指数函数-课件PPT
第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
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由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以 k 的取值范围为(-∞,0].
答案: (-∞,0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析: (1)由函数 y=kx+a 的图象可得 k<0,0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1,所以 k>-1,所以-1<k<0.函数 y=ax+k 的图象可以 看成把 y=ax 的图象向右平移-k 个单位长度得到的,且函数 y=ax+k 是减函 数,故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1,结合所给的选项,选 B.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
=(n
a
)n=a(n∈N+).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘.(
)
(3)函数 y=3·2x 与 y=2x+1 都不是指数函数.( )
(4)若 am<an(a>0,且 a≠1),则 m<n.( )
答案: (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
,则函数 y=2x 的值域是( )
1 A.8,2
1 B.8,2
C.-∞,18
D.[2,+∞)
4x,x≥0, (2)已知实数 a≠1,函数 f(x)=2a-x,x<0, 若 f(1-a)=f(a-1),则 a 的
值为________.
解析: (1)因为
《指数函数的概念》课件
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REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础,而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中,人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数,可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中,放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数,可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$,其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$,其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$,则 $x = log_a y$
对数函数的性质
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与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸:挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式,如复合指数函 数、分段指数函数等,探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题,如复利计算、人口增长等,展示指 数函数的应用价值,并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时,图像在x轴上方,且随着x 的增大,y值迅速增大;当0<a<1时, 图像在x轴上方,但随着
当a>1时,指数函数在R上是增函数;当0<a<1时,指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时,要注意判断题目所给 条件是否满足对称性,以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段,每一段内问题相对简单,
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时,当自变量 在不同区间内取值时,函数性质可 能发生变化,此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来,通过图形 直观展示数量关系,帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时,可以通过绘制函数图像 来观察函数性质,如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题,提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$,幂的乘方,底 数不变,指数相乘。
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04
指数函数的应用
在金融领域的应用
复利计算
股票和期货价格预测
在金融领域,复利计算是评估投资回 报的重要方式。指数函数用于计算复 利,通过复利公式,可以计算出投资 的未来价值。
在股票和期货市场中,指数函数常用 于价格预测模型。通过分析历史数据 ,利用指数函数可以预测未来的价格 走势。
保险精算
在保险行业中,指数函数用于精算模 型,例如生命表和风险评估。通过指 数函数,保险公司可以预测未来的风 险和损失。
指数函数和三角函数在某些方面具有 相似性,例如在周期性和对称性方面 。
三角函数的图像具有对称性,例如正 弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称 ,而指数函数的图像则关于y=1对称 。
三角函数具有周期性,而指数函数在 形式上也可以表示为具有周期性的形 式。
06
练习题与答案解析
基础练习题
定义域和值域
指数函数的定Leabharlann 域和值域分别是什么?指数函数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古代数学家和天文学家的著作中,但现代意义上的指 数函数则是在17世纪由数学家约翰·纳皮斯和费马等人提出。
历史发展
随着数学和科学技术的不断发展,指数函数的概念和应用范围也在不断扩展和 深化。在复数、微积分、线性代数等领域中,指数函数都扮演着重要的角色。
02
指数函数与幂函数的关系
指数函数和幂函数具有相似的 形式,即y=a^x和y=x^a。
当a>0时,指数函数和幂函数 的图像都是单调递增的;当 a<0时,指数函数和幂函数的 图像都是单调递减的。
指数函数和幂函数的定义域都 是全体实数集R,值域都是正 实数集(0,+infty)。
指数函数与三角函数的关系
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二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数; 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数.
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数:
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法:
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
4.2.1指数函数的概念PPT课件(人教版)
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这说明2001年…
实际问题
例 2(2)在问题 2 中,某生物死亡 10000 年后,它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几?
这说明…
思考:连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”?
例 2 (1)在问题 1 中,如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入,A 地景区的门票价格为 150 元,比 较这 15 年间 A,B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的,能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢?
增长率为常数的变化 方式,称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1:比较两地景区游客人次的变 化情况,你发现怎样的变化规律?
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减(称为衰减率), 若年衰减率为 p ,你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗?
探究1:比较两地景区游客人次的变化情况, 你发现怎样的变化规律?
