高中数学解三角形解答题专题训练含答案

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2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习《解三角形》(含答案)1.已知△ABC中，b=3,c=4,C=2B，求cosB的值。

2.已知△ABC中，b=2，求角B的值；若△ABC的面积为S，求S。

3.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+csinA=b+c，求A；若a=2，b+c=3，求b，c。

4.已知△ABC中，B=150°，a=c=2，求△ABC的面积；若sinA+sinC=1，求C。

5.已知△ABC中，b=3，c=4，求角A；若a=5，求△ABC的面积。

6.已知△ABC中，ab+a^2=c^2，证明：△ABC是直角三角形；若△ABC的面积为S，求角C的大小。

7.已知锐角△ABC中，b=2，c=3，求角C的大小；若a=4，求△ABC的面积。

8.已知△ABC中，b+c=5，且△ABC的面积为S，求角A的大小；若a=3，求S；若a=4，求角B的大小。

9.已知△ABC中，sinA=3/5，求∠B的大小；若a=4，求b+c的范围；若S=6，求a的值。

10.已知△ABC中，cosB=1/2，求角B的大小；求cosA+cosB+cosC的取值范围。

11.已知△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，求A；若BC=3，求△XXX周长的最大值。

12.已知△ABC中，c=2，ccosAcosB=asinCcosB－ccosC，求角B的大小；若S=16，求△ABC的周长的取值范围。

13.已知△ABC中，a=3，b=4，满足cosAcosB=1/4，求角A 的值；若S=5，求c的值。

14.已知△ABC中，a=8，ccosAcosB=2asinCcosB－ccosC，求tanB的值；若S=16，求b的值。

已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3(acos C-b)=asin C，求角A。

解：（1）根据正弦定理和已知条件，可得sin A = sin (π - B - C) = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C = sin B cos C + √(1 - sin^2 B) sin C将sin B = a/2c代入上式，得sin A = a/2c cos C + √(1 - a^2/4c^2) sin C又因为3(acos C - b) = asin C，可得3a/2c cos C - 3b = √(1 - a^2/4c^2) a将a/b = cosp，代入上式，得3p cos C - 3 = √(1 - p^2) 2sin C将sin C = √(1 - cos^2 C)代入上式，整理可得9p^2 - 4) cos^2 C - 18p cos C + 9 = 0解得cos C = 3/2p或cos C = 1/3.因为b ≥ a，所以p ≤ 1/2，故cos C = 3/2p。

高中数学解三角形(有答案)

解三角形之老阳三干创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日一．选择题（共20小题）1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．18 B．19 C．16 D．17 2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．17 B．19 C．16 D．18 3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=30°，B=105°，a=1．则c=（）A．﹣1 B．.C．.D．.2 7．（2013•天津模拟）在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．8．（2013•泰安一模）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．3C．D．7 9．（2013•浦东新区三模）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则角A 的取值范围是（）A．B．C．D．10．（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．11．（2012•天河区三模）在△ABC中，若A=60°，BC=4，AC=4，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．135°D．45°或135°12．（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．13．△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列，则的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2+）C．（1，+∞）D．（1，2+）14．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．15．（2014•重庆三模）在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°16．（2014•萧山区模拟）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．17．（2014•南平模拟）在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°18．（2014•广西模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A：∠B=1：2，且a：b=1：，则cos2B的值是（）A．﹣B．C．﹣D．19．（2014•鄂尔多斯模拟）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC 的面积为，则边a的值为（）A．B．C．D．3 20．（2014•文登市二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+csinC+asinC=bsinB，则∠B（）A．B．C．D．二．解答题（共10小题）21．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．22．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．23．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．24．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．25．（2014•兴安盟一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（Ⅱ）求sinA+sin（C﹣）的取值范围．26．（2014•福建模拟）设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，b=2．（Ⅰ）当时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．27．（2014•江西模拟）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．28．（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．29．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．30．（2014•启东市模拟）在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，，且．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若，求的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．18 B．19 C．16 D．17考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosB的值代入求出b的值，即可确定出三角形ABC周长．解答：解：∵△ABC中，a=3，c=8，B=60°，∴b2=a2+c2﹣2accosB=9+64﹣24=49，即b=7，则△ABC周长为3+8+7=18，故选：A．点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2．（2015•河南二模）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，c=8，B=60°，则△ABC的周长是（）A．17 B．19 C．16 D．18考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．解答：解：∵a=3，c=9，B=60°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即：b2=9+64﹣24，即b=7，则a+b+c=18故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3．（2014•云南模拟）在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，则∠B的大小（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理暗示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，b2﹣a2﹣c2=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，则∠B=150°，故选：D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．5．（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．点评：6．（2013•温州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日。

数学-解三角形大题解析版

解三角形大题(1)证明：sinsin BD ABDC ACαβ⋅=⋅；(2)若D为靠近B的三等分点，在ABC 中，由余弦定理得：2222b a c =+-a b c h AE +=+≥ ，即(c h +41123h c ∴<+≤1413tan2C ∴<≤，3tan 42C ∴≤222sincos 2tan22sin sin cos 1tan 22C C C C C ==++设tan2C t =，3,14t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1t t +1252,12t t ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，即1tan tan 2C +24sin 125C ∴≤<9．在ABC 中，3,AB AC ==(1)若3BC =，求CD 与AD ；因为AD 平分BAC ∠，所以因此32BD CD =，又3BC =，所以在ABC 中，3,AB BC AC ==在ACD 中，由余弦定理可得（2）如下图所示：因为AD 平分BAC ∠，DAC ∠所以60,120B C θθ=︒-=︒-()()sin 120sin 60AB ACθθ=︒-︒-展开并整理得333cos sin 22θ-10．ABC 中，,D E 是边BC (1)若3BC =，求ABC 面积的最大值；则()()0,0,3,0B C ，设(),A x y ，则2222(3)3x y x y -+=⨯+，整理得到：即点A 的轨迹是以3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭圆心，故ABC 的BC 边上的高的最大值为在APC △中，由正弦定理可得故133cos 22α⎛- ⎝因为α为锐角，故故P 存在且sin ABP ∠法二：如图，设∠同理30PCA ∠=︒-而3sin sin CPAPC α=∠在PBC 中，由余弦定理可得：整理得到：4cos =所以24cos 4sin α+整理得到：38tan =但α为锐角，故tan 故P 存在且sin ABP ∠11．在ABC 中，内角（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠【答案】（1）5sin 5C =；（2）tan DAC ∠【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠(sin ADC =∠在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ==由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos ,sin 5ADE ∠=∠在Rt ADE △中，5,sin 3AE AD DE ADE ===∠由（1）知5sin 5C =，所以在Rt CDG △中，11515AG AC CG =-=．［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为设BDC α∠=，则(5cos B 从而2(05cos )AB α=-+cos sin 1cos ADB α∠==-（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，225(22)2522=+-⨯⨯［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．19．在锐角△ABC 中，角（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 【答案】（I ）3B π=；（II ）【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角(1)求cos C及线段BC的长；(2)求ADEV的面积．【答案】(1)1cos4C=，BC(2)3158【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出（2）求出15sin4C=，即可求出【详解】（1）由题意在ABC【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用25．ABC中，sin2A－sin（1）求A；（2）若BC=3，求ABC【答案】（1）23π；（2）3【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出（2）方法一：利用余弦定理可得到而2b ac =，即sin sin ADB ∠=故有ADB ABC ∠=∠，从而∠由2b ac =，即b c a b =，即CA CB 故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos c a b ABC +-==∠由2AD DC =，得,3c DE EC =在BED 中，2(3cos BED =∠在ABC 中2cos 2a BC c A +=∠因为cos cos ABC BED ∠=-∠所以22222()(332223a c a c b a ac ++-=-⋅由（1）知，3BD b AC ===设()(),33B x y x -<<，则2x 由2b ac =知，BA BC AC ⋅=即222(2)(1)x y x y ++⋅-+联立⑤⑥解得74x =-或72x =代入⑥式得36||,2a BC c ==由余弦定理得cos a ABC ∠=则11sin 122ADC S AD DC ADC =⋅∠=⨯ 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得35．记ABC 的内角,,A B C (1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c--=+，求【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出【详解】（1）因为22a b =+37．如图，在锐角ABC 中，角(1)求ABC 面积的最大值；(2)若AB 边上的点D 满足2AD DB =，求线段【答案】(1)934(2)3+1【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出（2）根据2AD DB =得到13CD CA = 求出222222442||1⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a b ab a CD a b ab b a 角形，得到311,32⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭b m t a ，从而利用基本不等式，求出线段【详解】（1）由余弦定理得：cos 60︒所以222212992+-⋅=⇒=+a b ab a b ∴9ab ≤，当且仅当3a b ==时取“=”∴1393sin 244==≤△ABC S ab C ab ，∴ABC 面积的最大值为934.（2）由2AD DB =，可得：23AD AB =(1)求角A ；(2)若D 为线段BC 延长线上一点，且∠【答案】(1)3A π=(2)963--【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：()sin sin cos sin cos sin cos B C A A B A C +--即sin cos cos sin sin cos cos B A B A C A -+-故()()sin sin 0B A C A -+-=，则有sin 又()(),,,B A C A ππππ-∈--∈-，故有。

高考数学解三角形专题复习100题（含答案详解）

⾼考数学解三⾓形专题复习100题（含答案详解）2018年⾼考数学解三⾓形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上⼀点，且AD AC,求△ABD的⾯积．4.在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的⾯积．5.的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上⼀点，且，求的⾯积．6.在△ABC中， =60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的⾯积.7.△ABC的三个内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直⾓；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求⾓A的值；(2)若的⾯积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿⽔平⽅向在A,B两点进⾏测量，A,B,C,D在同⼀个铅垂平⾯内. 海底探测仪测得同时测得海⾥。

（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，⾓A,B,C对边分别为a,b,c，⾓，且.（1）证明：；（2）若⾯积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求⾓C；（Ⅱ）若c=，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长．15.在中，⾓，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若⾓为锐⾓，求的值及的⾯积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平⾏.(I)求A；(II)若,求△ABC的⾯积.18.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的⾯积为．（1）求；（2）若，，求的周长．20.在△ABC中，⾓的对边分别为a，b，c, ，c=，⼜△ABC的⾯积为，求：(1)⾓的⼤⼩；(2)的值．21.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB?sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC⾯积的最⼤值．22.在△ABC中，已知⾓A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求⾓C的⼤⼩；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐⾓△ABC中，内⾓A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满⾜条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内⾓A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的⼤⼩；（2）在锐⾓△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的⼤⼩（II）求的最⼤值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最⼩正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是⾓A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的⾯积为，求的值.28.△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的⼤⼩；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最⼤值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内⾓，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求⾓A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=（Ⅱ）若△ABC 的⾯积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内⾓A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的⼤⼩；（Ⅱ）求的最⼤值.32.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的⾯积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。

