任意项级数敛散性判断练习及 答案
(整理)十一章习题解答.
习题 11-1判别下列级数的敛散性：1. +++++n 2141211；2. ∑∞=-+1)1(n n n ；3. ++++⨯+++n n 10121102121101212 ；4. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-121cos 1n n n ；5. ()() ++-++⋅+⋅13231741411n n ； 6. ∑∞=++143ln n n n ；7. +-++-+61514131211； 8.∑∞=12sin n nnx . 解：1.()⎪⎭⎫⎝⎛-++++=-+++=11211211121211n n S n ， 而调和级数是发散的，故级数发散； 2. ()()()()∞→∞→-+=-+++-+-=n n n n S n 1112312 ，故级数发散； 3．因为级数+++n 2121212收敛， 而级数⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++⨯+ n n 12111011011021101发散， 故原级数发散； 4．因为211cos1lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n n ，所以原级数发散； 5.因为()()()∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+++=n n n n S n 31131131132317.414.11 故原级数收敛； 6.()()()()()ln 4ln5ln5ln6ln 3ln 4n S n n =-+-+++-+()()ln 4ln 4n n =-+→-∞→∞故级数发散。
7. 因为11111121171123456339n n n+-++-+=-⨯==∞∑∑∑，故原级数发散；8. 对于任意的自然数,p.2121121121212121112121np n pn n n p n n n u u u <--⨯=+++≤+++++++++++所以对于任意给定的正数ε，取自然数)1(log 2ε≥N ，则当N n >时，对于任意的自然数,p 都有 ε<++++++p n n n u u u 21 成立。
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高: 关于任意项级数敛散性判别的两个结论
! !
271
a n , 令函数 f ( x ) , 对
n= 1
解 =
对于
n= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
( 1 - sin 1 ) , 考虑函数 f ( x ) n n
所有的正整数 n , 使得 f ( 0, + ! ) 有 lim +
x ∀0
1 = an . 若对某个 t # n
关于任意项级数敛散性判别的两个结论
刘志高
( 安徽工业大学职业技术学院 , 安徽 马鞍山 243011)
摘
要:
以级数收敛定义和比较原则为基础 , 补充两个结论来判断某些任意项级数的敛散性. 任意项级数; 绝对收敛 O173. 1 文献标识码: A 条件下, 可以由加括号后所得新级数的收敛性来 得到原级数的收敛性. 例1 判定级数 1 1 1 1 1 1 + 2 3 2- 1 2 3- 1 3 + ∃+ 的敛散性 . 解 显然n lim a n = 0. 又因为 ∀+ ! 1 n+ 1- 1 1 1 n+ 1 n+ 1
且级数
n= 1
n + 4n + 2 发散 . 由结论 1 可知 n ( n + 1) ( n + 2)
2
原级数发散.
收稿日期: 2008- 01- 29 作者简介: 刘志高 ( 1975- ) , 男 , 安徽郎溪人 , 硕士 , 讲师 , 任职于安徽工业大学职业技术学院 .
第2 期 结论 2 设任意项级数
!
f %( x ) 存在且f ( 0) = 0, 则 an t x n= 1
7.3 任意项级数敛散性的判别
lim u n lim
n
n ln n
lim
x
lim
x
1
x ln x x
0
综上所述原级数条件收敛.
x
(4)
n1
对于级数 当 当
x 1 x 1
x
n
lim
n
n1 x
n1
n
n
lim
n n1
n
x x
n
时 时
原级数 原级数
(B) 条件收敛 (D) 敛散性与 有关
例5 设常数
k 0,
(A)发散
则级数 ( 1) 2 n n 1 (B) 条件收敛
n
k n
(
)
(C) 绝对收敛
(D) 敛散性与 k 有关
正 项 与极限形式 级 数 n n 适用 u n 为 a , P ( n ), n ! , n 比值判别法 的积、商的级数.
n
发散,
n1
从而 ( 1 )
n1
n1
n! 5
n
发散.
