指数函数-课件PPT
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A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：所给图象是由 f(x)＝ax 的图象左移得到，故 b＜0，又由 递减性知，0＜a＜1，从而选 D.
答案：D
3．(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试)设 x＞0，且 1＜bx＜ax，
则( )
A．0＜b＜a＜1
【点评】 涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪 些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求 解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间．利用定义证明时可 分层比较，对于内外层函数，注意“同增异减”．
3．已知 g(x)＝－14x＋412x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间． 解析：由 g(x)＝－14x＋412x＋5＝－122x＋412x＋5. ∴函数的定义域为 R，令 t＝12x(t＞0)． ∴g(t)＝－t2＋4t＋5＝－(t－2)2＋9. ∵t＞0，∴g(t)＝－(t－2)2＋9≤9， 等号成立条件是 t＝2， 即 g(x)≤9，等号成立条件是12x＝2， 即 x＝－1. ∴g(x)的值域是(－∞，9]．
【解析】 (1)法一：由函数解析式可得
y＝31|x＋1|＝313x＋x1＋1
x≥－1， x<－1.
其图象由两部分组成：
一部分是：y＝31x(x≥0)向――左―平――移―1―个――单―位→ y＝31x＋1(x≥－1)； 另一部分是：y＝3x(x＜0) 向――左―平――移―1―个――单―位→ y＝3x＋1(x＜－1)．
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数 所以 f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1) ＝a2－a 1(a－1－a) ＝a2－a 1·1－a a2＝－1， ∴要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1， 故 b 的取值范围是(－∞，－1]．
(2)由(1)知 f(x)＝－2x＋21x＋＋21＝－12＋2·2x1＋1. 由上式易知 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因 f(x)是奇函数， 从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0， 等价于 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因 f(x)是减函数， 由上式推得 t2－2t>－2t2＋k. 即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0.
如图所示．
法二：①由 y＝31|x|可知函数是偶函数，其图象关于 y 轴对称， 故先作出 y＝31x 的图象保留 x≥0 的部分，当 x＜0 时，其图象是将 y ＝31x(x≥0)的图象关于 y 轴对折，从而得出 y＝31|x|的图象．
②将 y＝31|x|向左平移 1 个单位， 即可得 y＝31|x＋1|的图象，如图所示．
在(－2，＋∞)上单调递减，
而 y＝31t 在 R 上单调递减， 所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，
在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数 f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，
递减区间是(－∞，－2)．
(2)令 h(x)＝ax2－4x＋3，y＝31h(x)， 由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，因此必有
(1)指数函数的定义：一般地，函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数
函数，其中 x 是自变量．
(2)指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
①过定点(0,1)
②当 x＞0 时，y＞1； ③当 x＞0 时，0＜y＜ 性
x＜0 时，0＜y＜1 1；x＜0 时，y＞1 质
(2)当 a＞1 时，a2－1＞0，y＝ax 为增函数，y＝a－x 为减函数，从 而 y＝ax－a－x 为增函数，所以 f(x)为增函数．
当 0＜a＜1 时，a2－1＜0，y＝ax 为减函数，y＝a－x 为增函数， 从而 y＝ax－a－x 为减函数．所以 f(x)为增函数．
故当 a＞0，且 a≠1 时，f(x)在定义域内单调递增．
热点考向三 指数函数的性质
已知函数 f(x)＝
.
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
(3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的取值范围．
【解析】 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝
，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，
由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，
由 g(t)＝－(t－2)2＋9(t＞0)，而 t＝21x 是减函数， ∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间． 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由 0＜t＝21x≤2， 可得 x≥－1，由 t＝21x≥2，可得 x≤－1. ∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增． 故 g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是 [－1，＋∞).
