优选第六章方差分析
合集下载
第6章方差分析精品PPT课件
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
第六章
电子工业出版社
1
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
主要内容
6.1 方差分析简介 6.2 单因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 协方差分析
电子工业出版社
2
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(1) 方差分析的概念
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
不同饲料的方差齐性检验结果
Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic df1 df2 Sig.
.024
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
9
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一 种饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比 较四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
➢ 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异
➢ 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
3
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(3) 方差分析常用术语
➢ 观测变量：也叫因变量，如上例中的作物产量；
➢ 控制变量：影响实验结果的自变量，也称因子，如上 例中的品种、施肥量等；
(2) 统计原理
单因素方差分析采用的统计推断方法是计算F统计量，进 行F检验。总的变异平方和记为SST，分解为两部分：一部分 是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间Between Groups 离差平方和）；另一部分是由随机变量引起的离差，记为 SSE（组内Within Groups离差平方和）。于是有：
第六章
电子工业出版社
1
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
主要内容
6.1 方差分析简介 6.2 单因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 协方差分析
电子工业出版社
2
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(1) 方差分析的概念
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
不同饲料的方差齐性检验结果
Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic df1 df2 Sig.
.024
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
9
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一 种饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比 较四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
➢ 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异
➢ 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
3
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(3) 方差分析常用术语
➢ 观测变量：也叫因变量，如上例中的作物产量；
➢ 控制变量：影响实验结果的自变量，也称因子，如上 例中的品种、施肥量等；
(2) 统计原理
单因素方差分析采用的统计推断方法是计算F统计量，进 行F检验。总的变异平方和记为SST，分解为两部分：一部分 是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间Between Groups 离差平方和）；另一部分是由随机变量引起的离差，记为 SSE（组内Within Groups离差平方和）。于是有：
第6章 方差分析课后练习参考答案
第6章 方差分析6.1 从三个总体中各抽取容量不同的样本数据，得到如下资料。
检验3个总体的均值之间是否有显著差异？（0.01α=）样本1 样本2 样本3 158 148 161 154 169153 142 156 149169 158 180解：提出假设：01231123::,,H H μμμμμμ==不完全相等方差分析 差异源 SS df MS F P-value F crit 组间618.91672309.45834.65740.0408778.021517组内 598 9 66.44444总计1216.91711因F=4.6547<8.021517，故不拒绝原假设，表明三个总体均值之间没有显著差异。
因P-value=0.040877>0.01, 故不拒绝原假设，表明三个总体均值之间没有显著差异。
6.2某家电制造公司准备购进一批5#电池，现有A 、B 、C 三个电池生产企业愿意供货，为比较它们生产的电池质量，从每个企业各随机抽取5只电池，经试验得其寿命（小时）数据如下：试分析三个企业生产的电池的平均寿命之间有无显著差异？（0.05α=）如果有差异，用LSD 方法检验哪些企业之间有差异？解：01231123::,,H H μμμμμμ==不完全相等方差分析差异源 SS df MS F P-value F crit 组间 615.6 2 307.8 17.06839 0.00031 3.885294 组内 216.4 12 18.03333 总计 832 14因F=17.06839>3.885294，故拒绝原假设，表明三个总体均值之间存在显著差异。
因P-value=0.0031<0.05, 故拒绝原假设，表明三个总体均值之间存在显著差异。
由表中，红色标注可知相对应的P 值<0.05，故可知A 与B ，B 与C 企业之间存在显著差异。
6．3 某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法。
《方差分析法》PPT课件 (2)
精选课件ppt
35
• F>F0.01， • F0.01>F>F0.05， • F0.05>F>F0.1 ， • F0.1>F，
影响特别显著， 影响显著， 一定影响， 影响不大或没影响，
“***” “** ” “* ” “”
精选课件ppt
36
方差分析表
表 6－4 方差分析表
方差来源 组间(因素A) 组内(实验误差)
纯变差平方和
SA SA (k 1) 2 SA fA 2
相应的纯误差平方和
Se Se (k 1) 2 Se fA 2
ST SA Se SA Se
精选课件ppt
34
则因素 A 水平变化而造成的波动在总的波动里的贡献率：
A
SA ST
则随机误差而造成的波动在总的波动里的贡献率：
e
Se ST
8
对试验进行多次测量所得到的一组数据x1，x2，……xn， 由于受到各种因素的影响，各个测量值通常都是参差不齐的， 它们之间的差异称为误差。
随机因素引起
由于试验条件 的改变
试验误差 系统误差
反映了测试结果 的精密度
反映测试条件对 测试结果的影响
精选课件ppt
9
引言：方差分析的基本概念和原理
方差分析的基本原理 ：
(YY)2 i
SE
(Yij Yi)2
ST
2
~
2(km1),
SA
2
~ 2,(k 1),
S(E26~-162()k(m1))
并且S A 与 2
S相E2 互独立.
