反比例函数基础概念和图像性质

反比例函数（1）

【考点聚焦】

1、反比例函数的定义：如果两个变量x 、y 间的关系可以表示成 的形式，则称y 是x 的反比例函数.

2、反比例函数的三种等价形式： 、 、 .

3、反比例函数的图像kx y =（k 为常数，0≠k ）中k 与函数图像的关系：

k 的符号，决定了双曲线的位置：按要求将下面两幅图补充完整.

0>k 0

4、反比例函数的图像与性质:在反比例函数中，当0>k 时，图像位于 ，且在每一个象限内，函数y 的值随x 值的增大而 ；当0

5、对称性：

（1）关于 对称，是 ；

（2）若点()b a ,在图象上时，则 也在图像上； 、

【典例剖析】

考点题型1：反比例函数的定义 例1、若()2

2

1--=m x m y 是y 关于x 的反比例函数关系式，则=m ，此函数关系式

为 .

变式训练：

1、已知函数()3

2-+=m x m y 是反比例函数，求m 的值.

考点题型2：图像

例2、（七中）在3-、2-、1-、0、1、2这六个数中，随机取出一个数，记为a ，那么使得关于x 的反比例函数x

a y 3

2-=

经过第二、四象限，且使得关于x 的方程x

x ax -=

--+11

112有整数解的概率为 .

变式训练：

1、若点()1,1y A ，()2,2y B ，()3,3y C -在双曲线x

a y 12+=上，则1y 、2y 、3y 的大小关

系是 .

2、（锦江区二诊）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1个小球，记下数字，前后两次的数字分别记为x ，y ，并以此确定点

()y x P ,，那么点P 在函数x

y 2

=

图象上的概率为 .

考点题型3：增减性

例3、如图，一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，且0≠k ）和反比例函数()04

>=x x

y 的图象交于A 、B 两点，利用函数图象直接写出不等式b kx x

+<4

的解集是 .

变式训练：

1、（七中育才）已知一次函数m x y +=1的图象与反比例函数

x

y 6

2=

的图象交于A 、B 两点．已知当1>x 时，21y y >；当10<

（2）已知双曲线在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求ABC ∆的面积．

考点题型4：对称性

例4、直线()0>=k kx y 与双曲线x

y 6

=

交于()11,y x A 和()22,y x B 两点，则 =-122193y x y x .

变式训练： 1、反比例函数x

y 1

-=的图象的对称中心的坐标是 .

考点题型5：求解析式

例5、如图,已知在直角梯形OABC 中,x CB //轴,点C 落在y 轴上,点()0,3A ,点()2,2B ,将AB 绕点B 逆时针旋转︒90,点A 落在双曲线x

k

y =的图象上点1A ,则k 的值为 .

变式训练：

1、如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛-

5,320，D 是AB 边上一点，将ADO ∆沿直线OD 翻折，使点A 恰好落在对角线OB 上的E 点处，

若E 点在反比例函数x

k

y =的图象上，则=k .

2、（成外）如图，等边OAB ∆和等边AFE ∆的一边都在x 轴上，双曲线()0>=k x

k

y 经过边OB 的中点C 和AE 的中点D .已知等边OAB ∆的边长为4，则： ①=k .

②等边AFE ∆的边长为 .

考点题型6：求交点坐标

例6、（浙江金华）如图，已知点()3,2A 和点()2,0B ，点A 在反比例函数x

k

y =

的图象上，作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转︒45，交反比例函数图象于点C ，则点C 的坐标为 .

变式训练：

1、（青羊）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数x

k

y =

的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F ．若点D 的坐标为()8,6，则点F 的坐标为 .

2、（实外）已知双曲线x

y 3

=

和直线2+=kx y 相交于点()11,y x A 和点()22,y x B ，且102

221=+x x ，求k 的值.

考点题型7：反比例函数与一次函数的交点个数问题 例7、（四川成都）若关于t 的不等式组⎩⎨

⎧≤+≥-4

120

t a t ，恰有三个整数解，则关于x 的一次函数

a x y -=

41的图象与反比例函数x

a y 2

3+=

的图象的公共点的个数为 .

变式训练：

1、如图，过点()2,1C 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线6+-=x y 于A 、B 两点，若反比例函数()0>=x x

k

y 的图象与ABC ∆有公共点，则k 的取值范围是 .

2、如图，直线2+=x y 与双曲线x

m y 3

-=在第二象限内有两个交点，那么m 的取值范围是 .