【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第8讲 一元二次方程课件
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【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第5讲 一次方程与方程组课件
1 4
一次方程(组)的应用
几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的方程组成二元 一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定 系数的另外的方程(或方程组)，解方程(组)即可．
二元一次方程组的解 根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法．当方程组中一 个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用 代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值 相等或成整数倍时，用加减法较方便．
一次方程(组)的应用
a x bx 3 1．已知关于x的方程 的解是x＝2，其中a≠0且 2 3 a b b≠0，求代 b a 数式－的值．
1 B. 2
C．1
D．2
【解析】第1题可以逐个代入检测判断；第2题将x与y的值代 入方程组求出m与n的值，即可确定出m－n的值．
方程(组)的相关概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值 相等的未知数的值叫做方程的解． 2．一元一次方程：只含有____未知数，并且未知数的最高 次数是____，系数不等于0的____方程叫做一元一次方程， 其标准形式为_______________，其解为x＝________. 3．二元一次方程：含有________未知数，并且未知数的项 的次数都是________，这样的整式方程叫做二元一次方 程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)． 4．二元一次方程组：具有相同未知数的________二元一次 方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．一般形式： a1x b1 y=c1， (a ，a 不可同时为0；b ，b 不可同时为0)． 1 2 1 2
x=2 将x＝2代入①得y＝2，则方程组的解为 y=2
1 1 mx ny , 2 2 2．(2014· 贺州)已知关于x，y的方程组 mx ny 5
一次方程(组)的应用
几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的方程组成二元 一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定 系数的另外的方程(或方程组)，解方程(组)即可．
二元一次方程组的解 根据方程组的特点灵活选择代入法或加减法．当方程组中一 个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用 代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值 相等或成整数倍时，用加减法较方便．
一次方程(组)的应用
a x bx 3 1．已知关于x的方程 的解是x＝2，其中a≠0且 2 3 a b b≠0，求代 b a 数式－的值．
1 B. 2
C．1
D．2
【解析】第1题可以逐个代入检测判断；第2题将x与y的值代 入方程组求出m与n的值，即可确定出m－n的值．
方程(组)的相关概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值 相等的未知数的值叫做方程的解． 2．一元一次方程：只含有____未知数，并且未知数的最高 次数是____，系数不等于0的____方程叫做一元一次方程， 其标准形式为_______________，其解为x＝________. 3．二元一次方程：含有________未知数，并且未知数的项 的次数都是________，这样的整式方程叫做二元一次方 程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)． 4．二元一次方程组：具有相同未知数的________二元一次 方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．一般形式： a1x b1 y=c1， (a ，a 不可同时为0；b ，b 不可同时为0)． 1 2 1 2
x=2 将x＝2代入①得y＝2，则方程组的解为 y=2
1 1 mx ny , 2 2 2．(2014· 贺州)已知关于x，y的方程组 mx ny 5
中考数学专题《一元二次方程》复习课件(共18张PPT)
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x
《 一元二次方程》8PPT课件
例题
已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x-5m＋4＝0有一根为2, 求m.
分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2 代入原方程.
课堂小结
1.一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是 2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程都
即二次项系数不等于 0，该方程都是一元 二次方程。
若二次项系数为0（即不含有二次项）且 一次项系数不为0，该方程都是一元一次方程。
2. 将下列方程化为一元二次方程的一般 形式，并写出其中的二次项系数、一次项系 数及常数项。
（1） 5x2 1 4x
（2） 4x2 81
（3） 4x x 2 25 （4） 3x 2 x 1 8x 3
一
原 方 程
般 形
二次 项系
数
一次 项系
数
常数 项
式
5x2 1 4x
5x2 4x 1 0 5 －4 －1
4x2 81
4x2 81 0 4 0 －81
4x x 2 25 4x2 8x 25 0
3x 2 x 1 8x 3 3x2 7x 1 0
4 8 －25 3 －7 1
观察
这些方程有什么共同点？
a2 = 9
4
x2 ＋ 2x = 255
x2 － x = x
2
3
2x2 － 2x = 0
x2－18x＋45 = 0
方程两 边都是整式。
方程中只含 有一个未知数。
未知数的 最高次数是2。
知识要点
一元
方程两边都是整式，只含 有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的方程，叫做一 二次 元二次方程（quadratic equation in one unknown）。
2015年广西中考数学总复习课件第8课时 一元二次方程(共42张PPT)
2 2 2 2 2
2
2
，x 2 ＝
第8课时
一元二次方程
方法二：由p ＝(x－3)(x－2)＝x －5x＋6＝
5 5 2 2 1 － ＝x－ － ， 2 4 2
2
2
5 2 2 x － 5x ＋ 2 ＋6
5 1 1 1 5 2 2 2 得 x－ ＝p ＋ ，无论p取何值，p ＋ ≥ ，因此x＝ ± 2 4 4 4 2
A．m≠1 B．m≠0 C．m≠±1 D．m＝Fra bibliotek1第8课时
一元二次方程
3．方程 x2－25＝0 的解是( C )
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝25 C．x1＝5，x2＝－5 D．x1＝25，x2＝－25
4．在下列方程中，有实数根的是( A )
A．x2＋3x＋1＝0 B. 4x＋1＝－1 C．x ＋2x＋3＝0
2 2 ________ ，另一个根为_______
10．解方程：x2－2x＋2＝x.