2022年高考数学解三角形知识点专项练习含答案

专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 73.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√35.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（）mA. 20B. 30C. 40D. 506.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√64km2C.D. 6−√34km27.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√1058.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形9.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √510.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6二、单空题（本大题共4小题，共20分）11.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．12. 在四边形ABCD 中，AB =6，BC =CD =4，DA =2，则四边形ABCD 的面积的最大值是______．13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D ，测得CD =45m ，∠ADB =135∘，∠BDC =∠DCA =15∘，∠ACB =120∘，则AB 两点的距离为______．14. 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD =4 km ，∠ADB =∠CDB =30°，∠ACD =60°，∠ACB =45°，则A ，B 两点间的距离是_______km ．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ．16. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．17. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．18. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB 、AC 上，小径PM 、PN 与边界BC 的夹角都为60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM 与PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？专题19 解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是()A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C解：∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，∵B=π−(A+C)，∴sin(A+C)=2sinAcosC，则sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，sinAcosC−cosAsinC=0，即sin(A−C)=0，∵A、C∈(0,π)，∴A−C∈(−π,π)，则A−C=0，∴A=C，∴△ABC是等腰三角形．故选：C．20.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为()A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】解：设AD=t，可得BD=2t，BC=√4t2−25，在直角三角形BCD中，可得cosB=√4t2−252t，在三角形ABC中，可得cosB=222⋅3t⋅√4t2−25，即为√4t2−252t =222⋅3t⋅√4t2−25，即2(4t2−25)=9t2−75，解得t=5，可得AD=5，故选：B．21.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A. 10√3海里B. 10√63海里 C. 5√2海里 D. 5√6海里【答案】D【解析】解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°−60°−75°=45°根据正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°∴BC=10×√32√22=5√6故选D.22.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=√3，a=3b，则c的值为()A. 3B. 72C. 4√73D. 2√3【答案】C【解析】解：由题意，得由S△ABC=S△ACD+S△BCD，得，所以ab=a+b，(b=0舍去)，所以3b2=4b，解得b=43故a=3b=4，故c=√a2+b2−2ab·cosC=4√73故选C．23.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π，在D点测得塔顶A4的仰角是π，水平面上的，则电视塔AB的高度为6（）mA. 20B. 30C. 40D. 50【答案】A【解析】解：由题题意，设AB=x，则BD=√3x，BC=x在△DBC中，∠BCD=60°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos∠DCB即：(√3x)2=(40)2+x2−2×40⋅x⋅cos60°整理得x2+20x−800=0，解之得x=−40(舍去)或x=20即所求电视塔的高度为20米．故选A．24.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B. 3−√6km24C.D. 6−√34km2【答案】D【解析】解：如图连接AC，根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB×BCcosB=3，即AC=√3，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°,∠BAC=30°，所以∠DAC=45°−30°=15°，∠DCA=105°−90°=15°，所以∠DAC=∠DCA所以△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x，∠D=150°，由余弦定理x2+x2+√3x2=3⇒x2=3(2−√3)，故所求面积为12×1×√3+12×3(2−√3)×12=6−√34．故选D．25.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=2√3，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为()A. √1010B. √105C. 3√1010D. 3√105【答案】D【解析】解：因为球O与直三棱柱ABC−A1B1C1的所有面均相切，且直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设球O的球心为O，底面三角形ABC的重心为O′，连接OO′，则OO′⊥底面ABC．设BC的中点为E，连接AE，易知点O′在AE上，连接OD、DE，因为D是侧面BB1C1C的中心，所以四边形OO′ED为正方形，设球O的半径为r，则由AB=2√3，可得r=2√3×√32×13=1，易得AD=√3√32)=√10，连接OA，可得OA=√23)=√5，∴cos ∠ADO=DO2+AD2−AO22⋅DO⋅AD =3√1010，故所求弦长为2r⋅cos ∠ADO=3√105．故选D．26.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是()A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，∴ba =cosAcosB，解得bcosB=acosA，∴利用余弦定理可得：b×a2+c2−b22ac =a×b2+c2−a22bc，整理可得：c2(b2−a2)=(b2+a2)(b2−a2)，∴解得：c2=a2+b2或b=a，而当a=b时，两直线重合，不满足题意；则△ABC是直角三角形．故选C．27.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径()A. √2B. √3C. √10D. √5【答案】D【解析】解：因为p=12(a+b+c)，所以a+b+c=2p，因为p=12，c=9，所以a+b=15，三角形的内切圆半径r=2Sa+b+c，由余弦定理得cos A=b2+c2−a2 2bc =23，所以(b−a)(b+a)+81=12b，即b−5a=−27，所以a=7，b=8，所以S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12×(12−7)(12−8)(12−9)=12√5，所以r=√5，故选D28.在ΔABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6【答案】A【解析】解：因为1sin A +1sin B=2(1tan A+1tan B)，所以1sin A +1sin B=2(cosAsinA+cosBsin B)，所以sin A+sin Bsin Asin B =2·(sin BcosA+cosBsinA)sin Asin B=2·sin(A+B)sin Asin B =2·sinCsin Asin B，所以sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得到：a+b=2c，所以cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−(a+b2)22ab=34a2+34b2−12ab2ab⩾34·2ab−12ab2ab=12，当且仅当a=b时“=”成立，所以，则C的最大值为π3．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20分）29.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．【答案】300【解析】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，∴AM=MDsin45°=200√2．∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA =200√2×√32√22=200√3，在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200√3×√32=300m．故答案为300．30.在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．【答案】8√3【解析】解：如图所示，AB=6，BC=CD=4，DA=2，设BD=x，在△ABD中，由余弦定理可得x2=22+62−2×2×6cosA=40−24cosA，在△BCD中，由余弦定理可得x2=32−32cosC，联立可得3cosA−4cosC=1，①又四边形ABCD面积S=12×4×4sinC+12×2×6sinA，即4sinC+3sinA=12S，②①2+②2可得9+16+24(sinAsinC−cosAcosC)=1+14S2，化简可得−24cos(A+C)=14S2−24，由于−1≤cos(A+C)≤1，∴−24≤14S2−24≤24，∴0≤S2≤192，解得S≤8√3，当cos(A+C)=−1即A+C=π时取等号，∴S的最大值为8√3．故答案为：8√3．31.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______．【答案】45√5【解析】解：易知在△ACD中，∠DAC=180°−∠ADB−∠BDC−∠ACD=15°，∴△ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，在△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠ACD−∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°= 135°，所以由正弦定理得，即45sin30°=BDsin135°，得BD=45√2，在△ABD中，由余弦定理得=452+(45√2)2−2×45×45√2×(−√22)=452×5，所以AB=45√5，即A，B两点的距离为45√5，故答案为45√5．32.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．【答案】2√2【解析】由于CD=4km，∠ADB=∠CDB=30∘，∠ACD=60∘，∠ACB=45∘，所以∠DAC=180°−30°−30°−60°=60°，∠DBC=180°−30°−60°−45°=45°，在三角形ADC 中，由正弦定理得4sin∠DAC =ADsin∠ACD ，所以AD =4sin60°sin60°=4，在三角形BCD 中，由正弦定理得BDsin∠BCD =4sin∠DBC ，所以BD =4×sin(60°+45°)sin45°=2√3+2，在三角形ABD 中由余弦定理得到AB 2=42+(2√3+2)2−2×4×(2√3+2)cos30°=8，所以AB =2√2，故答案为2√2．三、解答题（本大题共4小题，共30分）33. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosB +bcosC =3acosB ．(1)求cos B 的值；(2)若|CA⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，△ABC 的面积为2√2，求边b ．【答案】解：(1)由正弦定理asinA =bsinB =csinC ，即ccosB +bcosC =3acosB ，得sinCcosB +sinBcosC =3sinAcosB ，则有3sinAcosB =sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ．又A ∈(0,π)，则sinA >0，则．(2)因为B ∈(0,π)，则sinB >0，．因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c =2，所以S =12acsinB =12a ×2×2√23=2√2，得a =3．由余弦定理，则b =3．34. 在①2acosC +c =2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且． (1)求角A 的大小；(2)若a =2，求△ABC 面积的最大值．【答案】解：(1)选①，由正弦定理得2sin Acos C +sin C =2sin B ，所以2sin Acos C +sin C =2sin (A +C)=2(sin Acos C +cos Asin C)，即sin C(2cos A −1)=0，又C ∈(0,π)，所以sin C >0，所以cos A =12，又A ∈(0,π)，从而得A =π3．选②，因为cos 2 B−C 2−cosBcosC =1+cos (B−C )2−cosBcosC=1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈(0,π)，所以A =π3．选③因为(sinB +sinC)2=sin 2A +3sinBsinC ，所以sin 2B +sin 2C +2sinBsinC =sin 2A +3sinBsinC ，即sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ，所以由正弦定理得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)由(1)得A =π3，又a =2，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccos A =b 2+c 2−bc ⩾2bc −bc =bc ，所以bc ⩽4，当且仅当b =c =2时取得等号，，所以△ABC 面积的最大值为√3．35. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ⃗⃗⃗ =(cos C2,sin C2)，n ⃗ =(cos C2,−sin C2)，m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3． (1)求角C 的大小；(2)已知c =72，△ABC 的面积S =3√32，求a +b 的值．【答案】解：(1)由已知，得．又∵|m⃗⃗⃗ |=|n ⃗ |=1，．又∵0<C <π，∴C =π3．(2)由面积公式，得由余弦定理，得c 2=a 2+b 2−2abcosC ，即494=a 2+b 2−ab.② ①②联立，解得a +b =112．36. 某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM 、PN ，其中M 、N 分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？【答案】解：(1)在三角形BPM中由正弦定理可得：PM sin45∘=PBsin75∘，化简得PM=(√3−1)PB，同理可得PN=(√3−1)PC，∴PM+PN=(√3−1)(PB+PC)=(√3−1)BC=(√3−1)×400为定值．(2)在三角形PMN中，由余弦定理得MN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcos60°=(PM+ PN)2−3PM⋅PN=160000(√3−1)2−3PM⋅PN≥160000(√3−1)2−3×(PM+PN2)2=160000(√3−1)2−3×[400(√3−1)2]2=40000(√3−1)2，∴MN≥200(√3−1)，当且仅当PM=PN，即P为BC的中点时，MN取得最小值200(√3−1)，∴P为BC的中点时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小，且最小值为600(√3−1).。

专题解三角形大题(含答案)

解三角形专题1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+a=c．（1）求B的大小；（2）若c=，a+b=2，求△ABC的面积．2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b-a）sin B+a sin A=c sin C，且c=2．（Ⅰ）求角C的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

余生，无需3.已知在△ABC中，，a=13，c=15．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）若△ABC是钝角三角形，求△ABC的面积．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求角C；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

余生，无需5.如图，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cos B=．（1）求△ACD的面积；（2）若BC=6，求AB的长．6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin（A+C）=a sin C，且a=2c．（1）求sin B；（2）若△ABC的面积为4，求△ABC的周长．高三几何每日一题(5 )答案靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

