完全平方公式变形的应用(2)
完全平方公式的应用
应用新知
利用完全平方公式计算：
① 1982 = (200 -2) 2
= 2002 -2×200×2 + 22 = 40 000 -800 +4 = 39 204 .
② 60.22 = (60 +0.2) 2
= 602 +2×60×0.2 + 0.22 = 3 600 +24 +0.04 = 3 624.04 .
1.6 完全平方公式
第2课时
b
ab
b²
(a+b)²
a
a²
ab
a
b
1、平方差公式
( a + b )( a – b )=a2 b2
相同项平方减去相反项平方
2. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央， 加的加，减的减，这是公式的特点。
将(b-c)看作一个整体.
3、(a + 2b – 1 ) 2
【解析】 原式=[(a+2b)-1] 2
=(a+2b) 2 –2(a+2b)×1+12 =a2 +4ab+4b2 –2a-4b+1
4、(x+2y-3)(x-2y+3)
【解析（】1）原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
完全平方公式的变形公式
完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。
一、通过移项变形1、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为a²+b²=（a+b）²-2ab2、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为2ab=（a+b）²-（a²+b²）用法：以上变形适用于已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。
第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）}的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：（1）a²+b²；（2）a²-ab+b²解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab先移项因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab因为a+b=7，ab=10所以a²+b²=49-30=19二、a+b与a-b的转换（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab（由a-b变为a+b）（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b）（3）（a+b）²-（a-b）²=4ab（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²2（a² +b²）=9+5=14a² +b²=7（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²4ab=9-5=4ab=1特殊的小结：总的来说（a+b）²、（a-b）²、ab、a² +b²、a+b、a-b这六个项，我们通过题目给出的已知项把它们进行加或减就能够求出其它的项。
完全平方公式变形的应用
完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。
在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。
下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。
一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。
例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。
然后，通过参数方程求解两点之间的距离。
2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。
例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。
然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。
二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。
例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。
已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。
要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。
2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。
例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。
要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
完全平方公式常考题型经典
完全平方公式典型题型一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ 〔1〕222()2a b a ab b -=-+ 〔2〕公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项为哪一项左边二项式中两项乘积的2倍。
注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+〔2〕得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算〔1〕〔－21ab 2－32c 〕2； 〔2〕〔x －3y －2〕〔x ＋3y －2〕；练习1、(1)〔x －2y 〕〔x 2－4y 2〕〔x ＋2y 〕；〔2〕、〔a －2b ＋3c －1〕〔a ＋2b －3c －1〕；题型二、配完全平方式 1、假设k x x ++22是完全平方式，那么k =2、.假设x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，那么N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．〔2x －______〕2＝____－4xy ＋y 2． 2．〔3m 2＋_______〕2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝〔x －______〕2． 4．49a 2－________＋81b 2＝〔________＋9b 〕2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于－〔 〕2 题型四、配方思想1、假设a 2+b 2－2a +2b +2=0,那么a 2004+b 2005=_____.2、0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______. 4、x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 5．014642222=+-+-++z y x z y x ，那么z y x ++= ．6、三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
