【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第8讲 一元二次方程课件

(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每
件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产第x档次的产品一天的总利 润为1120元，求该产品的质量档次．
(其中x为正整数，且1≤x≤10) 【解析】第1题等量关系式为：球队总数×每支球队需比赛的场数÷2＝
4×7，把相关数值代入即可；第2题先列出代数式，每件的利润为6＋2(x－ 1)，生产件数为95－5(x－1)，由等量关系“生产件数×每件的利润＝总利
润”得出方程．
解：由题意得[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]＝1120，解得x1＝6，x2＝12 (舍去)，则该产品的质量档次为第6档
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5) 解方程；(6)检验；(7)写出答案．
3．(2014·重庆)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委
根据题意得 Δ＝(1－m)2－4× m 1 ＞0，解得 m＜ ，所以 m 4 2 的最大整数值为 0
1．不解方程，求出根的判别式的值，来判定根的情况． 2．由一元二次方程有两个实数根的条件，根据根的判别式 b2－4ac，转化为方程或不等式，从而确定方程系数中字母的 值或取值范围．
一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)将 x＝1 代入方程 x2＋ax＋a－2＝0 得 1＋a＋a 1 1 3 2 －2＝0，解得 a＝ ；方程为 x ＋ x－ ＝0，设另一根为 x1， 2 2 2 3 3 则 1×x1＝－ ，∴x1＝－ (2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋ 2 2 8＝a2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论 a 取何实数， 该方 程都有两个不相等的实数根
10 a%，求a的值． 150元的基础上减少了 9
10 根据题意得 200(1＋a%)×150(1－ a%)＝20000，整理得 a2＋10a－ 9 3000＝0，解得 a＝50 或 a＝－60(舍去)，所以 a 的值是 50
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最
后检验求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍 去．
会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资
30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购 买书刊．经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需
集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这
样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的 户数在200户的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
1．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程 x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为( A )
A．1
C．0
B．－1
D．－2
2．(2014·襄阳)若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一
个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，求a的 值． 【解析】第1题把x＝－b代入方程中即可得到b2－ab＋b＝0，再 将方程两边同时除以b即可求解；第2题分别将a，－a代入对 应的方程，得到a，m的方程组，解出即可．
1．求字母系数时，可以先表示出x1＋x2，x1x2后，再整体代 入，转化为方程再求解． 2. 一元二次方程根与系数的关系研究条件是①a≠0，
②b2－4ac≥0.因此，求出解后需检验是否满足这两个条件．
一元二次方程的实际应用
1 ) ． (2014· ， 天津要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都
一元二次方程根与系数的关系： 1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是
x1，x2，则x1＋x2＝________，x1x2＝________.
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将 一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足 b2－4ac≥0.
3．(2014·德州)方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根 x1，x2满足x12＋x22＝4，求k的值． 1
要比赛一场， 根据场地和时间等条件 ，赛程计划安排 7天，每 天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x满足 的关系式为 ( B 1 A.2x(x＋ 1) ＝ 28 C ＝ 28 ． x(x＋ 1) ) 1 B.2x(x－ 1) ＝ 28 D ． x(x － 1) ＝ 28
2．(2014·毕节)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次
Fra Baidu bibliotek
0(a≠0)________实数根．
3．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根， 则m应满足的条件是( D ) A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1
D．m≤1
2 m 4 贺州) 已知关于 x 的方程 x2＋ (1－ m)x＋ 4 ． ( 2014·
＝ 0 有两个不相等的实数根，2求 m 的最大整数值．
解：∵a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元