余生，无需1.【答案】解：（1）∵b cos A+a=c，∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A=sin C，又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B，∴sin A=sin A cos B，∵sin A ≠0，∴cos B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵B=，c=，∴由余弦定理可得cos B==，整理可得a2-b2+3=3a ，又a+b=2，解得a=b=1，∴S△ABC=ac sin B==．2.【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得（b-a）b+a2=c2，即a2+b2-c2=ab由余弦定理得，∵C∈（0，π），∴．（Ⅱ）由面积公式，由a2+b2-c2=ab，得到ab+4=a2+b2，由不等式a2+b2≥2ab，得到ab +4≥2ab，∴ab≤4，从而，当且仅当a =b=2时取等号．所以△ABC面积的最大值为，3.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中根据正弦定理得，即，∴，（Ⅱ）因为a2=b2+c2-2bc cos A，所以．解得b=8或b=7．当b=7时，所以C为钝角，所以△ABC的面积，当b=8时，．此时C为锐角，不满足题意，所以△ABC的面积．4.【答案】解：（1）△ABC中，2cos C（a cos B+b cos A）=c，由正弦定理可得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，即2cos C sinC=sin C，又0＜C＜π，sin C≠0，∴cos C=，求得C=；（2）由c=2，C=，利用余弦定理可得：4=c2=a2+b2-2ab cos C≥2ab-ab=ab，靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

高中数学经典题型--解三角形(含详细答案)

高中数学经典题型解三角形【编著】黄勇权【第1题】在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinC bsinBasinA = 3a32 sinB + c求：角C 的大小【第1题】答案：已知：sinCbsinB asinA += 3a 32 sinB + c等号左边：因为分子、分母每一项含有sin ，故用正弦定理，将sin 替换成边即：cb *b a *a += 3a 32 sinB +c 特别提示：等号右边的sinB 不能换成边b ，这是因为sinB=R 2b ,这样就会多出R 21，等号两边同时乘以ca 2+b 2 = 3ac 32 sinB +c 2将c 2移到等号左边，a 2+b 2- c 2 = 3ac 32 sinB由于等号左边是a 2+b 2-c 2，只能构建cosC ，故等号两边同时除以2ab ，这一步非常重要。

2a b c b a 222-+ = b 3c 3 sinBc osC = b 3c 3 sinB等号右边，左边分子含c ，分母含b ，故用正弦定理把c 、b 换成sinC ，sinB 这一步非常重要，很多同学想不到，因此就解不出来。

c osC = B sin 3sinC 3 sinBc osC =33 sinCtanC= 3 即C=60°经典技巧：对于正弦定理，很多同学都不知道什么时候能用，什么时候不能用，其实，在运用正弦定理将sin与对应边换时，一定要遵循能够消除2R为原则。

例如1：acosB+bcosA=2c 【能用】由正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=2*2RsinC因为每一项都有2R，故能消除2R,化简：sinA*cosB+sinB*cosA=2sinC所以能用正弦定理。

例如2：bcosA+sinB=3c 【不能用】由正弦定理：b=2RsinB，c=2RsinC代入上式，得：2RsinB*cosA+sinB=2RsinC*3因为第二项不含2R，无法消除2R, 所以不能用正弦定理例如3：sin2A+sin2B=2sinBsinC 【能用】a b c（R 2a ）2 + （R 2b ）2 = 2 *R 2b *R 2c因为每一项都有（R 21）2，故能消除2R ，化简得：a 2 +b 2=2bc 所以能用正弦定理例如4：acosB+bcosA=4bc 【能用】由正弦定理：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC 代入上式，2RsinA*cosB+2RsinB*cosA=4b*2RsinC因为要消除2R ，所以只能代入一项，要么是b 或c 而等号右边化简后sinA*cosB+sinB*cosA=sin （A+B ）=sinC所以我们只把c 换为sinC ，而b 不动。

高中数学解三角形精选题目(附答案)

高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ，即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。

