解析几何(第四章)

三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方
程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标） 的同名坐标轴。
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2 2 1 2 a b
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系 吗？
z
o
x
y
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
当 M1 遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 1 纬圆： 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x x y y z z (2) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 F1 x1 , y1 , z1 0(3) 母线： F2 x1 , y1 , z1 0(4)
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面; F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.

F1 x, y 0, 叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线. z0 F2 x, z 0, 叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线. y0
§4.2 锥面
一、锥面的概念
定义1
在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面， 这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的
准线。
准线
母线
说明：锥面的准线不是惟一的， 和一切母线都相交的每一条曲线 都可以作为它的准线。
顶点
二、锥面的方程
准线
F1 x, y, z 0 F2 x, y, z 0
半顶角
v
l
M
M0
三、锥面的判定定理
定义2 设 为实数，对于函数 f x, y, z ，如果有 f tx, ty, tz t f x, y, z ， （ t 的取值应当使 t 有确定的意义），那么 f x, y, z 叫做 次齐次函数，
f x, y, z 0 叫做 次齐次方程
说明： ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线 l
ⅱ 任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
纬圆
经线和母线 一样吗？
M

旋转曲面也可看作经 线绕轴旋转生成
S
经线
满足什么条件 母线就是经线？

经线
纬圆（纬线）
二、旋转曲面的方程
1 旋转曲面的一般方程
设旋转曲面的母线
旋转曲面又可看作以轴 l 为连 心线的一族纬圆生成的曲面
L:
2 2 2 y z 4 x 4 2 2 y 3 z 8x 12
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投影柱面的交线
L： y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去x )
L
y2 = – 4x
0 y
.
x
P147
2, 8(3)
v
准线
母线
母线
v
准线
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 惟一的，而柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都 相交的曲线都可以作为柱面的准线.z
母线
v
准线
0
y
准线
x
二、柱面的方程
F1 x, y, z 0 Ⅰ 准线方程 C： F2 x, y, z 0
定义2’ 对于正整数
n
，若方程 f x, y, z 0 对于任意实数 t
满足 f tx, ty, tz t n f x, y, z ，则称方程 f x, y, z 0 为 n 次齐次方程.
定理1 一个关于 x, y, z 的（正数次）齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。 （反之亦然）
平面 分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 S M1 纬圆 ＝
F1 x, y, z 0 x x0 y y0 z z0 : 旋转轴为直线 ， l: F x , y , z 0 2 X Y Z
球
空间曲线作为射影柱面的交线
2 2 2 x z 4 y 4 z, L: 2 2 x 3 z 8 y 12 z
2 2 2 2 x z 4 z , x z 2 4, L: 2 L: 2 z x x 4 y 0. 4 y.
Ⅱ 母线l 的方向数：X , Y , Z
M1 C 分析： M1 x1, y1, z1 S M1 l
F1 x1 , y1 , z1 0 F2 x1 , y1 , z1 0 x x y y1 z z1 1 t X Y Z
L:
2 y z 4 x 4 2 2 y 3 z 8x 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
y2 = – 4x
0 y
.
x
空间曲线作为射影柱面的交线
x2 = - 4y
L
x2+(z – 2)2 = 4
O
y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
L:
2 2 2 y z 4x 4 2 2 y 3 z 8x 12
z
将其换成 投影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z )
y2 = – 4x
0 y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
F x, y, z 0
l
M1

