞 综合楼 501 听力第 4 节 QK-114 数学分析 栾世霞 综合楼 501 听力第 4 节 QK-114 马克思主义原理 综合楼 106
实变函数 1 班 刘树冬综合楼 606
多元统计分析 宗昭君 203
微分几何(插本) 徐金菊 101
多媒体技术 赵京东 204
图论GraphTheory-复旦大学数学科学学院
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图是由给定的点及连接两点的线所构成
的图形。现实世界中许多问题的数学抽象形
式可以用图来描述。如互联网、交通网、通
讯网、社团网、大规模集成电路、分子结构 等都可以用图来描述。对图的研究形成了一 个专门的数学分支—图论 。
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数.
上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形. 主要工具：正则引理；标号代数(flag algebra)
图论的前沿——整数流问题
给定图 G 和 k 阶可换群 A。若对 G 的某个
定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集到 A 的
非零元素, 使得在图的每个一点, 进入该点
四色问题
四色问题: 对每个平面图，能否只用4种颜色 对其面着色,使得任何两个有公共边的面得到 不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题，但未被数学界普遍接受。数学家 们仍在努力寻找纯数学的推理证明。
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
《复旦大学数学系 数学分析 第3版 上册 笔记和课后习题 》读书笔记思维导图
和课后习题 》
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本书关键字分析思维导图
第版
习题
考研
复旦大学 数学系
知识
笔记
内容
真题
名校
数学分析 教材
考生
复习
书 参考书目 电子书
极限
命题
升级
目录
01 第一篇 极限论
02
第二篇 单变量微积分 学
本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为复旦大学数学系《数学分析》（第3版）（上册） 的考生。也可供各大院校学习复旦大学数学系《数学分析》（第3版）（上册）的师生参考。复旦大学数学系主 编的《数学分析》（第3版）是我国高校数学类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定 为考研考博专业课参考书目。为了帮助参加研究生入学考试指定参考书目为复旦大学数学系主编的《数学分析》 （第3版）的考生复习专业课，我们根据该教材的教学大纲和名校考研真题的命题规律精心编写了复旦大学数学 系《数学分析》（第3版）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：1．[3D电子书]复旦大学数学系《数学分析》 （第3版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]2．[3D电子书]复旦大学数学系《数学分析》 （第3版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解[免费下载]3．[3D电子书]复旦大学数学系《数学分析》 （第3版）（上册）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】[免费下载]4．[3D电子书]复旦大 学数学系《数学分析》（第3版）（下册）配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】[免费下载] 本书是复旦大学数学系主编的《数学分析》（第3版）的配套e书，主要包括以下内容：（1）梳理知识脉络，浓 缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。 因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关 辅导资料，对复旦大学数学系主编的《数学分析》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关 重要知识点进行了延伸和归纳。（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的相关一篇 极限论
复旦本科数学培养方案
复旦本科数学培养方案
复旦大学数学系本科培养方案
1. 培养目标
通过培养，学生应具备以下基本能力：
（1）具有坚实的数学基础知识和较强的数学思维能力；
（2）熟练掌握高等数学、数理统计、概率论、实变函数、复变函数等数学学科中的基本理论和基本方法；
（3）掌握一门外语，能阅读数学类英文文献；
（4）具有较强的计算机应用能力和数据处理能力。
2. 课程设置
数学系本科课程设置包括数学及相关基础科学课程、通识课程、艺术体育和实践课程。
其中核心课程如下：
（1）高等数学：微积分学、线性代数、常微分方程、多元统计数据分析等；
（2）数学专业类课程：实变函数、群论与线性代数、复变函数、广义函数与偏微分方程、常微分动力系统、微分几何等；
（3）选修课程：金融与数学、离散数学、数值分析、非线性优化、组合数学、拓扑学、非参数统计、时序分析、推荐系统等。
3. 实践教学
数学系注重实践教学，为学生提供实践课程和实践项目。
实践项目包括本科科研和创新性实践。
学生在实践中能够深入了解和应用所学知识，提高综合素质。
4. 考核评价
考核评价方式包括考试、作业、报告、实验和项目等多种形式。
评价方式旨在检验学生是否掌握了所学知识和能力，同时培养学生的思辨能力和实践能力。
5. 对口升学与就业
数学系本科学生毕业后可以选择深造或就业。