B．0＜a＜b＜1
源自文库
C．1＜b＜a
D．1＜a＜b
答案：C
4．已知 f(x)＝a|x|(a＞0 且 a≠1)，若对于 m＜n＜0，有 f(m)＞f(n) 成立，则 a 的取值范围是________．
答案：a＞1 5．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(n)， 则 m，n 的大小关系为________． 解析：∵0＜ 52－1＜1，∴指数函数 f(x)＝ax 在定义域内为减函 数，又 f(m)＞f(n)，∴m＜n. 答案：m<n
零的 n 次 方根是零
负数没有 偶次方根
(2)两个重要公式
①n
a an＝|a|＝
a a≥0 －a a＜0
n为奇数 n为偶数
；
②(n a)n＝ a (注意 a 必须使n a有意义)．
2．有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂
amn ＝n am(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． ②正数的负分数指数幂
4．已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a＞0 且 a≠1)． (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立．求 b 的取值范围． 解析：(1)函数定义域为 R，关于原点对称，又因为 f(－x)＝a2－a 1 (a－x－ax)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
a－mn ＝
(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
③0 的指数幂
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ ars ③(ab)r＝ arbr
(a＞0，r，s∈Q)； (a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数
从而判别式 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－13.
【点评】 1.函数 y＝af(x)的定义域与 y＝f(x)的定义域相同． 2．(1)函数 y＝af(x)的值域的求解，先确定 f(x)的值域，再根据指 数函数的单调性，确定 y＝af(x)的值域．(2)通过换元能转化为一元二 次函数的，可利用一元二次函数求值域或最值．
如图所示的指数函数的底数的大小关系为 0<a4<a3<1<a2<a1.
2．(1)函数 y＝21π·(2a－3)－x32的部分图象大致是(
)
解析：由题意可知，已知函数为偶函数，排除 A、B 项，又函数 值恒为正数，则排除 D 项，故图象只能是 C 项．
答案：C
(2)作出函数 y＝12|x＋2|的图象． 解析：y＝21x去―左――翻→右y＝21|x| 向――左――平―移――两―个――单―位――长―度→y＝12|x＋2|.
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是 减函数．
(3)由图象知当 x＝－1 时，有最大值 1，无最小值．
【点评】 1.画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点(1， a)(0,1)－1，a1，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．
2．底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函数 y＝ax 与直 线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底 数由小变到大．
指数函数
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的
n 次方根 当 n 为奇数时，正数的 n 次方
根是一个 正数 ，负数的 n 次 方根是一个 负数
当 n 为偶数时，正数的 n 次方
根有 两个 ，它们互为相反数
符号表示
na ±n a(a＞0)
备注 n＞1 且
n∈N
④在(－∞，＋∞)上是 ⑤在(－∞，＋∞)上是
增函数
减函数
1．下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)
满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
解析：由指数式的运算性质 ax＋y＝ax·ay，知选 C.
答案：C
2．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a、b 为常数，则下列 结论正确的是( )
热点考向四 指数函数的综合应用
已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋21x＋＋ab是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
【解析】 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(0)＝0，即－2＋1＋ab＝0，解得 b＝1 从而有 f(x)＝－2x＋21x＋＋a1. 又由 f(1)＝－f(－1)知－4＋2＋a1＝－－112＋＋a1， 解得 a＝2.经检验 a＝2 适合题意， ∴所求 a、b 的值分别为 2,1.
热点考向一 指数的概念与性质
【点评】 指数幂的化简与求值的常用方法 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．
热点考向二 指数函数的图象
已知函数 y＝31|x＋1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值，并求出最值．
a＞0， 12a4－a 16＝－1， 解得 a＝1
即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 y＝31h(x)的值域为(0，＋∞)．应 使 h(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R，因此只能有 a＝0.因为若 a≠0，则 h(x)为二次函数，其值域不可能为 R.故 a 的取值范围是 a＝0.
解析：所给图象是由 f(x)＝ax 的图象左移得到，故 b＜0，又由 递减性知，0＜a＜1，从而选 D.