高中数学期末专题：解三角形大题综合解析版

期末专题05解三角形大题综合1.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知平面四边形ABCD 中，AD =3,∠BAD =90°,∠CBA =120°,∠ACD =60°，(1)若AC =3，求BD ；(2)若∠ACB =45°，求AB ．【答案】(1)23(2)2【分析】(1)由条件可得∠CAB =30°，在△ABC 中，求出AB ,然后在直角三角形ABD 中由勾股定理可得出答案.(2)根据条件先求出∠CDA =45°，然后在△ACD 中利用正弦定理求出AC , 在△ABC 中利用正弦定理可得出答案.(1)由AC =AD =3, ∠ACD =60°,则△ACD 为等边三角形所以∠CAD =60°，又∠BAD =90°，则∠CAB =30°又∠CBA =120°，所以∠ACB =30°，则AB =BC ,由AB sin30°=AC sin120°,则AB =AC sin120°×sin30°=3连接BD ,由∠BAD =90°，则BD =AB 2+AD 2=3+9=23(2)由∠ACB =45°，∠CBA =120°，则∠CAB =15°又∠BAD =90°，则∠CAD =75°又∠ACD =60°，则∠CDA =45°在△ACD 中，AC sin ∠ADC =ADsin ∠ACD,即AC sin45°=3sin60°解得AC =6在△ABC 中, AB sin ∠ACB =ACsin ∠ABC, 即AB sin45°=6sin120°,解得AB =22.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m =3cos A ，sin A ，n =1，-1 ，且m ⊥n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =7，3sin B =2sin C ，求△ABC 的面积．3(2)332．【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；(2)由正弦定理先求出b ,c 的关系，再由余弦定理即可解出b ,c ，最后根据三角形的面积公式即可解出(1)由m ⊥n 可得，m ⋅n =3cos A -sin A =0，所以tan A =3，而A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由3sin B =2sin C 得3b =2c ，而a 2=b 2+c 2-2bc cos A =7，即7=b 2+94b 2-32b 2，解得b 2=4，所以b =2,c =3，故△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×2×3×32=332．3.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m=b +c ,sin A ，n =a +b ,sin C -sin B ，且m ∥n .(1)求角C ；(2)若b =4，△ABC 的面积为43，求△ABC 的周长.【答案】(1)C =2π3(2)8+43【分析】(1)根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可；(2)根据面积公式可得a =4，进而得到A =B =π6，从而利用正弦定理求出c =43，进而得到周长即可(1)由向量平行的坐标公式可得b +c sin C -sin B -a +b sin A =0，由正弦定理可得b +c c -b -a +b a =0，即-ab =a 2+b 2-c 2，故cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12，因为C ∈0,π ，故C =2π3(2)由三角形面积公式，43=12×4a ×32，故a =4，故△ABC 为等腰三角形，故A =B =12π-2π3 =π6，又a sin A =c sin C ，故c =a sin Csin A =4×3212=43，所以△ABC 的周长为4+4+43=8+434.(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，m =2b +c ,cos C ,n=-a ,cos A ，且m ∥n ，a =23.(1)求A 角大小.(2)D 为BC 边上一点，AD =1，且，求△ABC 的面积.(从①AD 为∠BAC 的平分线，②D 为BC 的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.)3(2)3【分析】(1)根据向量的平行关系得到等式，再运用正弦定理及正弦的两角和公式化简即可求解；(2)若选①，运用面积公式及余弦定理可求解；选②，根据向量关系及余弦定理即可求解.【详解】(1)∵m ⎳n,∴2b +c cos A =-a cos C 由正弦定理得：2sin B +sin C cos A =-sin A cos C2sin B cos A +sin C cos A +sin A cos C =02sin B cos A +sin A +C =02sin B cos A +sin B =0sin B 2cos A +1 =0∵sin B ≠0，∴cos A =-12∵A ∈0,π ,∴A =2π3(2)选①：由AD 平分∠BAC 得：S △ABC =S △ABD +S △ACD 12bc sin120°=12×1×c sin60°+12×1×b sin60°，所以bc =b +c ，(1)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(1)(2)联立得bc =b +cb 2+c 2+bc =12解得(bc )2-bc -12=0，解得bc =4，所以S △ABC =12bc sin120°=12×4×32=3，选②：AD =12AB +AC ，AD 2=14(AB +AC )2=14AB2+2AB ⋅AC +AC 21=14c 2+2bc cos120°+b 2 ，得b 2+c 2-bc =4(1)△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos120°,a =23所以b 2+c 2+bc =12，(2)(2)-(1)即可得bc =4，S △ABC =12bc sin120°=12×4×32= 3.5.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 2-sin A 2cos A 2+sin A 2=sin Bcos B．(1)若C =2π3，求B ；(2)若a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )，求符合条件的k 的最小值．【答案】(1)π6(2)42-5【分析】(1)由三角恒等变换得出C =π2+B ，再由C =2π3，得出B ；(2)由k =a 2+b 2c 2结合正弦定理以及C =π2+B 得出k =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B ，令x =cos 2B ，结合基本不等式得出k 的最小值.【详解】(1)cos A 2-sin A2cos A 2+sin A 2=cos 2A 2-sin A 2cos A2cos 2A 2+sin A 2cos A 2=1+cos A2-sin A 21+cos A2+sin A 2=1+cos A -sin A 1+cos A +sin A=sin Bcos B ，即sin B +sin B cos A +sin A sin B =cos B +cos A cos B -sin A cos B ，sin B +sin (A +B )=cos B +cos (A +B )，sin B -cos B =-sin C -cos C ，两边平方得1-2sin B cos B =1+2sin C cos C ，即sin (-2B )=sin2C ，∵-2B ∈-2π,0 ,2C ∈0,2π ,B +C ∈0,π ,∴-2B +2C =π,C =π2+B ,∵C =2π3，B =2π3-π2=π6;(2)由(1)可得，C =π2+B ，则π-π2+B +B =A ,则0<π-π2+B +B <π,0<B <π4，22<cos B <1,sin A =sin π-π2+B +B=cos2B =2cos 2B -1，由a 2+b 2-kc 2=0(k ∈R )得，k =a 2+b 2c 2=sin 2A +sin 2B sin 2C =2cos 2B -1 2+1-cos 2B cos 2B设x =cos 2B ，则12<x <1k =a 2+b 2c2=(2x -1)2+1-x x =4x 2-5x +2x =4x +2x -5≥24x ⋅2x -5=42-5当且仅当4x =2x ,x =22时，等号成立即符合条件的k 的最小值为42-56.(2021春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a +c =mb (m ∈R ).(1)若m =2，求∠B 的最大值；(2)若∠B 为钝角，求：①m 的取值范围；②sin A sin C 1+cos A cos C的取值范围.(参考公式：sin α+sin β=2sin α+β2cos α-β2)【答案】(1)π2；(2)①1<m <2；②0,13.【分析】(1)由题意可得b=a+c2，然后利用余弦定理可得cos B≥0，从而可求出∠B的最大值；(2)①由于∠B为钝角，所以可得a2+c2<b2，结合a+c=mb(m∈R)，可得m2<(a+c)2a2+c2=1+2a c +ca，再结合基本不等式可求得m的取值范围；②由正弦定理将a+c=mb化为sin A+sin C=m sin B，利用和差化积公式可得cos2A-C2=m2cos2A+C2，再利用三角恒等变换公式可得sin A sin C 1+cos A cos C =m2-1m2+1=-2m2+1+1，再结合①可得结论【详解】(1)当m=2时，b=a+c2，所以cos B=a2+c2-a+c222ac=(a-c)24ac≥0，因为B∈(0,π)，所以B∈0,π2，则∠B的最大值为π2.(2)①因为a+c>b，所以m>1；因为∠B为钝角，即存在a>0,c>0，使得a2+c2<b2，即a2+c2<a+cm2,m2<(a+c)2a2+c2=1+2ac+ca成立；因为ac+ca≥2，所以1<m2<2，即1<m<2；②又因为a+c=mb，所以sin A+sin C=m sin B，则2sin A+C2cos A-C2=2m sin B2cos B2，因为sinA+C2=sinπ-B2=cos B2≠0，所以cos A-C2=m sin B2=m sinπ2-A+C2=m cos A+C2，所以cos2A-C2=m2cos2A+C2，则1+cos(A-C)2=m2×1+cos(A+C)2，1+cos A cos C+sin A sin C=m2(1+cos A cos C-sin A sin C)，所以sin A sin C1+cos A cos C=m2-1m2+1=-2m2+1+1，因为1<m<2，所以0<-2m2+1+1<13，所以sin A sin C1+cos A cos C的取值范围为0,13.7.(2021春·江苏常州·高一统考期末)如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中AB=3a，∠B=π2，BC=33a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A MN).现考虑绿地最大化原则，要求点M与点A，B 均不重合，A 落在边BC上且不与端点B，C重合.(1)设∠AMN=θ，若θ=π3，求此时公共绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度.【答案】(1)23a 2；(2)2a .【分析】(1)根据大三角形直角边的比例关系，可得三角形∠A =π3，结合θ=π3，可求得各边的长度以及三角形的面积(2)在△AMN 中，由正弦定理求出AN 的表达式，可化简为关于θ的三角函数形式，根据θ角的范围求出三角函数的最值，从而求出AN 的最值【详解】(1)由题意得：△AMN 与△A MN 全等，∴∠BMA =π-2θ=π3∴在Rt △BMA 中，BM =12A M =12AM ，又BM +AM =3a =AB ，∴32AM =3a ，∴AM =2a ，又∵AB =3a ，BC =33a ，∠B =π2，∴∠A =π3，∴△AMN 为等边三角形，∴公共绿地的面积S =2S △AMN =2⋅34AM 2=23a 2(2)由图得：AM +AM cos (π-2θ)=AB =3a 且AM =A M∴AM =3a 1-cos2θ=3a2sin 2θ在△AMN 中，由正弦定理得：AN sin θ=AMsin 2π3-θ∴AN =AM sin θsin 2π3-θ=3a2sin θsin 2π3-θ，令f (θ)=2sin θsin 2π3-θ=2sin θ32cos θ+12sin θ =32sin2θ+1-cos2θ2=sin 2θ-π6 +12又由0<π-2θ<π2得θ∈π4,π2，∴2θ-π6∈π3,5π6 ，∴当2θ-π6=π2即θ=π3时f (θ)取最大值，即AN 最短，此时△AMN 是等边三角形，MN =AM =2a .8.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在以下两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．①3a sin C =4c cos A ，②2b sinB +C2=5a sin B 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知；a =32.(1)求sin A的值(2)如图，M为边AC上一点，MC=MB，∠ABM=π2，求△ABC的面积【答案】选择见解析；(1)45；(2)278．【分析】选择条件①3a sin C=4c cos A(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．选择条件②2b sin B+C2=5a sin B(1)根据已知条件，运用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解．(2)根据已知条件，运用余弦定理，可得m=5，再结合三角形面积公式，即可求解．【详解】解：若选①，(1)3a sin C=4c cos A，由正弦定理可得3sin A sin C=4sin C cos A因为sin C≠0，所以可得tan A=43，在△ABC中，所以A∈0，π2，所以sin A=442+32=45；(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．若选②，(1)因为2b sin B+C2=5a sin B，所以2b sinπ-A2=5a sin B，由正弦定理可得2sin B cos A2=5sin A sin B=25sin A2cos A2sin B，因为sin B≠0，cos A2≠0，所以sin A2=15，cos A2=25，所以sin A=2sinA2cos A2=2⋅15⋅25=45.(2)设BM=MC=m，易知cos∠BMC=-cos∠BMA=-sin A=-4 5．在△BMC中，由余弦定理得18=2m2-2m2·-4 5，解得m=5，所以S△BMC=12m2sin∠BMC=12×5×35=32，在Rt△ABM中，因为sin A=45，BM=5，∠ABM=π2，所以AB=354所以S△ABM=15 8，所以S△ABC=32+158=278．9.(2021春·江苏常州·高一统考期末)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C=2a-c 2b.(1)若cos(B+C)=-5314，求cos C的值；(2)若点D 在边AC 上，且AD =2DC ，BD =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3314；(2)332.【分析】(1)根据已知条件cos C =2a -c 2b，运用余弦定理，可推得B =π3，再结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．(2)由AD =2DC ，可推得BD =13BA +23BC，对等式两边同时平方，并结合均值不等式和三角形面积公式，即可求解．【详解】解：(1)由余弦定理得，cos C =2a -c 2b =a 2+b 2-c 22ab 整理得，a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12又因为B ∈(0,π)，所以B =π3因为cos (B +C )=-5314，又0<B +C <π，所以sin (B +C )=1-cos 2(B +C )=1114故cos C =cos [(B +C )-B ]=cos (B +C )cos B +sin (B +C )sin B=-5314 ⋅12+1114⋅32=3314(2)因为AD =2DC ，所以BD =BA +AD =BA +23AC =BA +23(BC -BA )=13BA+23BC所以BD 2=13BA+23BC 2，即4=19c 2+49a 2+2⋅29ac ⋅12≥219c 2⋅49a 2+29ac =23ac ，所以ac ≤6.当且仅当19c 2=49a 2ac =6，即a =3c =23 取“=”又因为S △ABC =12ac sin B =34ac ，所以S △MBC max =33210.(2021·江苏·高一期末)在①b 2+2ac =a 2+c 2，②a cos B =b sin A ，③sin B +cos B =2，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC 中，，A =π3，b =2，(1)求角B ； (2)求△ABC 的面积．【答案】条件选择见解析(1)B =π4；(2)3+34.