(完整)2019-2020年高考数学小题专题练习——三角函数(一).doc
2019年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2019年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）1、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a ，2c ，2cos 3A，则b=（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】试题分析：由由余弦定理得3222452b b，解得3b（31b舍去），选 D.2、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)【答案】D 【解析】试题分析：函数y2sin(2x)6的周期为，将函数y2sin(2x)6的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为y2sin[2(x))]2sin(2x)463，故选 D.3、（2019年高考新课标Ⅰ卷文）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x 在,单调递增，则a 的取值范围是（A ）1,1（B ）11,3（C ）11,33（D ）11,3【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法：取1a ，1sin 2sin 3f x xx x，21cos 2cos 3f x x x，但2201133f ，不具备在,单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．4、（2019年高考新课标Ⅰ卷理）已知函数()sin()(0),24f x x+x，为()f x 的零点，4x为()y f x 图像的对称轴，且()f x 在51836，单调，则的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x为()f x 的零点，4x为()f x 图像的对称轴，所以()444T kT ，即41412244k k T，所以41(*)k kN ，又因为()f x 在5,1836单调，所以5236181222T，即12，由此的最大值为9.故选B.5、（2019年高考新课标Ⅱ卷文）函数=sin()y A x 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x（B ）2sin(2)3yx（C ）2sin(2+)6yx （D ）2sin(2+)3yx 【答案】A6、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）ππ26k x k Z （B ）ππ26k x k Z （C ）ππ212Zk xk（D ）ππ212Zk xk【答案】B考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωｘ加减多少值．7、（2019年高考新课标Ⅱ卷理）若π3cos45，则sin 2= （A ）725（B ）15（C ）15（D ）725【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos12144525，且cos 2cos2sin 242，故选 D.8、（2019年高考新课标Ⅲ卷文）若，则（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．9、（2019年高考新课标Ⅲ卷文理）在中，，BC 边上的高等于,则tan13cos 245151545ABC △π4B =13BC sin A =（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D ．[来源:学科网ZXXK]10、（2019年高考新课标Ⅲ卷理）若，则(A)(B)(C) 1 (D)【答案】A 【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．11、(2019年高考北京卷理) 将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为[来源:Z 。
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2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。
2020届高考三角函数及解三角形汇编专题数学(理)Word版含解析
专题06 三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B5C3D55．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点2sin cos ++x xx x③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．27．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．9．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．13．【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．14．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．15．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．16．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．17．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．18．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αA ．3B ．13C ．13-D ．3-19．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知4cos 5=-α，()π,0∈-α，则πtan 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭αA ．17 B ．7 C ．17-D ．7-20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数π()sin()6f x x =+ω(0)>ω的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，则()g x = A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +21．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π322．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C D 23．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =A ．2π3 B ．π3 C ．π6D ．5π624．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在ABC △中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C cos sin (cos cos )A A a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC △的面积为4，求ABC △的周长．25．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数1(=cos cos )+2f x x x x -）. （1）求π()3f 的值；（2）当π[0,]2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．专题06 三角函数及解三角形详细解析1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．2sin cos ++x xx x当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C 3D 5【答案】B【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】Dπ【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，再根据函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 9．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =. ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<ABC S <<△．因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 13．【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =. （2）由1cos 2B =-得sin 2B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2）-【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力． 15．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.17．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[122-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.18．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB．13C．13-D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(1)P，所以cos3==-α，因此21cos22cos13=-=αα.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.19．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知4cos5=-α，()π,0∈-α，则πtan4⎛⎫-=⎪⎝⎭αA．17B．7C．17-D．7-【答案】C【解析】()4cos,π,05a=-∈-Qα，∴ππ,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭α，33sin,tan54∴=-=αα，则πtan1tan41tan-⎛⎫-=⎪+⎝⎭ααα31143714-==-+.故选C．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知cosα的值，结合同角三角函数关系式可求tanα，然后根据两角差的正切公式即可求解．20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数π()sin()6f x x =+ω(0)>ω的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，则()g x = A ．πsin()3x + B ．πsin(2)3x + C ．cos2xD ．πcos(2)3x + 【答案】C 【解析】由函数π()sin()(0)6f x x =+>ωω的相邻对称轴之间的距离为π2，得π22T =，即πT =，所以2ππ=ω，解得2=ω， 将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移π6个单位， 得到ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭的图象，故选C ． 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．21．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A >><ωϕ的部分图象如图所示，则使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为A ．π12B ．π6 C ．π4 D ．π3 【答案】B 【解析】由图象易知，2A =，(0)1f =，即2sin 1=ϕ，且π2<ϕ，即6π=ϕ， 由图可知，11π()0,12f =所以11ππ11ππsin()0,π,126126k k ⋅+=∴⋅+=∈Z ωω，即122,11k k -=∈Z ω，又由图可知，周期11π2π11π24,121211T >⇒>∴<ωω，且0>ω， 所以由五点作图法可知2,2k ==ω， 所以函数π()2sin(2)6f x x =+，因为()()0f a x f a x +--=，所以函数()f x 关于x a =对称， 即有ππ2π,62a k k +=+∈Z ，所以可得ππ,26k a k =+∈Z ， 所以a 的最小正值为π6. 故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出,,A ϕω，可得函数()f x 的解析式，再由()()0f a x f a x +--=易知()f x 的图象关于x a =对称，即可求得a 的值.22．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1 BC D 【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．23．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =A ．2π3B ．π3 C ．π6 D ．5π6 【答案】D【解析】∵1a =cos )cos 0A C C b A ++=，cos cos cos A C C A b A =-，)cos A C B b A +==-，sin cos B b A =-，sin sin cos A B B A =-，∵sin 0B >cos A A =-，即tan A =， ∵(0,π)A ∈，∴5π6A =.故选D ． 【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本cos )cos 0A C C b A ++=sin cos B b A =-，再由正弦定理得到tan A =，结合(0,π)A ∈，即可求得A 的值． 24．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在ABC △中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C cos sin (cos cos )A A a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC △，求ABC △的周长．【答案】（1）π3A =；（2）.【解析】（1cos sin (cos cos )A A a C c A =+，∴由正弦定理可得：cos sin (sin cos sin cos )B A A A C C A =+sin sin()sin sin A A C A B =+=，cos B A sin sin A B =，∵sin 0B ≠，∴tan A =∵(0,π)A ∈， ∴π3A =．（2）∵π3A =，a =ABC △，1sin 2bc A ∴==， ∴5bc =，∴由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即222212()3()15b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，解得：b c +=∴ABC △的周长为a b c ++==.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1）由正弦定理，cos sin sin B A A B =，由sin 0B ≠，可求tan A =(0,π)A ∈，可求π3A =．（2）利用三角形的面积公式可求5bc =，进而根据余弦定理可得b c +=ABC △的周长的值．25．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数1(=cos cos )+2f x x x x -）.（1）求π()3f 的值；（2）当π[0,]2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1(1,)2--. 【解析】（1）21(cos cos +2f x x x x -1=2cos 222x x - π=sin(2)6x -， 所以π()13f =. （2）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x -≤-≤， 所以1sin 226x π-≤-≤（）1. 由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-. 所以实数c 的取值范围为1(1,)2--.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；（2）首先求得函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c 的不等式组，求解不等式组可得c 的取值范围.。
(完整)2019-2020年高考数学小题专题练习——三角函数(一)