完全平方公式20种变形
完全平方公式20种变形【最新版】目录1.完全平方公式的基本形式2.完全平方公式的 20 种变形3.变形实例及解题方法正文【1.完全平方公式的基本形式】完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以表示为两个一次多项式的平方和。
其基本形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2【2.完全平方公式的 20 种变形】在实际解题过程中，完全平方公式可以衍生出 20 种变形，具体如下：1.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^22.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^24.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^25.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^26.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^27.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^28.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^29.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^410.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^411.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^212.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^213.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^214.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^215.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^216.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^217.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^418.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^419.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^220.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2【3.变形实例及解题方法】以第一种变形为例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2假设 a = 3, b = 2，代入公式得：(3+2)^2 = 3^2 + 2*3*2 + 2^2= 25 = 9 + 12 + 4可见，公式左边的 (3+2)^2 等于右边的 9 + 12 + 4。
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型加法形式的完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²减法形式的完全平方公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以用来解决一些常见的数学题型，包括因式分解、求根、化简等。
下面将分别介绍这些题型并给出解题方法和例题。
1.因式分解：如果一个二次多项式可以进行因式分解，它的形式可以表示为(x+a)²或者(x-a)²。
通过比较系数，可以求解出a的值。
例题：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：这个多项式可以整理成(x+3)²的形式，所以其因式分解为(x+3)²。
2.求根：可以利用完全平方公式来求解一个二次方程的根。
例题：求方程x²+6x+9=0的根。
解：可以通过变形公式x²+6x+9=(x+3)²得到，然后令(x+3)²=0，可以得到x=-3、所以方程的根为x=-33.化简：通过利用完全平方公式的变形，可以化简一个复杂的二次多项式。
例题：化简多项式x²+8x+16解：这个多项式可以整理成(x+4)²的形式。
4.求面积和周长：通过完全平方公式，可以求解一个平方区域的面积和周长。
例题：一个正方形的边长为x，求其周长和面积。
解：正方形的周长为4x，面积为x²。
5.求最值：通过完全平方公式，可以求解一个多项式的最大值或最小值。
例题：求多项式y = ax² + bx + c 的最小值。
解：可以通过完全平方公式将该多项式转化为(x+p)²+q的形式，从而得到最小值为q。
这只是完全平方公式的一些常见应用，还有很多其他的题型和解题方法。
希望这些例题和解题方法能够帮助你更好地理解和应用完全平方公式。
最新完全平方公式变形的应用练习题-2(1)
乘法公式的拓展及常见题型整理一.公式拓展:拓展一：a2 b2=(a b)2— 2ab a2 b2=(a -b)2 2ab2 2 2 2 2 2 拓展二：(a b) —(a—b) =4ab a b a-b i；=2a 2b拓展三：a2 b2 c2 =(a b c)2 _2ab _2ac _2bc拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二.常见题型：(一)公式倍比2+b2例题：已知a b=4,求a b ab。
2(⑴如果a _b =3,a _c = 1，那么(a -b f +(b -c )2+ (c -a f 的值是__________________1 2i 2⑵ x y =1，贝U —x xv - V =2 22 + 2⑶已知口x(x _1) _(x2 _ v) = -2,贝卩-———-xy= _________2(二)公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3, 求值：(1)a 2+b2 (2)ab⑴若(a—b)2=7, (a+b)2 =13, 则a2十b2 = _______________ , ab = _________⑵设(5a+ 3b) 2= (5a—3b) 2+ A，贝U A= _________⑶若(x - y)^ (x y)2 a，贝U a为_____________________⑷如果(x-y)2• M =(x y)2，那么M等于_____________________⑸已知(a+b) 2=m (a —b) 2=n,贝U ab 等于____________2 2⑹若(2a -3b)=(2a 3b) N，则N的代数式是_______________⑺已知(a • b)2=7,(a -b)2=3,求a2 b2 ab 的值为___________________ 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足ac bd=3, ad-be = 5，求(a2 b2)(c2 d2) (三)整体代入例1: x2 - y2 = 24 , x • y = 6，求代数式5x 3y 的值。