【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得B =π4，再根据正弦定理，求得a =3,C =5π12，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】若选①：(1)因为b 2+2ac =a 2+c 2，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22，又因为B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选②：(1)因为a cos B =b sin A ，由正弦定理，可得sin A cos B =sin B sin A ，又因为A ∈(0,π)，得sin A >0，所以cos B =sin B ，即tan B =1，由B ∈(0,π)，可得B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin A sin B=2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.若选③：(1)因为sin B +cos B =2，可得2sin B +π4 =2，即sin B +π4=1，又因为B ∈(0,π)，可得B +π4∈π4,5π4 ，所以B +π4=π2，所以B =π4，(2)由A =π3，b =2，根据正弦定理得a =b sin Asin B =2×3222=3,C =π-A -B =5π12，则sin C =sin5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=6+24，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =12×3×2×6+24=3+34.11.(2021春·江苏南通·高一统考期末)在①a +b +c a +b -c =3ab ②tan A +tan Btan A tan B -1=3③sin C 2sin B -sin A =cos Ccos A 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足．(1)求角C 的大小；(2)若D 为边BC 上一点，且AD =6，BD =4，AB =8，求AC ．【答案】(1)C =π3；(2)AC =35【分析】(1)选①则根据等式化简结合余弦定理与角的取值范围即可；选②则根据两角和的正切公式化简并结合角的取值范围即可；选③则利用两角和的正弦公式结合角范围即可；(2)在中利用余弦定理求出算出，在中利用正弦定理即可.【详解】(1)选①，由题意化简得a 2+2ab +b 2-c 2=3ab ，即c 2=a 2+b 2-ab ，根据余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选②，由题意得-tan (A +B )=3,则tan C =3，因为C ∈(0,π)所以C =π3.选③，由题意化简得sin B =2cos C sin B ,当sin B =0,B =π2时代入原式显然不成立，故cos C =12，因为C ∈(0,π)所以C =π3.(2)在△ABD 中，根据余弦定理得cos ∠ADB =62+42-822×6×4=-14，所以cos ∠ADB =14，故∠ADB ∈0,π2 ,所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =154，在△ADC 中根据正弦定理得AC sin ∠ADB =6sin C，解得AC =3512.(2021春·江苏泰州·高一泰州中学校考期末)△ABC 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知2b +c =2a cos C 且a =5.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的周长为6+5，求△ABC 的面积；(3)若b =3，求cos (2B -A )的值.【答案】(1)2π3(2)34(3)-1+33320【分析】(1)由余弦定理角化边化简后可得；(2)余弦定理与已知联立可得bc 的值，然后可得；(3)先由正弦定理可得sin B 的值，然后根据二倍角公式与和差公式可解.【详解】(1)因为2b +c =2a cos C ，所以2b +c =2a ⋅a 2+b 2-c 22ab，整理可得：b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理可得：b 2+c 2-a 2=2bc cos A ，所以cos A =-12，A ∈(0,π)，所以可得A =2π3；(2)由三角形的周长为6+5，a =5，所以b +c =6，由(1)可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-2bc -2bc cos A ，而cos A =-12，所以可得5=6-2bc +bc ，可得bc =1，所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34，所以△ABC 的面积为34；(3)因为b =3，a =5，A =23π，由正弦定理可得：sin B =basin A =35⋅32=325，b <a ，所以B 为锐角，所以cos B =1125，所以sin2B =2sin B cos B =31110，cos2B =2cos 2B -1=2×114×5-1=110，所以cos (2B -A )=cos 2B -2π3 =-12，即-12cos2B +32sin2B =-1+33320，所以cos 2B -A =-1+33320．13.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =b 3sin C +cos C ．(1)求B ；(2)已知BC =23，D 为边AB 上的一点，若BD =1，∠ACD =π2，求AC 的长．【答案】(1)B =π6(2)AC =212【分析】(1)由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形求解；(2)由余弦定理求得CD ，再用正弦定理计算．【详解】(1)∵a =b 3sin C +cos C ，∴sin A =sin B 3sin C +cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =3sin B sin C +sin B cos C ，所以cos B sin C =3sin B sin C ，因为sin C >0，所以cos B =3sin B ，所以tan B =33，因为B ∈0,π ，所以B =π6．(2)因为BC =23，BD =1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ⋅BD ⋅cos B =1+12-2×1×23×32=7，∴CD =7．∵∠BDC =π2+∠A ，∴sin ∠BDC =sin π2+∠A =cos A ．在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin ∠BDC =CD sin ∠B ，∴23cos A =712，∴cos A =217，∴tan A =233=CD AC，∴AC =212．14.(2022春·江苏扬州·高一期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足b cosB +C2=a sin B ．(1)求A 的大小；(2)若a =23，BA ⋅AC =32，AD 是△ABC 的角平分线，求AD 的长．【答案】(1)2π3；(2)155.【分析】(1)利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A ；(2)由数量积公式可得bc ，再由余弦定理求出b +c ，根据三角形面积公式利用S △ABC =S △ABD +S △ACD 建立方程求解即可.【详解】(1)因为b cos B +C2=a sin B ，∴sin B sinA2=sin A sin B ，因为B ∈0,π ，所以sin B >0，所以sin A 2=2sin A 2cos A2，又A ∈0,π ，∴cos A 2=12，所以A 2=π3，即A =2π3.(2)由BA ⋅AC =32，得cb cos π3=32，∴bc =3，又a =23，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b +c 2-2bc +bc =12，可得b +c =12+3=15，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12bc sin 2π3=12b ⋅AD ⋅sin π3+12c ⋅AD ⋅sin π3，所以AD =bc sin 2π3b +c sin π3=3⋅3215⋅32=155.15.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，请在①cos2B -3cos A +C =1，②2a -c =2b cos C ，③a 2+c 2-b 2=433S △ABC这三个条件中任选一个，完成下列问题.(1)求角B ；(2)在(1)的条件下，若点D 为AC 的中点，且AB =3，BD =132，求△ABC 的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，B =π3(2)334【分析】(1)选①，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选②，根据正弦定理结合内角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选③，根据余弦定理与面积公式化简求解即可；(2)构造四边形ABCE 为平行四边形，再在△ABE 中，由余弦定理化简求解即可【详解】(1)选①，因为cos2B -3cos A +C =1，所以cos2B -3cos π-B =1，2cos 2B -1+3cos B =1,2cos 2B +3cos B -2=0，解得cos B =12,cos B =-2，因为cos B ∈-1,1 ，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选②，因为2a -c =2b cos C ，由正弦定理的，2sin A -sin C =2sin B cos C ,2sin B +C -sin C =2sin B cos C ，所以，2cos B sin C -sin C =0，sin C >0，所以cos B =12,B ∈0,π ，故角B =π3．选③，因为a 2+c 2-b 2=433S ΔABC ，所以a 2+c 2-b 2=433⋅12ac sin B ，2ac cos B =233⋅ac sin B ,ac >0，tan B =3,B ∈0,π ，故角B =π3．(2)作AE ⎳BC ,CE ⎳AB ，交于点E ，连结DE ，则四边形ABCE 为平行四边形，点D 为BE 中点，且∠BAE =2π3．在△ABE 中，由余弦定理得BE 2=AB 2+AE 2-2AB ⋅AE cos ∠BAE ,13=9+AE 2-2⋅3⋅AE ⋅-12,AE 2+3AE -4=0,AE =1或AE =-4(舍)，即BC =1，所以S ΔABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12×3×1×32=334.16.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在①b =a cos C +33c sin A ；②(b +c +a )(b +c -a )=3bc ；③sin A -sin C sin B -sin C=b a +c 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)求A ；(2)若a =3，求△ABC 面积的取值范围．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)A =π3(2)0,334【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得A=π3；对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3；对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得A=π3.【详解】(1)(1)若选①：因为b=a cos C+33c sin A，根据正弦定理得sin B=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin(A+C)=sin A cos C+33sin C sin A，所以sin A cos C+cos A sin C=sin A cos C+33sin C sin A．则cos A sin C=33sin C sin A，因为sin A≠0,sin C≠0，所以tan A=3，又0<A<π，所以A=π3．若选②化简得：b2+c2-a2=bc，则cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又0<A<π，所以A=π3．若选③：因为sin A-sin Csin B-sin C=ba+c，根据正弦定理得a-cb-c=ba+c，所以a2-c2=b2-bc．即cos A=b2+c2-a22bc =12，因为0<A<π，所以A=π3．(2)(2)因为a=3，由bsin B =csin C=3sin60，则b=2sin B,c=2sin C=2sin B+π3，S△ABC=12bc sinπ3=3sin B sin B+π3=312sin2B+32sin B cos B=31-cos2B4+34sin2B=32sin2B-π6+34，又B∈0,2π3,2B-π6∈-π6,7π6，所以sin2B-π6∈-12,1，则S△ABC的取值范围为0,33 4．17.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且满足2b-ccos A=a cos C，b cos C+c cos B=1．(1)求A和a的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．【答案】(1)A=π3，a=1；(2)36,3 4.【分析】(1)由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小；(2)由锐角三角形得B ∈π6,π2，根据正弦定理有b =23sin B ，c =23sin 23π-B ，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围.【详解】(1)因为(2b -c )cos A =a cos C ，由正弦定理得：(2sin B -sin C )cos A =sin A cos C 所以2sin B cos A =sin C cos A +sin A cos C ，所以2sin B cos A =sin (C +A )=sin B ，因为△ABC 中sin B ≠0，所以cos A =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3，因为b cos C +c cos B =1，由余弦定理得：b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ·a 2+c 2-b 22ac =1，解得a =1，综上，A =π3，a =1．(2)由(1)知：A =π3，a =1，由正弦定理得：b =a sin B sin A =23sin B ，c =a sin C sin A =23sin C =23sin 23π-B ．因为△ABC 为锐角三角形，故B ∈0,π2C =23π-B ∈0,π2 ，得B ∈π6,π2 ．从而△ABC 的面积S =12bc sin A =33sin B ⋅sin 23π-B =33sin B ⋅12sin B +32cos B =3312sin 2B +32sin B ⋅cos B =331-cos2B 4+34sin2B =3632sin2B -12cos2B +312=36sin 2B -π6 +312，又B ∈π6,π2 ，2B -π6∈π6,5π6，所以sin 2B -π6 ∈12,1，从而△ABC 的面积的取值范围为36,34．18.(2022春·江苏常州·高一统考期末)如图，AC 是平面四边形ABCD 的一条对角线，且在△ADC 中，2AD-DC =AC 2+AD 2-DC 2AD.(1)求角D 的大小；(2)若∠BAD =π3，∠ABC =5π6，AB =2，DC =4，求AC 的长.【答案】(1)D =π3(2)AC =27【分析】(1)在△ACD ，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小；(2)设AC =x ，∠CAD =α，在△ACD 中，由正弦定理可得23=x sin α，在△ABC 中，由正弦定理x=12sin α-π6 ，联立可解得sin α的值，在△ACD 中，由正弦定理可得AC 的值.(1)解：因为在△ADC 中，2AD -DC =AC 2+AD 2-DC 2AD所以AD 2+DC 2-AC 2=AD ×DC ，①即在△ADC 中，由余弦定理得，AD 2+DC 2-AC 2=2×AD ×DC ×cos D ，②则由①②两式得，cos D =12，又因为在△ADC 中，D ∈(0,π)，所以D =π3，(2)解：在△ACD 中，设∠CAD =α，AC =x ，则由正弦定理得AC sin D =DCsin ∠CAD，即x =DC sin ∠CAD×sin ∠D =23sin α①又在△ABC 中，∠CAB =π3-α，∠BCA =π-5π6-π3-α =α-π6，则由正弦定理得AC sin ∠ABC =ABsin ∠BCA ，即x =AB sin ∠BCA ×sin ∠ABC =1sin α-π6②则由①②两式得，23sin α=1sin α-π6 ，即23sin α-π6 =sin α，展开并整理得2sin α=3cos α，也即4sin 2α=3cos 2α=3-3sin 2αsin 2α=37，又因为在△ACD 中，sin α>0，所以sin α=217，把sin α=217代入①式得，AC =23sin α=14321=27.19.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =2B .(1)若sin B =13，求sin A 的值；(2)若a >c ，求证：12<b c <λ.(参考数据：λ=2sin π10=5-12≈0.618)【答案】(1)2327；(2)证明见解析.