变差平方和/变差自由度
得 F A S S E A //k(k m ( 1 ) 1 )22 S S E A //k(k m ( (1 6) 1 )-~ 17F )(k 1 ,k(m 1 ))
方差分析包括三因素讲课文档
i 1
j 1
i 1
第九页，共37页。
故：
mn
mn
Q
(X ijX i)2
(X iX )2
i 1j 1
i 1j 1
mn
m
(XijXi)2n (XiX)2
i 1j 1
i 1
下面通过比较QE和QA来检验假设H0。 在假设H0成立的条件下，可以证明：
Q 2(mn1) 2
QE
2
2(m(n1))
以后就是求解问题，为了说明一般解的公式（方法），如下作一般分析。
第七页，共37页。
一般形式：
结果
水平
A1
A2
。 。
A3
序号
1
2 …… … n
X11 X12 … … … X1n
X21 X22 … … … X2n
Xm1 Xm2 … … … Xmn
假定：数据满足正态性、独立性、方差齐性。 （进行方差分析的条件） 要检验因素A对指标是否显著影响，就是检验假设： H0： 1=2=…=m 接受H0：即认为来自同一总体，差异由随机因素所造成。
2、交互模型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c;
3、嵌套效应 MODEL y=a b c(a b); 4、混合效应模型号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);
第二十二页，共37页。
例的确凉、尼龙四种衣料内棉花吸附十 硼氢量。每种衣料做五次测量，所得数据如下。试检验各种衣料见棉花吸附 十硼氢量有没有显著差别？
QA
2
2(m1)
相互独立
第十页，共37页。
方法：（检验方法）
（1）当H0：1=2=…=m 成立时。
卫生统计学第六章方差分析详解演示文稿
三、方差分析的基本思想： 总变异可分解为组间变异和组内变异两个部
分，相应的总自由度也分解为组间自由度和 组内自由度。如果各样本均数来自同一总体， 即各组之间无差别，则组间变异和组内变异 均只反映随机误差，这时若计算组间均方与 组内均方的比值，F＝MS组间/MS组内，应接 近1。反之，若各样本均数不是来自同一总 体，组间变异较大，F值将明显大于1。要大 到多大程度才有统计学意义？
第七页，共37页。
基本思想：根据资料变异的不同来源，将全 部观察值总的离均差平方和和自由度分解为 两个或多个部分，除随机误差外，其余每个 部分的变异可由某个因素的作用(或某几个因 素的交互作用)加以解释，如各组均数间的变 异SS组间，可由处理因素的作用加以解释， 通过比较不同变异来源的均方，用F分布作 出统计推断，从而了解该因素对观察指标有 无影响。
中1指分子均方的自由度， 2为分母均方的 自由度。F=11.164>F0.01(3,16)=5.29，故 P<0.01。认为四组均数间差别有高度统计学 意义
第十三页，共37页。
各组样本含量相等和各组样本含量不等时， 计算的基本方法完全一样，只是在计算l组间 时有所不同，相等时将ni直接用n计算即可。
4、求l日期 5、求l防护服 6、求l误差 7、自由度：总格子数减1为总变异自由度，
第十五页，共37页。
2、此外，同一受试对象不同时间点上的观 察，或同一样本给予不同处理的比较，亦当 作随机区组设计进行分析。
3、由于区组内个体特征比较一致，减少了 个体间变异对结果的影响，统计效率高，易 检出组间的差别。
4、用两因素方差分析two-way ANOVA，两 因素指研究因素和区组因素。研究因素有k 个水平，共n个区组。
4、三种变异的关系
生物统计学-方差分析ppt课件
精选课件
16