( 3 )
( 1)
n1
n1
n ln n
解：对于级数 因 n ln n 再考察
un 1 n ln n
1 n ln n
n1
1
1 n
且
n1
1 n
n1
发散 故
1 n ln n
n
n
un l
N,
故对 当 即
存在正整数
un l
n
n N
8.3任意项级数敛散性的判别
ρ <1
ρ >1
收 敛
发 散
3. 任意项级数判别法 概念: 概念 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法 判别法: 判别法
un ≥ un+1 > 0
n→∞
lim un = 0
则交错级数 ∑(1)nun收敛
n=1
∞
作业 13(1)(4)( P287 13(1)(4)(9)(12)
n =1 n =1
∞
∞
×
对正项级数有比较判别法 1 取vn = ( un + un ) ∵ un ≤ un ∴0 ≤ vn ≤ un 2 ∞ ∞ ∞ 故∑ | un |收敛 ∑ vn收敛 ∑ 2vn收敛
n =1 n =1 n =1
而un = 2vn un ∑ un收敛
n =1
性质 2 ∞
发散, 如何? 问题: 问题: 若∑ un 发散, un如何? ∑
n =1
∞
练习 : 一.下列级数是条件收敛还 是绝对收敛 ?
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞
2.∑ ( 1)
n =1
∞
n ( n 1 ) 2
n2 2n
3.∑ ( 1)
n =1
∞
( n 1 )
2n + 1 n( n + 1)
sin n 4.∑ ( 1) n2 n =1
n
∞
( 1)n 1.∑ 5 n n =1
∞ ∞ n =1 n =1
∞
x ∈ [1,1) 其他
三.设级数 ∑ an , ∑ cn均收敛 , 且对任意的 n, an ≤ bn ≤ cn ,
证明级数 ∑ bn收敛 .
n =1
10-3 任意项级数敛散性(完整)
n→ ∞
∵ lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
n→ ∞ n→ ∞
∴ 级数收敛于和 s , 且s ≤ u1 .
例 讨论交错级数
∑ ( 1) n =1
则其 收敛, 且和 s ≤ u1 ;
证明
∵ s2 n
∵ un1 un ≥ 0, = ( u1 u2 ) + ( u3 u4 ) + + ( u2 n1 u2 n )
数列{s2n }单调增加,
又 s2 n = u1 ( u2 u3 ) ( u2 n 2 u2 n1 ) u2 n ≤ u1
n =1
∞
n =1
n =1
下面证明两个级数的和相等. 下面证明两个级数的和相等.
令
| un | + un un , un ≥ 0 = pn = 2 0, un < 0
un ≥ 0 | un | un 0, = qn = 2 un , un < 0
∴ 0 ≤ pn ≤| un |, pn + qn =| un |,
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
例 审敛
解
∞ sin n 1 1 ∵ 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
∑1 n=
∞
sinn n2
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
绝对收敛 故 绝对 收敛
任意项级数的敛散性判别
一、任意项级数、交错级数的定义
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
若 un是正项级数, 则 un收敛 其部分和数列Sn有界.
n1
n1
若 un是任意项级数, 则 un收敛 其部分和数列Sn有界.？
n1
n1
(1)n1 11 11 11
n1
0
Sn 1
n为偶数 n为奇数
Sn有界, 但 (1)n1发散.
n1
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un u1 u2 u3 u4 (其中un 0)
n1
(1)nun u1 u2 u3 u4
n1
二、莱布尼兹判别法（交错级数）
莱布尼兹判别法 若交错级数 (1)n1un满足 :
n1
(1) u1 u2 u3 un un1
n）
1 ln(1
n）
1
1
n
且
1
发散，所以
(1)n1 发散.
n1 1 n
n1 ln(1 n）
考查
(1)n1
n1 ln(1 n）
1
1
un ln(1 n） ln(2 n) un1
lim
n
1 ln(1
n）
0
n1
(1)n1 收敛，且为条件收敛 ln(1 n）
.