【分析】(1)由三角形内角性质可得0<B <π2，结合已知并利用二倍角正余弦公式求cos B 、sin C 、cos C ，最后应用诱导公式、和角正弦公式求sin A .(2)由大边对大角及三角形内角性质得0<B <π5，根据C =2B 及正弦定理边角关系得bc=12cos B ，即可证结论.(1)由C =2B ，A +B +C =π，故0<B <π3，又sin B =13，可得cos B =223，则sin C =sin2B =2sin B cos B =429，cos C =cos2B =2cos 2B -1=79，则sin A =sin [π-(B +C )]=sin (B +C )=sin B cos C +cos B sin C =2327.(2)由a >c 知：A >C =2B >0，所以π=A +B +C >B +2C =5B ，即0<B <π5，又sin C =sin2B =2sin B cos B ，则sin B sin C=12cos B ，即b c =12cos B ，所以12<b c <12cos π5，而cos π5=1-2sin 2π10=5+14，则12cos π5=25+1=5-12=λ，综上，12<bc<λ.20.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，某学校前后两座教学楼AB ，CD 的高度分别为12米和17米，从教学楼AB 顶部A 看教学楼CD 的张角∠CAD =45°．(1)求两座教学楼AB 和CD 的底部之间的距离BD ；(2)求∠ACB 的正切值．【答案】(1)BD =20米；(2)4897．【分析】(1)过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，分别求出tan ∠DAE ,tan ∠CAE ，再根据两角和的正切公式即可解出；(2)先通过解△ACE ,△BCD 求出tan ∠ACE ,tan ∠BCD ，即可求出tan ∠ACB ．(1)如图所示：过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，易知四边形ABDE 为矩形，设BD =AE =x 米，所以，tan ∠DAE =12x ,tan ∠CAE =5x，而∠CAD =45°，所以，tan ∠CAD =tan ∠DAE +∠CAE =tan ∠DAE +tan ∠CAE 1-tan ∠DAE tan ∠CAE =12x +5x1-12x ×5x =1，化简得，x 2-17x-60=0，而x >0，解得x =20，即BD =20米．(2)在△ACE 中，tan ∠ACE =205=4，在△BCD 中，tan ∠BCD =2017，所以，tan ∠ACB =tan ∠ACE -∠BCD =4-20171+4×2017=4897．21.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，其中BD ，BE 为景区内的乘车观光游览路线，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，经测量得：∠BCD =135°，∠BAE =120°，∠CBD =30°，CD =32，DE =8，且cos ∠DBE =35.(1)求BE 的长度；(2)景区拟规划△ABE 区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域△ABE 面积最大，并求此最大值．【答案】(1)10(2)当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为2533【分析】(1)在△BCD 中，根据正弦定理，可得BD 的长，在△BDE 中，根据余弦定理，即可得答案.(2)在△ABE 中，由余弦定理及基本不等式，可得AB ×AE ≤1003，代入面积公式，即可得答案.(1)在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠CBD =BDsin ∠BCD，所以BD =CD ⋅sin ∠BCDsin ∠CBD=6，在△BDE 中，由余弦定理得cos ∠DBE =BD 2+BE 2-DE 22×BD ×BE=35，所以35=36+BE 2-642×6×BE ，解得BE =10或BE =-145(舍)(2)在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22×AB ×AE=-12，所以AB 2+AE 2=100-AB ×AE ≥2AB ×AE ，所以AB ×AE ≤1003，当且仅当AB =AE =1033时等号成立，此时△ABE 面积最大值S =12×AB ×AE ×sin ∠BAE =2533所以当步行观光旅游路线AB =AE =1033时，种植区域△ABE 面积最大，且最大值为253322.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且10sin B +C22=7-cos2A ．(1)求角A 的大小；(2)若b =2,c =1，①∠BAC 的角平分线交BC 于M ，求线段AM 的长；②若D 是线段BC 上的点，E 是线段BA 上的点，满足CD =λCB ,BE =λBA ，求AD ⋅CE的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)①AM =233；②[-3,-1]【分析】(1)根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可；(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中根据正弦定理可得CM =2MB ，再根据AM =23AB +13AC结合数量积运算求解即可；法二：根据S △ABM +S △AMC =S △ABC ，结合面积公式列式求解即可；②法一：根据平面向量基本定理可得AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]，进而求得范围；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可【详解】(1)10sin B +C 2 2=7-cos2A ，则51-cos B +C =7-cos2A ，故5(1+cos A )=8-2cos 2A ，所以2cos 2A +5cos A -3=0，因为cos A <1，可得cos A =12，由A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)①法一：在△AMC 与△ABM 中，由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin ∠AMC ,BM sin ∠BAM =ABsin ∠AMB，即CM BM =ACAB =2，故CM =2MB ，所以AM =23AB +13AC ,AM 2=49AB 2+19AC 2+49AB ⋅AC =43，所以AM =233法二：在△ABC 中，由AM 是∠BAC 的角平分线所以∠BAM =∠MAC =π6由S △ABM +S △AMC =S △ABC 知：12⋅AB ⋅AM ⋅sin ∠BAM +12⋅AM ⋅AC ⋅sin ∠MAC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC 即12⋅1⋅AM ⋅sin π6+12⋅2⋅AM ⋅sin π6=12⋅1⋅2⋅sin π3，解得AM =233②法一：由CD =λCB ，得AD =λAB +(1-λ)AC ,(λ∈[0,1])又CE =AE -AC =(1-λ)AB -AC所以AD ⋅CE =[λAB +(1-λ)AC ]⋅[(1-λ)AB -AC]=2λ-3∈[-3,-1]．AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]；法二：以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由b =2,c =1,A =π3．则A (0,0),B (1,0),C (1,3),AB =(1,0),AC =(1,3)因为CD =λCB ,BE =λBA ，所以AD =AC +CD =(1,3-3λ),CE =BE -BC=(-λ,-3)．所以AD ⋅CE=-λ-3(3-3λ)=2λ-3由λ∈[0,1]，得AD ⋅CE的取值范围为[-3,-1]23.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A +sin Bsin C=c +ba -b．(1)若a =23，b =2，求角B ;(2)设∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，若△ABC 面积为3，求AD 长的最大值．【答案】(1)B =π6(2)1【分析】(1)从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A ，再利用一次正弦定理求得角度B .(2)利用角平分线性质及面积公式得到AD =bc b +c，再利用基本不等式得出AD 最值.【详解】(1)解：因为sin A +sin B sin C =c +b a -b ，依据正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ，所以a +b c =c +b a -b⇒a 2-b 2=bc +c 2，即b 2+c 2-a 2=-bc ，由余弦定理变形知cos A =b 2+c 2-a 22bc =-bc 2bc =-12，因为A ∈0，π ，所以A =2π3．因为a =23，b =2，则在△ABC 中，由正弦定理得：又a sin A =b sin B ⇔2332=2sin B ⇒sin B =12，因为b <a ⇔B <A ，所以B =π6．(2)法一：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4，AD 是∠BAC =2π3的角平分线，而S △ABC =S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×AD ×sin π3+12×AC ×AD ×sin π3=12×AB ×AC ×2π3，即b +c AD =bc ，所以AD =bc b +c ，因为b >0，c >0，b +c ≥2bc ，且bc =4，故AD =bc b +c ≤bc 2bc=1;当且仅当b =c =2取等，所以AD 最大值为1．答：当b =c =2时，AD 最大值为1．法二：因为S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc =3⇒bc =4,设∠ABD =θ，θ∈0，π3，在△ABD ，△ACD 中由正弦定理知：AD sin θ=c sin ∠ADB ⇔AD sin θ=c sin θ+π3①，ADsinπ3-θ=bsin∠ADC⇔ADsinπ3-θ=bsinθ+π3②，因为bc=4，所以①⋅②得，AD2=bc sinθsinπ3-θsin2π3+θ=8sinθsinπ3-θ1+cos2θ-π3=23sin2θ+2cos2θ-21+cos2θ-π3=4sin2θ+π6-21+cos2θ-π3=4cos2θ-π3-21+cos2θ-π3=4-61+cos2θ-π3，令t=1+cos2θ-π3，θ∈0，π3，由于2θ-π3∈-π3，π3⇒t∈32，2，所以AD2=4-6t，易得此函数在t∈32,2为单调递增函数，所以当t=2⇔θ=π6时，AD最大值为1．【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．24.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC中，已知AB=1，BC=7，D为AC上一点，AD=2DC，AB⊥BD.(1)求BD的长度；(2)若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.【答案】(1)3；(2)27.【分析】(1)设BD=x，CD=y，在△ABD与△CBD中应用余弦定理，结合∠ADB+∠CDB=π可得x2+2y2=5，再由AB⊥BD有1+x2=4y2求出BD.(2)由(1)易知AD为△ABD外接圆的直径，讨论P的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求PB+2PD的最大值.【详解】(1)设BD=x，CD=y，则AD=2y.在△ABD与△CBD中，由余弦定理知：AB2=BD2+AD2-2BD⋅AD⋅cos∠ADB，即x2+4y2-4xy cos∠ADB=1，BC2=BD2+CD2-2BD⋅CD⋅cos∠CDB，即x2+y2-2xy cos∠ADB=7.∵∠ADB+∠CDB=π，∴cos∠ADB+cos∠CDB=0，可得x2+2y2=5.∵AB⊥BD，∴AD2=AB2+BD2，即1+x2=4y2.解得x=3，y=1.∴BD= 3.(2)由(1)知：△ABD中，∠ABD=π2，AD=2，AD为△ABD外接圆的直径.P为△ABD外接圆上任意一点，当P在B点时，PB+2PD=2PD=2 3.当P在D点时，PB+2PD=PB= 3.当P 在优弧BAD 上时，∠BPD =∠BAD =π3，设∠PBD =θ0<θ<2π3 ，则∠PDB =2π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin 2π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin 2π3-θ +4sin θ=2sin 2π3cos θ-cos 2π3sin θ +4sin θ=5sin θ+3cos θ=27sin (θ+φ)tan φ=35,0<φ<π2 ，当θ+φ=π2时，PB +2PD 的最大值为27.当P 在劣弧BD 上时，∠BPD =π-∠BAD =2π3，设∠PBD =θ0<θ<π3 ，则∠PDB =π3-θ.△PBD 中，由正弦定理知PB =2sin π3-θ ，PD =2sin θ.PB +2PD =2sin π3-θ +4sin θ=2sin π3cos θ-cos π3sin θ +4sin θ=3sin θ+3cos θ=23sin θ+π6 .当θ+π6=π2时，PB +2PD 的最大值为2 3.综上，PB +2PD 的最大值为27.【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论P 的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值.25.(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin A sin B +sin C +b sin B b sin A +c sin B=1(1)求角C ；(2)CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =433，△ABC 的面积为23，求c 的值.【答案】(1)C =π3；(2)c =23【分析】(1)先由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb=1，化简整理得a 2+b 2-c 2=ab ，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；(2)先由面积求得ab =8，再由角平分线得AD BD =b a ，结合平面向量得CD =a a +b CA +b a +b CB ，平方整理求得a +b =6，再由(1)中a 2+b 2-c 2=ab 即可求出c 的值.【详解】(1)由正弦定理得a b +c +b 2ba +cb =1，即a b +c+b a +c =1，整理得a a +c +b b +c =a +c b +c ，化简得a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =12，又C ∈0,π ，则C =π3；(2)由面积公式得12ab sin C =12ab ×32=23，解得ab =8，又CD 是∠ACB 的角平分线，则S △ACD S △BCD =12⋅CA ⋅CD ⋅sin π612⋅CB ⋅CD ⋅sin π6=CA CB =AD BD ，即AD BD =b a ，则CD =CA +AD =CA +b a +b AB =CA +b a +b CB -CA =a a +b CA +b a +b CB ，所以CD 2=a a +b CA +b a +b CB 2=a 2a +b 2CA 2+2ab a +b 2CA ⋅CB +b 2a +b2CB 2，即163=a 2b 2a +b 2+2ab a +b 2⋅ab ⋅12+a 2b 2a +b2，整理得163=3a 2b 2a +b2，又ab =8，解得a +b =6，则a 2+b 2=a +b 2-2ab =20，由(1)知c 2=a 2+b 2-ab =20-8=12，则c =2 3.26.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在①2a cos A =b cos C +c cos B ；②tan B +tan C +3=3tan B tan C 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且其面积为32，点G 为△ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且AN =2NB ，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【答案】(1)A =π3(2)16,1312【分析】(1)若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；(2)用AB 、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP ，利用面积公式求出bc =2，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；【详解】(1)解：若选①2a cos A =b cos C +c cos B ，由正弦定理可得2sin A cos A =sin B cos C +sin C cos B =sin B +C即2sin A cos A =sin A ，又sin A >0，所以2cos A =1，即cos A =12，因为A ∈0,π ，所以A =π3；。