一、相关术语
• 试验单位(Experimental unit)：试验载体，即根据研 究目的而确定的观测总体
• 重复(Repetition)：一个处理实施在两个或者两个以 上的试验单位上，称为处理有重复。 试验单位数称为处理的重复数
精选课件
17
二、方差分析的基本原理
方差分析是关于k(k≥3)个样本平均数的假设测
2）由于只能大于30mm才能合格，故单尾检验
解：（1）假设 H0:030，即该棉花品种纤维长度不能达到
纺织品生产要求含量。对 HA:0
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算 s s 2.5 0.125
x n 400
x 3.023.00
u
1.6
s
0.125
x
（4）推断 u<u0.05=1.64, P>0.05 ,显著水平上接受H0，拒绝HA。
精选课件
9
方差分析由英国统 计学家R.A.Fisher首创，
为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检 验 （F -test）。用于推
断多个总体均数有无差 异
精选课件
10
方差分析的定义
方差分析是对两个或多个样本平均数差异显著性 检验的方法。它是将测量数据的总变异按照变异 来源分解为处理效应和试验误差，并做出其数量 估计。
株号
1 2 3 4 5 和
表 2－1
Ⅰ 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5
5个小麦品系株高调查结果
株
高
Ⅱ
64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0
Ⅲ
76.8 66.3 67.1 66.8 68.5 336.5
chapter6方差分析PPT课件
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
.
24
某B水iosta产tisti研cs 究所为了比较四种不同配合饲料 对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼 20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一 个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
.
25
Biostatistics
这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数 n=5。各项平方和及自由度计算如下：
(xij xi.)分别eij是μ、（μi-.
14
Biostatistics
告诉我们：
（ 每个观或x测ij 值 都i)，包故含k处nx理i个j 效观xi.应测（值μ的i-总μ或变异可）x分i.，解与为x.误处. 差理
间的变异和处理内的变异两部分。
.
在单因素试验结果的方差分析中，无效假设
为H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为HA：各μi不 全相等，或H0 ：2 =0,H A2 : ≠0；
F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否
显著大于处理内(误差)均方。
如果结论是肯定的，我们将否定H0；反之，不 否定H0。
.
33
Biostatistics
次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，
即
k
SSt n (xi.x..)2
i1
.