毕业生可以考研读研究
生，获得硕士或博士学位。
毕业生也可就业从事金融、信息技术、科研、教学等相关领域。
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学第五章习题答案
离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。
- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。
证明R是传递的。
答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。
首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。
其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。
结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。
题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。
证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。
答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。
假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。
由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。
根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。
因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。
题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。
答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。
假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。
因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。
学年第一学期期末试卷检查工作总结
教学督导组2010－2011学年第一学期期末试卷检查情况通报根据教务处《关于做好2010-2011学年第一学期期末考试试卷检查工作的通知》的要求，教学督导组于4月1日至4月15日对全校21个院（系、部）上学期期末考试试卷进行了检查。
本次检查按各院（系、部）试卷装订数量10%的比例进行抽查，最低基数为3本，全校共抽查试卷123本。
各院系抽查试卷检查情况如下：2010－2011学年第一学期各院（系、部）期末试卷抽查情况一览表（说明：①A、B、C、D、F五个等级所对应的分数为5、4、3、2、1，总分为各等级的平均分。
②公共课试卷命题错误、答案错误，责任在院（系、部），从总分中扣分。
）从抽查结果看，全校总平均分为分，比上学期的分高出分，各等级所占抽查总数比重与上学期相比情况见下表：2009－2010学年第二学期与2010－2011学年第一学期试卷抽查结果各等级比重对比表从上表中可以看出，本学期与上学期相比，A级比重虽稍有下降，但B级比重增长较大，同时，C级、D级和F级的比重均有所减少，总体趋势表明试卷工作整体质量有所提高。
虽然试卷工作整体质量有所提高，但问题仍然较多，为了便于各院(系、部)教学管理人员和全体教师，对试卷命题、批改、成绩录入、考试与试卷相关材料的填写、整理装订等环节中存在的问题有比较全面的了解，我们将本次试卷检查中存在的问题，分类整理如下：一、封面1.封面填写的课程名称与试卷印制的课程名称不一致，如：中文系的2本试卷，封面上都是《现代汉语》，但试卷印制的课程名称，一门是《现代汉语（上）》，一门是《现代汉语（下）》，这是2门不同课程的试卷；《大学英语》有(一)、(二)、(三)、(四)四级，因此，必须在课程名称中标明是几级大学英语。
2.课程代码填写不正确，如政治学系《社会主义市场经济理论与实践》试卷，封面填写的课程代码为“(2010-2011-1)ZJ6”，正确的课程代码是“ZJ61010”。
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
离散数学课程
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
划分的积与和
细分示意图： 细分示意图：
π
π
定理3·5-11 定理
设π和π′是非空集合A上的划分，并设R和R′分 别是由π和π′诱导的等价关系。那么π′细分π当 且仅当R′⊆ R。 证明：见 P127。
定理3·5-12 定理
设F是非空集合A上划分的族，则关系细分是F 上的偏序。证明略，读者可以自己证明。
积的定义： 积的定义：
划分的和的定义： 划分的和的定义：
设π1和π2是非空集合A的划分，π1与π2的和 记为π1+π2，是以划分π，它使 （1）π1和π2细分π。 （2）如果π´是A的划分，使π1和π2细分π´， 那么π细分π´。 概括地说：π1+π2是π1和π2所细分的最大化 分。且是唯一的。 如图所示：
π1
π2
离散数学——划分的积与和 划分的积与和 离散数学
作者： 数学科学学院 08信息与计算科学 赵祥
版权有所 伪者必究
细分的定义
定义：设π是非空集合A上的划分。如果π′的 每一块都包含于π的一块中，那么说π′细分π， 或说π′是π的细分。如果π′细分π，且π≠π′， 那么说π′是π的真细分。 如图所示:
π1+π2
定理3·5-15 定理
设R1和R2是非空集合A上的划分π1和π2所诱 导出的等价关系。定义关系R是R1∪R2的传 递闭包。 ﹢ R=(R1∪R2) =t（R1∪R2） 那么，R是A上的等价关系，划分A/R是π1和 π2的和。 证明见P128。