2019-2020年高考数学小题专题练习——三角函数（一）1.函数()()()()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期= ．2.函数cos cos2(R)y x x x =-∈的值域为__ .3.若对任意的[0,]2πθ∈，不等式42sin cos sin cos 0a a θθθθ+--≤恒成立，则实数a 的最小值为 ．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2,3,2a b C A ===，则cos C = .5.设G 为△ABC 的重心，若BG CG ⊥，2BC =，则AB +AC 的最大值为 ．6.已知A ∠为锐角,则4sin 1A +4cos 4A ++的最小值为 ．7.若333sin cos 3x x +=，则20182018sin cos x x +的值为 ．8.如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,那么ϕ的最小值为 ．9.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,2,,AB BC AC CD AC CD ===⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．10.已知△ABC 中，2AC =，6BC =6ACB π∠=，若线段BA 的延长线上存在点D ，使4BDC π∠=，则CD = ．11.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=o ，90B ∠=o ，120C ∠=o ，90E ∠=o ，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为 ．12.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ．13.已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ．14.函数)sin()(ϕω+=x A x f （ϕω,,A 是常数，0>A ，0>ω）的部分如右图，则A = .15.将关于x 的方程sin 4x a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（01a <<）的所有正数解从小到大排列构成数列{a n }，其1a ，2a ，3a 构成等比数列，则1a = ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若cos cos 23b A a B b +=，且22sin sin 23a A b A S =+，则A = ．17.方程(3cos 1)(cos 3sin )0x x x -+=的解集是 ．18.已知1tan 2α=，则sin()cos()tan()24ππαπαα-+-= ; 19.给出下列结论：①()sin1cos 2cos3>->；②若α，β是第一象限角，且αβ<，则tan tan αβ<；③函数sin cos y x x =+图象的一个对称中心是3,04π⎛⎫⎪⎝⎭；④设α是第三象限角，且coscos22αα=-，则2α是第二象限角. 其中正确结论的序号为 ．20.已知()0,∈απ，tan 2=α，则cos2cos +=αα ．21.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2224037+=a b c ，则()tan tan tan tan tan +A BC A B 的值为 ．22.给出以下三个结论：①函数sin =y x 与log =y x π的图象只有一个交点；②函数sin =y x与12⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 的图象有无数个交点；③函数sin =y x 与=y x 的图象有三个交点，其中所有正确结论的序号为 ．23.将函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的最大值为 ．24.已知角θ的终边上一点P 的坐标为(3,4)，则cos 21sin 2θθ+的值为 ．25.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且角A ，B ，C 成等差数列，则a c b c a b+++的值为 ．26.已知函数()cos2xxf x e π-=+，有下列四个结论：①图象关于直线1x =对称； ②f (x )的最大值是2； ③f (x )的最大值是－1；④f (x )在区间[－2017,2017]上有2016个零点其中正确的结论是 ．（写出所有正确的结论序号） 27.在下列结论中：①函数sin()()y k x k Z π=-∈为奇函数；②函数tan(2)6y x π=+的图象关于点(,0)12π对称；③函数cos(2)3y x π=+的图象的一条对称轴为23x π=-；④若tan()2x π-=，则21sin 5x =. 其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都．填上）．28.设向量132(,sin ),(,cos ),23a b αα==+r r 若//a b r r ,则5sin(2)6πα-的值是___________．29.已知函数()2sin cos 3sin f x x x x=- ，设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1324f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则cos α= .30.如图，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD ∠的弧度数大小为 ▲ .31.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是 米．32.已知△ABC 中，AC =4，27BC =，60BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，则BDCD的值为 ．33.如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3AD =，则BD 的长为 ．34.函数()2sin()f x x ωφ=+的图象如下图所示，若点1(,2)6A 、5(,0)3B 均在f (x )的图象上，点C在y 轴上且BC 的中点也在函数f (x )的图象上，则△ABC 的面积为 ▲ ．35.已知函数()cos sin f x x x =⋅,下列说法正确的是 ． ①f (x )图像关于4x π=对称； ②f (x )的最小正周期为2π；③f (x )在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； ④f (x )图像关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;⑤()f x 的最小正周期为2π.参考答案1. 2π2. 9[0,]83. 44.145. 256.107. 18.6π9. 61+10. 311. [3,33)12. 4acosB ﹣bcosA=c ，由正弦定理得sinAcosB ﹣sinBcosA=sinC=sin （A+B ）=（sinAcosB+cosAsinB ）， 整理得sinAcosB=4cosAsinB ，两边同除以cosAcosB ，得tanA=4tanB ， 故.故答案为：4 13. π2由题得故答案为：14. 2 15.920π 方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标， 由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，，构成等比数列，解得故答案为，则又即，17.1{|arccos2,,}36x x k x k kπππ=±+=-+∈Z18.1 15原式=22222211sin tan12sin13(sin cos)3(tan1)15 12αααααα-⋅===+++19. ①③④20. 53-21. 2018 22. ①②23.3224.1 7 -角的终边上的一点P的坐标为，，那么.角A，B，C成等差数列，，∴，由由余弦定理，整理可得：∴26.②④对于①，不是函数的对称轴，也不是函数的对称轴 , 故①不正确；实际上由图像可知是函数对称轴；对于②，当时函数取得最大值1，同时函数取得最大值1，故的最大值是2，②正确；③的最大值是不正确，；对于④，函数的周期为4，由①图象关于直线对称；在每个周期内都有2个零点，故在在区间上有个零点.即答案为②④.27.①③28.7 -9因为，所以，所以，所以所以，故答案是.29.3-158，所以 ， 所以，因为，所以， 所以，故答案是.30.22π- 设正方形的边长为，由已知可得 .31.106设塔高AB 为x 米，根据题意可知，在中，从而有；在中，，由正弦定理可得.故塔高AB 为.32.6BDCD= 设，由余弦定理可得：，化为，解得．设． ∵于点D ，∴解得 ，33. 3BD = 因为，所以，所以，所以，在中，，根据余弦定理得：，所以.34.619解析：)2,61(A 、)0,35(B 在)(x f 上可求得)3sin(2)(ππ+=x x f ，设BC 的中点为D ， 则)1,65(-D ，故)2,0(-C ，设AC 与x 轴的交点为)0,121(E ， 面积619||||21=-⋅=C A y y BE S ．35.②③⑤ ①,, ,不是对称轴，①错误；②，，，是的最小正周期，②正确；③时，，，在单调递减，③正确； ④是奇函数图象关于对称， 不是对称中心，④错误；⑤，，⑤正确，故答案为②③⑤.11。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
专题11 三角函数及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题11 三角函数及其性质【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】 【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+- ⎪⎝⎭， 所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 22x x =-=-，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.【命题意图】（1）能画出y =sin x ，y =cos x ，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x 轴的交点等）. （3）能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响.（4）理解同角三角函数的基本关系式、诱导公式，能运用和与差的三角函数公式、二倍角公式等进行简单的恒等变换. 【命题规律】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】（一）函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2πTω=. （3）求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. （五）三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0. （六）三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．（2）利用公式2π(0)T ωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为 A ．91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由题意得22()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++21992sin 0,488x ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选D.【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及性质，考查二次函数值域，考查运算求解能力，是中档题. 2．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学试题】函数()[]()cos 2π,2πf x x x =∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为A ．5π3B ．2πC ．7π6D ．π【答案】B【解析】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =. 又[]π,2πx ∈-，所以2x π=-或32x π=或π6x =或5π6x =， 所以函数()[]()cos 2π,2πf x x x =∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和为π3ππ5π2π2266-+++=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.求解时，根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.3．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题】若函数()()πsin 103f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3，则()f x 图象的一条对称轴为 A ．π18x =- B ．5π2x =- C ．7π18x =D ．π2x =【答案】C【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π3T ω==，解得=3ω. ()πsin 313f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()ππ3π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ318k x k =+∈Z ，取1k =，可得()f x 图象的一条对称轴为7π18x =. 故选C.【名师点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数()()sin f x A x B ωϕ=++，最小正周期为2πT ω=，令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z 可得对称轴方程.求解本题时，先由最小正周期求出ω，再令()πππ32x k k ω+=+∈Z 可得对称轴方程，从而可得答案. 4．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学试题】函数2sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递增区间为A ．πππ,π63k k 轾犏-+犏臌，k ∈Z B ．ππ3π,3πk k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．ππ6π,6πk k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【答案】C【解析】根据函数2sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的部分图象， 可得：3321ππ13441π64π2T ω=⋅=-=， 解得：2ω=，由于点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 22π6ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 可得：22π6ππ2k ϕ⨯+=+，k ∈Z ， 解得：π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，由于：0πϕ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 2π6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k ∈Z 解得：ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ， 可得：函数()f x 的单调递增区间为：πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象与性质，属于中档题.求解本题时，利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，再利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.掌握函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>，把x ωϕ+看作是一个整体，由π2π2k x ωϕ+≤+≤()3π2π2k k +∈Z 求得函数的减区间，ππ2π2π22k x k ωϕ-+≤+≤+()k ∈Z 求得增区间.5．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的相邻对称轴之间的距离为π2，将函数图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则()g x =A ．πsin()3x + B ．πsin(2)3x +C ．cos2xD ．πcos(2)3x +【答案】C【解析】函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的相邻对称轴之间的距离为π2， 则π22T =， 解得：πT =， 所以2ππω=，解得2ω=，将函数π()sin(2)6f x x =+的图象向左平移6π个单位， 得到ππππ()sin[2()]sin 2cos 26636g x x x x ⎛⎫=++=++=⎪⎝⎭的图象， 故选C ．【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．求解时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．6．