完全平方公式变形的应用(2)

乘法公式的拓展及常见题型整理

一．公式拓展：

拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+

2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a

a a a 拓展二：a

b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+

ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-

拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++

拓展四：杨辉三角形

3223333)(b ab b a a b a +++=+

4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+

拓展五： 立方和与立方差

))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-

二．常见题型：

（一）公式倍比

例题：已知b a +=4，求ab b a ++2

2

2。

⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2

22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222

121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则

=

(二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________

⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=

⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为

⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于

⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于

⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是

⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。

⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求)

)((2222d c b a ++

（三）整体代入

例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2

＋c 2－ab －bc －ac 的值

⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=

⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=

⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b

a -+的值为

⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式

ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

（四）步步为营

例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)

6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++

1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

222222122009201020112012-++-+- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011

（五）分类配方

例题：已知0341062

2=++-+n m n m ，求n m +的值。

⑴已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。

⑵已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，则11x y

+的值为 。 ⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 . ⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求y

x 的值为 。 ⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为

⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2

-2x+2y+3的值总是正数.

（六）首尾互倒

例1：已知

242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）

例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和2

1⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值； ⑴已知0132=--x x ，求①221x x += ②2

21x x -=

⑵若x 2

－ 219x ＋1=0，求441x x + 的值为 ⑶如果12a a +

=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ ⑷已知

31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a

+= 且0

1和221

a a +的值为 ⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②441x

x += ⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝

⎛-a a 的值；

（七）知二求一

例题：已知3,5==+ab b a ，

求：①22b a + ②b a - ③22b a - ④

a

b b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +

⑴已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______

⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.

⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b=

⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=22a b +=，a-b=5，则ab= ⑸若22a b +=3，ab

=-4，则a-b=

⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2=

⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a-b=