2024年高考数学复习大题全题型专练：专题07 解三角形(解析版)

专题7解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A，由（1）得2250b c ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B．(1)若23C ，求B ；(2)求222a b c 的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos 2A B A B 化成 cos sin A B B ，再结合π02B ，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B ，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ，即 1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC ，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0BC ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B ，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB ．当且仅当22cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．3．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ．(1)求sin A 的值；(2)若11b ，求ABC 的面积．【答案】(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab以及4a 可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C 求出面积．(1)由于3cos 5C ，0πC ，则4sin 5C．因为4a ，由正弦定理知4sin A C，则sin 45A C ．(2)因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a ，即26550a a ，解得5a ，而4sin 5C ，11b ，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C．(1)求C ；(2)若6b ，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6 (2)6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.(1)解：因为 0,C ，则sin 0C2sin cos C C C ，可得cos 2C ，因此，6C .(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a，解得a .由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C ，c所以，ABC 的周长为6a b c .5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a S S，则222123S S S a b c 即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则22cos 3B ，1cos 4ac B ，则12sin 28ABC S ac B ；(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C，则229sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C ，则3sin 2b B ，31sin 22b B .6．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B ，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a cb bc a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB m ，15AD m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20 ，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD ，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值.(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD 则AE EH ，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE在直角HED △中，tan 2015tan 20EH DH90250HDF ADE在直角FHD △中，tan 5015tan 50HF ADsin 20sin 5015tan 20tan 5015cos 20cos50EF EH HFsin 2050sin 20cos50cos 20sin 501515cos 20cos50cos 20cos50sin 70151523.3cos 20cos50cos50(2)设ADE ,902HDF ，则15tan AE ，15tan 902FH 115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFD S EF DHV 11515tan 22ADE S AD AE V 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADE DEF S S S22512253tan 4tan 42当且当13tan tan ，即tan 时取得等号，此时15tan 158.73AE即当tan 3 时，梯形AEFD 的面积取得最小值2则此时梯形FEBC 的面积有最大值1530255.142所以当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.148．（2022·全国·模拟预测）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且 sin sin sin 6b a b c A B C S .(1)求角B 的大小；(2)若1a b ，2c b ，求cos A ，cos C 的值.【答案】(1)3(2)17，1114【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由in 12s S ab C ，又 sin sin sin 3sin b a b c A B C ab C ，由0b ，则 sin sin sin 3sin a b c A B C a C .由正弦定理得 3a b c a b c ac ，所以222a c b ac .由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac ，因为0B ，所以3B .(2)因为222a c b ac ，1a b ，2c b ，所以 2221212b b b b b ，解得7b ，所以8a ，5c .所以2222227581cos 2707b c a A bc ，22222287511cos 211214a b c C ab .9．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan S a B ab A B．(1)求角B 的大小；(2)若322AB BC ，，点D 在边AC 上，______，求BD 的长．请在①AD DC ；②DBC DBA ；③BD AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3B (2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得2cos cos cos c B a B b A ，利用正弦定理以及和角关系可得1cos 2B ，进而可求.（2）根据余弦定理可求出AC ，然后在ABD △和在DBC △中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为24cos cos tan S a B ab A B ，所以214sin 2cos cos sin cos ac B a B ab A B B，所以22cos cos cos ac B a B ab A ，即2cos cos cos c B a B b A ．由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A ，所以 2sin cos sin sin C B A B C ．因为 0,πC ，所以sin 0C ，所以1cos 2B．又 0,πB ，所以π3B．(2)若选①．法一：在ABC 中，由余弦定理，得2222233π132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B ，所以ACAD DC 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB ，即2134cos 16BD BD ADB ．在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB ，即2913cos 416BD CDB ．又πADB CDB ，所以cos cos 0ADB CDB ．所以29134248BD ，所以374BD ．法二：因为AD DC ，所以D 为AC 的中点，所以 12BD BA BC ，所以222124BD BA BC BA BC 19337422cos6044216．所以BD BD 若选②．在ABC 中，ABC ABD CBD S S S ，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ，即1311131222222222BD BD ，解得BD 若选③．在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B2233π13222cos 2234 ，所以AC ．因为1sin 2ABC S BA BC B △12ABC S BD AC △，BD 10．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C A B C ，a b ．(1)求角B ；(2)若3a ，7b ，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．【答案】(1)23B (2)1538【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得5c ，再根据BCD △的面积为ABC 面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由cos 2cos tan sin C A B C，有tan sin cos 2cos B C C A ，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B ，故 cos 2cos cos B C A B ，即cos 2cos cos A A B ．因为a b ，所以A 为锐角，cos 0A ，所以1cos 2B ．又因为 0,B ，所以23B ．(2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac ，即2949162c c ，故23400c c ，解得5c 或8c 舍）．故11235sin 223BCD ABC S S △△11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C ．(1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A 【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cos C 用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得1()2AM AB AC ，两边平方化简后可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设BM MC m ，再分别在ABM ，ACM △和ABC 中用余弦定理，结合cos cos 0AMB AMC 可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为22cos c b a C ，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C ，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C ，因为sin 0C ，所以12cos 1,cos 2A A，为0πA ，所以π3A ．解法二：因为22cos c b a C ，由余弦定理得：222222a b c c b a ab，整理得222bc b c a ，即222a b c bc ，又由余弦定理得2222cos a b c bc A所以12cos 1,cos 2A A，因为0πA ，所以π3A ．(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC ，所以222124AM AB AB AC AC ，即22132cos 43c b bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc 即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立所以ABC 的面积为113sin 4222ABC S bc A △即ABC 解法二：设BM MC m ，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB ，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC ，②因为πAMB AMC ，所以cos cos 0AMB AMC 所以①+②式得22262b c m ．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A ，而π3A ，所以2224m b c bc ，④联立③④得：22222212b c b c bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc ，即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A △ABC 12．（2022·北京市第十二中学三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a B A .(1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积.条件①：3a ；条件②：b ；条件③：2cos 3C ；条件④：2c .【答案】(1)6B(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断ABC 不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断ABC 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断ABC 的面积；选①④，直接判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；选②④，利用余弦定理可判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.(1)解：由cos sin a B A 及正弦定理可得sin cos sin A B A B ，A ∵、 0,B ，则sin 0A ，cos 0 B B ，tanB 6B .(2)解：若选①②，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，即210c ，解得 c ，此时，ABC 不唯一；若选①③，已知3a ，6B，21cos 32C ，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A C B C C由正弦定理sin sin b a B A 可得 92sin sin 11a B b A，所以， 9211sin 32211ABC S ab C △；若选①④，已知3a ，6B，2c ，此时ABC 唯一，1322sin ABC S ac B；若选②③，已知b 6B ，21cos 32C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A CBC C 由正弦定理sin sin b c B C 可得sin 410sin 3b C c B ，所以，120385sin 29ABC S bc A △；若选②④，已知b 6B，2c ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，可得240a ，0a ∵，解得a ABC 唯一，1sin2ABC S ac B △若选③④，已知6B ，2c ，231cos 322C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，5sin 3C， 152sin sin sin cos cos sin 666A CBC C ，由正弦定理sin sin b c B C 可得sin sin 5c B b C ，1sin 210ABC S bc A △.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos (cos )sin .232B BC C (1)当π3B，求sin sin C A 的值(2)求B 的最大值.【答案】(1)sin C +sin A =1(2)2π3【解析】【分析】（1）代入π3B ，解得313sin cos 223C C ，对sin sin C A 变形得到1sin sin sin cos 12C A C C ，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以2cos2B ，变形得到sin sin sin C A B ，利用正弦定理得到a c ，利用余弦定理和基本不等式求出B 的最大值.(1)由题意得：ππsin coscos )sin 66C C ，1cos 2C C则π31sin sin sin sin sin cos sin cos 1322C A C C C C C C(2)sin cos cos )sin 22B B C C ，两边同乘以2cos 2B 得：22sin cos cos )2sin cos 222B B B C C ，即 sin 1cos cos )sin C B C B ，整理得：sin sin sin C A B ，由正弦定理得：3a cb ，由余弦定理得： 2222222cos 1226ac b ac a c b b B ac ac ac，因为 22143a c acb ，当且仅当ac 时等号成立，此时21cos 162b B ac ，由于 0,πB ，而cos y x 在 0,π上单调递减，故B 的最大值为2π314．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S ，且c △ABC 的周长．【答案】(1)π3(2)6【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos C 的值，进而求得角C 的值；（2）依据题给条件得到关于a b ，的方程组，求得+a b 的值，进而求得△ABC 的周长．(1)因为222ab a b c ，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab ，又0πC ，所以π3C ；(2)因为△ABC 的面积4S ，且c π3C所以有221sin 212S ab C ab a b ，联立22526ab a b ，则6a b ，所以△ABC 的周长为6a b c 15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C ．(1)求角A 的大小；(2)若2B D D C ，2AD ，且AD 平分BAC ，求ABC 的面积．【答案】(1)60A (2)332【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b ，再利用面积公式求解(1)tan tantan tan tan tan 0tan()1tan tan B C B C B C B C B C故tan A 60A ；(2)设BC 边的高为h ，所以11sin 22ABD S AB AD BAD BD h ，11sin 22ABC S AC AD DAC CD h 又AD 是角平分线，所以BAD DAC所以AB BD AC DC，即2c b ，又ABC ABD ACD S S S ，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ，解得b c ，133sin 6022ABC S bc △．16．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a ，2b ，sin A m ．(1)若ABC 唯一确定，求m 的值；(2)设I 是ABC 的内切圆圆心，r 是ABC 内切圆半径，证明：当21c r 时，IC IA IB ．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若01m ，根据sin A m ，b a ，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC 有两种情况，若1m ，则三角形为直角三角形，ABC 有唯一解.（2）由21c r 可推导出ABC 为直角三角形，故可计算出,,IC IA IB 的值，即得证.(1)设AB 边上的高为c h ，则sin 20c h b A m ．当1m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则c A 为钝角，则c ABC 存在两种情况，不能被唯一确定．当1m 时，ABC 为直角三角形，其中A 为直角顶点，c 可以唯一确定，即ABC 唯一确定，故m 的值为1．(2)当21c r 时，由余弦定理，22223cos 23a b c r r C ab ，故由同角三角函数的关系可得sin C所以ABC 的面积1sin 2S ab C另一方面， 132S a b c r r r3r r ，两边平方可得 213r r r r ，解得r ，21c r ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有222112922IC，IC22211322IA 2IA ；22211322IB ，IB 所以有IC IA IB 成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形ABC 中，2a b ，三角形的面积12S ．(1)若4b ，求 tan A B ；(2)若3sin 5C ，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)25sin 5A ，sin B 或6205sin 205A ，sin B 【解析】【分析】（1）根据面积公式及4b ，得到3sin 4C ，分C 为锐角和C 为钝角时，求出cos C ，进而求出tan C ，求出 tan A B ；（2）由面积公式求出b a ，分C 为锐角和C 为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C 而sin tan()tan(π)tan cos CA B C C C分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C∴tan()A B当C 为钝角时，cos 0cos C Ctan()A B (2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ,因为0b ，所以b a分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C由余弦定理，222cos 366c a b ab C c由正弦定理，10sin sin sin sin sin sin 5a b c A A B C A B ，sin 5B当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C ，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C，sin B 18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知cos sin B b C ．(1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c 22a b 的取值范围．【答案】(1)3C(2)(5,6]【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2）22224sin 4sin 3a b A A，再利用三角函数求值域即可.(1)cos sin B b C及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B Ccos sin B C B C ，所以sin sin cos B C B C ，因为B 、(0,)C ，则sin 0Bsin 0C C，则tan C 3C．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c2sin sin sin a b c A B C ，所以2sin a A ，2sin 2sin()2sin 3b B A C A，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A142cos 2222cos 222c 2cos 2222os 23A A A A A2c 42co os 242sin 246s 2cos 2sin 2A A A A A A，由于23A B ，所以022032A A，解得62A ，所以23A ，52666A ，所以푠� 2�∈12,1，所以2sin 2(1,2]6A ，所以2sin 24(5,6]6A．所以22a b 的取值范围是(5,6]．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在① sin sin sin sin A C a b c B C ，② 2222cos 2a b c a c B a，③ sin cos 6a B C B b这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．(1)求B(2)若b ABC 的平分线交AC 于点D ，且5BD，求ABC 的面积．【答案】(1)=3B【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S △△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：a c abc b c 可得：222a c b ac 根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac 0,,=3B B 选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2abC a c B b C a根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A可得：1cos 2B 0,,=3B B选择条件③：易知：A B C可得：sin cos()6a A B b根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A A B B可得：1sin cos()sin 62B B B B整理可得：tan B 0,,=3B B(2)根据题意，可得：ABC ABD BCDS S S △△△可得：1143143sin sin sin 23256256ac a 整理可得：54a c ac 根据余弦定理，可得：2222cosb ac ac ABC可得：2213=a c ac ，即2()313a c ac 可得：225()482080ac ac 解得：4ac 或5225ac （舍）故1=sin 23ABC S ac △20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos 2B C B C A ．(1)求角A 的大小；(2)若a 2bc 的最大值．【答案】(1)3A (2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A 的方程，结合1cos 1A 可求得cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 2b c B ，结合正弦型函数的有界性可求得2b c 的最大值.(1)解：由已知可得 cos 25cos cos sin sin cos 25cos A B C B C A B C 2cos 25cos 2cos 5cos 13A A A A ，即22cos 5cos 20A A ，0A ∵，则1cos 1A ，解得1cos 2A ，因此，3A .(2)解：由正弦定理可得2sin sin sin b c aBC A，所以， 24sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin 3b c B C B B A B B 4sin sin 5sin B B B B B B，其中为锐角，且tan，因为3A ，则203B ，23B ，所以，当2B 时，即当2B 时，2b c 取得最大值。