x1 ＝1，x2 ＝2
第8课时
一元二次方程
┃考向互动探究┃
类型题展示 ► 类型之一 一元二次方程的定义和解法
例 1
[2014·白银] 若一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0
的一个根为 x＝0，则 a＝________．
2
第8课时
一元二次方程
►
类型之二
一元二次方程根与系数的关系
2
例2
已知关于 x 的一元二次方程 x ＋4(m＋1)x＋2m－1＝0，
求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ ＝16(m＋1) －4(2m－1) ＝16m2＋24m＋20
2
2
，x 2 ＝
第8课时
一元二次方程
方法二：由p ＝(x－3)(x－2)＝x －5x＋6＝
5 5 2 2 1 － ＝x－ － ， 2 4 2
2
2
5 2 2 x － 5x ＋ 2 ＋6
5 1 1 1 5 2 2 2 得 x－ ＝p ＋ ，无论p取何值，p ＋ ≥ ，因此x＝ ± 2 4 4 4 2
A．m≠1 B．m≠0 C．m≠±1 D．m＝Fra bibliotek1第8课时
一元二次方程
3．方程 x2－25＝0 的解是( C )
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝25 C．x1＝5，x2＝－5 D．x1＝25，x2＝－25
4．在下列方程中，有实数根的是( A )
A．x2＋3x＋1＝0 B. 4x＋1＝－1 C．x ＋2x＋3＝0
2 2 ________ ，另一个根为_______
10．解方程：x2－2x＋2＝x.
x1 ＝1，x2 ＝2
第8课时
一元二次方程
┃考向互动探究┃
类型题展示 ► 类型之一 一元二次方程的定义和解法
例 1
[2014·白银] 若一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0
的一个根为 x＝0，则 a＝________．
2
第8课时
一元二次方程
►
类型之二
一元二次方程根与系数的关系
2
例2
已知关于 x 的一元二次方程 x ＋4(m＋1)x＋2m－1＝0，
求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ ＝16(m＋1) －4(2m－1) ＝16m2＋24m＋20
初中数学课件-八年级数学一元二次方程的解法教学课件
配方法解一元二次方程的基本步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程;
选择适当的方法解下列方程：
1 4 1 x 2 25 0 2 2x 2 50 3 x 2 4 3x 11 4 x 2 5x 6 0
练一练
解下列一元二次方程: 1、x2-6x=-8 2、x2-8x-4=0 3、-x2+5x-9=0 4、x2=10x-30
例、解方程5x2=10x+1
1.请把它化成一般式
2.二次项系数是1吗？怎样才能化成1？
3.二次项系数化成1以后该怎么解
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方 程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法 解二次项系数是1的一元二次方法。
例、解方程5x2=10x+1
解：移项，得 5x2-10x=1 两边都除以5，得 x2-2x=1/5 两边都加上，得x2-2x+1=1/5+1
∴（x-1）2=6/5
∴x-1=±
解得：x=1±
∴x1=1+
30 5
，x2=1-
30 5
完善“配方法”解方程的基本步骤：
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项 系数a) 2、把常数项移到方程的右边; 3、把方程的左边配成一个完全平方式; 4、利用开平方法求出原方程的两个解.
