大学物理大题及答案

内容为：P37-7.8.14.；

8.11.14； 11.14.15； 7.10.12；

~14.16.18~ 第九章 静电场

9－7 点电荷如图分布，试求P 点的电场强度.

分析 依照电场叠加原理，P 点的电场强度等于各点电荷单独存在时在P 点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为q 的一对点电荷在P 点激发的电场强度大小相等、方向相反而相互抵消，P 点的电场强度就等于电荷量为的点电荷在该点单独激发的场强度.

解 根据上述分析

202

0π1)2/(2π41a

q

a q E P εε==

题 9-7 图

9－8 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为

2

204π1L r Q

εE -=

(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为

2

204π21L r r Q

εE +=

若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.

题 9-8 图

分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为

r r

q

εe E 20d π41d '=

整个带电体在点P 的电场强度

⎰=E E d

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，

⎰=L E i E d

(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(a)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是

⎰⎰==L y E E j j E d sin d α

证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L

r

q

E 20π2d ε，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则

()220022

20

4π12/12/1π4d π41L r Q

εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰

电场强度的方向沿x 轴.

(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为

E r εq

αE L d π4d sin 2

⎰

'=

利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则

()2

202/3222

2041

π2d π41L r r Q r x L x rQ E L/-L/+=

+=⎰εε 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度

r

ελL r L Q r εE l 02

20π2 /41/π21lim

=

+=∞

→

此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(b)］.这说明只要满足r 2/L 2

＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.

9－14 设在半径为R 的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为ρ,求带电球内外的电场强度分

布.

分析

电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有

⎰=

=⋅s

Q E r

S E 0

i

2

π4d ε

上式中i Q 是高斯面内的电荷量，分别求出处于带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得带电球内外的电场强度分布.

解 依照上述分析，由高斯定理可得

R r <时， 3

02

π3

4π4r E r

ερ=

假设球体带正电荷，电场强度方向沿径向朝外.考虑到电场强度的方向，带电球体内的电场强度为

r E 0

3ερ=

R r >时， 3

02π3

4π4R E r ερ=

考虑到电场强度沿径向朝外，带电球体外的电场强度为 r

e r

R E 203

3ερ=

9－15 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 (R 2＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞

R 2 .

题 9-15 图

分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且

⎰⋅=⋅rL E d π2S E ，求出不同半径高斯

面内的电荷

∑

q .即可解得各区域电场的分布.

解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理

∑=⋅0/π2εq rL E

r ＜R 1 ， 0=∑q

01=E

R 1 ＜r ＜R 2 ， L λq =∑

r

ελ

E 02π2=

r ＞R 2，

0=∑q

03=E

在带电面附近，电场强度大小不连续，如图（b ）所示，电场强度有一跃变

00π2π2Δεσ

rL εL λr ελE ===

9－19 电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图(a)放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x 变化的关系曲线.

题 9-19 图

分析 由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解 由“无限大” 均匀带电平板的电场强度i 0

2εσ

±

，叠加求得电场强度的分布， ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<--<=a x a x a a x

0 00i E εσ

电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功