谢谢！ 谢谢！
习题见P129
设π1和π2是非空集合A的划分。Π1和π2的积， 表示为π1·π2，是A的划分π，它使 （1）π细分π1和π2两者。 （2）如果π´细分π1和π2，那么π´细分π。 概括地说：π1·π2是细分π1和 π2的最小化分。 且它
数学与应用数学专业课程设置及简介[1]
![数学与应用数学专业课程设置及简介[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/0119739d9fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d629.png)
数学与应用数学专业课程设置与简介来源: 理学院时间: 2005年8月2日14:27 点击: 5603数学系数学与应用数学专业（S）四年制教学中共开设相关专业课程26门, 其中专业基础课3门, 包括: 数学分析、高等代数、解析几何；专业课12门, 包括: 常微分方程、中学数学解题研究、中学数学教材分析、数学教育概论、计算方法、初等数论、离散数学、近世代数、实变函数论、复变函数论、概率论、数理统计；专业选修课11门, 包括: 专业英语、泛函分析、点集拓扑、数学实验、数学模型、数学分析选讲、高等代数选讲、线性规划、数学史、数学竞赛教程。
各门课程简介如下:一、数学分析内容简介: 数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课程, 是高等数学理论的基础, 也是所有本科专业学生的必修课程, 这门课程的学好与否, 直接影响到后续课程如复变函数、实变函数以与拓扑学等课程的学习。
该课程首先详细介绍了极限理论, 用极限理论作为工具, 讨论了函数, 特别是连续函数的导数与徽分；不定积分与定积分；级数理论；多元函数微分学以与多元函数积分学等理论。
通过这门课的学习, 应该使学生掌握函数的微积分理论的基本理论和基本方法, 能应用这些理论和方法解决分析中提出的理论和实际问题, 为后续课程的学习打下良好的基础。
该课程重点是极限理论和微积分理论, 难点是实数连续性定理与级数理论。
先修课要求:中学数学教材与参考书: 《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社二、高等代数内容简介: 高等代数是数学教育专业的一门重要基础课。
高等代数是高等师范院校数学专业一门重要基础课,是中学代数的继续和提高,通过这一课程的教学,可以使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象的严格的代数方法,以加深对中学数学的理解,并为进一步学习打下基础.本课程的主要内容是多项式理论, 线性代数理论两部分。
多项式理论主要讨论一元多项式和因式分解理论。
线性代数部分包括矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等内容。
复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 排列组合基础知识
二项式定理证明方法
证明方法1 证明方法2
二项式定理证明方法1
通过n个对象的r-组合数可得出表达式(a+b)n的 展开式。 在n个因子中选k个b和n-k个a，可得项an-kbk。 因为从n个对象中选择k个共有C(n, k)种方法， 所以项an-kbk共有C(n, k)个。 所以(a+b)n =C(n, 0)anb0+C(n, 1)an-1b1+ C(n, 2)an-2b2+…….+ C(n, n-1)a1bn-1+ C(n, n)a0bn
2 二项式定理的推论 1)推论11.2 对任何正整数n，有： C(n, 0)+C(n, 1)+……+C(n, n)=2n
证明：令x=y=1，根据二项式定理，则有2n =(1+1)n=C(n, 0)+C(n, 1)+……+C(n, n) 。
2)推论11.3 对任何正整数n，有： C(n, 0)-C(n, 1)+C(n, 2)-……+(-1)nC(n, n)=0
二、二项式系数及组合恒等式
1 定理 定理11.6（二项式定理） （二项式定理） 设n为正整数，对一切x和y有：
(x + y) =
n
∑
n k =0
C (n, k ) x y
k
n−k
Pascal三角形/杨辉三角形
Pascal三角形/杨辉三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 。。。。。。。。
组合数学在研究记数时经常要用到最基 本的原理：加法原理和乘法原理。
11.1 基本计数原理
1 加法原理 1）定理11.1（加法原理） 设A和B是有限集合S的两个互不相 交的子集，且A∪B=S，则|S|=|A|+|B|。
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学组合数学
问题的组合学算法. ¡ 2) 组合数学对于过去很少与数学正式接
触的学科的适用性
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复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
二、组合数学两类一般性问题
¡ 组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足 一些指定规则的格式。
复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
第十章 鸽笼原理
¡ 10.1 鸽笼原理的简单形式 ¡ 10.2 鸽笼原理的加强形式
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复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
10.1 鸽笼原理的简单形式
¡ 1, 问题的引入 ¡ 实例：
