6二元一次方程组的概念及解法.学生版

模块一 二元一次方程（组）的基本概念☞二元一次方程1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例1】 下列各式是二元一次方程的是（ ）A.30x y z -+=B.30xy y x -+=C.12023x y -=D.210y x+-= 【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -=B.2430x x +=C.23y +=D.3x y =【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故选D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值. 【解析】由定义知：321m -=，11n -=，所以：1m =，2n =. 【答案】见解析【巩固】已知方程11(2)2m n m x ym ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值. 【解析】根据题意可得：20m -≠，11n -=，11m -=，所以2n =，0m =. 【答案】见解析二元一次方程组的概念及解法【例3】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-【解析】二元一次方程的解 【答案】A【巩固】已知21x y =⎧⎨=⎩是方程25x a +=的解，则a =【解析】略 【答案】A【例4】 方程310x y +=的正整数解有几组？（ ）A.1组B.3组C.4组D.无数组【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定x 一个正整数的值，计算y 的值即可．【答案】方程可变形为103y x =-当1x =时，则1037y =-=； 当2x =时，则1064y =-=； 当3x =时，则1091y =-=．故方程310x y +=的正整数解有17x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩，共3组．故选B ．【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解【解析】略【答案】⑴119x y =⎧⎨=⎩，214x y =⎧⎨=⎩，39x y =⎧⎨=⎩，44x y =⎧⎨=⎩；⑵05x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，⑶531x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =⎧⎨=⎩，234x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，135x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【例5】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 . 【解析】由二元一次方程的概念可列二元一次方程组2413411m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，22()()339m n m mn n -++=⨯=.【答案】见解析【巩固】若2211a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么的a 、b 值分别是（ ）A 、1a =，0b =B 、0a =，1b =-C 、2a =，1b =D 、2a =，3b =-【解析】本题考查二元一次方程的定义，由二元一次方程的定义可得到关于a ,b 的方程组。

【答案】11a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，0b =☞二元一次方程组：1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组.2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.【例6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩B.54x y =⎧⎨=⎩C.1345y xx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩H.423531x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩【解析】区别二元一次方程组的方式，只需要抓住以下几点：①包含2个未知数；②最高次项为1次；整式方程；与方程的个数，字母的选择没有任何关系。

因此B 、E 、F 、G 、H 均为二元一次方程组，很多同学易在F 、G 、H 出错。

【答案】B 、E 、F 、G 、H【巩固】下列方程组中，①220x y x y -=⎧⎨+=⎩；②11x y y z -=⎧⎨-=⎩；③12xy x y =⎧⎨+=⎩；④120x y =⎧⎨-=⎩是二元一次方程组的序号是【解析】略 【答案】①④【例7】 如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，1∠的度数x ︒比2∠的度数y ︒的2倍多10︒，则可列正确的方程组为（ ）O21C BAA.18010x y x y +=⎧⎨=+⎩B.180210x y x y +=⎧⎨=+⎩C.180102x y x y +=⎧⎨=-⎩D.90210x y y x +=⎧⎨=-⎩【解析】略 【答案】B【巩固】一副三角板如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数大50︒，若设1x ∠=︒，2y ∠=︒，则可得到的方程组为（ ）2 1A.50180x yx y=-⎧⎨+=⎩B.50180x yx y=+⎧⎨+=⎩C.5090x yx y=-⎧⎨+=⎩D.5090x yx y=+⎧⎨+=⎩【解析】略【答案】D100元，捐款情况如下表：已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意得，可列方程组（）A.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩B.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩【解析】略【答案】A【例8】下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？