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。
下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。
一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。
例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。
解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。
二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。
例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。
解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。
三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。
例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。
解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。
完全平方公式
完全平⽅公式定义两数和的平⽅，等于它们的平⽅和加上它们的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²两数差的平⽅，等于它们的和减去它们的积的2倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²该公式是进⾏与变形的重要的知识基础，是中常⽤到的公式。
该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项的理解等）。
学习⽅法完全平⽅公式的转换这两个公式的结构特征：1. 左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍；2. 左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.3. 公式中的字母可以表⽰具体的数（或），也可以表⽰或等数学式．公式⼝诀⾸平⽅，尾平⽅，⾸尾相乘放中间。
或⾸平⽅，尾平⽅，两数⼆倍在中央。
也可以是：⾸平⽅，尾平⽅，积的⼆倍放中央。
同号加、异号减，负号添在异号前。
（可以背下来）即（注意：后⾯⼀定是加号）公式变形变形的⽅法（⼀）、变符号：例1：运⽤完全平⽅公式计算：（1）（2）分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。
解答：(1)原式=(2)原式=（⼆）、变项数：例2：计算：分析：完全平⽅公式的左边是两个相同的⼆项式相乘，⽽本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运⽤整体思想看成⼀项，从⽽化解⽭盾。
所以在运⽤公式时，(3a+2b+c)2可先变形为，直接套⽤公式计算。
解答：原式=（三）、变结构例3：运⽤公式计算：(1)(2)(3)分析；本例中所给的均是⼆项式乘以⼆项式，表⾯看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中⼀个因式作适当变形就可以了。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，可以使用完全平方公式来求解其根。
下面将介绍完全平方公式的变形及其应用。
在进行完全平方公式的变形之前，首先要将一般形式的二次方程进行变形，使其具有完全平方的形式。
通过配方，将二次项与线性项合并，得到完全平方的形式。
(a+b)² = a² + 2ab + b²对于二次项 2ab，可以找到两个数 a 和 b，使得 2ab = bx。
从而将a 和b 归纳出来。
利用上面的思路，将二次方程进行配方：ax² + bx + c = a (x² + bx/a) + c = a (x² + (b/2a)² - (b/2a)²) + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c再将二次项转化成完全平方的形式，可得：ax² + bx + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c在进行完全平方公式的变形之后，我们可以使用该公式来求解二次方程的根。
例如，对于二次方程x²+6x+9=0，可以采用完全平方公式来求解。
将该方程表示为完全平方的形式，可以得到：(x+3)²=0从而可以直接得到方程的解为x=-3顶点的坐标可以通过完全平方公式得到。
对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点的 x 坐标为 -b/2a，将其代入函数中即可得到 y 坐标。
图像的开口方向可以通过二次项的系数a的符号来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口朝上，当a<0时，二次函数的图像开口朝下。
最值可以通过完全平方公式和顶点坐标来求解。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
完全平方公式的几种常见用法
完全平方公式的几种常见用法作者：刁一建来源：《新高考·升学考试》2018年第02期我们熟悉的完全平方公式是：（a±b）2=a2±2ab+b2.它在乘法运算和因式分解中起到重要的作用，是初中数学中一个常用公式，也是中考的必备计算工具.下面就完全平方公式的运用归纳几种常见用法.一、超过两项的多项式的平方展开例1. 计算：（x-2y-3z）2.分析：完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的展开式本质上是：多项式每一项分别平方+每两项积的2倍，由此可以引申出：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.解：（x-2y-3z）2=x2+（-2y）2+（-3z）2+2x（-2y）+2x（-3z）+2（-2y）（-3z）=x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz.小结：在（x-2y-3z）2中，多项式x-2y-3z三项分别为x、-2y、-3z，展开（x-2y-3z）2时，先将三项分别平方，然后每两项相乘再乘2倍.类似地，当遇到诸如：（a-2b-c+d）2的展开时，也可以使用此方法.二、利用完全平方公式的变形公式求值例2. （1）若a+b=-3，ab=2，則a2+b2= ，a-b2= .（2）已知x2-3x+1=0，求：① x2+1x2，②（x-1x）2.分析：完全平方公式常见变形为： a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；（a-b）2 =（a+b）2-4ab；（a+b）2 =（a-b）2+4ab.