方程两边都加上1，得
x2-8/3x+16/9=25/9
x2+2x+1=5/2
即：（x-
即：(x+1)2=5/2
∴4- /43/)32=255//39
∴x+1=
一元二次方程ppt课件
积为3x2 cm2．
200cm
根据等量关系， 可以列出方程
200×150-
3x2=
3
4
200×150× ．
化简， 整理得
x2-2500=0．
150cm
新知讲解
解： (2)该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系，可以列出方程
75(1+x)2=108．
化简， 整理得
25x2+50x-11=0．
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
(2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从
500千克增加到605千克，设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程
为（ B ）
A．500(1 + ) = 605
B．500(1 + )2 = 605
作二次项系数、 一次项系数、 常数项.
例如方程x2-2500=0中二次项系数是1, 一次项系数是0，常数项是
-2500.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系
数、一次项系数和常数项.
(1) 3x(1-x)+10=2(x+2)；
(2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
解:
(1)去括号，得3x-3x2+10=2x+4.
移项，合并同类项，得-3x2+x+6=0，
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项
是6.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系
200cm
根据等量关系， 可以列出方程
200×150-
3x2=
3
4
200×150× ．
化简， 整理得
x2-2500=0．
150cm
新知讲解
解： (2)该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系，可以列出方程
75(1+x)2=108．
化简， 整理得
25x2+50x-11=0．
这是一元一次方程，不是一元二次方程.
(2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从
500千克增加到605千克，设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程
为（ B ）
A．500(1 + ) = 605
B．500(1 + )2 = 605
作二次项系数、 一次项系数、 常数项.
例如方程x2-2500=0中二次项系数是1, 一次项系数是0，常数项是
-2500.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系
数、一次项系数和常数项.
(1) 3x(1-x)+10=2(x+2)；
(2) 5x(x+1)+7=5x2-4.
解:
(1)去括号，得3x-3x2+10=2x+4.
移项，合并同类项，得-3x2+x+6=0，
这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项
是6.
典例精析
例
下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系
一元二次方程课件
配方法
通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
公式法
利用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a求解。
图像法
通过观察一元二次方程的图像来求解。
利用配方法解一元二次方程
1
步骤一
将一元二次方程展开。
2
步骤二
通过加减同项式转化为完全平方。
3
步骤三
应用二次平方公式求解。
利用公式法解一元二次方程
一元二次方程在数学竞赛中的应用
一元二次方程是数学竞赛中常见的考点，通过掌握解法和技巧，可以更好地应对竞赛题目。
利用解一元二次方程的方法求 解其他方程
解一元二次方程的方法可以应用于解其他类型的方程，如三次方程、指数方 程等。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法可以分类为配方法和公式法，根据方程的性质和判别式的值来选择解法。
解一元二次方程的常见错误及 避免方法
常见错误包括计算错误、应用错误的解法、无效的代数操作等。避免方法包 括检查计算过程、理解方程的性质等。
凹凸性
当a > 0时，抛物线开口朝上；当 a < 0时，抛物线开口朝下。
解一元二次方程在实际生活中的应用
物理学
用于求解自由落体、抛体运动等问题。
经济学
用于建立成本、收益或利润方程来研究最佳决策。
工程学
用于计算曲线的最高或最低点，以便优化设计。
一元二次方程的根与系数的关系
两实根
当判别式Δ > 0时，方程有两个 不相等的实根。
找出一元二次方程的零点
方程y = ax^2 + bx + c的零点就是使y = 0的x值，即方程的实根。
求一元二次方程的最大值或最 小值
通过将一元二次方程转化为完全平方的形式来求解。
公式法
利用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a求解。
图像法
通过观察一元二次方程的图像来求解。
利用配方法解一元二次方程
1
步骤一
将一元二次方程展开。
2
步骤二
通过加减同项式转化为完全平方。
3
步骤三
应用二次平方公式求解。
利用公式法解一元二次方程
一元二次方程在数学竞赛中的应用
一元二次方程是数学竞赛中常见的考点，通过掌握解法和技巧，可以更好地应对竞赛题目。
利用解一元二次方程的方法求 解其他方程
解一元二次方程的方法可以应用于解其他类型的方程，如三次方程、指数方 程等。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法可以分类为配方法和公式法，根据方程的性质和判别式的值来选择解法。
解一元二次方程的常见错误及 避免方法
常见错误包括计算错误、应用错误的解法、无效的代数操作等。避免方法包 括检查计算过程、理解方程的性质等。
凹凸性
当a > 0时，抛物线开口朝上；当 a < 0时，抛物线开口朝下。
解一元二次方程在实际生活中的应用
物理学
用于求解自由落体、抛体运动等问题。
经济学
用于建立成本、收益或利润方程来研究最佳决策。
工程学
用于计算曲线的最高或最低点，以便优化设计。
一元二次方程的根与系数的关系
两实根
当判别式Δ > 0时，方程有两个 不相等的实根。
找出一元二次方程的零点
方程y = ax^2 + bx + c的零点就是使y = 0的x值，即方程的实根。
求一元二次方程的最大值或最 小值