【河北省廊坊市高三年级期中联合调研考试】已知函数ππ()cos(2))133f x x x =+++，则下列判断错误的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于点0π,4⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 的值域为[]1,3-D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称【答案】B【解析】因为ππππ()cos(2))12sin 212cos 213363f x x x x x ⎛⎫=+++=+++=+ ⎪⎝⎭， 所以其最小正周期为2π2πT ==，A 正确； 因为1cos21x -≤≤，所以[]()2cos211,3f x x =+∈-，C 正确； 由2()πx k k =∈Z 得π()2k x k =∈Z ，即函数()f x 的对称轴为π()2k x k =∈Z ，D 正确； 由π2π()2x k k =+∈Z 得ππ()42k x k =+∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,1()42k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以B 错误. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.求解时，先将函数ππ()cos(2))133f x x x =+++化为()2cos 21f x x =+，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.7．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在区间7π2π,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且π()14f =，30π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最大值为 A ．7 B ．9 C ．11D ．13【答案】B【解析】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在区间7π2π,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 则273121ππ2π2T -=≤，解得π6T ≥，所以2ππ6ω≥，即12ω≤， 又由π3π()1,()044f f ==，则3ππ4442T k T -=+，即π21212π244k k T ω++==⋅， 解得21,k k ω=+∈Z ，当5k =时，此时11ω=，则()sin(11)f x x ϕ=+， 又由π()14f =，即π11π()sin()144f ϕ=+=，解得π4ϕ=-，即()πsin(11)4f x x =-，此时函数()f x 在区间7π2π,123⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不满足题意. 当4k =时，此时9ω=，则()sin(9)f x x ϕ=+， 又由π()14f =，即π9π()sin()144f ϕ=+=，解得π4ϕ=，即()πsin(9)4f x x =+，此时函数()f x 在区间7π2π,123⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，满足题意， 所以ω的最大值为9，故选B.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理列出关于周期的不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题.求解本题时，根据函数()f x 在区间7π2π,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调，得273121ππ2π2T -=≤，解得12ω≤，又由已知中π3π()1,()044f f ==，得3ππ4442T kT -=+，得到21,k k ω=+∈Z ，代入验证，即可求解. 8．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)试题】将函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【解析】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()g x 的最大值为2，可知A 错误； ()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；π3x =时，ππ66x -=，则π3x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误；当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ0,62x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项为D.【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.9．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三第一次模拟（5月）数学试题】设函数π()sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为A ．π6 B ．π2C ．7π6D ．π【答案】B【解析】当5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有π2π,63πα⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[2f α∈-.在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []πππ0,,[,]666m m ββ∈-∈--，所以ππ2ππ5π[,),[,)63326m m -∈∈. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.求解时，先求()3[,0]f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()3[0,]f f βα=-∈，得ππ2π[,)633m -∈，从而得解. 10．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试数学试题】已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象经过两点2π(0,),(,0)24A B ，()f x 在π(0,)4内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x = A ．πsin 34x ⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．3πsin 54x ⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．πsin 74x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．3πsin 94x ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图象大致如下：因为2(0)sin 2f ϕ==3π2π()4k k ϕ=+∈Z ， 又因为0πϕ<<，所以3π4ϕ=，所以3π()sin()4f x x ω=+， 因为ππ3π()sin()0444f ω=+=，由图可知，π3ππ2π44k ω+=+，解得18,k k ω=+∈Z ， 又因为2ππ4T ω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3π()sin(9)4f x x =+，故选D.【名师点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.这类型题的关键在于结合图象，以及各个参数的几何意义，利用特殊点代入求解.求解本题时，由题意画出函数()f x 的图象，然后结合图象以及题目的条件，利用特殊点代入，结合参数范围，即可求出函数的解析式.11．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学试题】已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是 A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()y f x =的图象关于直线π3x =对称 D ．()y f x =的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】函数21()sin cos 2f x x x x =++=1cos 212222x x -+=sin （2x π6-）+1.对于A ：根据f （x ）＝sin （2x π6-）+1可知最大值为2，则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x π6-）+1的最小正周期为T ＝π，则B 不对； 对于C ：令2x π6-=ππππ,223k k x k ，Z +\=+?，故图象关于直线π3x =对称，则C 正确； 对于D ：令2x π6-=πππ,212k k x k ，Z \=+?，故()y f x =的图象关于点7π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则D 不对． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．求解时，利用二倍角公式和辅助角公式化简得f (x )的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．12．【湖北省黄冈市2019届高三2月联考数学试题】已知函数()ππ2sin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线()00ax y a -=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为123,,x x x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-A ．−2B ．2C ．−1D ．1【答案】D【解析】由题意得，()sin 2f x x =-，则()2cos2f x x '=-，易知直线()00ax y a -=>过定点()0,0，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，∴1320,0x x x +==，则切线方程过点()()()1133,sin 2,0,0,,sin 2x x x x --， ∴333sin 202cos 20x x x ---=-，即333sin 22cos 2x x x =，则33tan 22x x =，∴()()123133123133tan tan tan 212x x x x x x x x x x x x +---===+---. 故选D.【名师点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．对于本题，根据题意得到()sin 2f x x =-，()2cos2f x x '=-，画出函数图象，可知切线方程过点()()()1133,sin 2,0,0,,sin 2x x x x --，由切线的几何意义得到：333sin 202cos 20x x x ---=-，进而得到结果.13．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】已知函数()3cos f x x x ωω=+(>0)ω的零点构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是 A ．在[,]42ππ上是增函数 B ．其图象关于π4x =-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．在区间π2π[,]63上的值域为[−2，1] 【答案】D【解析】()cos f x x x ωω=+可变形为π()2sin()6f x x ω=+，因为()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列，所以()y f x =的周期为π， 故2ππω=，解得2ω=，所以π()2sin(2)6f x x =+，函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位后得到()()22sin[()]sin()cos(22)222x g f x x x x ++===++=πππ666π，选项A ：222,k x k k -+≤≤∈πππZ ，解得：k x k k 2-+≤≤∈πππ,Z ， 即函数()y g x =的增区间为π[π,π],2k k k -+∈Z ，显然π[,][π,π]422k k ππ⊄-+，故选项A 错误； 选项B ：令2π,x k k =∈Z ，解得：k x k 2=∈π,Z ，即函数()y g x =的对称轴为k x k 2=∈π,Z ，不论k 取何值，对称轴都取不到π4x =，所以选项B 错误； 选项C ：()y g x =的定义域为R ，因为2cos02(00)g ==≠，所以函数()y g x =不是奇函数，故选项C 错误； 选项D ：当π2π[,]63x ∈时，故42[,]33x ∈ππ，根据余弦函数图象可得，2cos(2[)2(),1]x g x ∈-=，故选项D 正确. 故本题应选D.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了图象平移的规则，整体法思想是解决本题的思想方法.根据()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列可得函数()y f x =的周期，从而得出函数()y f x =的解析式，沿x 轴向左平移π6个单位，便可得到函数()g x 的解析式，由()y g x =的解析式逐项判断选项的正确与否即可.14．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】若函数()2sin()(0,f x x ωϕϕ=+>0π)ϕ<<的图象经过点π,26⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则π()4f 的值为______．【解析】因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以2ππω=，2ω∴=， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数的图象经过点π,26⎛⎫⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πϕ<<Q ，π6∴=ϕ，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2sin 426f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【名师点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．求解时，根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f （π4）的值．。
2019-2020年高考数学小题专题练习——三角函数(一)(2021年整理)
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2019-2020年高考数学小题专题练习——三角函数（一）1.函数()()()()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期= ．2.函数cos cos2(R)y x x x =-∈的值域为__ .3。
若对任意的[0,]2πθ∈,不等式42sin cos sin cos 0a a θθθθ+--≤恒成立，则实数a 的最小值为 ．4.在△ABC 中，内角A ,B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2,3,2a b C A ===，则cos C = .5.设G 为△ABC 的重心，若BG CG ⊥，2BC =，则AB +AC 的最大值为 ．6.已知A ∠为锐角,则4sin 1A +4cos 4A ++的最小值为 ．7.若333sin cos 3x x +=,则20182018sin cos x x +的值为 ．8。
如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为 ．9.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,2,,AB BC AC CD AC CD ===⊥,当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．10.已知△ABC 中，2AC =，6BC =，6ACB π∠=，若线段BA 的延长线上存在点D ，使4BDC π∠=，则CD = ．11。
专题12 三角函数(全题型压轴题)-2024年高考数学压轴专题复习(学生版)
.
6．（2023 春·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）将函数 y 3sin 2x+ 0 π 的图像向左平移 π 个
6
单位后得到函数 y g x ，若函数 y g x 是 R 上的偶函数，则
．
③三角函数零点问题（解答题）
1．（2023 春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数
4．（2023 春·四川成都·高一统考期末）已知函数 f x 3 sin x cos x 1 sin 4 x cos4 x 1 x R ，函数 2
y f x 的图象向左平移 π 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y g x 的图象，
6
h x cos x cos x 3m mmR .
