量子力学薛定谔方程35页PPT
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《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
量子力学：薛定谔方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
则 (t,x,y,z) C Ψ(t,x,y,z) 2 Φ(t,x,y,z) 2
(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z) 2
此式表示物质波波函数物理意义： 即：波函数(归一化)模平方（即波强度）表示物 质波概率密度。
第9页
例：将波函数 归一化
f x exp 2 x 2 2
设归一化因子为C，则归一化波函数为
两缝同时打开
依次打开一个缝
第3页
a.双缝同时打开
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流
概率波干涉结果
电子确是粒子，但电子 去向是完全不确定，一 个电子抵达何处完全是 概率事件
这种概率在一定条件下 （经双缝）有确定规律
在波强强度较强地方，单 个事件发生概率大；在波 强强度较弱地方单个事件 发生概率小
2
f
(
t
)
2
(
r
)
Uf
(
t
)
(
r
)
t
两边同除
(
r
)
f
2m (t )
i
1 f(t
)
f(t t
)
2 2m
2
(
r
)
U
(
r) Βιβλιοθήκη 1 (r)=E
得
2
2
(
r
)
U
(
r
)
E ( r )
2m
（1）
i f(t) E f(t) t （第217）页
由（2）式可得：
f
(
t
)
e
i
Et
由（1）式可得：
2 2 ( E U )
利用归一化条件，可得归一化波函数为：
(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z) 2
此式表示物质波波函数物理意义： 即：波函数(归一化)模平方（即波强度）表示物 质波概率密度。
第9页
例：将波函数 归一化
f x exp 2 x 2 2
设归一化因子为C，则归一化波函数为
两缝同时打开
依次打开一个缝
第3页
a.双缝同时打开
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流
概率波干涉结果
电子确是粒子，但电子 去向是完全不确定，一 个电子抵达何处完全是 概率事件
这种概率在一定条件下 （经双缝）有确定规律
在波强强度较强地方，单 个事件发生概率大；在波 强强度较弱地方单个事件 发生概率小
2
f
(
t
)
2
(
r
)
Uf
(
t
)
(
r
)
t
两边同除
(
r
)
f
2m (t )
i
1 f(t
)
f(t t
)
2 2m
2
(
r
)
U
(
r) Βιβλιοθήκη 1 (r)=E
得
2
2
(
r
)
U
(
r
)
E ( r )
2m
（1）
i f(t) E f(t) t （第217）页
由（2）式可得：
f
(
t
)
e
i
Et
由（1）式可得：
2 2 ( E U )
利用归一化条件，可得归一化波函数为：
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
量子力学--定态薛定谔方程 ppt课件
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
空间波函数ψ(r)由方程
2 2 [ V ] (r ) E (r ) 2
* n
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
* m (r) n (r)dr mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
( x, t ) cn n ( x, t ) cneiE t / n ( x)
PPT课件 4
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
2 2 [ V ] ( r ) E ( r ) 2
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
令：
( r , t ) ( r ) f ( t )
两边同除 (r ) f (t )
等式两边是相互无 关的物理量，故应 等于与 t, r 无关 的常数
d 2 2 i ( r ) f ( t ) f ( t )[ V ] ( r ) dt 2 2 1 d 1 2 i f (t ) V ] ( r ) E [ f ( t ) dt ( r ) 2
III 0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。
量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程ppt正式完整版
26年发表的第二篇论文中，薛定谔建立了更为 一般的含时间的薛定谔方程
保罗·阿德里·莫里斯·狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英 国理论物理学家，量子力学的奠基者之一
狄拉克出生于英格兰西南部的布里 斯托尔，在布里斯托尔大学取得电 子工程和数学两个学位之后，1923 年考入剑桥大学圣约翰学院当数学 研究生。1925年开始研究量子力学， 于1926年在剑桥大学以《量子力学》 的论文取得博士学位。1930年选为 英国伦敦皇家学会会员。1932年任 剑桥大学数学教授。
量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程
认识一下量子前辈们
一、量子力学之薛定谔方程和狄拉克方 程
薛定谔
狄拉克
薛定谔(Erwinschrodinger，1887-1961)因发现原子理论
的有效的新形式——波动力学和狄拉克
(PaulAdvienMauriceDirac，1902—1984)因创立相对论