答案：D
3．(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试)设 x＞0，且 1＜bx＜ax，
则( )
A．0＜b＜a＜1
【点评】 涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪 些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求 解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间．利用定义证明时可 分层比较，对于内外层函数，注意“同增异减”．
3．已知 g(x)＝－14x＋412x＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间． 解析：由 g(x)＝－14x＋412x＋5＝－122x＋412x＋5. ∴函数的定义域为 R，令 t＝12x(t＞0)． ∴g(t)＝－t2＋4t＋5＝－(t－2)2＋9. ∵t＞0，∴g(t)＝－(t－2)2＋9≤9， 等号成立条件是 t＝2， 即 g(x)≤9，等号成立条件是12x＝2， 即 x＝－1. ∴g(x)的值域是(－∞，9]．
【解析】 (1)法一：由函数解析式可得
y＝31|x＋1|＝313x＋x1＋1
x≥－1， x<－1.
其图象由两部分组成：
一部分是：y＝31x(x≥0)向――左―平――移―1―个――单―位→ y＝31x＋1(x≥－1)； 另一部分是：y＝3x(x＜0) 向――左―平――移―1―个――单―位→ y＝3x＋1(x＜－1)．
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数 所以 f(－1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min＝f(－1) ＝a2－a 1(a－1－a) ＝a2－a 1·1－a a2＝－1， ∴要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1， 故 b 的取值范围是(－∞，－1]．
(2)由(1)知 f(x)＝－2x＋21x＋＋21＝－12＋2·2x1＋1. 由上式易知 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因 f(x)是奇函数， 从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0， 等价于 f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因 f(x)是减函数， 由上式推得 t2－2t>－2t2＋k. 即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0.
如图所示．
法二：①由 y＝31|x|可知函数是偶函数，其图象关于 y 轴对称， 故先作出 y＝31x 的图象保留 x≥0 的部分，当 x＜0 时，其图象是将 y ＝31x(x≥0)的图象关于 y 轴对折，从而得出 y＝31|x|的图象．
②将 y＝31|x|向左平移 1 个单位， 即可得 y＝31|x＋1|的图象，如图所示．
在(－2，＋∞)上单调递减，
而 y＝31t 在 R 上单调递减， 所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，
在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数 f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，
递减区间是(－∞，－2)．
(2)令 h(x)＝ax2－4x＋3，y＝31h(x)， 由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值－1，因此必有
(1)指数函数的定义：一般地，函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指数
函数，其中 x 是自变量．
(2)指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
①过定点(0,1)
②当 x＞0 时，y＞1； ③当 x＞0 时，0＜y＜ 性
x＜0 时，0＜y＜1 1；x＜0 时，y＞1 质
(2)当 a＞1 时，a2－1＞0，y＝ax 为增函数，y＝a－x 为减函数，从 而 y＝ax－a－x 为增函数，所以 f(x)为增函数．
当 0＜a＜1 时，a2－1＜0，y＝ax 为减函数，y＝a－x 为增函数， 从而 y＝ax－a－x 为减函数．所以 f(x)为增函数．
故当 a＞0，且 a≠1 时，f(x)在定义域内单调递增．
热点考向三 指数函数的性质
已知函数 f(x)＝
.
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
(3)若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的取值范围．
【解析】 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝
，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，
由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，
由 g(t)＝－(t－2)2＋9(t＞0)，而 t＝21x 是减函数， ∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间． 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间． ∵g(t)在(0,2]上递增， 在[2，＋∞)上递减， 由 0＜t＝21x≤2， 可得 x≥－1，由 t＝21x≥2，可得 x≤－1. ∴g(x)在[－1，＋∞)上递减，在(－∞，－1]上递增． 故 g(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是 [－1，＋∞).