3
sin
x
π 6
0
的图象上相邻两个最高点
的距离为 π ．
(1)求函数 f x 的图象的对称轴；
(2)若函数
y
f
x
m
在
0,
π 2
内有两个零点
x1
,
x2
，求
m
的取值范围及 cos x1
x2
的值．
7．（2023
春·江西·高一统考期末）已知函数
f
x 2cos2xcos cos
2sinxcosxsin
B．
π 2
,
17π 24
C．
7π 24
,
19π 24
D．
7π 24
,
17π 24
5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在
R
上的奇函数
f
(x)
与偶函数
g(x)
满足
f
(x)
2019—2020年新课标高考数学理科试题分类精编6三角函数
2019—2020年新课标高考数学理科试题分类精编6三角函数第6部分-三角函数一.选择题1.( 2018年陕西理3)关于函数()2sin cos f x x x =，以下选项中正确的选项是 〔 〕〔A 〕()f x f 〔x 〕在〔4π，2π〕上是递增的 〔B 〕()f x 的图像关于原点对称 〔C 〕()f x 的最小正周期为2π 〔D 〕()f x 的最大值为2 【答案】B 【解析】∵()x x f 2sin =，∴易知()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上是递减的，∴选项A 错误. ∵()x x f 2sin =，∴易知()x f 为奇函数，∴()x f 的图象关于原点对称，∴选项B 正确. ∵()x x f 2sin =，∴ππ==22T ，∴选项C 错误. ∵()x x f 2sin =，∴()x f 的最大值为1，∴选项D 错误.故综上知，此题应选B .2.( 2018年全国理4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0〔2，-2〕，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时刻t 的函数图像大致为【答案】C 解析：明显，当0t =时，由得2d =，故排除A 、D ，又因为质点是按逆时针方向转动，随时刻t 的变化质点P 到x 轴的距离d 先减小，再排除B ，即得C ．另解：依照条件得2,1,4A πωϕ===-，再结合得质点P 到x 轴的距离d 关于时刻t 的函数为2sin()4d t π=-，画图得C ．3〔2018年全国理9〕假设4cos 5α=-，α是第三象限的角，那么1tan21tan 2αα+=- (A) 12-(B)12(C) 2 (D) -2【答案】A 解析：由得3sin 5α=-，因此3tan 4α=，又2α属于第二或第四象限， 故由22tan2tan 1tan 2ααα=-解得：tan 32α=-，从而1tan1221tan 2αα+=--．另解：由得3sin 5α=-，因此222sin211tancoscossin(cossin )1sin 1222222cos 21tan sin cos sin cos sin 2222221cos2αααααααααααααααα+++++=====----+ 4(2018年福建理1)cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于〔 〕A.122【答案】A 【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，应选A 。
高考数学大题专题练习 (1)
10 10
＋
5 5
3 ×
1010＝
2 10 .
第8页
3.(2019·东北三省三校第一次联考)设函数 f(x)＝sin2x－π6＋ 2cos2x.
(1)当 x∈0，π2时，求函数 f(x)的值域； (2)△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 f(A) ＝32， 2a＝ 3b，c＝1＋ 3，求△ ABC 的面积.
1－－
11002＝3
10 10 .
在△ ABC 中，由正弦定理得sinaA＝sibnB，
即 3
310＝sin2B，
10
第7页
∴sinB＝ 55.又 A∈π2，π，故 B∈0，π2，
∴cosB＝ 1－sin2B＝
1－
552＝2
5
5 .
∴cos(B － A) ＝ cosBcosA ＋ sinBsinA ＝ 255 ×－
∵ 2a＝ 3b，∴由正弦定理可得 2sinA＝ 3sinB，
∴sinB＝
2 2.
第11页
∵0<B<23π，∴B＝π4.
∴sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝
6＋ 4
2 .
∵由正弦定理可得sincC＝ 42＝sibnB，
∴b＝2.
∴S△ ABC＝12bcsinA＝3＋2
3 .
第12页
4.(2019·广东省六校第二次联考)已知△ ABC 的三个内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinAsinB＋bcos2A＝53a.
(1)求ba； (2)若 c2＝a2＋85b2，求角 C 的大小.
第13页
解析 (1)由正弦定理及已知条件得 sin2AsinB＋sinBcos2A＝ 53sinA，即 sinB(sin2A＋cos2A)＝53sinA，
2020年高考数学(理)大题分解专题01 三角函数与解三角形(含答案)
已知向量(sin cos ,2cos )x x x =+m ，sin co,s )s in (x x x =-n ，()1f x =⋅+m n ． （1）求()f x 的解析式，并求函数()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的值域．【肢解1】在已知条件下求出，函数()f x 的解析式.【肢解2】在“肢解1”的基础上，完成问题：函数()f x 的单调增区间. 【肢解3】在已知条件下，求()f x 在[0,]2π上的值域.【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k x k π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（6分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)14x π≤-≤，（8分）大题肢解一三角函数的图象及其性质所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（12分）此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si (n )y A x B ωϕ++=的形式，再结合正弦函数sin y x =的性质研究其相关性质．（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数sin y x =，sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为x ωϕ±.②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【拓展1】已知向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，x ∈R ，已知函数()()f x =⋅+a a b . 求()f x 的最值与最小正周期；【解析】由向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，所以()sin cos ,2cos x x x +=+a b ， 所以()()()2sin sin cos 2cos f x x x x x =⋅+=++a a b ()111sin 2cos 2122x x =+++32224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又[]sin 2-1,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()f x的最大值是322+，最小值是322-，()f x 的最小正周期是22T π==π. 【拓展2】已知函数23()cos cos 2f x x x x =++，当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域.【解析】由题得1cos 23()2sin(2)22226x f x x x +π=++=++， ∵[,]63x ππ∈-， ∴2[,]666x ππ5π+∈-， ∴1sin(2)126x π-≤+≤， ∴函数()y f x =的值域为3[,3]2.（2019年河北省存瑞中学高三上一质检）已知向量)1cos ,,,cos2,2x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R a b ,设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】由已知可得：变式训练一()11·cos cos2cos2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭a b ,（3分）（1）()f x 的最小正周期2π2T π==；（5分） （2）由3222,262k x k k ππππ+≤-≤π+∈Z ,可得5,36k x k k πππ+≤≤π+∈Z , ()f x ∴的单调递减区间为()5,36k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（7分）（3）0,2x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,（10分）()f x ∴的最大值为1,最小值为12-．（12分）在锐角ABC △中，角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，已知ππsin 2)cos()44B B B =+-. （1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC △的面积为2，求ABC △的周长．【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理求解即可.大题肢解二解三角形【解析】（1）因为在锐角ABC △中，ππsin 2)cos()44B B B =+-，所以ππsin 2cos()sin()44B B B =++，所以sin 22B B =，（3分） 因为cos20B ≠，所以tan 2B =因为π02B <<， 所以π6B =.（6分） （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212cos a c ac B =+-，所以221a c =+，（8分）因为ABC △的面积为2，所以1πsin 26ac =，即ac = 所以227a c +=，（10分）所以22()7(2a c +=+=+，所以2a c +=+所以3a b c ++=+ABC △的周长为3（12分）（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：①根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （2）求三角形面积的方法：①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【拓展1】已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围. 【答案】（1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin ,则ca ba b a c +=--.⇒ab c b a =-+222,所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C , （2）由ab c b a =-+222 且3=c ,⇒ab ab b a =--+92)(2, ⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+, ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a ,又3=>+c b a ,所以b a +的取值范围是]6,3(.【拓展2】在ABC ∆中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，cos cos 2A aC b c=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2,bc =ABC ∆的周长为3，求a 的值.【答案】（1）23A π=（2）a =【解析】（1）因为cos cos 2A aC b c=-+ 由正弦定理得cos sin cos 2sin sin A A C B C=-+ sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=sin()2cos sin 0A C A B ++=sin 2cos sin 0B A B +=,(0,)B π∈, 1cos 2A =-,(0,)A π∈,23A π=（2）由余弦定理得2222222cos 2a b c bc Aa b c =+-⇒=++因为周长3a b c ++=，又222a b c =+-（），所以2232a a =+-（），所以a =【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题．（百校联盟2019-2020学年高三上学期10月尖子生联考数学理科试题）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若ABC △的面积为ABC ∆周长的最小值.【解析】（1）cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，且A B C ++=π，()1cos 2cos cos 2A C C C A ⎫∴-+=-⋅⎪⎪⎝⎭，（2分）sin sin cos A C C A ∴⋅=，0C <<π，且0A <<π，sin 0,sin C A A ∴>∴=，3A π∴=.（6分） 变式训练二（2）由1sin 2S bc A ==，得8bc =.（8分） 又222a b c bc =+-，28a bc ∴≥=，（当且仅当b c =时取等号），（10分） ()2224b c a ∴+=+，l a b c a a ∴=++=+≥，l ∴≥=ABC∴△周长的最小值为.（12分）已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数的最小正周期及在区间π2π[,]123上的值域；（2）在ABC△中，ABC △的面积.【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理及三角形的面积公式求解即可.()f x ()f x 5AB =大题肢解三三角函数与解三角形的综合问题【解析】（1）∵πππ()cos(2)2sin()cos()344f x x x x =-+--1πcos 22sin(2)222x x x =++-12cos 2cos 2x x x =+-12cos 22x x =- πsin(2)6x =-.（3分）的最小正周期为2ππ2T ==；∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈，（4分） ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴在区间π2π[,]123（6分）（2π1sin(2)62A -=，即π6A =，（7分） 由余弦定理得2725(0b b b =+-⇒--=，∴b =b =（10分）)(x f ∴()f x∴ABC △（12分）此类问题是将三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，其间只需熟练掌握三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.【拓展1】已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12C c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若sin 2sin B A =，求,a b 的值.【解析】（1）1cos 22()221sin 2212sin 223x f x x x x x π⎛⎫-+ ⎪π⎛⎫⎝⎭=-=+=+- ⎪⎝⎭，所以22T π==π.（4分） （2）因为12sin 1sin 0233C f C C ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⇒-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0C <<π，所以3C π=.（5分） 因为222222cos 3c a b ab C a b ab =+-⇒=+-①，因为sin sin a b A B=，sin 2sin B A =，所以2b a =②，联立方程①②得：1,2a b ==.（12分）[广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正变式训练三弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.1．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，且22sin 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC △sin A B ，求sin A 及c 的值．【解析】（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴=，sinA C ∴=，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．