解2.考查
(1)n
(2)
lim
n
un
0
则 (1)n1un收敛,且它的和s u1 .
n1
证 un1 un 0, S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
即数列 {S2n }是单调增加的 ,
又S2n u1 (u2 u3 )
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
级数的收敛性与敛散判别法
级数的收敛性与敛散判别法当然可以！以下是根据标题“级数的收敛性与敛散判别法”出的20道试题，包括选择题和填空题，并附有详细的序号介绍：1. 选择题：下列哪个条件是级数收敛的充分条件？A. 正项级数B. 交错级数C. 调和级数D. 发散级数2. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 的收敛性是（填入“收敛”或“发散”）。
3. 选择题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) 的敛散性是？A. 收敛B. 发散4. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\) 的前5项部分和为（填入计算出的数值）。
5. 选择题：用比较判别法判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\)的敛散性，下列哪个级数可以作为比较对象？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\)6. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right)\) 的敛散性是（填入“收敛”或“发散”）。
7. 选择题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) 的收敛性是？A. 收敛B. 发散8. 填空题：级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\) 的前5项部分和为（填入计算出的数值）。
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
任意项级数敛散性的判别
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
比较审敛法例题
比较审敛法例题
比较审敛法是一种判别级数敛散性的方法，主要是通过比较一个已知敛散性的级数来确定另一个级数的敛散性。
以下是几个使用比较审敛法的例题：
例题1：判断级数∑(1/n^2) 的敛散性。
解：我们可以选择一个已知的收敛级数∑(1/n^3) 来进行比较。
因为对于所有的 n，都有 1/n^2 ≥ 1/n^3，所以根据比较审敛法，级数∑(1/n^2) 也是收敛的。
注意：这里的解答有误，实际上应该是 1/n^2 ≤ 1/n^3 对于 n ≥2 才成立，但这不影响最终的结论，因为级数的前几项不影响级数的敛散性。
例题2：判断级数∑(n/(n+1)) 的敛散性。
解：我们可以将这个级数与级数∑1 进行比较。
因为对于所有的 n，都有 n/(n+1) ≥ 1，所以根据比较审敛法，级数∑(n/(n+1)) 是发散的。
注意：这个解答是错误的。
实际上，对于所有的 n，都有 n/(n+1) < 1，但是这并不能帮助我们判断级数的敛散性，因为这个不等式是反向的。
正确的方法是观察到 n/(n+1) 的极限是 1，不等于 0，所以级数发散。
以上两个例子说明，在使用比较审敛法时，我们需要谨慎地选择比较的级数，并确保比较的方向是正确的。
下面给出一个正确的使用比较审敛法的例子：
例题3：判断级数∑(1/[n(n+1)]) 的敛散性。
解：我们可以将这个级数与级数∑(1/n^2) 进行比较。
因为对于所有的 n，都有 1/[n(n+1)] < 1/n^2，而级数∑(1/n^2) 是收敛的（这是一个已知的p-级数，p=2>1），所以根据比较审敛法，级数∑(1/[n(n+1)]) 也是收敛的。
【2019年整理】任意项级数的敛散性判别
0 r ,同敛散
给定
v
n
,
若
lim
n
un vn
r r 0, r ,
vn收敛，则 un收敛
v
发
n
散
，
则
un发散
1、p
级数
:
n1
1 np
当p 1时, 当p 1时,
收敛 发散
2、 aqn敛散性
n0
当q 当q
1时, 收 敛 1时, 发 散
3、调和级数
1 发散.
n1 n
比值判别法： （不需要比较对象）
复习
正项级数判别法：
（1）
lim
n
un
0?
（2）比值判别法（含n的阶乘）不用比较对象
或根式判别法（通项中含有n次幂）
（3）比较判别法极限形式(含对数函数时 经常采用比较法)
（4）比较判别法 需要敛散性已知的比较对象
比 较 判 别 法：非极极限限形形式式：：un
cvn
,
则
vn收敛，则 un收敛 un发散，则 vn发散
(2)
lim
n
un
0
则 (1)n1un收敛,且它的和s u1 .
n1
证 un1 un 0, S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
即数列 {S2n }是单调增加的 ,
又S2n u1 (u2 u3 )
u (u2n2 u2n1 ) u2n
n1 n
当x 1时, 原级数 1 发散.
n1 n
例
判别级数
n1
s
in na n2
(a
0)
的收敛性.