【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第7讲 分式方程课件
1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10 小时．采用新工艺前、 后每小时分别加工多少个零件？
设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则采用新工艺后 1200 1200 每小时加工 1.5x 个零件，根据题意得 － ＝10，解得 x 1.5x x＝40，经检验，x＝40 是原方程的解且符合实际意义， ∴1.5x＝60， 则采用新工艺前、 后每小时分别加工 40 个、 60 个零件
第7讲 分式方程
1．理解分式方程的概念．
2．会解可化为一元一次方程的分式方程，知道解
分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．
3．了解解分式方程产生增根的原因．
4．会列分式方程解决实际问题．
中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查 以下几点： 1．直接考查分式方程的概念，以及解可化为一 元一次方程的分式方程． 2．找分式方程中各分式的最简公分母，将分式
列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”， 将实际问题抽象为方程问题．求得结果后需要检验， 一是检验求得的根是否是原分式方程的根；二是根 据具体问题的实际意义，检验其合理性．
【解析】(1)设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是(x＋9) 元，再根据等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数可得方程；(2) 设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润＝售价－进价，根据第二批的销
售利润不低于650元，可列不等式求解．
4500 4950 解：(1)设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，由题意得 ＝ ，解得 x＝ x x＋9 90，经检验 x＝90 是分式方程的解，符合题意，则第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元 4950 (2)设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元，由(1)知，第二批购进 ＝50(件)，由 99 4 1 题意得 120×50× ＋y×50× －4950≥650，解得 y≥80，则剩余的 T 恤衫每件 5 5 售价至少要 80 元
设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则采用新工艺后 1200 1200 每小时加工 1.5x 个零件，根据题意得 － ＝10，解得 x 1.5x x＝40，经检验，x＝40 是原方程的解且符合实际意义， ∴1.5x＝60， 则采用新工艺前、 后每小时分别加工 40 个、 60 个零件
第7讲 分式方程
1．理解分式方程的概念．
2．会解可化为一元一次方程的分式方程，知道解
分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．
3．了解解分式方程产生增根的原因．
4．会列分式方程解决实际问题．
中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查 以下几点： 1．直接考查分式方程的概念，以及解可化为一 元一次方程的分式方程． 2．找分式方程中各分式的最简公分母，将分式
列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”， 将实际问题抽象为方程问题．求得结果后需要检验， 一是检验求得的根是否是原分式方程的根；二是根 据具体问题的实际意义，检验其合理性．
【解析】(1)设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是(x＋9) 元，再根据等量关系：第二批进的件数＝第一批进的件数可得方程；(2) 设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润＝售价－进价，根据第二批的销
售利润不低于650元，可列不等式求解．
4500 4950 解：(1)设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，由题意得 ＝ ，解得 x＝ x x＋9 90，经检验 x＝90 是分式方程的解，符合题意，则第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元 4950 (2)设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元，由(1)知，第二批购进 ＝50(件)，由 99 4 1 题意得 120×50× ＋y×50× －4950≥650，解得 y≥80，则剩余的 T 恤衫每件 5 5 售价至少要 80 元
【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第6讲 一次方程与方程组的应用课件
第 6讲 一次方程与方程组的应用
• • 1．能根据具体问题中的数量关系，建立数学模 型，列出方程或方程组 ，体会方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型． • 2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一 次不等式 ( 组 ) ， 解决实际问题 ， 能根据具体问题 的实际意义，检验方程组的解是否合理．
甲杯 乙杯 丙杯
底面积(平方公分) 60 80 100
• 【解析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为 • 4∶5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x， 3∶ 4x ，5x ，由表格中的数据列出方程 ，求出方程的解 得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．
• 解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x，4x， 5x，根据题意得60×10＋80×10＋100×10＝60×3x ＋ 80×4x ＋ 100×5x ， 解得 x ＝ 2.4 ， 则甲杯内水的高 度变为3×2.4＝7.2(公分)
棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方
程组正确的是( •D )
• A. B.