2．（2019·沙雅县第二中学押题卷）已知点)P，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.（1）求函数()f x 的解析式及最小正周期;（2）若A 为ABC △的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆ABC △的周长. 【解析】（1）.()3,1OP =，()3cos ,1sin QP x x =-.∴()f x OP QP =⋅)3cos 1sin x x =-+-42sin 3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π.（2）.因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0A <<π，所以23A π=，因为1sin 2ABC S bc A ∆=12sin 234bc π==，所以3bc =，根据余弦定理22222cos3a b c b π=+-2()29b c bc bc =+-+=，所以b c +=即三角形的周长为3+3．（四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学试题）锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin C c B +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC △的周长的取值范围．【解析】（1cos sin C c B +=，cos sin sin B C C B A +=， 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入整理得sin sin sin C B B C =，又由(0,)C ∈π，则sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =又因为(0,)B ∈π，所以3B π=. （2）因为3b B π==,且由正弦定理，可得2sin sin sin a b cA B C====， 即2sin ,2sin a A c C ==，所以周长22(sin sin )2(sin sin())3L a b c a c A C A A π=++=+=+=+-32(sin ))26A A A π=+=+，即)6L A π=+又因ABC △为锐角三角形，且23A C π+=， 所以203202A A ππ⎧<-<⎪⎪⎨π⎪<<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，则有sin()6A π+∈ 即(3L ∈， 即ABC △的周长取值范围为(3+.4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学试题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC △的面积21tan 6S b A =. （1）证明：3cos b c A =；（2）若a c ==，求tanA .【解析】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==得3sin tan c A b A = ． 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A =由余弦定理得2222a b c bccosA =+-，所以22845530cos A cos A -=+，解得21cos 5A =因此24sin 5A =，即2tan 4A = 由（1）得cos 0A ＞，所以tan 0A ＞ ， 故tan 2A =．5．（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（1）求角A 的大小；（2）若cos 7B =，a =ABC △的面积S 的值. 【解析】（1）∵由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， ∴有sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=， 则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222b c a bb c a c R R R R⋅+⋅=⋅+⋅， 即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-， 又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =， 由()0,A ∈π，得3A π=； （2）由（1）知，3A π=，则sin 2A =，1cos 2A =，∵cos B =，()0,B ∈π，∴1sin 7B ==， ∴()1113sin sin 272714C A B =+=+⨯=，由正弦定理得，13sin 13sin a C c A===，∴111sin 132272S ac B ==⨯⨯=. 6．（河南省郑州市第一中学2019届高三高考适应性考试数学试题）在ABC △中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，已知3a =，cos cos cos sin cos B A C B C b+=.（1）若c =，求sin A ；（2）若AB 边上的中线长为2，求ABC △的面积.【解析】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C b+=，由正弦定理，得cos cos cos sin cos B A C B C +=，所以cos()cos cos sin cos A C A C B C -++=.所以sin sin cos A C A C =.又因为sin 0A ≠，所以tan C =因为(0,)C ∈π，所以3C π=.又因为sin sin a c A C =，所以3sin A =，所以3sin 4A =. （2）设AB 边上的中线为CD ，则2CD CA CB =+，所以22224()2cos CD CA CB b a ab C =+=++，即23793b b =++，23280b b +-=. 解得4b =或7b =-（舍去）.所以11sin 4322ABC S ab C ∆==⨯⨯=.7．（河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测试卷数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC △的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==. 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.8．（重庆市2019届高三高考全真模拟考试数学试题）已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，sin cos (sin )0A C B B -+=．（1）求角C ；（2）若b =c =AB 边上的高长．【解析】（1）()sin cos sin 0A C B B -=，()()sin cos sin 0B C C B B ∴+-=， ()cos sin 0B C C ∴=，tan C ∴=3C π∴=．（2）由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，可得：210a -=，可得：a =，由等面积可得：11sin 22S ab C ch ==，可得：h =． 9．[惠州市2020届高三第三次调研考试数学（理）]【答案】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，π3ABC ∠=，1sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=，所以22AB =，解得3AB =． 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，因为0AC >，所以AC =（2）设ACD α∠=，则ππ33ACB ACD α∠=∠+=+． 在Rt ACD ∆中，因为AD =sin AD AC α==． 在ABC ∆中，ππ3BAC ACB ABC α∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2πsin()3α=-， 所以2sin()sin 3παα-=，所以12(cos sin )sin 22ααα-=，2sin αα=，所以tan α=，即tan ACD ∠=。
2019-2020年高考数学三角函数(一) (1)
2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）1. 【山东肥城】已知函数22()2sin 2sin ()6f x x x π=--，x R ∈.（1）求函数()y f x =的对称中心；（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()262B b cf aπ++=，ABC ∆△ABC 周长的最大值.【解析】()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x xππ⎡⎤=----=--⎢⎥⎣⎦1cos 22cos 222x x x =+-12cos 2sin(2)226x x x π=-=-. （1）令26x k ππ-=（k Z ∈），则212k x ππ=+（k Z ∈）， 所以函数()y f x =的对称中心为(,0)212k ππ+k Z ∈；（2）由()262B b c f a π++=，得sin()62b cB aπ++=，即1sin cos 222b c B B a ++=，sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，sin sin cos sin A B B A B =+， 又因为sin 0B ≠，cos 1A A -=，即1sin()62A π-=， 由0A π<<，得5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=，又ABC ∆所以3a A ==，由余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-2223()()()44b c b c b c +≥+-+=，即6b c +≤，当且仅当b c =时取等号，所以周长的最大值为9.2.【河北衡水】已知函数()22sin cos 2cos f x a x x b x c =++()0,0a b >>，满足02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]0,x π∈时，()f x 在6x π=取得最大值为52.（1）求函数()f x 在[]0,x π∈的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()32f C =，求222222a b c a b c +++-的取值范围.【解析】（1）易得()55sin 2366f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，整体法求出单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）易得3C π=，则由余弦定理可得2222222222a b c a b ab a b c ab +++-=+-21b a a b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得2sin sin 3sin sin A b B a A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭==11,22tan 22A ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以[)2222223,4a b c a b c ++∈+-.3.【山东青岛】已知向量1cos ,2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r，,cos 2)b x x =r，x R ∈，设函数()f x a b =⋅r r .（1）求f (x )的最小正周期； （2）求函数f (x )的单调递减区间；（3）求f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【解析】1()cos ,2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,cos 2)x x ⋅1sin cos 22x x x =-12cos 222x x =- cossin 2sincos 266x x ππ=-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）()f x 的最小正周期为222T πππω===，即函数()f x 的最小正周期为π. （2）函数sin(2)6y x π=-单调递减区间：3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 得：536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴所以单调递减区间是5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤. 由正弦函数的性质， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1.当266x ππ-=-，即0x =时，1(0)2f =-， 当5266x ππ-=，即2x π=时，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小值为12-. 因此，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.4.【浙江余姚】已知函数)6cos(sin sin )(2π-+=x x x x f .（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值．【解析】（1）由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6cos sin sin )(2πx x x x f)sin 21cos 23(sin sin 2x x x x ++= x x x cos sin 23sin 232+= x x 2sin 43)2cos 1(43+-= 43)2cos 232sin 21(23+-=x x 43)32sin(23+-=πx )(x f ∴的最小正周期为π （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx Θ，32323πππ≤-≤-∴x ∴当332ππ-=-x ，即0=x 时，0)(min =x f ；当232ππ=-x ，即125π=x 时， 4332)(max +=x f综上，得0=x 时，)(x f 取得最小值，为0； 当125π=x 时，)(x f 取得最大值，为4332+5.【山东青岛】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 3b A ac +=． （1）求cos B ；（2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，6BC =，求AB 的长．【解析】解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得3sin cos sin sin B A A C +=， 又()C A B π=-+，所以3sin cos sin sin()B A A A B +=+， 故3sin cos sin sin cos cos sin B A A A B A B +=+， 所以3sin cos sin 3A B A =， 又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故3cos 3B =（2）2D B ∠=∠Q ，21cos 2cos 13D B ∴=-=- 又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =∴由余弦定理可得22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=， ∴23AC =， 在ABC ∆中， 6BC =， 23AC =， 3cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅， 即23126263AB AB =+-⋅⨯⨯，化简得22260AB AB --=，解得32AB =． 故AB 的长为32．6.【江苏泰州】如图，在△ABC 中，2ABC π∠=，3ACB π∠=，1BC =.P 是△ABC 内一点，且2BPC π∠=.（1）若6ABP π∠=，求线段AP 的长度；（2）若23APB π∠=，求△ABP 的面积.【解析】（1）因为6PBC π∠=，所以在Rt PBC ∆中，2BPC π∠=，1BC =，3PBC π∠=，所以12PB =， 在APB ∆中，6ABP π∠=，12BP =，3AB =，所以 2222cos AP AB BP AB BP PBA =+-⋅⋅∠ 1137323424=+-⋅⋅⋅=，所以7AP =； （2）设PBA α∠=，则PCB α∠=，在Rt PBC ∆中，2BPC π∠=，1BC =，PCB α∠=，所以sin PB α=，在APB ∆中，ABP α∠=，sin BP α=，3AB =，23APB π∠=， 由正弦定理得：sin 31sin 22sinsin 33ααππα=⇒⎛⎫- ⎪⎝⎭31cos sin 22αα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 3sin cos αα⇒=，又2223sin cos 1sin 7ααα+=⇒= 1sin 2ABP S AB BP ABP ∆⇒=⋅⋅∠21333sin 214α==.8.