⑴1325x yx y+=⎧⎨+=⎩1xy=⎧⎨=⎩；⑵264344x yy x=-⎧⎨=-⎩82xy=⎧⎨=⎩；⑶2783108x yx y-=⎧⎨-=⎩6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】判断一组数是不是方程的解，必须要看它是不是方程组中每个方程的解，如果是，则是方程组的解，否则，不是方程组的解【答案】⑴将1xy=⎧⎨=⎩代入方程组中的第二个方程：左边3=，右边5=，左边≠右边，∴1xy=⎧⎨=⎩不是第二个方程的解，从而不是方程组的解⑵将82xy=⎧⎨=⎩方程组中的第一个方程：左边8=，右边18=，左边≠右边，∴82xy=⎧⎨=⎩不是第一个方程的解，从而不是方程组的解⑶将6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入方程组中的第一个方程：左边8=，右边8=，左边=右边，∴6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是第一个方程的解；将6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入方程组中的第二个方程：左边325=-，右边325=-，左边=右边，∴6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是第二个方程的解；∴6545xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程组的解【巩固】下列四组数对中①11xy=-⎧⎨=⎩，②12xy=⎧⎨=⎩，③243xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，④5xy=⎧⎨=⎩是方程组23835x yx y+=⎧⎨+=⎩的解的序号是【解析】将数对代入方程组检验【答案】②【巩固】在①23xy=⎧⎨=⎩，②21xy=⎧⎨=⎩，③2xy=⎧⎨=⎩，④4xy=⎧⎨=⎩，⑤11xy=⎧⎨=-⎩这五对数值中，是方程23x y-=的解是，24x y+=的解是，2324x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是【解析】二元一次方程（组）解的检验【答案】②⑤、②③④、②【例9】请以12xy=⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组【解析】本题答案不唯一，很多学生对类似的问题都无从下手，其实此类问题非常简单，构造的方式也多样，完全可以转化为代数式求值有关的问题，如2____2____x yx y+=⎧⎨-=⎩，3____3____x yx y+=⎧⎨-=⎩，42____42____x yx y+=⎧⎨-=⎩，因此只需要将12xy=⎧⎨=⎩分别代入求值，填入数值即可【答案】参考答案31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，其他答案符合条件即可【巩固】请以13xy=-⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组【解析】略【答案】参考答案24x yx y+=⎧⎨-=-⎩，答案不唯一【例10】若x ay b=⎧⎨=⎩是方程31x y+=的一个解，则934_______a b++=．【解析】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a和b的方程，再根据系数的关系来求解．【答案】把x ay b=⎧⎨=⎩代入方程31x y+=，得31a b+=所以9343(3)43147a b a b++=++=⨯+=即934a b++的值为7．模块二 二元一次方程组的解法☞代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y ax b =+的形式；②y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代求解：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式.【例11】 把方程2()3()3x y y x +--=改写成用含x 的代数式表示y 的形式，则（ ）A.53y x =-B.3y x =--C.53y x =+D. 53y x =--【解析】 先去括号，再移项，合并同类项，整理后分析选项可得答案． 【答案】选A ．【巩固】已知关于x 、y 的二元一次方程23x by a +=（a 、b 均为常数），将其改写为用含x 的代数式表示y的形式【解析】略【答案】23xy b ab=-【例12】 用代入消元法求解下列二元一次方程组⑴25342x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①②， ⑵52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩ ①②【解析】学生初学时，注意要求格式【答案】⑴由①得，25y x =- ③将③代入②得，34(25)2x x +-=，解得2x =，代入③得1y =-∴原方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩⑵由①得，2552xy -= ③将③代入②得25534152xx -+⨯=，解得5x =，代入③得0y =∴原方程组的解为5x y =⎧⎨=⎩【巩固】用代入法解下列方程组⑴2328y x y x =⎧⎨+=⎩ ⑵22314m n m n -=⎧⎨+=⎩ ⑶20328x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⑷41216x y x y -=-⎧⎨+=⎩⑸23405x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ⑹233511x y x y +=⎧⎨-=⎩ ⑺1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【解析】略【答案】⑴12x y =⎧⎨=⎩，⑵42m n =⎧⎨=⎩，⑶21x y =⎧⎨=⎩，⑷72x y =⎧⎨=⎩，⑸510x y =⎧⎨=⎩，⑹21x y =⎧⎨=-⎩，⑺51x y =⎧⎨=⎩【例13】 已知0.5a b a b x y +-与1323a x y -是同类项，那么（ ）A.12a b =-⎧⎨=⎩B.12a b =⎧⎨=-⎩C.21a b =-⎧⎨=⎩D.21a b =⎧⎨=-⎩【解析】由同类项的定义，列出关于a ，b 的二元一次方程组，从而得到a ，b 的值．【答案】D【巩固】单项式283m n x y +与2342m n x y +-是同类项，则________m n += 【解析】略【答案】41m n =⎧⎨=-⎩☞加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式.☞加减消元方法的选择：①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； ③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； ④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例14】 用加减消元法、解下列方程⑴251x y x y -=⎧⎨+=⎩ ①② ⑵ 2422x y x y -=⎧⎨-=⎩ ①② 【解析】学生初学时，注意格式上的要求【答案】⑴①+②得，36x =，解得2x =将2x =代入①得，1y =-∴原方程的解为21x y =⎧⎨=-⎩⑵ ①2⨯得，248x y -= ③③-②得，36y -=，解得2y =- 将2y =-代入①得0x = ∴原方程的解为02x y =⎧⎨=-⎩【巩固】用加减消元法解下列方程⑴37528x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⑵451413x y x y -=⎧⎨-=⎩ ⑶328237x y x y +=⎧⎨+=⎩ ⑷425645x y x y +=⎧⎨-=-⎩【解析】略【解析】⑴21x y =⎧⎨=-⎩；⑵43x y =⎧⎨=⎩；⑶21x y =⎧⎨=⎩；⑷1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；☞选用恰当的方法解下列方程组【例15】 选择合适方式解下列方程：892317674x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】首先要确定消去哪个未知数，根据每个方程中未知数的系数特点，先消去y 较简单，y 系数的绝对值9、6的最小公倍数是18，对两个方程进行适当变形.