• C.
D.
•• 2．(2014·金华)一种长方形餐桌的四周 可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如 图方式拼接．
•(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分 别可坐多少人？
•• (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要
•
•二元一次方程组的实际应用
• 1．(2014·菏泽)某饮料加工厂生产的A，B两种饮 料均需加入同种添加剂， • A饮料每瓶需加该添加剂2 克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270 克该添 加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两 种饮料各生产了多少瓶？
• 【解析】利用“两种饮料共 100瓶”和“两种饮 • 料添加剂一共270 克”两个等量关系列出方程组．
• • 1．能根据具体问题中的数量关系，建立数学模 型，列出方程或方程组 ，体会方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型． • 2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一 次不等式 ( 组 ) ， 解决实际问题 ， 能根据具体问题 的实际意义，检验方程组的解是否合理．
甲杯 乙杯 丙杯
底面积(平方公分) 60 80 100
• 【解析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为 • 4∶5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x， 3∶ 4x ，5x ，由表格中的数据列出方程 ，求出方程的解 得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．
• 解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x，4x， 5x，根据题意得60×10＋80×10＋100×10＝60×3x ＋ 80×4x ＋ 100×5x ， 解得 x ＝ 2.4 ， 则甲杯内水的高 度变为3×2.4＝7.2(公分)
棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方
程组正确的是( •D )
• A. B.
• C.
D.
•• 2．(2014·金华)一种长方形餐桌的四周 可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如 图方式拼接．
•(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分 别可坐多少人？
•• (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要
•
•二元一次方程组的实际应用
• 1．(2014·菏泽)某饮料加工厂生产的A，B两种饮 料均需加入同种添加剂， • A饮料每瓶需加该添加剂2 克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270 克该添 加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两 种饮料各生产了多少瓶？
• 【解析】利用“两种饮料共 100瓶”和“两种饮 • 料添加剂一共270 克”两个等量关系列出方程组．
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9 A ＞4 ．m 9 B ．m ＜4 9 C ．m ＝4 9 D ． m＜－4
【解析】第1题由Δ＝b2－4ac计算，根据计算结果判断方程根 的情况；第2题先根据判别式的意义得到Δ＝(－3)2－4m＞0，
转化为不等式的问题．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的
判别式Δ＝b2－4ac. 1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝
公式法
2 ax ＋ c＝ 0(a ≠ 0) ，当 ③ ：一元二次方程 ＋ bx
b2－ 4ac ≥ 0 时， x＝ ________.
2 ( ) ax ＞ 0) 的两个根分别是 ． 2014· 济宁 若一元二次方程 ＝ b(ab
b 4 ． m ＋ 1 与 2m －4 ，则 a ＝____ 5．解方程：
2 1 玉林)x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x － mx ＋m ． (2014·
1 1 是否存在实数 m 使 x ＋ x ＝ 0 成立？ －2 ＝ 0 的两个实数根 ， 1 2 则正确的结论是 ( A ) A ＝ 0 时成立 ．m C ＝ 0或 2 时成立 ．m B ．m ＝ 2 时成立 D ． 不存在
1．求字母系数时，可以先表示出x1＋x2，x1x2后，再整体代 入，转化为方程再求解． 2. 一元二次方程根与系数的关系研究条件是①a≠0，
②b2－4ac≥0.因此，求出解后需检验是否满足这两个条件．
一元二次方程的实际应用
1 ) ． (2014· ， 天津要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都
(1)x2－4x＋1＝0(用配方法求解)；
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3
(2)x2－6x＋9＝(5－2x)2.