二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，∴a2－5a＋m＝0①， a2－5a－m＝0②，①＋②，得2(a2－5a)＝0，∵a＞0， ∴a＝5
3．(2014·泰州)解方程：2x2－4x－1＝0. 【解析】本题可用配方法或公式法求解，把一个
一元二次方程化成一般形式后，就可以直接代入
9 A ＞4 ．m 9 B ．m ＜4 9 C ．m ＝4 9 D ． m＜－4
【解析】第1题由Δ＝b2－4ac计算，根据计算结果判断方程根 的情况；第2题先根据判别式的意义得到Δ＝(－3)2－4m＞0，
转化为不等式的问题．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的
判别式Δ＝b2－4ac. 1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝
关系解决其他问题)．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
1．直接考查一元二次方程和解的概念．
2. 根据具体问题中的数量关系和变化规律，列出一 元二次方程，解决实际问题，来考查“方程思想” ，养成用方程的思想解决问题的习惯． 3．试题类型多样化，既有填空题、选择题， 与其
他知识综合形成解答题，又有阅读题、分析探索性
第8讲 一元二次方程
1．能根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方 程或方程组，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模 型． 2．理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单 的数字系数的一元二次方程．
3．能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两
个实根是否相等． 4．了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这个
公式求解．
解：a＝2，b＝－4，c＝－1，∵Δ＝16＋8＝24， 4± 2 6 2± 6 ∴x＝ ＝ 4 2
1．一元二次方程的概念：只含有________个未知
数，并且未知数的最高次数是________，这样的整式 方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是 ________． 2．一元二次方程的解法
2．(2014·汕尾)关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】第 1 题先由一元二次方程根与系数的关系得出 1 1 x1＋x2＝m， x1x2＝m－2， 假设存在实数 m 使 ＋ ＝0 成立， x1 x2 求出 m，再用判别式进行检验即可；第 2 题(1)将 x＝1 代入 方程 x2＋ax＋a－2＝0 得到 a 的值，再根据根与系数的关系 求出另一根；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式， 进行解答．
公式法
2 ax ＋ c＝ 0(a ≠ 0) ，当 ③ ：一元二次方程 ＋ bx
b2－ 4ac ≥ 0 时， x＝ ________.
2 ( ) ax ＞ 0) 的两个根分别是 ． 2014· 济宁 若一元二次方程 ＝ b(ab
b 4 ． m ＋ 1 与 2m －4 ，则 a ＝____ 5．解方程：
2 1 玉林)x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x － mx ＋m ． (2014·
1 1 是否存在实数 m 使 x ＋ x ＝ 0 成立？ －2 ＝ 0 的两个实数根 ， 1 2 则正确的结论是 ( A ) A ＝ 0 时成立 ．m C ＝ 0或 2 时成立 ．m B ．m ＝ 2 时成立 D ． 不存在
(1)x2－4x＋1＝0(用配方法求解)；
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3
(2)x2－6x＋9＝(5－2x)2.
8 x1＝2，x2＝ 3
一元二次方程的解法是因式分解法、配方法、公式
法．方法的选择要根据方程的结构特点、系数(或
常数)之间的关系灵活进行，若没有解题特殊要求，
一般先尝试因式分解，也可以化为一般式后再考虑
2
3．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程
x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这
个命题是假命题的一个反例可以是( A )
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2
D．b＝0
4．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的
长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平 行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的 面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为 (30－2x)(20－x)＝6×78 ． x m，由题意可列方程 5．(2013·温州)解方程：x2－2x－1＝0.
用公式法．
一元二次方程的根的判别式 1．(2014·自贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的 情况是( D ) A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2 2 ＋ m＝ 0 有两个 ． (2014· 广东) 关于 x 的一元二次方程 x － 3x
则实数 m的取值范围为 ( B ) 不相等的实数根 ，
问题． 4．体现化归思想、转化思想和方程思想．
1 ． (2014· 舟山 )方程 x － 3x＝ 0 的根为x1＝0，x2＝3 ．
2
2 ＋ 6) ＝ 16可转化为两个一元 ．( 2013· 金华 ) 一元二次方程 (x 则另一个一 一次方程 ，其中一个一元一次方程是 x ＋6 ＝4 ， 元一次方程是 ( D ) A ． x－ 6 ＝－4 C ＋6 ＝4 ．x B． x － 6＝ 4 D． x ＋ 6＝－ 4
(1)解一元二次方程的基本思想是________．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方 法、公式法．
用因式
b＝ 0 ，则 a＝ 0 或 ① 分解法解方程的原理是：若 a· ________ ．
2 ax ＋ bx ＋c ＝ 0(a≠ 0 ， 配方法 ② ：通过配方把一元二次方程 b 2 2 b － 4ac ≥ 0)变形为(x＋ 2a) ＝ ________ 的形式 再利用直接开 ， 平方法求解．