【辽宁抚顺】已知向量m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,x sin π，n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34,x cos π，()=x f ⋅m n （1）求出f (x )的解析式，并写出f (x )的最小正周期，对称轴，对称中心；（2）令()⎪⎭⎫⎝⎛-=6πx f x h ，求h (x )的单调递减区间；（3）若m //n ，求f (x )的值．【解析】（1）()=x f n m ⋅344+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx cos x sin3222134221+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx sin x sin 1cos 232x =-+ 所以()x f 的最小正周期π=T ，对称轴为()Z k kx ∈=,2π 对称中心为()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+,3,24ππ （2）()332216+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx cos x f x h令Z k k x k ∈≤-≤+-,2322ππππ 得Z k ,k x k ∈+≤≤+-ππππ63所以()x h 的单调减区间为Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ63（3）若m //n ，则3sin cos 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即314=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx tan 2tan =∴x()1cos 232f x x =-+()221sin cos 32x x =-+22221sin cos 32sin cos x x x x -=⋅++ 103331tan 1tan 2122=++-⋅=x x9.【辽宁抚顺】已知函数()12322-+=x cos x cos x sin x f ，()R x ∈． （1）求函数()x f 的最小正周期及在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最大值和最小值；（2）若()560=x f ，x 0∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ,，求cos 2x 0的值．【解析】（1）由f (x )＝x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )x cos x )＋(2cos 2x －1)x ＋cos 2x ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ，所以函数f (x )的最小正周期为π 162216762620≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴≤+≤∴≤≤πππππx sin ,x ,x Θ 所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最大值为2，最小值为－1（2）由（1）可知f (x 0)＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+620πx又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+620πx ＝35.由x 0∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ,，得2x 0＋6π∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6732ππ,从而cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+620πx ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+--62102πx sin ＝－45所以cos 2x 0＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+6620ππx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+620πx cos 6π＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+620πx sin 6π10.【广西桂林】已知()24sin sin 42x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()cos sin cos sin 1x x x x +--.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）常数0ω>，若函数()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数ω的值.【解析】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=.∴2T π=. （2）()2sin fx x ωω=.由2222k x k πππωπ-≤≤+得22,22k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈， ∴()fx ω的递增区间为22,,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∵()fx ω在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴当0k =时，有2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ∴0,,222,23ωππωππω⎧⎪>⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩解得304ω<≤ ∴ω的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.（3）()1sin 2sin cos 12g x x a x a x a =+---. 令sin cos x x t -=，则2sin 21x t =-.∴22111122y t at a t at a =-+--=-+-221242a a t a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭.∵sin cos 24t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤，∴21t -≤≤. ①当22a <-，即22a <-时，在2t =-max 1222y a ⎫=--⎪⎭.由12222a ⎫--=⎪⎭，解得()8221227221a ==->-+). ②当212a-≤≤，即222a -≤≤时，2max 142a y a =-，由21242a a -= 得2280a a --=解得2a =-或4a =（舍去）.③当12a >，即2a >时，在1t =处max 12a y =-，由122a-=得6a =. 综上，2a =-或6a =为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ABC 是临江公园内一个等腰三角形．．．．．形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰60CA CB ==米，2cos 3CAB ∠=.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC ，AB 上分别取点E ，F （异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF （宽度不计），使得三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.（1）若水上观光通道的端点E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），求此时水上观光通道EF 的长度；（2）当AE 为多长时，观光通道EF 的长度最短？并求出其最短长度.【解析】（1）在等腰ABC ∆中，过点C 作CH AB ⊥于H ， 在Rt ACH ∆中，由cos AH CAB AC ∠=，即2603AH =，∴40AH =，80AB =， ∴三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.∴AE AF EF CE BC BF EF ++=+++，即()()606080AE AF AE AF +=-++-， ∴100AE AF +=.∵E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），∴40AE =，60AF =， 在AEF ∆中，2222222cos 4060240602003EF AE AF AE AF CAB =+-⋅∠=+-⋅⋅⋅=，∴2000205EF ==米.即水上观光通道EF 的长度为205.（2）由（1）知，100AE AF +=，设AE x =，AF y =，在AEF ∆中，由余弦定理，得()2222224102cos 33EF x y x y CAB x y xy x y xy =+-⋅∠=+-=+-. ∵22502x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴()2222102100505033EF ≥-⨯=⨯. ∴5063EF ≥，当且仅当x y =取得等号， 所以，当50AE =米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为5063米. 12.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.【解析】（1）在直角NFP ∆中，因为3PF=FPN θ∠=， 所以3NF θ=，所以()1113322NAP S NA PF θ∆=⋅=+， 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM πθ∠=-，所以tan 3ME πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=+-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦， 所以NAP AMP S S S ∆∆=+31tan tan 3223πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为31tan tan 3223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()33tan tan 32213tan θθθ-=+++， 令13tan t θ=+，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]1,4t ∈， 所以2343323323S t t t⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭343322333t t ≥⨯⨯+=+， 当且仅当233t =时，即23tan 3θ-=时等号成立， 此时，233AN =，min 323S =+， 答：当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+. 13.【江苏苏州】如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，AB AD ⊥，AB =1. （1）若3AB BC =u u u r u u u r g ，求△ABC 的面积；（2）若22BC =，5AD =，求CD 的长度.【解析】 （1）因为3AB BC =u u u r u u u r g ，所以3BA BC =-u u u r u u u r g ，即cos 3BA BC ABC ⋅∠=-u u u r u u u r ， 又因为34ABC π∠=，1AB =，所以31cos 34BC π⨯=-u u u r ，则32BC =u u u r ， 所以13sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=u u u r u u u r . （2）在ABC ∆中，由余弦定理得：22232cos 4AC AB BC AB BC π=+-⋅2182122132⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 解得：13AC =，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即213sin 13BAC ∠=， 所以213cos cos sin 213CAD BAC BAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭， 在ACD ∆中，由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅∠，即32CD = .14.【山东栖霞】已知函数()()sin =+f x A x ωϕ0,0,22⎛⎫>>-< ⎪⎝⎭A ππωϕ<的部分图象如图所示，B ，C 分别是图象的最低点和最高点，244=+BC π.（1）求函数f (x )的解析式；（2）将函数()=y f x 的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()=y g x 的图象，求函数()2=y g x 的单调递增区间.15.【山东滕州】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）把函数()y f x =图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求关于x 的方程()(02)g x m m =<<在11[,]33x ππ∈-时所有的实数根之和.。
2019年高考试题汇编理科数学---三角函数
(2019全国1理)11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ）A.①②④B.②④C.①④D.①③ 答案：C 解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确， 因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C.(2019全国1理)17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；（22b c +=，求sin C . 答案：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴sin()2sin 23C C π++=,1cos 22C C -=∴sin()6C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=.(2019全国2理)9. 下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A.|2cos |)(x x f = B.|2sin |)(x x f = C.||cos )(x x f = D.||sin )(x x f = 答案：A解答：对于A,函数|2cos |)(x x f =的周期2T π=,在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,符合题意； 对于B,函数|2sin |)(x x f =的周期2T π=,在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,不符合题意； 对于C ，函数x x x f cos ||cos )(==，周期2T π=,不符合题意； 对于D,函数||sin )(x x f =的周期T π=,不符合题意.(2019全国2理)10. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15答案：B 解析：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==所以sin α==.(2019全国2理)15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若,3,2,6π===B c a b 则ABC ∆的面积为_____. 答案：36解析：21436423cos cos 222222=-+=-+==cc c ac b c a B π, 3623323421sin 21,34,32=⨯⨯⨯==∴==∴B ac S a c（2019全国3理）12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. （2019全国3理）18.ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知sinsin 2A Ca b A +=.(1求B; (2) 若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围.答案：（1）3π（2）见解析 解析：因为s i ns i n s i ns i n2BA B A π-=；结合正弦定理sin sinsin sin 2BA B Aπ-=,得cossin 2sin cos 222B B B B ==,即1sin 22B =；得到,263B B ππ==；（2）因为23A C π+=,0,2A π<<0,2C π<<20,32C ππ<-<所以,62C ππ<<又因为s i n s i ns i nabcA B C ==,11sin sin sin 122sin 24sin c A S ac B A C C ==⋅⋅⋅⋅=;又因为s i n 1(,2)s i n 2A C ∈（因为2,3A C π+=,A C 为锐角，若A 越大sin A 越大，则C 越小sin C 越小；sin sin A C 越大）；所以sin 1(,2)sin 2A C ∈，所以S ∈.（2019北京理）9.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】2π.【解析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. （2019北京理）15.在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值．【答案】(Ⅰ) 375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)由题意列出关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定b ,c 的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得()sin B C -的值.【详解】(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：sin 2B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin c B C b == 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津理）7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2-B.C.D. 2【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
三角函数的概念专题练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
三角函数的概念专项练习题一、选择题1、(多选)若角α的终边经过点P (x ，－3)且sin α＝－31010，则x 的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 32、已知点P(－3，y)为角β终边上一点，且sinβ＝1313，则y 的值为( ) A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案：B5、在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形6、 (多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是( ) A ．sin 2α>0 B ．cos 2α>0C ．cos α2>0 D ．tan α2>07、若角α的终边在直线y ＝3x 上，sinα<0，且P(m ，n)是角α终边上一点，|OP|＝10(O 为坐标原点)，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角9、 (多选)下列选项中，符号为负的是( )A ．sin(－100°)B ．cos(－220°)C ．tan 10D ．cos π10、已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限11、已知sin α＝513，cos α＝－1213，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫513，－1213B.⎝⎛⎭⎫－513，1213C.⎝⎛⎭⎫1213，－513D.⎝⎛⎭⎫－1213，51312、(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13、点A (x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－3314、代数式sin(－330°)cos 390°的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－32 D.1415、若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 316、(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( )A ．cos(－280°)<0B ．sin 500°>0C ．tan ⎝⎛⎭⎫－7π8>0D ．tan 53π12>017、已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角18、函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )A ．{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z D ．{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}二、填空20、已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝.21、已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝.22、若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为．23、已知角α终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，则cos α＝，sin α＝.24、点P (tan 2 020°，cos 2 020°)位于第象限．25、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是．26、求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．.三、解答题27、角θ的终边落在直线y ＝2x 上，求sin θ，cos θ的值．28、求下列函数的定义域： （1）y =)lg(cos x ；（2）y =lgsin2x +29x -．29、求函数y =1cos 3cos 22-+-x x +lg （36－x 2）的定义域．30、求函数y =x sin +lg （2cos x －1）的定义域．31、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.32、求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域．33、利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．求(1)sinα≥12；(2)cosα＜22.34、设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．35、求满足sin α>的角α的取值范围；（2）求满足sin cos αα>的角α的取值范围。
三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)
y
f
(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
【答案】B
C．②③
D．①②③
2
【解析】因为 f (x) sin(x )，所以周期T 2 2，故①正确；
3
f ( ) sin( ) sin5 1 1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
2
D．2
【答案】C
sin x
【解析】 f (x)
tan x 1 tan2 x
cos 1(sin
x sin xcos x 1sin2x，
x) 2
2
cos x
故所求的最小正周期为T 2π π，故选 C. 2
【名师点睛】函数 y Asin(x ) B(A 0, 0)的性质：
(1) ymax=B+A，ymin B A.
对应的函数为
gx.若
g
π4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x)为奇函数，∴ f (0) Asin 0,=kπ,k Z,k 0, 0；
∵ f x的最小正周期为π，T
2π
π,∴
2，
∴ g(x) Asin 1x Asin x,
2
又 g(π) 2，∴ A 2，
f x max
3
2
5 2
4，故选
B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质， 在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
2019年高考试题分类汇编(三角函数)
2019年高考试题分类汇编(三角函数) 2019年高考试题分类汇编（三角函数）考法1 三角函数的图像及性质1.（2019·全国卷Ⅰ·文科）已知tan225= tan(180°+45°)=-tan45°=-1，故选A。
2.（2019·全国卷Ⅱ·文科）由f(x)的定义可知，当x=π/4时，f(x)=sin(πω/4)，当x=3π/4时，f(x)=sin(3πω/4)。
因为x1和x2是相邻的极值点，所以f(x1)=f(x2)=0，即sin(πω/4)=sin(3πω/4)=0.因为ω>0，所以πω/4=0或π，3πω/4=π/2或5π/2.解得ω=8或16，故选B。
3.（2019·全国卷Ⅲ·文科）f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)，所以f(x)的零点为x=0,π和2π。
故选B。
4.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）由于cosx在[-π,π]上单调递减，所以cosx的最小值为cos(-π)=-1，最大值为cos(π)=1.因此，当x=-π或x=π时，f(x)的值最小，为-2/π；当x=0时，f(x)的值最大，为2.故选B。
5.（2019·全国卷Ⅰ·理科）①f(x)是偶函数，③f(x)在[-π,π]上有一个零点，故①和③正确。
当00，即f(x)在(0,π)单调递增，故②正确。
当x=π/2时，f(x)=2，又因为f(x)是偶函数，所以当x=-π/2时，f(x)也等于2，故④正确。
因此，选A。
6.（2019·全国卷Ⅱ·理科）由f(x)的定义可知，f(x+π/2)=cos2x，f(x+π)=cos(2x+π)=-cos2x，f(x+3π/2)=-cos2x，f(x+2π)=cos2x。
因此，f(x)的周期为π，而且f(x)在(0,π)单调递增，故选B。
2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解
2019年高考数学试题分类汇编三角函数一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③答案：C解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；),2(ππ∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。
故选C3、（2019年高考全国I 卷文科7）tan255°= A ．-2B ．-C ．2D ．答案：D解析：32)4530tan(75tan )75180tan(255tan +=︒+︒=︒=︒+︒=︒故选D4、（2019年高考全国I 卷文科11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A解析：由正弦定理C B b A a sin 4sin sin =-,角化边得2224c b a +=又412)4(cos 2222-=+-+=bc c b c b A ，联立求得6=c b 故选A5、（2019年高考全国II 卷理科4）019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD答案：D 解析：Rr=α则R r α=，代入121223()()M M M R r R r r R +=++得12322)1(1)1(M M ααα+-+=即3254322312)1(33)1(1)1(αααααααα≈+++=+-+=M M所以R M M r 3123=.故答案选D 6、（2019年高考全国II 卷理科9）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │答案：A解析：将|2cos |)(x x f =的图像变换，“下翻上”，如图可知在区间)2,4(ππ上是增函数.故答案选A 7、（2019年高考全国II 卷理科10，文科11）已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 5答案：B解析：ααα2cos 212cos 2sin 2=+=，与αααcos sin 22sin =联立求得21tan =α 又)2,0(πα∈，所以55sin =α故答案选B 8、（2019年高考全国II 卷文科8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．12答案：A 解析：πππ=-=T T ,4432,又ωπ2=T ,所以2=ω。
2019年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数
2019年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数work Information Technology Company.2020YEAR2019年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-【答案】C2 ．（2019年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B3 ．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中,,2,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)10 10 3105 【答案】C4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【答案】B5 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】A6 ．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x 3(D)()f x 既奇函数,又是周期函数【答案】C7 ．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D8 ．（2019年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π【答案】A9 ．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =【答案】B10．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））04cos50tan 40-=( )223+3 D.221 【答案】C11．（2019年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】D12．（2019年高考湖北卷（理））将函数()3cos sin yx x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12π B.6π C.3π D.56π【答案】B 二、填空题13．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.【答案】6314．（2019年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】255-. 15．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图ABC ∆中,已知点D在BC 边上,AD ⊥AC,22sin ,32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________316．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_____________【答案】2π17．（2019年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.18．（2019年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=【答案】2sin()3x y +=. 19．（2019年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)【答案】1arccos 3Cπ=-20．