8 x1＝2，x2＝ 3
一元二次方程的解法是因式分解法、配方法、公式
法．方法的选择要根据方程的结构特点、系数(或
常数)之间的关系灵活进行，若没有解题特殊要求，
一般先尝试因式分解，也可以化为一般式后再考虑
解：(1)将 x＝1 代入方程 x2＋ax＋a－2＝0 得 1＋a＋a 1 1 3 2 －2＝0，解得 a＝ ；方程为 x ＋ x－ ＝0，设另一根为 x1， 2 2 2 3 3 则 1×x1＝－ ，∴x1＝－ (2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋ 2 2 8＝a2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论 a 取何实数， 该方 程都有两个不相等的实数根
(1)解一元二次方程的基本思想是________．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方 法、公式法．
用因式
b＝ 0 ，则 a＝ 0 或 ① 分解法解方程的原理是：若 a· ________ ．
2 ax ＋ bx ＋c ＝ 0(a≠ 0 ， 配方法 ② ：通过配方把一元二次方程 b 2 2 b － 4ac ≥ 0)变形为(x＋ 2a) ＝ ________ 的形式 再利用直接开 ， 平方法求解．
用公式法．
一元二次方程的根的判别式 1．(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的 情况是( D ) A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2 2 ＋ m＝ 0 有两个 ． (2014· 广东) 关于 x 的一元二次方程 x － 3x
则实数பைடு நூலகம்m的取值范围为 ( B ) 不相等的实数根 ，
10 a%，求a的值． 150元的基础上减少了 9
10 根据题意得 200(1＋a%)×150(1－ a%)＝20000，整理得 a2＋10a－ 9 3000＝0，解得 a＝50 或 a＝－60(舍去)，所以 a 的值是 50
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最
后检验求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍 去．
2
3．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程
x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这
个命题是假命题的一个反例可以是( A )
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2
D．b＝0
4．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的
长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平 行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的 面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为 (30－2x)(20－x)＝6×78 ． x m，由题意可列方程 5．(2013·温州)解方程：x2－2x－1＝0.
2．(2014·汕尾)关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】第 1 题先由一元二次方程根与系数的关系得出 1 1 x1＋x2＝m， x1x2＝m－2， 假设存在实数 m 使 ＋ ＝0 成立， x1 x2 求出 m，再用判别式进行检验即可；第 2 题(1)将 x＝1 代入 方程 x2＋ax＋a－2＝0 得到 a 的值，再根据根与系数的关系 求出另一根；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式， 进行解答．
(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每
件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利 润为1120元，求该产品的质量档次．
(其中x为正整数，且1≤x≤10) 【解析】第1题等量关系式为：球队总数×每支球队需比赛的场数÷2＝
4×7，把相关数值代入即可；第2题先列出代数式，每件的利润为6＋2(x－ 1)，生产件数为95－5(x－1)，由等量关系“生产件数×每件的利润＝总利
公式求解．
解：a＝2，b＝－4，c＝－1，∵Δ＝16＋8＝24， 4± 2 6 2± 6 ∴x＝ ＝ 4 2
1．一元二次方程的概念：只含有________个未知
数，并且未知数的最高次数是________，这样的整式 方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是 ________． 2．一元二次方程的解法
关系解决其他问题)．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
1．直接考查一元二次方程和解的概念．
2. 根据具体问题中的数量关系和变化规律，列出一 元二次方程，解决实际问题，来考查“方程思想” ，养成用方程的思想解决问题的习惯． 3．试题类型多样化，既有填空题、选择题， 与其
他知识综合形成解答题，又有阅读题、分析探索性
根据题意得 Δ＝(1－m)2－4× m 1 ＞0，解得 m＜ ，所以 m 4 2 的最大整数值为 0
1．不解方程，求出根的判别式的值，来判定根的情况． 2．由一元二次方程有两个实数根的条件，根据根的判别式 b2－4ac，转化为方程或不等式，从而确定方程系数中字母的 值或取值范围．
一元二次方程的根与系数的关系
要比赛一场， 根据场地和时间等条件 ，赛程计划安排 7天，每 天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x满足 的关系式为 ( B 1 A.2x(x＋ 1) ＝ 28 C ＝ 28 ． x(x＋ 1) ) 1 B.2x(x－ 1) ＝ 28 D ． x(x － 1) ＝ 28
2．(2014·毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次
问题． 4．体现化归思想、转化思想和方程思想．
1 ． (2014· 舟山 )方程 x － 3x＝ 0 的根为x1＝0，x2＝3 ．
2
2 ＋ 6) ＝ 16可转化为两个一元 ．( 2013· 金华 ) 一元二次方程 (x 则另一个一 一次方程 ，其中一个一元一次方程是 x ＋6 ＝4 ， 元一次方程是 ( D ) A ． x－ 6 ＝－4 C ＋6 ＝4 ．x B． x － 6＝ 4 D． x ＋ 6＝－ 4
会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资
30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购 买书刊．经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需
集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这
