计算机网络原理海明码

例题1

已知海明码的关系式

S0=a2+a3+a4+a6

S1=a1+a4+a5+a6

S2=a0+a3+a4+a5

请填充下述S2S1S0值与错误位置的对应表

S2S1S0 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111

---------------------------------------------------------

错码位置| 无错

解答：

先看001, 对应S2S1S0就是S0=1，即S0出错，而S0=a2+a3+a4+a6，就看S0的四项里哪一项S1和S2里没有，很明显是a2，所以001下面填a2.

看010, S1错，S1=a1+a4+a5+a6，S1里哪一项S0和S2里没有？是a1，所以010下面填a1

看011，S1和S0都错，那S1和S0里都有哪一项呢？a4和a6，但是S2无错，S2里也有a4，没有a6，所以是a6错，011下面填a6

100,101,110同

看111，S2、S1和S0都错，那么哪一项s2,s1和s0里都有呢？a4，所以111下面填a4

例题2

在海明码编码方法中，若冗余位为3位，且与错码位置的对应关系为

S2S1S0 111 110 101 011 100 010 001 000

错码位置a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 无错

则S1的监督关系式为( )。

A. S1=a1+a3+a5+a6

B. S1=a2+a3+a4+a6

C. S1=a1+a3+a4+a5

D. S1=a1+a2+a5+a6

解析：

S2S1S0 111 110 101 011 100 010 001 000

错码位置a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 无错

则S1的监督关系式为

我们通过查看S1不难发现，当S2S1S0为000时无错，则S1的对应关系必为1，题中S2S1S0就是S1=1，即S1出错。上面A6(111)A5(110)A3(011)A1(010)中间的S1均为1，a6,a5,a3,a1中任何一位出错，均可使s1为1，由此可得监督关系式为：S1=a1+a3+a5+a6

对于此题，我们可以变相的出题，如先看001, 对应S2S1S0就是S0=1，即S0出错，而S0=a0+a3+a4+a6

这样明白了吗？只要根据题目要求找到S对应的1便能能处理问题。这样应该比较简单，也不必记忆别的。

例题3

使用海明码进行前向纠错，如果冗余位为4位，那么信息位最多可以用到11位。

解析：

海明码的信息位，海明码是一种可以纠正一位差错的编码。它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。它必需满足以下关系式：2^ r>=k+r+1 式中k 为信息位位数r为增加冗余位位数

代入公式，2^4 >=k+4+1 不难求解出k<=11

这里公式记忆是问题的关键，如果不知道这个公式2^ r>=k+r+1单凭空想是解决不了问题的。如此反过来求冗余位也方便。

例题4

使用海明码进行纠错，7位码长（X7X6X5X4X3X2X1），其中4位数据，监督关系式为：

c0 = x1+x3+x5+x7

c1 = x2+x3+x6+x7

c2 = x4+x5+x6+x7

如果接收到的码字为1000101，那么纠错后的码字是（58）

解答:

接收到的码字为1000101，代入关系式。得X7=X3=X1=1，X6=X5=X4=X2=0。

得出：C2=1，C1=0，C0=1，得C2C1C0=101，代入8421码，等于5，可知第五位出错。

纠错后的码字为：1010101

从左往右1000101分别对应X7X6X5X4X3X2X1,将x1—x7带入

c0 = x1+x3+x5+x7

c1 = x2+x3+x6+x7

c2 = x4+x5+x6+x7

运算，即可得C2=1，C1=0，C0=1，对应101等于5，可知第五位出错。注意，上面的加号是异或的符号。

例题5

已知海明码的监督关系式为：

S2=a2+a3+a4+a6

S1=a1+a4+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a5

接收端收到的码字为a6a5a4a3a2a1a0=1010100，问在最多一位错的情况下发送端发送的码字是什么？（写出推演过程）。

解答：

根据海明码监督关系式得到下表：

S2S1S0 000 001 010 011 100 101 110 111

错码位置无错a0 a1 a5 a2 a3 a6 a4

发送的码字为：1010100，代入关系式得：a6=a4=a2=1，a5=a3=a1=a0=0

将a6a5a4a3a2a1a0=1010100代入监督关系式得(其中’+’表示异或运算)：

S2=a2+a3+a4+a6=1+0+1+1=1

S1=a1+a4+a5+a6=0+1+0+1=0

S0=a0+a3+a4+a5=0+0+1+0=1

查表得知收到的比特序列101，根据S2S1S0值与错误位置对应表序列为a3

即，发送的端发送的码字是：1011100

例题6

若海明码的监督关系式为：

S0=a0+a3+a4+a5

S1=a1+a4+a5+a6

S2=a2+a3+a5+a6

接收端收到的码字为：a6a5a4a3a2a1a0=1010100

那最多一位错的情况下发送端的发送信息位是什么?

解答：按监督关系式

S0=0+0+1+0=1

S1=0+1+0+1=0

S2=1+0+0+1=0

得出S2S1S0=001 根据值与错码位置的对应关系所以a0错误，发送端的发送信息应为1010101。