高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)

高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。

解三角形之面积和周长的最值问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题03解三角形之面积和周长的最值问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径一、梳理必备知识4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.5.基本不等式（优先用基本不等式）2a b+≤②222a b ab+≥6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理

1 1
tan tan
2 2
1 1
22 22
3， 5
tan( ) tan 1 2 1 1 ， 4 1 tan 1 2 3
11.（2024·江苏卷）已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】 sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2 )
图1
9
图2
图3
4．【2024·全国Ⅱ卷】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
【答案】B
D． 2 5 5
【解析】
2sin 2α cos 2α 1，4sin α cos α 2 cos2 α .
α
0,
2
,
cos
α
0
，
sin α 0, 2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 5
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
.又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
2.（2024·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （
A5 3
B. 2 3
7.（2024·山东卷）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （）

高考数学三角函数与解三角真题训练100题含参考答案

（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间.
89．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
90．已知向量，， .
(1)求函数的最小正周期及取得最大值时对应的的值；
(2)在锐角三角形中，角、、的对边为、、，若，，求三角形面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
A．90°B．60°C．45°D．30°
39．已知函数的部分图像如图所示，将图像上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图像对应的函数解析式为（）
A． B．
C． D．
40．函数在的图象大致为（）
A． B．
C． D．
41．已知，，则的值为
A． B． C． D．
42．已知中，角，，所对的边分别为，，．已知，，的面积，则的外接圆的直径为（）
19．如图，在扇形OAB中，，半径OA=2，在上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设，则四边形MEOF的面积为（）
A． B．
C． D．
20．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，
，，则的值一定等于（）
55．在中，，，，则 ________.
56．在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，，则面积的取值范围为______．
57．用列举法写出 __________.
58．在△ABC中，∠B=75°，∠C=60°，c=1，则最小边的边长为______________________ .

专题9：解三角形中求范围专题训练(解析版)-2021年高考数学必考知识专练(解三角形)

（1）求角A的大小；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2） .
【分析】
（1）由和三角恒等变换可得答案；
所以，则，即 .
由正弦定理可得，
则，，
故的周长 .
因为解得，则，故的周长 .
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得，然后可得角范围，同时再用正弦定理求出边（表示为的函数），从而可求得周长的范围．
【详解】
因为在中，，且的面积为，
所以，即，
由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，所以，
设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
则，即外接圆的半径的最小值是 .
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求解三角形中有关边长、角、面积、外接圆半径、外接圆面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
专题9：解三角形中求范围专题训练（解析版）
一、单选题
1．在中，角，，所对的边分别为，， .已知，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，利用两角差的正弦易得，进而得到，，再根据，转化为，利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
因为A，B为内角，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查由三角形形状求参数范围，考查余弦定理的应用，以及三角函数的性质，属于常考题型.

高三数学复习专题练习题：解三角形（含答案）

⾼三数学复习专题练习题：解三⾓形（含答案）⾼三数学复习专题练习：解三⾓形（含答案）⼀. 填空题（本⼤题共15个⼩题，每⼩题5分，共75分）1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC ⼀定是三⾓形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CBsin sin 的值为 . 3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且⾯积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= . 4.在△ABC 中，BC=2，B=3π，若△ABC 的⾯积为23，则tanC 为 . 5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= . 8.在△ABC 中，若∠C=60°，则c b a ++ac b+= . 9.如图所⽰，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km, 灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 km.10.⼀船⾃西向东匀速航⾏，上午10时到达⼀座灯塔P 的南偏西75°距塔68海⾥的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南⽅向的N 处，则这只船的航⾏速度为海⾥/⼩时. 11. △ABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c=2，b=6，B=120°,则a= .12. 在△ABC 中,⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tanB=3ac ，则⾓B 的值为 . 13. ⼀船向正北航⾏，看见正西⽅向有相距10 海⾥的两个灯塔恰好与它在⼀条直线上，继续航⾏半⼩时后，看见⼀灯塔在船的南偏西600，另⼀灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每⼩时航⾏________ 海⾥.14.在△ABC 中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC 的⾯积为 .15.在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若（3b-c ）cosA=acosC ，则cosA= .（资料由“⼴东考神”上传，如需更多⾼考复习资料，请上 tb ⽹搜“⼴东考神”）⼆、解答题（本⼤题共6个⼩题，共75分）1、已知△ABC 中，三个内⾓A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 的⾯积为S ，且2S=（a+b ）2-c 2，求tanC 的值. （10分）2、在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （11分）（1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2. (12分)（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的⾯积.4、△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. (12分) （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a=3，求bc 的最⼤值；（3）求cb C a --?)30sin(的值.5、已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=． (12分)（1）求边长a 的值；（2）若A S ABC sin 3=?，求A cos 的值．6、在某海岸A 处，发现北偏东 30⽅向，距离A 处）（13+n mile 的B 处有⼀艘⾛私船在A 处北偏西 15的⽅向，距离A 处6n mile 的C 处的缉私船奉命以35n mile/h 的速度追截⾛私船. 此时，⾛私船正以5 n mile/h 的速度从B 处按照北偏东 30⽅向逃窜，问缉私船⾄少经过多长时间可以追上⾛私船，并指出缉私船航⾏⽅向. (12分)ACB3015· ·参考答案：⼀、填空题：1、等腰；2、53；3、45°；4、33；5、60°；6、45°或135°；7、65π；8、1；9、3a ；10、2617；11、2；12、3π或32π；13、10；14、103；15、33。

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解三角形解答题专题训练 2017.121．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ；，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.因为sin 0A ≠，解得（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则ABC ∆的面积若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积综上，ABC ∆的面积为2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5，(Ⅰ) 求角C 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180整理，得01cos 4cos 42=+-C C∵ ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ，故所以的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值. 解：（1得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又sin sin()2sin cos C A B C C =+=，（2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴11ab =，∴4．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值；（2）若2=c ，且ABC ∆的面积为，求b a ,. 解：（1︒<<︒1800C ab b a 3)(72-+=ab=6ABC △又∵是三角形的内角，∴又∵C 是三角形的内角，∴（2，∴4=ab ，又∵C ab b a c cos 2222-+=，∴ab ab b a --+=2)(42，∴4=+b a ，或0=-b a ， ∴2==b a .5．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积．（Ⅱ）当a 2,2sinA sinC ==时，由正弦定理，解得c 4=．由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得 6．已知向量(sin m x =，(cos ,n x =-，且()f x m n =⋅.（1）求()f x 的单调递增区间；（2上有零点，求m 的取值范围.解：（1sin m n x =⋅=B则()f x 的递增区间为（2()g x 有零点，即函数与y m =图像有交点，由图象可得，m 的取值范围为7．如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，（Ⅰ）若 30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若DC BD 2=，且，求DC . 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，根据正弦定理，有又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，∴ 120=∠ADC ， ∴ 3030120180=--=∠C ，∴ 60=∠B . （Ⅱ）设x DC =，则在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=，，得2=x .故2=DC . 8．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1,求b 的取值范围.又cos 0B ≠,又0B π<<,(2)由余弦定理,有2222cos ba c ac B =+-. 又01a <<,9．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 且cos2B+3cosB ﹣1=0．（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的最小值．解：（1）在△ABC 中，∵cos2B+3cosB ﹣1=0， ∴2cos 2B+3cosB ﹣2=0，∴或cosB=﹣2（舍去），∴．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3a 2﹣3a+1，其中0＜a ＜1， ∵f （a ）=3a 2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b ＜1，∴．10．已知ABC ∆中，a ，b，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b ，2c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根. （1）求角A 的大小；（2，设=B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．解：（1）在中，依题意有：，∴2ABC ∆222b c a bc +=+(0)A π∈，∴2sin 2sin b B θ==，11．已知在△ABC 中，（1）若三边长a ，b ，c 依次成等差数列，sinA ：sinB=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若()22BA BC b a c ⋅=--，求cosB ．解：（1）在△ABC 中有sinA ：sinB=3：5， ∴a ：b=3：5，设a=3k ，（k ＞0）则b=5k ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴c=7k ，∴最大角为C ，有cosC=()()()()()2223k 5k 7k 23k 5k +-⋅⋅=﹣，∴C=120° （2）由BA BC ⋅=b 2﹣（a ﹣c ）2 得：accosB=b 2﹣（a ﹣c ）2，即accosB=a 2+c 2﹣2accosB ﹣（a 2+c 2﹣2ac ），∴3cosB=2，∴cosB=． 12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的三边，22()a b c bc --=， (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)，角B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围. 解：(Ⅰ)由22()a b c bc --=，得222a b c bc --=-，又0A π<< ，(Ⅱ13．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围. 解：(1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+∴（2）由（1所以()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]. 14．在△中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若2=b ，求△面积的最大值.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin += 又)(C B A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= 得B B cos sin =，又()π,0∈B ，所以(Ⅱ) ⊿ABC 的面积又ac c a 222≥+.，当且仅当c a =时，等号成立.因此⊿ABC 的面积的最大值为15．如图，在△ABC 中，已知45B ∠=，D 是BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长.解：在△ABC 中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴120ADC ∠=, ∴60ADB ∠= ∴在△ABD 中，∵45B ∠=， 60sin 45AD=， 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2BC 边上的中线AM 长的取值范围．解：（1）由题意，∵对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， ()f A ，当()f x 取得最大值时，A 是三角形的内角，即0A π<<，∴（2）∵AM 是BC 边上的中线， ∴在△ABM ① 在△ACM ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得，∴2236b c <+≤，17．设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，(3n c =-，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 的长为求边a 的值．解：（1）∵0m n ⋅=，∴4分6 （2）由（1，又∵b a =，∴ ，在AMC ∆中，由余弦定理得：解得2x =，即2a =．18．在ABC ∆中， )cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-= 且m ∥n （1）求角B 的大小；（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径．解：（1）因为m ∥n ，所以02=--C b B c a cos cos ）（，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+，（2）由（1）得，又1=b ，ABC ∆中B ac c a b cos 2222-+=得ac c a b -+=222即()2a 31c ac +=+，又因为()ac 4a 2≥+c ．得ac ac 431≥+即1≤ac ．所以当且仅当1==c a 时ABC S ∆最大值为19．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．∴ac a c b a -=-+22222， ∴ac b c a =-+222，∴ac B ac =cos 2，则 ∵),0(π∈B ，∴（Ⅱ）ac c a c a c b a l =-+++=++=1)1(,122知由，∴ac c a 31)(2=-+ ∴4)(2≤+c a ．∴2≤+c a ．又∵1=>+b c a ，∴△ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ． 20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.解：（1（2）在ACD ∆中，由21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，b ＝2．（1）求∠C 和边c ；（2）若BC BM 4=,且点P 为△BMN值．解：（1所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或又因为),0(π∈C ，所以建立坐标系，由（1），由BC BM 4=, ()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x。