量子力学习题解答第2章

第二章

定态薛定谔方程

本章主要内容概要:

1． 定态薛定谔方程与定态的性质:

在势能不显含时间的情况下,含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程(能量本征值方程）

2

22.2d V E m dx

ψψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件(连续、有限、单值等）。能量本征函数n ψ具有正交归一性

（分立谱）

*

()()m n mn x x dx ψψδ∞

-∞

=⎰

或δ函数正交归一性（连续谱）

'

*'

()()()q q

x x dx q q ψψδ∞

-∞

=-⎰ 由能量本征函数

n ψ可以得到定态波函数

/

(,)

()n

iE t n n x t x e

ψ-ψ=

定态波函数满足含时薛定谔方程。

对分立谱,定态是物理上可实现的态,粒子处在定态时,能量具有确定值n E ,其它力学量(不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱,定态不是物理上可实现的态（不可归一化）,但是它们可以叠加成物理上可实现的态。

含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n n

x t c x t ψ=ψ∑

系数n c 由初始波函数确定

(,0)()n n n

x c x ψψ=∑ ，

*

()(,0)n n c x x dx ψ∞

-∞

=ψ⎰

由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性

2

1n

n

c

=∑

对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E

的几率是2

n c ，能量的期待值可由

2

n n n

H c E =∑

求出。这种方法与用

*ˆ

(,)(,)

H x t H x t dx

∞

-∞

=ψψ

⎰

方法等价。

2. 一维典型例子：

(a）一维无限深势阱（分立谱,束缚态）

0, 0

()

,

x a

V x

<<

⎧

=⎨

∞

⎩其它地方

能量本征函数和能量本征值为

222

2

(), 0;1,2,3,...

2

n

n

n x

x x a n

a

n

E

ma

π

ψ

π

⎛⎫

=<<=

⎪

⎝⎭

=

若

0,

()

,

a x a

V x

-<<

⎧

=⎨

∞

⎩其它地方

则能量本征函数和能量本征值为

222

2

()(), ;1,2,3,...

2

2(2)

n

n

n

x x a a x a n

a

n

E

m a

π

ψ

π

⎛⎫

=+-<<=

⎪

⎝⎭

=

1

n=是基态(能量最低)，2

n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替

的:

1

ψ是偶函数，

2

ψ是奇函数，

3

ψ是偶函数，依次类推。

(b ）一维简谐振子（分立谱,束缚态):

22

1

(),

2

V x m x x

ω

=-∞<<∞

能量本征函数和能量本征值为

2

1/4

/2

()(), ;

2!

1

, 1,2,3,...

2

n n

n

n

m m

x H e x

n

E n n

ξ

ωω

ψξξ

π

ω

-

⎛⎫

=≡

⎪

⎝⎭

⎛⎫

=+=

⎪

⎝⎭

其中()

n

Hξ厄米多项式,可由母函数

2

eξ-生成

2

2

()(1)n

n n d H e e d ξξξξ-⎛⎫=- ⎪

⎝⎭

厄米多项式多项式满足递推关系

111()2()2()

()

2()

n n n n

n H H nH dH

nH d ξξξξξξξ

+--=-=

定义产生算符ˆa

+与湮灭算符ˆa - ()ˆˆˆa m x

ip ωω

±

= 则有

()()ˆˆ

ˆˆˆˆ,

2m x a a p

i a

a ω

+-+-=+=-

)1100ˆˆ, , 1ˆˆ, 0.n n n n n

n

a a

a

a ψψψψψ+

+--+

-====

当处于能量本征态时

2220, 0

111122222n x p p T V m x E n m ωω

==⎛⎫=====+ ⎪⎝⎭

（ｃ）一维自由粒子(连续谱,散射态):

定态薛定谔方程为

2

22

, 2d E x m dx

ψ

ψ-=-∞<<∞ 能量本征函数和本征值为

22(), ; 2ikx k k x k k k E m

ψ=≡-∞<<∞

=

能量本征函数满足δ函数正交归一性

''*()'

1()2i k k x k k

dx e dx k k ψψδπ∞∞

--∞

-∞

==-⎰⎰ 定态波函数为