样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的 户数在200户的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在
0(a≠0)________实数根．
3．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根， 则m应满足的条件是( D ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1
D．m≤1
2 m 4 贺州) 已知关于 x 的方程 x2＋ (1－ m)x＋ 4 ． ( 2014·
＝ 0 有两个不相等的实数根，2求 m 的最大整数值．
解：∵a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元
二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，∴a2－5a＋m＝0①， a2－5a－m＝0②，①＋②，得2(a2－5a)＝0，∵a＞0， ∴a＝5
3．(2014·泰州)解方程：2x2－4x－1＝0. 【解析】本题可用配方法或公式法求解，把一个
一元二次方程化成一般形式后，就可以直接代入
润”得出方程．
解：由题意得[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]＝1120，解得x1＝6，x2＝12 (舍去)，则该产品的质量档次为第6档
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5) 解方程；(6)检验；(7)写出答案．
3．(2014·重庆)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委
第8讲 一元二次方程
1．能根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方 程或方程组，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模 型． 2．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单 的数字系数的一元二次方程．
【解析】第1题由Δ＝b2－4ac计算，根据计算结果判断方程根 的情况；第2题先根据判别式的意义得到Δ＝(－3)2－4m＞0，
转化为不等式的问题．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的
判别式Δ＝b2－4ac. 1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝
公式法
2 ax ＋ c＝ 0(a ≠ 0) ，当 ③ ：一元二次方程 ＋ bx
b2－ 4ac ≥ 0 时， x＝ ________.
2 ( ) ax ＞ 0) 的两个根分别是 ． 2014· 济宁 若一元二次方程 ＝ b(ab
b 4 ． m ＋ 1 与 2m －4 ，则 a ＝____ 5．解方程：
2 1 玉林)x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x － mx ＋m ． (2014·
1 1 是否存在实数 m 使 x ＋ x ＝ 0 成立？ －2 ＝ 0 的两个实数根 ， 1 2 则正确的结论是 ( A ) A ＝ 0 时成立 ．m C ＝ 0或 2 时成立 ．m B ．m ＝ 2 时成立 D ． 不存在
1．求字母系数时，可以先表示出x1＋x2，x1x2后，再整体代 入，转化为方程再求解． 2. 一元二次方程根与系数的关系研究条件是①a≠0，
②b2－4ac≥0.因此，求出解后需检验是否满足这两个条件．
一元二次方程的实际应用
1 ) ． (2014· ， 天津要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都
(1)x2－4x＋1＝0(用配方法求解)；
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3
(2)x2－6x＋9＝(5－2x)2.
8 x1＝2，x2＝ 3
一元二次方程的解法是因式分解法、配方法、公式
法．方法的选择要根据方程的结构特点、系数(或
常数)之间的关系灵活进行，若没有解题特殊要求，
一般先尝试因式分解，也可以化为一般式后再考虑
解：(1)将 x＝1 代入方程 x2＋ax＋a－2＝0 得 1＋a＋a 1 1 3 2 －2＝0，解得 a＝ ；方程为 x ＋ x－ ＝0，设另一根为 x1， 2 2 2 3 3 则 1×x1＝－ ，∴x1＝－ (2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋ 2 2 8＝a2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论 a 取何实数， 该方 程都有两个不相等的实数根
(1)解一元二次方程的基本思想是________．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方 法、公式法．
用因式
b＝ 0 ，则 a＝ 0 或 ① 分解法解方程的原理是：若 a· ________ ．
2 ax ＋ bx ＋c ＝ 0(a≠ 0 ， 配方法 ② ：通过配方把一元二次方程 b 2 2 b － 4ac ≥ 0)变形为(x＋ 2a) ＝ ________ 的形式 再利用直接开 ， 平方法求解．
用公式法．
一元二次方程的根的判别式 1．(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的 情况是( D ) A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2 2 ＋ m＝ 0 有两个 ． (2014· 广东) 关于 x 的一元二次方程 x － 3x
则实数பைடு நூலகம்m的取值范围为 ( B ) 不相等的实数根 ，
10 a%，求a的值． 150元的基础上减少了 9
10 根据题意得 200(1＋a%)×150(1－ a%)＝20000，整理得 a2＋10a－ 9 3000＝0，解得 a＝50 或 a＝－60(舍去)，所以 a 的值是 50
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最
后检验求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍 去．
2
3．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程
x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这
个命题是假命题的一个反例可以是( A )
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2
D．b＝0
4．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的
长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平 行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的 面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为 (30－2x)(20－x)＝6×78 ． x m，由题意可列方程 5．(2013·温州)解方程：x2－2x－1＝0.