A地
B地
线性增长
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商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如:$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时,指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大;当底数 在0到1之间时,指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的, 即对于任意两个相邻的点,函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中,指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中,指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加,指数 不变,底数相乘。如:
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减,指数 不变,底数相除。如: $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘,指数 相加,底数不变。如:
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式,便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数,适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数,用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数,便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况,用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程,用于计算药物浓度随
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y=(a2+2)-x=a2+1 2x,底数a2+1 2∈0,12,前面系数为 1, 指数为自变量 x,故它是指数函数. (5)y=2×3x+a(a≠0),3x 前面系数为 2≠1,故它不是指数函 数. 故(1)(3)(4)为指数函数.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小. (1)1.8-π,1.8-3;(2)1.7-0.3,1.9-0.3; (3)0.80.6,0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)=1.8x. 因为 a=1.8>1,所以 f(x)=1.8x 在 R 上是增函数. 因为-π<-3,所以 1.8-π<1.8-3. (2)因为 y=11..79x在 R 上是减函数, 所以11..79--00..33=11..79-0.3>11..790=1. 又因为 1.7-0.3 与 1.9-0.3 都大于 0, 所以 1.7-0.3>1.9-0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y=0.8x 在 R 上单调递减,而 0.6<0.8, 所以 0.80.6>0.80.8. 又因为00..6800..88=00..860.8>00..680=1,且 0.60.8>0, 0.80.8>0,所以 0.80.8>0.60.8.所以 0.80.6>0.60.8.
x=0 时,__y_=__1___; 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时,_0_<__y_<_1__; x=0 时,_y_=__1____;
高中数学《指数函数》ppt课件
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课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x(a>0且a≠1)的函数称为指数函数。
指数函数图像特点当a>1时,图像上升;当0<a<1时,图像下降。
图像均经过点(0,1),且y轴为渐近线。
指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。
当a>1时,指数函数在R上单调递增;当0<a<1时,指数函数在R上单调递减。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数没有周期性。
值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e(约等于2.71828)的指数函数,记为y=e^x。
其图像上升速度最快,常用于描述自然增长或衰减现象。
幂指数函数形如y=x^n(n为实数)的函数,当n>0时图像上升,当n<0时图像下降。
特别地,当n=1时,幂指数函数退化为线性函数y=x。
对数指数函数底数为a(a>0且a≠1)的对数函数和指数函数的复合函数,记为y=log_a(a^x)=x。
其图像为一条直线,斜率为1,表示输入与输出之间呈线性关系。
复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。
其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。
02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$,同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$,同底数幂相除,底数不变,指数相减。
$(a^m)^n =a^{m times n}$,幂的乘方,底数不变,指数相乘。
030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$,不同底数幂相乘,指数不变,底数相乘。
乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$,不同底数幂相除,指数不变,底数相除。
指数函数6省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
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提醒:用字母a来替代2与0.94
得到:y=ax,这是一类主要旳函数 模型,而且有广泛旳用途,它能够 处理好多生活中旳实际问题,这就 是我们下面所要研究旳一类主要函 数模型。
一、指数函数旳概念:
一般地,函数y=ax (a>0,a≠1) 叫做指 数函数,其中x是自变量,函数旳定 义域是R。
( a>1)
(1)指数函数Y= ax 过点(1,1.7) , 说出a旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
1 01
练:指数函数y=bx 过点(1, 0.3),说出b旳范围并指出它旳奇偶性和单调性。
答案: 0< b<1,是非奇非偶函数,x在(-∞,+∞) 上Y= b x是减函数
(2)指数函数Y=a x ,Y=b x ,Y=c x ,Y=m x旳图象如图,试判断底数a、 b、c、m旳大小。
解:
y
2
x3
增函数且
1
1
32
y 1 x 是减函数且 2 1
2
33
2
2
1 3 1 3 3 2
2
1
1
3
1 3
2 2
第17张
4。已知
( 4)a
(
4
b
)
,比较a.
7
7
b旳大小
5、已知y=f(x)是指数 函数,且f(2)=4,求 函数y=f(x)旳解析式。
6、某种放射性物质不断衰变为其 他物质,每经过一年它剩余旳质 量约是原来旳84%,画出这种物 质旳剩余量随时间变化旳图象, 并从图象上求出经过多少年,剩 余量是原来旳二分之一。(成果 保存1位有效数字)
2、
定义
指数函数及其性质PPT课件
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05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b,表示的是一种 匀速变化,增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x,表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的,而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n,当n>0时,表示的是一种增长趋势;当n<0时,表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质,判断下列哪些是指数函数,哪些不是,并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用?请举例说明。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质:如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$,则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时,图像位于第一象限和第四象限 ;
绘制方法:选择一个 $a$ 值,例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$,然后使用计算器或数学软件绘制图
4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质 课件(20张)
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4.2.1 指数函数的概念 4.2.2 指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的概念. 2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质. 3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
指数函数 一般地,函数① y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义 域是② R .