18
式B中ios，tatisticsk n (为xij 各 xi处.)2 理内离均差平方和之和，
i1 j1
反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方
和或误差平方和，记为SSe，即
于是有
kn
SSe
(xij xi.)2
Biostatistics
第六章 方差分析 analysis of variance（ANOVA）
六章节方差分析-
化工产品得率试验(得率：%)
催化剂
温度
B1
B2
B3
A1(60 OC)
66
73
70
A2(70 OC)
81
96
53
A3(80 OC)
97
79
66
A4(90 OC)
79
76
88
5
案例 2 要研究的问题
⑴温度是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，应将温度控制在什么范围内可使 得率最高? ⑵催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，哪种催化剂的效果最好？ ⑶温度和催化剂的不同组合是否对产品得率有显 著影响？ 如有显著影响，哪种温度和催化剂的组合可使得 率最高？
因此需要了解： ⑴哪些因素会对所研究的指标产生显著影响； ⑵这些影响因素在什么状况下可以产生最好的结果。 方差分析就是解决这类问题的一种统计分析方法。
3
【案例1】哪种促销方式效果最好？
某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选 择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装 食品各进行了4 个月的试验。
SAni(xi x)2反映了各样本(不同水平)间数据的差异， i
主要是由因素A的不同水平效应间的差异引起的， 称为因素
A的平方和 或 组间平方和。
利用 SA 和 Se 之比就可以构造出检验 H0 的统计量。
13
3. 检验 H0 的统计量
可以证明，当 H0 为真时Na)
ij
( x i jx i) 2 2 x i j( x i)x i( x ) n i( x i x ) 2
ij
ij
i
(xijxi)2 ni(xix)2ˆ Se SA
ij
i
医学统计学方差分析详解
什么是方差？ 离均差
离均差之和
离均差平方和（SS） 方差（2 S2 ）也叫均方（MS）
标准差：S 自由度：
关系： MS= SS/
当前7页，共60页，星期一。
方差分析的几个符号
xij表示第i组第j个观察值
x 表示第i组的均数(= i.
1
)x ij ni j
x ( x..) 表示总平均=
二、单因素方差分析的基本思想
例1 某克山病区测得11例克山病患者与13名健康人的 血磷值（mmol/L）如下，问该地急性克山病患者 与健康人的血磷值是否不同？
患者x1：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80
1.87 2.07 2.11
健康人x2：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
P
单因素方差分析
当前33页，共60页，星期一。
结合上题理解：方差分析的基本思想
将全部观察值总的离均差平方和（ SS总）及自由度 （ 总）分解为两个或多个部分
除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素 的作用加以解释
通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布
做出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
组内=N-组数 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对
应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率
事件。
当前24页，共60页，星期一。
各种符号的意义 xij第i 个组的第j 个观察值 i=1,2,…k j=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N xi = x=
当前25页，共60页，星期一。
采用近似检验，如Tamhane's T2，Dunnett's T3，GamesHowell，Dunnett's C等方法。
离均差之和
离均差平方和（SS） 方差（2 S2 ）也叫均方（MS）
标准差：S 自由度：
关系： MS= SS/
当前7页，共60页，星期一。
方差分析的几个符号
xij表示第i组第j个观察值
x 表示第i组的均数(= i.
1
)x ij ni j
x ( x..) 表示总平均=
二、单因素方差分析的基本思想
例1 某克山病区测得11例克山病患者与13名健康人的 血磷值（mmol/L）如下，问该地急性克山病患者 与健康人的血磷值是否不同？
患者x1：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80
1.87 2.07 2.11
健康人x2：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
P
单因素方差分析
当前33页，共60页，星期一。
结合上题理解：方差分析的基本思想
将全部观察值总的离均差平方和（ SS总）及自由度 （ 总）分解为两个或多个部分
除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素 的作用加以解释
通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布
做出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
组内=N-组数 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对
应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率
事件。
当前24页，共60页，星期一。
各种符号的意义 xij第i 个组的第j 个观察值 i=1,2,…k j=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N xi = x=
当前25页，共60页，星期一。
采用近似检验，如Tamhane's T2，Dunnett's T3，GamesHowell，Dunnett's C等方法。
方差分析三讲课文档
13.0
11.0
10.0
13.0
19.0