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.【答案】21．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.【答案】π22．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B ===，，,则b=_______【答案】7 23．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π3224．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】5-25．（2019年高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.【答案】π26．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_______________【答案】5 三、解答题27．（2019年高考北京卷（理））在△ABC中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b ,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos 3A =,所以sin 3A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以sin 5sin a Cc A==.28．（2019年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x .最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-. 29．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且2222a b ab c ++=. (1)求C ; (2)设()()2cos cos 322cos cos ,5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值. 【答案】由题意得30．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】31．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】]32．（2019年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.【答案】(1)因为0ω>,根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩(2) ()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈,即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π,故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若31sin sin 4A C =,求C . 【答案】34．（2019年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin 2sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(2223425255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC 方向上的投影为2cos 2BA B =35．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos ba c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,242sin 1cos 9B B =-=,由正弦定理得sin 22sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以21cos 1sin 3A A =-=因此102sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.36．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解:(Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =37．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式;(2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由. (3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2019个零点.【答案】解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω=又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =(Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x <<所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<,()04G π=>且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ,即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意(Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-,(0,)(,2)x πππ∈ 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表x(0,)2π 2π(,)2ππ 3(,)2ππ 32π 3(,2)2ππ ()h x '+ 0 - - 0 + ()h x1-当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππ内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯=综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0. (1)若||2a b -=,求证:a b ⊥;(2)设(0,1)c =,若a b c +=,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=-b a ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-b a ∴0=b a ∴b ⊥a(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39．（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数()212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. Z#X#X#K]【答案】(Ⅰ)2221661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; (Ⅱ) 22222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.40．（2019年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且33()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ 41．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长 (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据sinB sinC AC AB =得m C ACAB 1040sin sinB== CBA(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由正弦定理sinBsinA ACBC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k ,AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865(min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42．（2019年高考湖北卷（理））在ABC∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 43．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.CBAD MN【答案】。
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2019-2020 年高考数学小题专题练习——三角函数（一）1.函数 f x sin 2x sin 3x sin 4x的最小正周期=．2.函数 y cosx cos2x(x R) 的值域为 __.3.若对任意的[0, ] ，不等式 4 2sin cos a sin a cos0 恒成立，则实数a的最小2值为．4.在△ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a，b，c，若a2, b 3,C2A ，则cosC=.5.设 G 为△ABC 的重心，若 BG CG ，BC 2 ，则AB+AC的最大值为．6.已知 A 为锐角 ,则sin4 A 1cos4 A 4 的最小值为．7.若3sin3x cos3 x 3，则 sin 2018 x cos2018 x 的值为．8.如果函数 y 3cos 2x的图像关于点4,0中心对称,那么的最小值为．39.如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB 1,BC2, AC CD, AC CD ，当ABC 变化时，对角线BD 的最大值为．10.已知△ABC 中，AC 2 ， BC 6 ，ACB，若线段BA的延长线上存在点D，使6BDC ，则 CD=．411.在平面五边形 ABCDE 中，已知 A 120o， B 90o， C 120o， E 90o，AB 3 ，AE 3 ，当五边形 ABCDE 的面积S [6 3,9 3) 时，则BC的取值范围为．12.设△ABC 的内角A， B ， C 的对边分别是a， b ， c，且满足a cos B b cos A 3 c ，则5tan A．tan B13.已知函数 f ( x)sin( πx)(0 x 2π) 在x 2 时取得最大值，则．14.函数f ( x)Asin( x) （ A, ,是常数，A0 ，0 ）的部分如右图，则A=.15.将关于 x 的方程sin x a （ 0 a 1）的所有正数解从小到大排列构成数列{ a n} ，4其 a1， a2， a3构成等比数列，则 a1 ．16. 在△ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，△ ABC 的面积为S，若b cos A a cos B 2 3b ，且 a2 sin A b2 sin A 2 3S ，则A=．17.方程(3cos x1)(cos x3sin x) 0 的解集是．18.已知tan 1，则sin()cos() tan();22 419.给出下列结论：① sin1 cos 2cos3 ；③函数 y sin x cos x 图象的一个对称中心是 3 ,0 ；4④设是第三象限角，且 cos cos ，则2 是第二象限角 .2 2其中正确结论的序号为．20.已知0,，tan 2 ，则 cos2cos．21.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若a2 b2 4037 c2，则tan A tan B的值为．tan C tan A tan B22.给出以下三个结论：①函数y sin x 与 y log x 的图象只有一个交点；②函数 y sin x1 x与 y 的图象有无数个交点；③函数 y sin x 与y x的图象有三个交点，其中所有正确2结论的序号为．23.将函数f x 2sin x 0 的图象向右平移个单位长度，得到函数 y g x 的4 4图象，若 y g x 在, 上是增函数，则的最大值为．6 324.已知角的终边上一点 P 的坐标为 (3,4)，则cos2 的值为．1sin 225.已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且角 A，B，C 成等差数列，a c则的值为．b c a b26.已知函数 f x cos xe x，有下列四个结论：2①图象关于直线 x 1 对称；②f(x)的最大值是 2；④ f (x)在区间 [－2017,2017]上有 2016 个零点其中正确的结论是．（写出所有正确的结论序号）27.在下列结论中：①函数 y sin( k x)( k Z ) 为奇函数；②函数 ytan(2 x) 的图象关于点 ( ,0) 对称；6 12 ③函数 ycos(2 x) 的图象的一条对称轴为 x 2 ；33④若 tan(x) 2 ，则 sin 2 x 1 .5其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都．填上）．r ( 1 r( 3,cos r r5 ) 的值是 ___________．28.设向量 a ,sin ), b2), 若 a / /b ,则 sin(2223621 329.已知函数f x sinxcosx 3sin x ， 设 2 , ， f242 ，则cos =.30.如图，以正方形 ABCD 中的点 A 为圆心，边长 AB 为半径作扇形 EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD 的弧度数大小为 ▲ .31.如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C ，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D ，测得 BDC 45 ，则塔 AB 的高是米．32. 已知△ABC 中， AC=4 ，BC 2 7 ，BAC 60，AD BC 于点 D ，则BD的值CD为．33. 如图所示，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， AD AC ，sin BAC 2 2，3AB 3 2 ，AD3，则 BD 的长为．34.函数 f ( x) 2sin( x )A(1,2) B(5,0)的图象如下图所示，若点6、3均在 f(x)的图象上，点 C在 y 轴上且 BC 的中点也在函数f(x)的图象上，则△ ABC 的面积为▲．35.已知函数 f ( x) cosx sin x ,下列说法正确的是．①f(x)图像关于x对称；②f(x)的最小正周期为2π；4③f(x)在区间3, 5 上单调递减；④ f(x)图像关于,0 中心对称;4 4 2⑤ f ( x) 的最小正周期为.2参考答案1. 2π93. 44.12 5 6. 10 2. [0, ] 5.8 47. 18.9. 6 110.311.[ 3,33)612. 4acosB﹣ bcosA= c，由正弦定理得sinAcosB ﹣ sinBcosA= sinC= sin（ A+B ） = （ sinAcosB+cosAsinB ），整理得 sinAcosB=4cosAsinB ，两边同除以cosAcosB，得 tanA=4tanB ，故.故答案为： 4π13.由题得故答案为：214. 2915.20方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，，构成等比数列，解得故答案为16. 30 °，则又即，17.{ x | xarccos 12k , xk ,k Z} 361 18.151 1 sin2 tan 21 原式 = sin22 1 1 3(sin 2 cos 2 ) 3(tan 2 1) 15219. ①③④5 321. 201822. ①②3 20.23.521 24.7角 的终边上的一点 P 的坐标为，，那么.25. 1角 A ， B ，C 成等差数列，，∴，由由余弦定理，整理可得：∴26.②④对于①，不是函数的对称轴，也不是函数的对称轴,故①不正确；实际上由图像可知是函数对称轴；对于②，当时函数取得最大值1，同时函数取得最大值1，故的最大值是2，②正确；③的最大值是不正确，；对于④，函数的周期为4，由①图象关于直线对称；在每个周期内都有 2 个零点，故在在区间上有个零点.即答案为②④ .27.①③728.-9因为，所以，所以，所以所以，故答案是.3- 1529.8，所以，所以，因为，所以，所以，故答案是.30. 2设正方形的边长为，由已知可得.231.10 6设塔高AB为x米，根据题意可知，在中，从而有；在中，，由正弦定理可得.故塔高 AB 为.BD632.CD设，由余弦定理可得：，化为，解得．设．∵于点 D，∴解得，33. BD 3因为，所以，所以，所以，在中，，根据余弦定理得：，所以.1934. 6解析： A( 1,2) 、 B(5,0) 在f ( x)上可求得 f ( x ) 2sin( x ) ，6 3 3设BC 的中点为 D，则D(5, 1)，故 C (0, 2) ，6设 AC 与 x 轴的交点为E(1,0) ，12面积 S 1| BE | | y y | 19 2 AC 6．35.②③⑤①,,,不是对称轴，①错误；②，，，是的最小正周期，②正确；③时，，，在单调递减，③正确；④是奇函数图象关于对称，不是对称中心，④ 错误；⑤，，⑤ 正确，故答案为②③⑤ .11。