解下列方程:
(1)81×32x=
1 9
x2
;(2)22x+2+3×2x-1=0.
思路点拨
(1)两边化为同底数幂 利用指数相等求解.
(2)令2x=t(t>0),将原方程化为4t2+3t-1=0 求出t的值
解析
(1)∵81×32x=
1 9
x
2
,∴32x+4=3-2(x+2),
∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时 间里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一 种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个, …… 问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的关系式中x的范围是什么? 函数的值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
比较指数幂大小
1.01365 37.8, 0.99365 0.03,
1.02365 1 377.4, 0.98365 0.000 6.
问题 1.上面的式子告诉我们一个什么道理? 提示:积跬步以致千里,积怠惰以致深渊. 2.如果不计算出结果,如何比较上式中各指数幂的大小? 提示:利用函数单调性进行比较.
指数函数课件(共16张PPT)
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年剩留的质量约是原来的84%.试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
我们设最初的质量为1,经过x年,剩留量是y.则 经过1年,y=1×84%=0.84; 经过2年,y=1×0.84×0.84=0.84; 经过3年,y=1×0.84×0.84×0.84=0.84; …… 一般地,经过x年,
y=0.84x.
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
用描点法画出图象(图4-2).
从这个函数的对应值表和图象,可看到
y=2x在(-
,+
)上是增函数,y
1 2
x
在(-,+ )上是减函数.这两个函数
的任意函数值y都大于0,且它们的图象
都经过点(0,1).
调动思维,探究新知 在在活初初动中中2,,我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述,,这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称,,那那么么什什么么是是集集合合呢呢??
巩固练习,提升素养 在活初动中3,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器,我们可以算得: 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果,你能感受到指数运算的“威力”吗?
中职数学-指数函数ppt课件
![中职数学-指数函数ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/6ab97c46f02d2af90242a8956bec0975f465a4c1.png)
这个故事一定会让你吃惊,开始微不足道的数字,两倍两倍 的增长,会变得这么巨大!事实的确如此,因为杰米碰到了“指 数爆炸”。一种事物如果成倍成倍地增大,则它是以指数形式增 大,这种增大的速度就像“大爆炸”一样,非常惊人。在科学领 域,常常需要研究这一类问题。
实例1
分裂次数x 细胞分裂过程
第一次 第二次 第三次
变式练习1: 请问同学们下面的式子是不是指数函数?
1yx0.5× 2yxx ×
3y6x1× 4y2x ×
5y24x× 6y10x √
7y3x √
1
x
3
8y6x1×
变式练习2
函数 ya 2 3 a 3 a x 是指数函数,求a的值
解 依题意,可知 a 2 3 a 3 1
:
a0
a1
动手操作, 画出图像
y
y (1 )x
y=2x
2
4
3
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
观察图像, 得出性质
yax (a1)
yax (0a1)
y
图
y=ax
y=1
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
第x次
………… ……
y 2x
细胞个数y 2=21 4=22 8=23
2x
实例2
第1次后
一
第2次
第4次后
取
其
半
y (1 )x 2
第x次后
数学指数函数课件PPT
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5.2 指数函数
在农作物养殖时,我们所有的植物都能 按照指数函数增长吗?为什么?
5.2 指数函数
植物不能成指数生长是受地球引力的影响。 地球引力的存在阻碍了水分在植物内部的顺 畅运输,影响根部水分的吸收到顶部。
5.2 指数函数
例1比较下列各组中两个数值的大小.
(1)23.1与23; (2) 0.34与0.3-4.
解 (1)因为指数函数y=2x中的a=2>1,故函数y=2x在 (-∞,+ ∞)上是增函数.又因为3.1>3,所以23.1>23;
(2)因为指数函数y=0.3x中的a=0.3<1,故函数y=0.3x在 (-∞,+ ∞)上是减函数.又因为4>-4,所以0.34<0.3-4.
5.2 指数函数
当被比较的两个数值是统一指数函数的同一 指数函数的两个函数值时,可利用函数的单调性, 通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小.
5.2 指数函数
可以看出,细胞个数y与分裂次数x的关系式可以表示为:
y=2x,x∈N*.