B．0＜a＜b＜1
源自文库
C．1＜b＜a
D．1＜a＜b
答案：C
4．已知 f(x)＝a|x|(a＞0 且 a≠1)，若对于 m＜n＜0，有 f(m)＞f(n) 成立，则 a 的取值范围是________．
答案：a＞1 5．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(n)， 则 m，n 的大小关系为________． 解析：∵0＜ 52－1＜1，∴指数函数 f(x)＝ax 在定义域内为减函 数，又 f(m)＞f(n)，∴m＜n. 答案：m<n
零的 n 次 方根是零
负数没有 偶次方根
(2)两个重要公式
①n
a an＝|a|＝
a a≥0 －a a＜0
n为奇数 n为偶数
；
②(n a)n＝ a (注意 a 必须使n a有意义)．
2．有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂
amn ＝n am(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． ②正数的负分数指数幂
4．已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a＞0 且 a≠1)． (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立．求 b 的取值范围． 解析：(1)函数定义域为 R，关于原点对称，又因为 f(－x)＝a2－a 1 (a－x－ax)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
a－mn ＝
(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
③0 的指数幂
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ ars ③(ab)r＝ arbr
(a＞0，r，s∈Q)； (a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数
从而判别式 Δ＝4＋12k<0，解得 k<－13.
【点评】 1.函数 y＝af(x)的定义域与 y＝f(x)的定义域相同． 2．(1)函数 y＝af(x)的值域的求解，先确定 f(x)的值域，再根据指 数函数的单调性，确定 y＝af(x)的值域．(2)通过换元能转化为一元二 次函数的，可利用一元二次函数求值域或最值．
如图所示的指数函数的底数的大小关系为 0<a4<a3<1<a2<a1.
2．(1)函数 y＝21π·(2a－3)－x32的部分图象大致是(
)
解析：由题意可知，已知函数为偶函数，排除 A、B 项，又函数 值恒为正数，则排除 D 项，故图象只能是 C 项．
答案：C
(2)作出函数 y＝12|x＋2|的图象． 解析：y＝21x去―左――翻→右y＝21|x| 向――左――平―移――两―个――单―位――长―度→y＝12|x＋2|.
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是 减函数．
(3)由图象知当 x＝－1 时，有最大值 1，无最小值．
【点评】 1.画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点(1， a)(0,1)－1，a1，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．
2．底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函数 y＝ax 与直 线 x＝1 相交于点(1，a)可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底 数由小变到大．
指数函数
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念
如果 xn＝a ，那么 x 叫做 a 的
n 次方根 当 n 为奇数时，正数的 n 次方
根是一个 正数 ，负数的 n 次 方根是一个 负数
当 n 为偶数时，正数的 n 次方
根有 两个 ，它们互为相反数
符号表示
na ±n a(a＞0)
备注 n＞1 且
n∈N
④在(－∞，＋∞)上是 ⑤在(－∞，＋∞)上是
增函数
减函数
1．下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)
满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
解析：由指数式的运算性质 ax＋y＝ax·ay，知选 C.
答案：C
2．函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a、b 为常数，则下列 结论正确的是( )
热点考向四 指数函数的综合应用
已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋21x＋＋ab是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
【解析】 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(0)＝0，即－2＋1＋ab＝0，解得 b＝1 从而有 f(x)＝－2x＋21x＋＋a1. 又由 f(1)＝－f(－1)知－4＋2＋a1＝－－112＋＋a1， 解得 a＝2.经检验 a＝2 适合题意， ∴所求 a、b 的值分别为 2,1.
热点考向一 指数的概念与性质
【点评】 指数幂的化简与求值的常用方法 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．
热点考向二 指数函数的图象
已知函数 y＝31|x＋1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值，并求出最值．
a＞0， 12a4－a 16＝－1， 解得 a＝1
即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 y＝31h(x)的值域为(0，＋∞)．应 使 h(x)＝ax2－4x＋3 的值域为 R，因此只能有 a＝0.因为若 a≠0，则 h(x)为二次函数，其值域不可能为 R.故 a 的取值范围是 a＝0.