2．(2014·汕尾)关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】第 1 题先由一元二次方程根与系数的关系得出 1 1 x1＋x2＝m， x1x2＝m－2， 假设存在实数 m 使 ＋ ＝0 成立， x1 x2 求出 m，再用判别式进行检验即可；第 2 题(1)将 x＝1 代入 方程 x2＋ax＋a－2＝0 得到 a 的值，再根据根与系数的关系 求出另一根；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式， 进行解答．
(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每
件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利 润为1120元，求该产品的质量档次．
(其中x为正整数，且1≤x≤10) 【解析】第1题等量关系式为：球队总数×每支球队需比赛的场数÷2＝
4×7，把相关数值代入即可；第2题先列出代数式，每件的利润为6＋2(x－ 1)，生产件数为95－5(x－1)，由等量关系“生产件数×每件的利润＝总利
公式求解．
解：a＝2，b＝－4，c＝－1，∵Δ＝16＋8＝24， 4± 2 6 2± 6 ∴x＝ ＝ 4 2
1．一元二次方程的概念：只含有________个未知
数，并且未知数的最高次数是________，这样的整式 方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是 ________． 2．一元二次方程的解法
关系解决其他问题)．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
1．直接考查一元二次方程和解的概念．
2. 根据具体问题中的数量关系和变化规律，列出一 元二次方程，解决实际问题，来考查“方程思想” ，养成用方程的思想解决问题的习惯． 3．试题类型多样化，既有填空题、选择题， 与其
他知识综合形成解答题，又有阅读题、分析探索性
根据题意得 Δ＝(1－m)2－4× m 1 ＞0，解得 m＜ ，所以 m 4 2 的最大整数值为 0
1．不解方程，求出根的判别式的值，来判定根的情况． 2．由一元二次方程有两个实数根的条件，根据根的判别式 b2－4ac，转化为方程或不等式，从而确定方程系数中字母的 值或取值范围．
一元二次方程的根与系数的关系
要比赛一场， 根据场地和时间等条件 ，赛程计划安排 7天，每 天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x满足 的关系式为 ( B 1 A.2x(x＋ 1) ＝ 28 C ＝ 28 ． x(x＋ 1) ) 1 B.2x(x－ 1) ＝ 28 D ． x(x － 1) ＝ 28
2．(2014·毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次
问题． 4．体现化归思想、转化思想和方程思想．
1 ． (2014· 舟山 )方程 x － 3x＝ 0 的根为x1＝0，x2＝3 ．
2
2 ＋ 6) ＝ 16可转化为两个一元 ．( 2013· 金华 ) 一元二次方程 (x 则另一个一 一次方程 ，其中一个一元一次方程是 x ＋6 ＝4 ， 元一次方程是 ( D ) A ． x－ 6 ＝－4 C ＋6 ＝4 ．x B． x － 6＝ 4 D． x ＋ 6＝－ 4
会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资
30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购 买书刊．经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需
集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这
样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的 户数在200户的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在
0(a≠0)________实数根．
3．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根， 则m应满足的条件是( D ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1
D．m≤1
2 m 4 贺州) 已知关于 x 的方程 x2＋ (1－ m)x＋ 4 ． ( 2014·
＝ 0 有两个不相等的实数根，2求 m 的最大整数值．
解：∵a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元
二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，∴a2－5a＋m＝0①， a2－5a－m＝0②，①＋②，得2(a2－5a)＝0，∵a＞0， ∴a＝5
3．(2014·泰州)解方程：2x2－4x－1＝0. 【解析】本题可用配方法或公式法求解，把一个
一元二次方程化成一般形式后，就可以直接代入
润”得出方程．
解：由题意得[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]＝1120，解得x1＝6，x2＝12 (舍去)，则该产品的质量档次为第6档
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5) 解方程；(6)检验；(7)写出答案．
3．(2014·重庆)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委
第8讲 一元二次方程
1．能根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方 程或方程组，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模 型． 2．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单 的数字系数的一元二次方程．