这个函数的底数为常数,自变量x在指数的位置上.
5.2 指数函数
一般地,形如y=ax (a>0且a≠1)的函数称为指数函数, 其中常数a称为指数函数的底数,指数x为自变量,x∈R.
显然,
都是指数函数.
5.2 指数函数
伸展,向下无限接近x轴;
(2)函数图像都经过点(0,1);
(3)函数y=2x的图像自左至右呈上升趋
势,函数
的图像自左至右呈下降
趋势.
5.2 指数函数
通过左边的图像的特点完成基础训练11页 指数函数的图像性质
5.2 指数函数
由以上实例, 归纳得出指数函 数y=ax (a>0且a≠1) 的图像和性质,如 表所示.
数学人教A版必修第一册4.2.1指数函数的概念(17张PPT)
![数学人教A版必修第一册4.2.1指数函数的概念(17张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/4fc12330571252d380eb6294dd88d0d233d43cd2.png)
环节三:问题情境
问题1:随着中国经济增长,人民生活
水平不断提高,旅游成了越来越多家庭
的重要生活方式.由于旅游人数不断增加,
A,B两地景区自2001年起采取了不同
的应对措施,A地提高了景区门票价格,
而B地则取消了景区门票.右表为A,B
两地景区2001至2015年的游客人次.
课件
下课!
同学们再见!
授 课 老 师 :
时 间 : 2 0 2 4 年 9 月 1 日
2023
课件
下课!
同学们再见!
授 课 老 师 :
时 间 : 2 0 2 4 年 9 月 1 日
“一带一路”国际合作高峰论坛
材料: 美国2022年经济总量为25.46万亿美元,位居世界首位,中国经济总量为17.99
万亿美元,排世界第二位,美国比中国多出了7.47万亿美元。2012年至2022年,十年
课后固学
来,美国经济年平均增长率为2.2%,中国经济年平均增长率为6.6%.
思考:假设中国和美国未来的经济都保持这个年平均增长率,请问中国需要多久能够超
650
9
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48
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2.(1)函数 y=21π·(2a-3)-x32的部分图象大致是(
)
解析:由题意可知,已知函数为偶函数,排除 A、B 项,又函数 值恒为正数,则排除 D 项,故图象只能是 C 项.
答案:C
(2)作出函数 y=12|x+2|的图象. 解析:y=21x去―左――翻→右y=21|x| 向――左――平―移――两―个――单―位――长―度→y=12|x+2|.
指数函数
1.根式 (1)根式的概念
根式的概念
如果 xn=a ,那么 x 叫做 a 的
n 次方根 当 n 为奇数时,正数的 n 次方
根是一个 正数 ,负数的 n 次 方根是一个 负数
当 n 为偶数时,正数的 n 次方
根有 两个 ,它们互为相反数
符号表示
na ±n a(a>0)
备注 n>1 且
n∈N
(1)指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数
函数,其中 x 是自变量.
(2)指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
①过定点(0,1)
②当 x>0 时,y>1; ③当 x>0 时,0<y< 性
x<0 时,0<y<1 1;x<0 时,y>1 质
4.已知 f(x)=a2-a 1(ax-a-x)(a>0 且 a≠1). (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立.求 b 的取值范围. 解析:(1)函数定义域为 R,关于原点对称,又因为 f(-x)=a2-a 1 (a-x-ax)=-f(x),所以 f(x)为奇函数.
热点考向一 指数的概念与性质
【点评】 指数幂的化简与求值的常用方法 (1)化负指数为正指数; (2)化根式为分数指数幂; (3)化小数为分数.
热点考向二 指数函数的图象
已知函数 y=31|x+1|. (1)作出函数的图象(简图); (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值,并求出最值.
零的 n 次 方根是零
负数没有 偶次方根
(2)两个重要公式
①n
a an=|a|=
a a≥0 -a a<0
n为奇数 n为偶数
;
②(n a)n= a (注意 a 必须使n a有意义).
2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂
amn =n am(a>0,m,n∈N*,n>1). ②正数的负分数指数幂
(2)当 a>1 时,a2-1>0,y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数,从 而 y=ax-a-x 为增函数,所以 f(x)为增函数.
当 0<a<1 时,a2-1<0,y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数, 从而 y=ax-a-x 为减函数.所以 f(x)为增函数.