【答案】①2⨯，得161846x y +=③②3⨯，得5118222x y -=④③+④，得67268x =，解得4x = 将4x =代入①，得1y =-故原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩【巩固】解下列方程组：(1)3(1)4(4)5(1)3(5)y x x y -=-⎧⎨-=+⎩；(2)21322453132045y x y x --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩；(3)2153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；(4)35724310()4(1)3x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩【解析】(1)75x y =⎧⎨=⎩；(2)23x y =⎧⎨=⎩；(3)1214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；(4)44x y =⎧⎨=⎩.【答案】见解析【例16】 已知x 、y 满足方程组2100521004x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【解析】观察方程组的系数，显然用减法即可整体求得x y -的值． 【答案】2009x y -=【巩固】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（ ）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【解析】已知0x y +>，因此只需构造出x y +的整体即可【答案】2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩①②，①+②得，3()3x y m +=-，∴303mx y -+=>，∴3m <【例17】 已知关于x 、y 的方程组227x y kx y k -=-⎧⎨+=⎩，则:________x y =【解析】先用含k 的代数式表示x 、y ，再求:x y 的值．【答案】两方程相加得：26x k =解得3x k =将3x k =代入2x y k -=-得：2y k =． 则:3:23:2x y k k ==．【巩固】已知,,x y z 满足方程组207450x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，且0x ≠，求：::x y z 的值.【解析】此题为求解未知数比值的问题.可以先把其中的一个未知数看作常数，解方程组，然后再求比值. 【答案】207450x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩①②，①2⨯+②得，930x z -=，所以3z x =将3z x =代入①式，得42x y =，即2y x = ∵0x ≠，∴:::2:31:2:3x y z x x x ==【例18】 二元一次方程组==______x =,_____y =【解析】由于未知数的系数为无理数，所以最好找到某个未知数系数的最小公倍数，用加减法解答．【答案】125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【例19】 解方程组：2164622372y x y x y x x y++⎧-=-⎪⎨⎪+=--⎩ 【解析】解复杂的方程组时，应先化简为整系数的二元一次方程组，再求解.【答案】原方程组可以简为61116537y x x y +=⎧⎨+=⎩①②，⨯①-②2得2x =，把2x =代入②中，解得1y =-故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩1． 已知方程2122317m nx y+-+=是二元一次方程，则______m =，_______n = 【解析】根据二元一次方程的定义列出方程，求出m 、n 的值即可． 【答案】1m =-，0n =2． 已知12x y =⎧⎨=-⎩，20x y =⎧⎨=⎩都是方程1ax by -=的解，则______a =，_____b =【解析】根据方程解的定义，解此题时可以把两组解分别代入原方程，列出关于a ，b 的方程，即可求出a ，b 的值．【答案】12a =，14b =3． 用代入法解方程组372513x y x y -=⎧⎨+=⎩【解析】略【答案】372513x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 由①式可得37y x =-③，把③式代入①式中，得25(37)13x x +-=，整理，得4817x =把4817x =代入③中，可得2517y = 这个方程组的解是48172517x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．解二元一次方程组：347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩【解析】略【答案】85323m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩1． 已知23k y x -=是二元一次方程，那么k 的值是（ ）课堂检测课后作业11 A. 2 B.3 C.1 D.0【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的次数为1这一方面解答．【答案】C2． 解下列方程组： ⑴7232134y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ⑵ 2344133m n n m n m +-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ⑶2320.40.7 2.8y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ⑷ 5120311120x y y x -=⎧⎨-=⎩ 【解析】⑴612x y =⎧⎨=⎩；⑵ 33m n =⎧⎨=⎩；⑶04x y =⎧⎨=⎩；⑷ 120480x y =⎧⎨=⎩. 【答案】见解析3． 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】见解析。