解 经判断该级数为任意项级数（易出错认为正项级数）
探索级数与收敛性级数收敛与发散判断练习题
探索级数与收敛性级数收敛与发散判断练习题在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列的和。
级数的收敛性与发散性是在数学分析领域中的重要概念。
本文将通过一些练习题来探索级数的性质，并判断它们的收敛性或发散性。
练习题 1：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这是一个等比级数，公比为0.5。
我们知道，等比级数收敛的条件是公比的绝对值小于1。
因此，在这个练习题中，公比的绝对值为0.5，小于1。
因此，这个级数收敛。
练习题 2：考虑以下级数：1 + 2 + 3 + 4 + ...这是一个等差级数，差为1。
我们知道，等差级数是发散的，因为它的项随着索引的增长而线性增长。
因此，这个级数发散。
练习题 3：考虑以下级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...这是一个交错级数，它的每一项交替正负。
解决这类级数的方法是通过部分求和。
我们可以发现，当部分求和的项数是偶数时，它的和是0；当部分求和的项数是奇数时，它的和是1。
因此，这个级数是发散的。
练习题 4：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这个级数在练习题 1 中已经出现过了。
这个级数是一个等比级数，公比为0.5。
我们已经知道，这个级数收敛。
练习题 5：考虑以下级数：1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...这个级数是一个阶乘级数。
我们知道，阶乘级数收敛的条件是项趋于零。
这是因为阶乘的增长速度非常快，因此项会随着索引的增大而趋于零。
因此，这个级数收敛。
练习题 6：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比是1/2。
几何级数收敛的条件是公比的绝对值小于1，而在这个级数中，公比的绝对值是1/2，小于1。
因此，这个级数收敛。
练习题 7：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数。
调和级数是发散的，这是因为当 n 趋于无穷大时，调和级数的部分和趋近于无穷大。
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
8.3 任意项级数敛散性的判别
由根值判别法知
n1
n3 2n
收敛,
所以原级数收敛.
问题 : 若 un 发散， un如何？ 不确定!
n1
n1
如 (1)n1 1 ,
n1
n
1 发散, (1)n1 1 收敛.
n1 n
n1
n
如 (1)n1
n
,
n
发散,
(1)n1
n
发散.
n1
n 1 n1 n 1
n1
n1
定义8.3 若| un | 收敛，则称级数 un绝对收敛.
1
lim
x
10x
ln 10
0
由莱布尼兹判别法级数收敛.
例3.判断交错级数 (1)n1
1
的敛散性.
n1
n ln n
1
解：un
1 , lim 1 lim 1 lim x n ln n n n ln n x x ln x x 1 ln x
0
x
设f ( x) 1 , x ln x
un f (n),
注2：在证明 un 0时, 要会把数列极限转化为函数极限， 再利用洛必达法则等方法.
注3：若交错级数不满足 un 0 时, 该级数一定发散.
!! 注4：若交错级数不满足 un 时, 该级数不一定发散.
二、任意项级数 un (转化为正项级数讨论) n1
定理8.8 设 un为任意项级数，若| un | 收敛，则 un也收敛.
1 n n1 3
是交错级数，能否用莱布尼兹判别法？
n1
2n
n3
n3
x3
un 2n ,
lim
n
2n
lim
x
2x
11-3 任意项级数敛散性的判别
的敛散性.
当 0 p 1 时，原级数为交错级数，由于
vn 1 n
p
, v n1
1 ( n 1)
p
v n v n1
lim v n 0
n
原级数条件收敛
综上可知：
微积分七 ③
( 1)
n1
n1
发散， p 0 1 绝对收敛， p 1 p n 条件收敛， 0 p 1
n
解： a n
1 3
n
lim
n
an 1 an
lim
n
3 3
n
n 1
1/ 3
根据系数的表达式，也可以
lim an lim
n n
所以收敛半径 R=3
1 3
n
n
n
1/ 3
例2 求下列幂级数的收敛区间
(1) ( 1)
n 1 n
n
的敛散性.
1 3 1 3 x 1 3 x 1 3 ,x 1 3
绝对收敛 n n 3 x n ( 1) 发散 n n1 条件收敛
x
微积分七 ③
13/26
正项级数
1.
若 S n S , 则级数收敛 ;
任意项级数
判 别 法
8/26
练习: 判断级数
(1)
n 1
n 1
n 2
3
n
的敛散性
解：将级数的各项取绝对值得正项级数
n 1
n 2
3
n
( n 1) lim un 1 un
n
3
级数敛散性判断习题
n 1
(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
例2. 判别下列级数的敛散性:
1
提示: (1)
lim
n
nn
1 n
n
lim
n
1 nn
据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .
(3)
n1
n
cos 2 2n
nπ 3
:
, 原级数发散
0
n
cos 2 2n
(1 x 1)
例8
将 f(x)
x
展开成麦克劳林级数.
(x 1)(1 x)2
解
f
(x)
1 4(1 x)
1 4(1
x)
1 2(1
x)2
1 x n 1 (1)n x n 1 1 '
4 n0
4 n0
21 x
1 (1 (1)n )x n 1 nx n1
2
x 3n2 |
2 | x |3
n | un ( x) |
n
n
| n2 2 x 3n1 |
收敛域为 1 x 1 ,
62
62
n
xS( x) n2 2 x 3n n( 2x 3 )n
n1
n1
2x2
S(x) (1
2x 3 )2
x ( 1 , 1 ) 62 62
例5
求级数
x 2n 收敛域及和函数.
n0 (2n)!
解 lim | un1 ( x) | lim x 2n2 (2n)! 0 n | un ( x) | n (2n 2)! x 2n
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任意项级数敛散性判断
下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、
()
∑∞
=--1
1
11n n n
2、 ()∑∞
=--1131n n n
n
3、 ()
∑∞=+121sin n n na
4、 ()()011>-∑∞=a na n n
n
5、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+2ln 1sin n n n π
6、 +-+-+-
332210
3
211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11
2
212
12121n n n n n 8、 ()()
[]
()01111
>-+-∑∞=-p n n p n n
答 解：1、()
∑
∞
=--1
1
11n n n
取绝对值 ()∑
∑∞=∞
=-=-1
11
1
1n n n n
n >∞
（
2
1
=p 的p 级数）
而原级数是交错级数
且： 01lim 1
111==<+=∞
→+n
u n
n u n n
n
由莱布尼兹定理，原级数收敛。
所以是条件收敛。
2、()∑∞
=--113
1n n n
n
13111lim 313
31lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n
绝对值级数 ()∞<-∑∞
=-113
1n n n
n
所以原级数绝对收敛
3、()
∑∞
=+12
1sin n n na
()()
2211
1sin +≤+n n na
()
∑∞
=+1211n n 是p=2 的p 级数。
收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、()
()011>-∑
∞
=a na
n n
n
()111lim lim 11<=+=+∞
→+∞→a
a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0<a<1 时
()
01lim lim ≠-=∞
→∞→n
n
n n n na
u 级数发散
（ 0ln 1
lim lim lim =-==-∞
→∞
∞
-∞→∞→a a a n na n n n n n
n ())01lim ≠∞=-∴∞
→n n
n na a=1 时 ()∑∞=-11n n
n
满足莱布尼兹定理，
原级数条件收敛
5、 ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+2ln 1sin n n n π
n
n n
n n n ln 1sin cos ln 1cos
sin ln 1sin ⋅+⋅=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πππ ()n n n n n n ln 1sin
1ln 1sin 11-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∑∑∞=∞
=π 因为当x y x sin 2,0=⎪
⎭⎫
⎝⎛∈π 单调递增 且 ()n
n n u n
n u n
=<+==+∞
→ln 1
sin 1ln 1sin 0ln 1
sin lim 1
∞<⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∴∑∞
=1ln 1sin n n n π
所以原级数条件收敛
6、 +-+-+-
3322103
211032110321 b a b a +≤+
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-110321n n n ∑∞=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+110321n n n
设： n n n
n v u 10
321
==
∞<∞
<∑∑∞
=∞
=1
1
n n n n v u
所以原级数绝对收敛
7、()()()
∑∞
=+-+-+1
1
2
2
12
12121
n n n n n
()()12
1122232lim lim 21
22
1<=+⋅+=++∞
→+∞→n n u u n n n n n n 所以原级数绝对收敛
8、 ()()[]()01111
>-+-∑∞
=-p n n p n n ()()[]
∑∞=--+-11
11n p n n n
()[]()1111lim
1
11
lim
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=-+∞
→∞
→p
n
n p p
n n n n
n
p>1 原级数绝对收敛 p ≦1 原级数发散。