性的波动力学方程——狄拉克方程，共同分享了1933年
在理论物理中，相对于薛定谔方程之 于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论 量子力学的一项描述自旋-½ 粒子的波函数方 程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量 子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛 伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在， 随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子 (positron)而证实。
一、陌生的量子，不陌生的晶体管 晶体管的优势在于它能够同时扮演电子信号放大器和 转换器的角色。这几乎是所有现代电子设备最基本的功能 需求。但晶体管的出现，首先必须要感谢的就是量子力学。 正是在量子力学基础研究领域获得的突破，斯坦福大学的 研究者尤金·瓦格纳及其学生弗里德里希·塞茨得以在1930 年发现半导体的性质。在晶体管上加电压能实现门的功能， 控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信 息编码，以至于编写一种1和0的语言来操作它们。到 1954年，美国军方成功制造出世界首台晶体管计算机 TRIDAC。与之前动辄楼房般臃肿的不靠谱的真空管计算 机前辈们相比，TRIDAC只有3立方英尺大，耗电不过100 瓦特。今天，英特尔和AMD的尖端芯片上，已经能够摆 放数十亿个微处理器。而这一切都必须归功于量子力学。
保罗·阿德里·莫里斯·狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英 国理论物理学家，量子力学的奠基者之一
狄拉克出生于英格兰西南部的布里 斯托尔，在布里斯托尔大学取得电 子工程和数学两个学位之后，1923 年考入剑桥大学圣约翰学院当数学 研究生。1925年开始研究量子力学， 于1926年在剑桥大学以《量子力学》 的论文取得博士学位。1930年选为 英国伦敦皇家学会会员。1932年任 剑桥大学数学教授。
量子力学之薛定谔方程与狄拉克方程
认识一下量子前辈们
一、量子力学之薛定谔方程和狄拉克方 程
薛定谔
狄拉克
薛定谔(Erwinschrodinger，1887-1961)因发现原子理论
的有效的新形式——波动力学和狄拉克
(PaulAdvienMauriceDirac，1902—1984)因创立相对论
性的波动力学方程——狄拉克方程，共同分享了1933年
在理论物理中，相对于薛定谔方程之 于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论 量子力学的一项描述自旋-½ 粒子的波函数方 程，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量 子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛 伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在， 随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子 (positron)而证实。
一、陌生的量子，不陌生的晶体管 晶体管的优势在于它能够同时扮演电子信号放大器和 转换器的角色。这几乎是所有现代电子设备最基本的功能 需求。但晶体管的出现，首先必须要感谢的就是量子力学。 正是在量子力学基础研究领域获得的突破，斯坦福大学的 研究者尤金·瓦格纳及其学生弗里德里希·塞茨得以在1930 年发现半导体的性质。在晶体管上加电压能实现门的功能， 控制管中电流的导通或者截止，利用这个原理便能实现信 息编码，以至于编写一种1和0的语言来操作它们。到 1954年，美国军方成功制造出世界首台晶体管计算机 TRIDAC。与之前动辄楼房般臃肿的不靠谱的真空管计算 机前辈们相比，TRIDAC只有3立方英尺大，耗电不过100 瓦特。今天，英特尔和AMD的尖端芯片上，已经能够摆 放数十亿个微处理器。而这一切都必须归功于量子力学。
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
第二十七章薛定谔方程ppt课件
粒子在x距离内的动量不确定度为
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
量子力学课件--薛定谔方程
波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！
(r,t)和c( p,t)可以通过以上傅里叶变换互求， 但仅仅从空间几率密度|(r,t) |2 不能得到动量几率密度|c( p,t) |2 ！
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满
足的偏微分方程。这个基本定律在本 质上是一个假说。
i ( )
2
w J 0 t
J i ( )
2
定义流密度
记
J
i
( ),
2
则
w
J
0,
t
这是薛定谔方程造成的结果，代表一种 守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可 以理解为几率流密度。
理解（推导积分形式）
对任何体积V，对上式积分
V
V
w t
d
V
Jd ,
S
等式右方用Gauss定
d
回顾：叠加原理
cnn.
n
几率振幅。
常数相位
绝对常数相位没有意义 相对常数相位才是有意义的
c11 c22
c1 | c1 | ei1 c2 | c2 | ei2
| |2 依赖于2 1 能够在测量结果中反映
变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来）
(r , t ) | (r , t) | ei(r ,t)
i
f (t ) e Et .