16.0
12.0
20.0
19.0
17.0
19.0
18.0
16.0
10.0
8.0
7.0
17.0
16.0
15.0
11.0
9.0
8.0
田 间 试 验
第十二页，共49页。
小知识：
固定模型（Fiexed model）：表示你打算比较的就是你现在选中的这几
个处理。例如，比较3种药物的疗效的差别；这3种药不是从很多种药中 抽样出来的，不想推广到其他的药物，结论仅限于这3种药。
例题：随机取若干地块，每地块随机取若干个样点，每一样点的土样
又作数次分析所获得的资料。
因素A （地块）
因素B （土样）
样点
地块1
上层
下层
123123
地块2
上层
下层
123123
第十六页，共49页。
第十六页，共49页。
例题： 高校大学生新生入学成绩调查
因素A （大学）
因素B （专业）
学生
某重点大学
农学 机械
A因素（提取时间），p < 0.01，差异极显著；B因素（乙醇浓度）、区组和A*B 互作，p > 0.05，差异不显著。
第九页，共49页。
第九页，共49页。
第三步：多重比较
Tukey法多重比较
处理 A1 A2 A3
mean±SE 0.22 ±0.01 Cc 0.34 ±0.01 Bb 0.39 ±0.01 Aa
处理
A1
B1
B2
A2
B1
B2
A3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
平方和与自由度的分解
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe 总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe
总的均方：MST sT 2
(xij x)2 nk 1
组间的均方： MSt st 2 n
的变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
• 试验结果如下：
促销方式
与上年同期相比(%)
A1(广告宣传) 104.8 95.5 A2(有奖销售) 112.3 107.1 A3(特价销售) 143.2 150.3 A4(买一送一) 145.6 111.0
超市管理部门希望了解：
104.2 109.2 184.7 139.8
103.0 99.2 154.5 122.7
药剂内自由度： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
矫正数
C T 2 336 2 7056 nk 4 4
总的平方和： SST
xij2 C 602
组间平方和：
SSt
Ti 2 504 n
组内平方和：
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
(xi x) 2 k 1
组内的均方： MSe se2
(xij xi )2 k(n 1)
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得
到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
记为 MST（或 ST2）、MSt（或 St2）和MSe
⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？
⑵哪种促销方式的效果最好？
案例 1 分析
• 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent List：促销方式 Factor：% Contrasts选项: 多项式比较 Post Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
168
20.56** F0.05(3,1
2)=3.49
8.17
F0.01(3,1
2)=5.95
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。
•
进一步的分析
•
• 其中：P-value —— P 值，为检验中达到的显著性水平， • 其含义与 t 检验中“P(T<=t)单尾”相同。
• F crit —— 在水平 （默认0.05）下拒绝域的临界值 F。
• ∵ P-value = 0.00014 < 0.001 • 故不同的促销方式对商品销售额有极高度显著影响。
总和 平均 均方
１ x11 x12 … x1j … x1n T1 x1 s12
２ x21 x22 … x2j … x2n T2
x2
s22
…………
……………
i
xi1 xi2 …
xij
… xin
Ti
xi
si2
…………
……………
xk
k xk1 xk2 … xkj … xkn Tk
sk2
T xij x
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异；
组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异；
组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
i1
i1
j 1
niCLeabharlann SS组内a ni(Yij
Yi )2
i1 j 1
a
(ni 1)Si2
i 1
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
F (1, 2 )
s12 s2 2
变异来源 处理间
DF SS
3
504
处理内（误差） 12
98
总
15 602
MS
F
F临界值
（或 S
即
2）。
e MST
MSt
ST2 SST / dfT
S
2 t
SSt
/
dft
MSe
S
2 e
SSe
/
df e
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
药剂 Ａ 18 Ｂ 20 Ｃ 10 Ｄ 28
x =21
苗高观察值
21
20
24
26
15
17
27
29
总和Ti 平均 xi
13
72
18
22
92
23
14
56
14
32
116
29
T=336
自由度和平方和的分解
总变异自由度： DFT=(nk-1)=(44)-1=15
药剂间自由度： DFt=(k-1)=4-1=3
优选第六章方差分析
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变 异分解为若干部分，再通过比较各部分的 变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
组别
设有k组数据，每组有n个观察值
观察值(xij, i=1,2,…,k; j=1,2,…,n)