某次会议有n位代表参加，每位代表认识 其他代表中某些人，则至少有两个人认识的 人数是一样的。
¡ 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两 只是完整配对的。
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复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
¡ 3, 鸽笼的扩展（抽象）
¡ 定理10.2
¡ s（s1）个元素分成t个组，那么必存在
一个组至少含有s/t（这里 为“上整数” 记号）个元素。
¡ 证明方法：反证法。
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复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
¡ 3）例10.3 1, 2, ……, 2n中任取n+1个互不 相同的数中，必存在两个数，其中一个数是 另一个数的倍数。
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复旦大学计算机科学与工程系吴永辉 离散数学组合数学
¡ 证明：因为任何正整数n可以表示成
n=2ab（这里a=0, 1, 2,…，且b为奇
离散数学教程
二、提高 [4] Kenneth H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications. (4th, 5th Edition). 机械工业出版 社, McGraw-Hill. (中、英文版)
本书第4版是全球500多所大学的指定教材， 获得了极大的成功。中文版也已被国内大学广泛 采用为教材。第5版在前四版的基础上做了大量的 改进，使其成为更有效的教学工具。
/*集合论题集，经典习题，集合基础*/
五 定义1.4（全集）：在取定一个集合U以 后，对于U的任何子集而言，称U为全集。
定理1.2：
（1）A (2) AA (3) AU
1.2 集合的子集——证明的方法
证明：（1）A (2) AA (3) AU （1）反证法：假设结论不成立，导出矛盾 结果。 不是A的子集，导致矛盾 （2，3）基本法：由子集定义 x左x右，则左右
第十二章
生成函数与递推关系
掌握：用生成函数和递推关系解决组合计数 问题的方法，以及求解递推关系的生成函数方法。 了解：求解递推关系的特征根方法。
教学内容与要求----图论
第五章 图的基本概念
掌握：图的基本术语，路、回路和连通的基本概念， 求最短路的算法及算法正确性证明，欧拉图和哈密顿图的 基本概念、判别方法以及有关定理。
理论计算机科学经典网站
国内： 国际： /~suresh/theory/the ory-home.html
命题说明和题型
1 填空题：基本概念的理解和掌握 2 判断题：概念的掌握与应用 3 计算、证明题：概念的综合应用，数学 方法的运用
数学专业数学与计算机专业数学比较
数学专业的数学与计算机专业的数学的比较（一）计算机科学与技术这一门科学深深的吸引着我们这些同学们，上应用数学系已经有近三年了，自己也做了一些思考，原先不管是国内还是国外都喜欢把计算机系分为计算机软件理论、计算机系统、计算机技术与应用。
后来又合到一起，变成了现在的计算机科学与技术。
我一直认为计算机科学与技术这门专业，在本科阶段是不可能切分成计算机科学和计算机技术的，因为计算机科学需要相当多的实践，而实践需要技术。
每一个人（包括非计算机专业），掌握简单的计算机技术都很容易（包括原先Major们自以为得意的程序设计）。
但计算机专业的优势是：我们掌握许多其他专业并不“深究”的东西，例如，算法，体系结构，等等。
非计算机专业的人可以很容易地做一个芯片，写一段程序，但他们做不出计算机专业能够做出来的大型系统。
今天我想专门谈一谈计算机科学，并将重点放在计算理论上。
一、计算机理论的一个核心问题——从数学谈起：1、高等数学VS数学分析记得当年大一入学，每周四课时高等数学，天天作业不断（那时是七天工作制）。
颇有些同学惊呼走错了门：咱们这到底念的是什么系？不错，你没走错门，这就是计算机科学与技术系。
我国计算机科学系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人（方向不见得有多大的问题，但是做得不是那么尽如人意）。
而计算机的理论研究，说到底了，如网络安全学，图形图像学，视频音频处理，哪个方向都与数学有着很大的关系，虽然也许是正统数学家眼里非主流的数学。
这里我还想阐明我的一个观点：我们都知道，数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践。
有些数学研究工作者喜欢用一些现存的理论知识去推导若干条推论，殊不知其一：问题考虑不全很可能是个错误的推论，其二：他的推论在现实生活中找不到原型，不能指导实践。
严格的说，我并不是一个理想主义者，政治课上学的理论联系实际一直是指导我学习科学文化知识的航标（至少我认为搞计算机科学与技术的应当本着这个方向）。
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所有点的圈）。
哈密尔顿圈问题: 哪些图有哈密顿圈？
带权哈密尔顿圈
哈密顿圈可看成过每个点恰好一次的 回路；若每条边有一个权(weight),求最优
哈密顿圈（总权和最小的哈密顿圈），就
是找一条回路：过每个点恰好一次且行程
最短—旅行推销员问题。
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
Ramsey 问题 应用广、影响大。微软研究中 心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获 1997年
Fulkerson 奖。
图论的热点——极值问题
一般叙述 : 图的边数大于某个数时 ,该图具有某
种性质,此数的最小值称为该性质的极值.
Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时,
该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数.
上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形. 主要工具：正则引理；标号代数(flag algebra)
图论的前沿——整数流问题
给定图 G 和 k 阶可换群 A。若对 G 的某个
定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集到 A 的
非零元素, 使得在图的每个一点, 进入该点
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点 边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab ce
de
ac ad bc
cd
be
bd
ea
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支 广泛应用背景的基础研究 与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
图论分支
图 论
结 构 图 论
极 值 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
图论的起源——哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论。
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图是由给定的点及连接两点的线所构成
的图形。现实世界中许多问题的数学抽象形
式可以用图来描述。如互联网、交通网、通
讯网、社团网、大规模集成电路、分子结构 等都可以用图来描述。对图的研究形成了一 个专门的数学分支—图论 。
四色问题
Tait的错误在于他认为3-正则，3-连通的
平面图有一个圈包含所有点（哈密顿圈）。
可是他没能证明这一点。半个多世纪后(1946
年)，Tutte给出了第一个不含哈密顿圈的3正则，3-连通平面图，从而宣告了Tait证明 的错误是无法修补的。
图论的经典——哈密顿圈问题
Tait 对四色问题的错误证明在于假定
欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理: 连通图存在欧拉迹当且仅 当图中奇度数的点的个数至多为2。
图论的发展——四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 该问题成为数学史上最著名问题之一。将地图 看作一个平面图：国界为边，相交处为点，国 家区域称为面，则该问题可表述为：
最优旅行路线(行程最短或费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。里程或机 票价作为每条边的权。
旅行推销员问题
问题: 在带权图中找一条回路：过每个点
恰好一次 , 且边的权之和最小 ( 带权最优哈
密顿圈）
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机等
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
R(s,t) 个人中 , 要么有 s 个人两两认识 , 要么有 t 个人两两不认识。 R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
四色问题
四色问题: 对每个平面图，能否只用4种颜色 对其面着色,使得任何两个有公共边的面得到 不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决 了四色问题，但未被数学界普遍接受。数学家 们仍在努力寻找纯数学的推理证明。
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
中国邮递员问题
中国邮递员问题: 在带权图中找一条回路：
过每条边至少一次 , 且边的权之和最小 ( 带权
最优欧拉回路问题)
难度: 有多项式算法
(Edmonds, 1985 von Neumann Prize) 应用: 起源于中国邮递（管梅谷，1962）
图论的经典——Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
整数流理论
Tutte定理(1954年): 平面图可 k 着色当且 仅当该图存在 k-流。
◆ 四色问题等价于平面图的 4-流存在性。
整数流理论
整数流与数学其他领域的一些著名问题有关联:
的边的函数值之和等于离开该点的边函数值 之和, 则称f 为G 的一个 k-流。
整数流问题
整数流问题：对哪些整数k，存在k-流
k-流的等价定义：给图的每条边一个定向及一 个绝对值小于k的非零整数, 使得在图的每个
点, 进入该点的所有边的整数值之和等于离开 该点的所有边的整数值之和。
整数流的一个例子
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。