优选第六章方差分析
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总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
Baidu Nhomakorabea
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异；
组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异；
组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe 总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe
总的均方：MST sT 2
(xij x)2 nk 1
组间的均方： MSt st 2 n
x
平方和与自由度的分解
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
的变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？
⑵哪种促销方式的效果最好？
案例 1 分析
• 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent List：促销方式 Factor：% Contrasts选项: 多项式比较 Post Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
168
20.56** F0.05(3,1
2)=3.49
8.17
F0.01(3,1
2)=5.95
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。
•
进一步的分析
（或 S
即
2）。
e MST
MSt
ST2 SST / dfT
S
2 t
SSt
/
dft
MSe
S
2 e
SSe
/
df e
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
• 试验结果如下：
促销方式
与上年同期相比(%)
A1(广告宣传) 104.8 95.5 A2(有奖销售) 112.3 107.1 A3(特价销售) 143.2 150.3 A4(买一送一) 145.6 111.0
超市管理部门希望了解：
104.2 109.2 184.7 139.8
103.0 99.2 154.5 122.7
药剂 Ａ 18 Ｂ 20 Ｃ 10 Ｄ 28
x =21
苗高观察值
21
20
24
26
15
17
27
29
总和Ti 平均 xi
13
72
18
22
92
23
14
56
14
32
116
29
T=336
自由度和平方和的分解
总变异自由度： DFT=(nk-1)=(44)-1=15
药剂间自由度： DFt=(k-1)=4-1=3
i1
i1
j 1
ni
C
SS组内
a ni
(Yij
Yi )2
i1 j 1
a
(ni 1)Si2
i 1
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
F (1, 2 )
s12 s2 2
变异来源 处理间
DF SS
3
504
处理内（误差） 12
98
总
15 602
MS
F
F临界值
总和 平均 均方
１ x11 x12 … x1j … x1n T1 x1 s12
２ x21 x22 … x2j … x2n T2
x2
s22
…………
……………
i
xi1 xi2 …
xij
… xin
Ti
xi
si2
…………
……………
xk
k xk1 xk2 … xkj … xkn Tk
sk2
T xij x
药剂内自由度： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
矫正数
C T 2 336 2 7056 nk 4 4
总的平方和： SST
xij2 C 602
组间平方和：
SSt
Ti 2 504 n
组内平方和：
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。
• F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。
• ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。
(xi x) 2 k 1
组内的均方： MSe se2
(xij xi )2 k(n 1)
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得
到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
记为 MST（或 ST2）、MSt（或 St2）和MSe
优选第六章方差分析
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变 异分解为若干部分，再通过比较各部分的 变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
组别
设有k组数据，每组有n个观察值
观察值(xij, i=1,2,…,k; j=1,2,…,n)
两部分来。
Baidu Nhomakorabea
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异；
组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异；
组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe 总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe
总的均方：MST sT 2
(xij x)2 nk 1
组间的均方： MSt st 2 n
x
平方和与自由度的分解
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
的变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？
⑵哪种促销方式的效果最好？
案例 1 分析
• 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent List：促销方式 Factor：% Contrasts选项: 多项式比较 Post Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
168
20.56** F0.05(3,1
2)=3.49
8.17
F0.01(3,1
2)=5.95
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。
•
进一步的分析
（或 S
即
2）。
e MST
MSt
ST2 SST / dfT
S
2 t
SSt
/
dft
MSe
S
2 e
SSe
/
df e
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
• 试验结果如下：
促销方式
与上年同期相比(%)
A1(广告宣传) 104.8 95.5 A2(有奖销售) 112.3 107.1 A3(特价销售) 143.2 150.3 A4(买一送一) 145.6 111.0
超市管理部门希望了解：
104.2 109.2 184.7 139.8
103.0 99.2 154.5 122.7
药剂 Ａ 18 Ｂ 20 Ｃ 10 Ｄ 28
x =21
苗高观察值
21
20
24
26
15
17
27
29
总和Ti 平均 xi
13
72
18
22
92
23
14
56
14
32
116
29
T=336
自由度和平方和的分解
总变异自由度： DFT=(nk-1)=(44)-1=15
药剂间自由度： DFt=(k-1)=4-1=3
i1
i1
j 1
ni
C
SS组内
a ni
(Yij
Yi )2
i1 j 1
a
(ni 1)Si2
i 1
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
F (1, 2 )
s12 s2 2
变异来源 处理间
DF SS
3
504
处理内（误差） 12
98
总
15 602
MS
F
F临界值
总和 平均 均方
１ x11 x12 … x1j … x1n T1 x1 s12
２ x21 x22 … x2j … x2n T2
x2
s22
…………
……………
i
xi1 xi2 …
xij
… xin
Ti
xi
si2
…………
……………
xk
k xk1 xk2 … xkj … xkn Tk
sk2
T xij x
药剂内自由度： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
矫正数
C T 2 336 2 7056 nk 4 4
总的平方和： SST
xij2 C 602
组间平方和：
SSt
Ti 2 504 n
组内平方和：
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。
• F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。
• ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。
(xi x) 2 k 1
组内的均方： MSe se2
(xij xi )2 k(n 1)
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得
到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
记为 MST（或 ST2）、MSt（或 St2）和MSe
优选第六章方差分析
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变 异分解为若干部分，再通过比较各部分的 变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
组别
设有k组数据，每组有n个观察值
观察值(xij, i=1,2,…,k; j=1,2,…,n)