第（1）题可以直接利用变形公式求解；第（2）题由条件同除以x可得：x+1x=3.解：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab= 9-4=5，（a-b）2 =（a+b）2-4ab=9-8=1.（2）由x2-3x+1=0，得x+1x=3.① x2+1x2=x+1x2-2=7；② x-1x2=x+1x2-4=5.小结：变形公式要求同学们理解完全平方公式的结构，具备整体意识，同时不能忽视互为倒数的两数之积为1的性质.三、确定完全平方式中的系数例3.如果多项式x2+（m-1）x+16是一个完全平方式，则m的值是多少？分析：多项式中首末两项是x和4的平方，那么中间项就为加上或减去x和4的乘积的2倍.解：∵x2+（m-1）x+16是一个完全平方式，∴（m-1）x=2×4x或（m-1）x=-2×4x，∴m=9或m=-7.小结：有些同学解决本题时可能会只求出一个答案9，缺少-7.在完全平方式中，平方项系数恒为正数，而中间项的系数可以为正负两种情况，不可漏解.例如：若4x2-mxy+25y2 是一个完全平方式，求m的值.此时可以运用同样的方法求解.四、利用因式分解求值例4.已知a+b=1，求12a2+ab+12b2的值.分析：由于只有一个已知条件要具体求出a，b的值是不可能的，而运用完全平方公式，将结论因式分解为12（a+b）2，就可以轻松求出结果.解：∵12a2+ab+12b2=12（a2+2ab+b2）=12（a+b）2，∴原式=12×12=12.小结：因式分解本质上就是将公式进行逆用.本题还可以对条件变形求解：∵a+b=1，∴a=1-b，再代入12a2+ab+12b2，就可以得到12（1-b）2+b（1-b）+12b2，展开即可求出结果，但是这样做相对比较复杂.五、利用配方法进行求值例5.若4m2+n2-6n+4m+10=0，求m2-n2的值.分析：计算代数式的值，求出m，n的值是关键.当一个等式有两个未知数时，可以联想构造完全平方公式再利用非负性求解.解：∵4m2+n2-6n+4m+10=0，∴ 4m2+4m+1+n2-6n+9=0，∴（2m+1）2+（n-3）2=0，∴ 2m+1=0， n-3=0，∴ m=-12，n=3.原式=（-12）2-32=-354.小结：本题考查了非负性的运用和拆项法构造完全平方公式，解答时将常数10拆成9和1是难点.六、利用配方法进行证明例6. 已知a，b，c为三角形的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0.求证：△ABC为等边三角形.分析：可将题目所给的关于a，b，c的等量关系进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a，b，c三边的数量关系，进而就可以判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0，∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形.小结：本题运用配方法构造完全平方公式，将已知转化为平方和，再由非负性求解.【结束语】完全平方公式的运用需要对公式本身深入理解，其应用范围相当广泛，是学习的一个难点，特别是配方法对能力要求比较高，它是我们后续学习一元二次方程和二次函数的基础，只有通过理解、分析并不断熟悉几种变形，完全平方的使用才能得心应手.。
平方差公式和完全平方公式的变形
平方差公式和完全平方公式的变形平方差公式和完全平方公式是数学中两个重要的式子，它们在多项式中有着重要的作用。
本文将介绍平方差公式和完全平方公式的变形，以及它们的应用。
一、平方差公式平方差公式是指在多项式中，一个多项式的平方可以由另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
它的一般形式可以表示为：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式的基本形式就是一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方加上两个多项式的乘积。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个多项式可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积表示。
它的一般形式可以表示为：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式的基本形式就是一个多项式可以由另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积来表示。
三、平方差公式和完全平方公式的变形1. 平方差公式的变形：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2从上面的公式可以看出，平方差公式也可以表示为一个多项式的平方等于另外一个多项式的平方减去两个多项式的乘积。
2. 完全平方公式的变形：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2从上面的公式可以看出，完全平方公式也可以由一个多项式的平方加上两个多项式的乘积来表示。
四、平方差公式和完全平方公式的应用1. 平方差公式的应用：a. 平方差公式可以用来解决二次方程。
b. 平方差公式可以用来求解三角形的面积。
c. 平方差公式可以用来计算圆的面积。
2. 完全平方公式的应用：a. 完全平方公式可以用来解决二次方程。
b. 完全平方公式可以用来求解三角形的面积。
c. 完全平方公式可以用来计算圆的面积。
五、总结从上面的介绍可以看出，平方差公式和完全平方公式是数学中重要的式子，它们可以用来解决二次方程、求解三角形的面积以及计算圆的面积。
此外，平方差公式和完全平方公式也可以变形，以求得更多的应用。
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乘法公式的拓展及常见题型整理一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+拓展五： 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++（三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。
例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a ba -+的值为⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．（四）步步为营例题：3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011（五）分类配方例题：已知03410622=++-+n m n m ，求n m +的值。
⑴已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值为 。
⑵已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，则11x y+的值为 。
⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 . ⑷若x y x y 2246130++-+=，x ，y 均为有理数，求yx 的值为 。
⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒例1：已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求：（）例2：已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值； ⑴已知0132=--x x ，求①221x x += ②221x x -=⑵若x 2－ 219x ＋1=0，求441x x + 的值为 ⑶如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ，那么221x x +=_______ ⑷已知31=-x x ，则221x x +的值是 ⑸若12a a+= 且0<a<1,求a － a 1的值是 ⑹已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+和a － a1和221a a +的值为 ⑺已知31=+x x ，求①221x x += ②441xx += ⑻已知a 2－7a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；（七）知二求一例题：已知3,5==+ab b a ，求：①22b a + ②b a - ③22b a - ④ab b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +⑴已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.⑶若22a b +=7，a+b=5，则ab= 若22a b +=7，ab =5，则a+b=⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=22a b +=，a-b=5，则ab= ⑸若22a b +=3，ab=-4，则a-b=⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2=⑺已知a ＋b=3，a 3＋b 3=9，则ab= ，a 2+b 2= ,a-b=第五讲 乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2变形公式：（1）()2222a b a b ab +=+-（2）()2222a b a b ab +=-+（3） ()()222222a b a b a b ++-=+（4） ()()224a b a b ab +--= 二、思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、典型问题分析：1、顺用公式：例1、计算下列各题：① ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+12、逆用公式：例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011【变式练习】填空题：① 26a a ++＿＿= 2__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ②241x ++＿＿=（ 2)6．x 2+ax+121是一个完全平方式，则a 为（ ）A ．22B ．－22C ．±22D ．03、配方法：例3．已知：x ²+y ²+4x-2y+5=0，求x+y 的值。
【变式练习】①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0，求11x y+的值。
②已知：x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。
③当x = 时，代数式2x 取得最小值，这个最小值是当x = 时，代数式24x +取得最小值，这个最小值是当x = 时，代数式()234x -+取得最小值，这个最小值是当x = 时，代数式243x x --取得最小值，这个最小值是 对于2243x x ---呢？4、变形用公式：例5. 若()()()240x z x y y z ----=，试探求x z +与y 的关系。
例6．化简：()()22a b c d a b c d +++++--例7. 如果22223()()a b c a b c ++=++，请你猜想：a 、b 、c 之间的关系，并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题一:1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值3．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
二：1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6．已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --的值。
7．已知16x x -=，求221x x +的值。
8、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +9、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？B 卷：提高题一、七彩题1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1） (22)+1）+1（n 是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632．2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯．（2）二变：利用平方差公式计算：22007 200820061⨯+．二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+ (2)=______（n 为正整数）．③（x －1）（x 99+x 98+x 97+…+x 2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a －b ）（a+b ）=_______．②（a －b ）（a 2+ab+b 2）=______．③（a －b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=______．2．（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m ，n 和数字4．3.从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1－7－1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1－7－2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．4、探究拓展与应用(2+1)(22+1)(24+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22－1)(22+1)(24+1)=(24－1)(24+1)=(28－1).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)－2364的值.“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。