故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.
a>0, 12a4-a 16=-1, 解得 a=1
即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知,要使 y=31h(x)的值域为(0,+∞).应 使 h(x)=ax2-4x+3 的值域为 R,因此只能有 a=0.因为若 a≠0,则 h(x)为二次函数,其值域不可能为 R.故 a 的取值范围是 a=0.
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), ∴f(x)min=f(-1) =a2-a 1(a-1-a) =a2-a 1·1-a a2=-1, ∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1].
【点评】 涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪 些基本函数复合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求 解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.利用定义证明时可 分层比较,对于内外层函数,注意“同增异减”.
3.已知 g(x)=-14x+412x+5,求该函数的定义域、值域和单调区间. 解析:由 g(x)=-14x+412x+5=-122x+412x+5. ∴函数的定义域为 R,令 t=12x(t>0). ∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9. ∵t>0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9, 等号成立条件是 t=2, 即 g(x)≤9,等号成立条件是12x=2, 即 x=-1. ∴g(x)的值域是(-∞,9].
【解析】 (1)法一:由函数解析式可得
y=31|x+1|=313x+x1+1
x≥-1, x<-1.
其图象由两部分组成:
一部分是:y=31x(x≥0)向――左―平――移―1―个――单―位→ y=31x+1(x≥-1); 另一部分是:y=3x(x<0) 向――左―平――移―1―个――单―位→ y=3x+1(x<-1).
(2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+Fra bibliotek)上是 减函数.
(3)由图象知当 x=-1 时,有最大值 1,无最小值.
【点评】 1.画指数函数 y=ax 的图象,应抓住三个关键点(1, a)(0,1)-1,a1,由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
2.底数与指数函数的图象相对位置关系由指数函数 y=ax 与直 线 x=1 相交于点(1,a)可知:在 y 轴右侧,图象从下到上相应的底 数由小变到大.
A.a>1,b<0 B.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
解析:所给图象是由 f(x)=ax 的图象左移得到,故 b<0,又由 递减性知,0<a<1,从而选 D.
答案:D
3.(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试)设 x>0,且 1<bx<ax,
则( )
A.0<b<a<1
(2)由(1)知 f(x)=-2x+21x++21=-12+2·2x1+1. 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0, 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0.
热点考向三 指数函数的性质
已知函数 f(x)=
.
(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值;
(3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的取值范围.
【解析】 (1)当 a=-1 时,f(x)=
,
令 g(x)=-x2-4x+3,
由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,
如图所示.
法二:①由 y=31|x|可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称, 故先作出 y=31x 的图象保留 x≥0 的部分,当 x<0 时,其图象是将 y =31x(x≥0)的图象关于 y 轴对折,从而得出 y=31|x|的图象.
②将 y=31|x|向左平移 1 个单位, 即可得 y=31|x+1|的图象,如图所示.
B.0<a<b<1
C.1<b<a
D.1<a<b
答案:C
4.已知 f(x)=a|x|(a>0 且 a≠1),若对于 m<n<0,有 f(m)>f(n) 成立,则 a 的取值范围是________.
答案:a>1 5.已知 a= 52-1,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n), 则 m,n 的大小关系为________. 解析:∵0< 52-1<1,∴指数函数 f(x)=ax 在定义域内为减函 数,又 f(m)>f(n),∴m<n. 答案:m<n
④在(-∞,+∞)上是 ⑤在(-∞,+∞)上是
增函数
减函数
1.下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)
满足 f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )
A.幂函数
B.对数函数
C.指数函数
D.余弦函数
解析:由指数式的运算性质 ax+y=ax·ay,知选 C.
答案:C
2.函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列 结论正确的是( )
a-mn =
(a>0,m,n∈N*,n>1).
③0 的指数幂
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质
①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q);
②(ar)s= ars ③(ab)r= arbr
(a>0,r,s∈Q); (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数
在(-2,+∞)上单调递减,
而 y=31t 在 R 上单调递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,
在(-2,+∞)上单调递增,
即函数 f(x)的递增区间是(-2,+∞),
递减区间是(-∞,-2).
(2)令 h(x)=ax2-4x+3,y=31h(x), 由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1,因此必有
热点考向四 指数函数的综合应用
已知定义域为 R 的函数 f(x)=-2x+21x++ab是奇函数. (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.
【解析】 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(0)=0,即-2+1+ab=0,解得 b=1 从而有 f(x)=-2x+21x++a1. 又由 f(1)=-f(-1)知-4+2+a1=--112++a1, 解得 a=2.经检验 a=2 适合题意, ∴所求 a、b 的值分别为 2,1.