空间部分（定态薛定谔方程）
1 (r )
2
2
2
U(r )
E
2
2
U (r )
E (r ).
2
定态薛定谔方程
H (r ) E (r )
定态概念
完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）
量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件
例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin
n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
薛定谔方程及其简单应用 ppt课件
(x,t)0ei(Et px)
对时间求微商，得到：薛定谔方程及其简单应用
5
(tx ,t) iE 0 e i(E p t)x iE (x ,t)①
上式两边都乘以 i 得：
i(x,t)E(x,t) t
对 x 求二阶偏导
(x x ,t) ip 0 e i(E p t)x ip (x ,t)
薛定谔方程及其简单应用
4
首先看平面波的波动方程： 将其用于自由粒子则：
yAcos2tx
yAcos2hhthx Acos1Etpx 利用复数计算公式 eixcox sisixn
上式可以记为 y Aei Etpx
1.自由粒子的薛定谔方程
动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴
运动的波函数为：
E p2 V(x,t) 2m
将上式作用于波函数上，此时的薛定谔方程为：
i (tx ,t) 2 薛m 2 定谔 方2 程 及其x (简2 x 单,t应) 用 V (x ,t) (x ,t) 8⑤
由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波 函数上的算符相当：
E i , p 2 2 2 或 p i t
薛定谔对分子生物学的发展也做过工
作。由于他的影响，不少物理学家参
与了生物学的研究工作，使物理学和
生物学相结合，形成了现代分子生物
学。
薛定谔方程及其简单应用
2
引入薛定谔方程的想法是：我们先假定自由粒子的波动是平面波，则微分方程的最基 本的形式可以由平面波引入，再由有势能存在的情况下作相应的修正得出薛定谔方程。 它的正确性是由其结果能够解释已知的实验事实，并且能够推断出尚未发现的实验现 象来验证的。
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函
量子力学课件--薛定谔方程
V
V
w d Jd , V t
S
d WV J dS , S dt
V内部几率变化
等式右方用Gauss定 理，得
由边界流入或流出的量。
薛定谔方程能够满足全空间几率守恒
物理上应该满足随r趋向无穷远而迅速趋于零，于是
d Wv J dS dt i （ ） dS 0 2
2
再推广到含有势能U的情况
E p / 2 +U（r）
2
两边作用于波函数
Ei t
p i
2 i U ( r ). t 2
2
便于记忆的形式
i H t
H p / 2 +U（r）
2
( p i )
H
2
记住
2
2 U ( r )
代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
i J ( ), 2
i 电流密度 J eJ e ( ), e 2
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w( r , t ) ( r , t ) 根据薛定谔方程
2
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化：
2 w( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
回顾：叠加原理
cnn .
n
几率振幅。
常数相位
V
w d Jd , V t
S
d WV J dS , S dt
V内部几率变化
等式右方用Gauss定 理，得
由边界流入或流出的量。
薛定谔方程能够满足全空间几率守恒
物理上应该满足随r趋向无穷远而迅速趋于零，于是
d Wv J dS dt i （ ） dS 0 2
2
再推广到含有势能U的情况
E p / 2 +U（r）
2
两边作用于波函数
Ei t
p i
2 i U ( r ). t 2
2
便于记忆的形式
i H t
H p / 2 +U（r）
2
( p i )
H
2
记住
2
2 U ( r )
代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
i J ( ), 2
i 电流密度 J eJ e ( ), e 2
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w( r , t ) ( r , t ) 根据薛定谔方程
2
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化：
2 w( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
回顾：叠加原理
cnn .