注： ⅰ 写出这母线上任意一点 M1 x1, y1, z1 的纬圆方程或母线族 ⅱ 写出参数 x1 , y1 , z1 的约束条件 ⅲ 消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）
S
例1 求直线 ：
x 2
y z 1 绕直线 l : x y z 旋转所得的旋转曲面的方程 1 0
的圆柱面的方程 1) 取直线x=y=z上点O(0,0,0),过此点的法平面为x+y+z=0 2) 此法平面与x+1=y=z-1和x-1=y+1=z-2的交点分别是(-1,0,1)、 (1/3,-5/3,4/3) 3) 设圆柱面的轴心上的点为(a,b,c),到这3点距离相等.满足方程组： a²+b²+c²=(a+1)²+b²+(c-1)²=(a-1/3)²+(b+5/3)²+(c-4/3)² 解得：b=a-3/5,c=a+1 4) 选轴心在发平面x+y+z=0上的点，即0=a+b+c=a+(a-3/5)+(a+1) 得到交点为Q(-2/15,- 11/15,13/15) 5) 利用交点(-2/15,-11/15,13/15)和方向向量v=(1,1,1)可以求出轴心 方程L. 6) 任取圆柱面上一点P(x,y,z),则P到直线L的距离等于OQ的长度。
取准线上任意一点 M1 x1, y1, z1
x2 y 2 2 2 1 例1 锥面的顶点在原点，且准线为 a b ，求锥面的方程。 z c
例2 已知圆锥面的顶点为 1, 2,3 ，轴垂直于平面 : 2 x 2 y z 1 0 ， 母线与轴成 30 角，试求这圆锥面的方程。
F1 x Xt , y Yt , z Zt 0 F x, y, z 0 F2 x Xt , y Yt , z Zt 0
v
M1
例1
求这柱面的方程.
2 2 2 x y z 1， 柱面的准线方程为 2 ，而母线的方向数是 2 2 2 x 2 y z 2
（ surface of revolution）
.
l
Γ 称为旋转曲面的母线 （generating curve） l 称为旋转曲面的旋转轴 （axis of rotation）

S
生活中见过旋 转曲面吗？
Ⅰ 母线上任意一点绕旋转轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线
Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的（正数次）齐次方程表示顶点 x0 , y0 , z0 在的锥面（反之亦然）
例3 P151 4
求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程
P151
2, 5
§4.3 旋转曲面
一、旋转曲面的有关概念
l

定义1
在空间，一条曲线 Γ 绕着定直线 l 旋转一周所生成的曲面 S 称为旋转曲面（或回转曲面）
x
三、几种特殊的旋转曲面
1 单叶旋转双曲面 2 双叶旋转双曲面 3 旋转抛物面 4 环面 5 旋转椭球面
z 例 3 （ 1）
y2 z2 2 1 2 将双曲线 : 绕虚轴 c b x 0 （即 z 轴）旋转
o
b
y
z 例 3 （ 1）
y2 z2 2 1 2 将双曲线 : 绕虚轴 c b x 0 （即 z 轴）旋转
1, 0,1，
例2 已知圆柱面的轴为 x 1 求这个圆柱面的方程.
y 1 z 1，点 P 1, 2,1 在此圆柱面上， 2 2
例3
P147
3
求过三条平行直线 l1 : x y z, l2 : x 1 y z 1 与 l3 : x 1 y 1 z 2
§4.1 柱面
平面
圆柱面
x2 y 2 a2
z
o
x
y
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 定方向叫做柱面 族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder）， 的方向， 定曲线叫做柱面的准线（directrix）， 那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
注：为方便，今后将取旋转曲面的 某一条经线作为它的母线。
母线不是经线
单叶旋转双曲面
例2
F y, z 0 : 设母线 ，⑴ 绕 z 轴旋转所得的旋转面方程； x 0
⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程
z
o
规律：
y
来自百度文库
一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时， 为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两 坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标
o
b
y
.
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
y 例 3 （ 2）
y2 z2 2 1 绕实轴 2 将双曲线 : c b x 0 （即 y 轴）旋转
z
o
y
x
抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 xOy 坐标面的交 线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱 面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. z z z
y
O o x y x
o y
x
四、空间曲线的射影柱面
F x, y, z 0, F1 x, y 0, F1 x, y 0, F2 x, z 0, L : 空间曲线 G x , y , z 0. F2 x, z 0, F3 y, z 0, F3 y, z 0,
，顶点 A x0 , y0 , z0 ，
F x , y , z 0 1 1 1 1 ， F2 x1 , y1 , z1 0 F x, y , z 0 xx y y0 z z0 0 x1 x0 y1 y0 z1 z0