n
几率振幅。
常数相位
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
大学物理第20章量子力学.ppt
1
21
二、氢原子
势能
U
e2 4 0 r
+
r
定态薛定谔方程
2 2 e 2 U E 2m 4 0 r
用球坐标 x r sin cos 通过分离变量将方程分解为 y r sin sin 分别与变量r、、有关的3 y z r cos 个方程。 r z O x 方程有解的条件直接引出了 微观领域里的量子化条件。
To 41
作者 余 虹 22
2019/4/1
1、能量量子化
量子理论：具有确定能量的原 子不辐射电磁波；仅当电子在 不同的“轨道”跃迁或者说在 不同的能级间跃迁时才辐射。 频 率满足 氢原子
6 5
P. S. 4 3 B. S. L. S. -13.6 eV 2 第一
激发态
h En Em
En
x
2019/4/1
作者 余 虹
17
二、势垒穿透 U0 势 垒
1 量 子 理 论 2 3
经 典 理 论
1.E >U0的粒子， 越过势垒。 2.E <U0的粒子， 不能越过势垒。
a
1.E > U0 的粒子，也存在被弹回的概 率—— 反射波。 2.E < U0 的粒子，也可能越过势垒到达3 区—— 隧道效应。 2a 2 m (U 0 E ) 穿透概率
驻波
16
作者 余 虹
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
wn n En
n=3
2
En
E 3 9 E1
n
2 3 3 sin x a a
w3
w2
n=2 n=1
E 2 4 E1
量子力学课件-薛定谔方程
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量本征态时，粒子能量是确定的，就是 能量本征值。
（三）求解定态问题的步骤
• 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得：
若V(r)是库伦场势，则方程的解代表库伦场中粒子的态。
若V(r)是谐振子势场，则方程的解代表谐振子势场中粒子的态。
……
态叠加原理： 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原 理。
•
（2）几率流密度与时间无关
i J n (r , t ) [nn n n ] 2
i [ n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / ) 2 n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / )]
ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻 ψ(r,0)的定态波函数。
能量本征值方程
[ h 2 V ] E 2
ˆ E 表达成 H
（1）上述方程的形式特点是： 一个算符作用于一个函数上等于一个常数乘以该函数， 这种形式的等式在《数学物理方法》中，叫本征值方程， 本征值方程中的那个待求函数叫本征函数， 方程右边的那个与本征函数相乘的常数叫本征值。
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n ( r )] 2
作
定态的薛定谔方程.ppt
德国物理学家W.Heisenberg 1932诺贝尔物理学奖
1927年海森伯（ W.Heisenberg ）提出了测不准 关系（不确定性原理）
x px h
x
电子束
px
p
py
屏
a缝
2
衍射图样 幕
电子的单逢衍射实验
一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为：
asin
X方向电子的位置不准确量为： x a
tx
)
利用 h p , E h
(x,t)
e i(Et px)
0
如果是自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r, t )
e i(Et p r)
0
其中波函数模的平方为：
2
e e
i
(
Et
p r
)
0
i
(
Et
p r
)
0
02
波函数有什么物理意义呢？
德国物理学玻恩 1954诺贝尔物理学奖
1 波函数
单色平面简谐波波动方程为：
y(x,t) Acos 2 (t x ) Acos 2 (x t)
用指数形式表示：
y(x,t) Aei2 ( tx )
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用 波函数来描写。
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面
波来描写，其波函数为：
(x,t)
ei2 ( 0
又有粒子性，
那么实物粒子呢？
一、德布罗意波
德布罗意: 既然光具有波粒 二象性，实物粒子也应当具 有波粒二象性。
E h h / p
（德布罗意关系式，1924）
法国物理学家Louis de Broglie 获得1929诺贝尔物理学奖
1927年海森伯（ W.Heisenberg ）提出了测不准 关系（不确定性原理）
x px h
x
电子束
px
p
py
屏
a缝
2
衍射图样 幕
电子的单逢衍射实验
一级极小值位置和缝宽 a 之间的关系为：
asin
X方向电子的位置不准确量为： x a
tx
)
利用 h p , E h
(x,t)
e i(Et px)
0
如果是自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r, t )
e i(Et p r)
0
其中波函数模的平方为：
2
e e
i
(
Et
p r
)
0
i
(
Et
p r
)
0
02
波函数有什么物理意义呢？
德国物理学玻恩 1954诺贝尔物理学奖
1 波函数
单色平面简谐波波动方程为：
y(x,t) Acos 2 (t x ) Acos 2 (x t)
用指数形式表示：
y(x,t) Aei2 ( tx )
微观粒子具有波动性，其运动状态应该用 波函数来描写。
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面
波来描写，其波函数为：
(x,t)
ei2 ( 0
又有粒子性，
那么实物粒子呢？
一、德布罗意波
德布罗意: 既然光具有波粒 二象性，实物粒子也应当具 有波粒二象性。
E h h / p
（德布罗意关系式，1924）
法国物理学家Louis de Broglie 获得1929诺贝尔物理学奖
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