钟面角问题

数学实验——钟面角

摘要：“钟面角”是指时针与分针在某一时刻所成的夹角，通常情况下特指︒-︒1800的那个角.日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而随着电子表的流行，我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角问题可能并没有在意.其实钟面角中蕴含着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧. 关键字：钟面角公式 求法 追及问题

一、与钟面有关的知识

我们通常把研究时钟上时针与分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢、时钟的周期、时钟上时针与分针所成的角度等等，这里我们重点探究“钟面角”问题.

要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律.

（1）钟表的表面特点：大多数的钟表表面是一个圆，共有12格，每个大格间又有5个小格.圆形的表面恰好对应着一个360°的周角，每个大格对应30°角，而每个小格对应6°角.时钟表面一般有时针、分针、秒针三根指针.

（2）钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每12小时转1周，每小时转1大格，每 12分钟转1小格；分针每小时转1周，每5分钟转1大格，每1分钟转1小格；秒针每1分钟转1周，每5秒转1大格，每1秒转1小格.

(3)时针、分针、秒针的转速：①时针的转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒；③秒针的转速为 ：6°/秒.

二、建立求“钟面角”的数学模型

1.计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的度数

（1）公式法：指针转过的度数=指针转动的时间⨯指针的速度；

（2）观察法：从某一时刻指针转过了a 大格b 小格，则指针转过的度数为：︒+)630(b a . 例1.从2点10分到2点20分，时针转过_____度，分针转过_____度？

分析：从2点10分到2点20分，经过的时间为10分钟.用公式法：时针转过的角度为：10⨯0.5°=5°，分针转过的角度为：10⨯6°=60°.

或用观察法：时针转过格数不易观察，可知分针转过了10小格，分针转过的角度为：10⨯6°=60°.

2.计算某一时刻时针与分针之间的夹角（钟面角）

为了研究“m 时n 分”（指用12时计时法）时针与分针所成的角，不妨规定：“m 时n 分”时针所转动的角度，是指时针从“0时到m 时n 分”所转动的角度，为：

n m n m ︒+︒=︒⨯+5.0305.0)60(，

且有︒<︒+︒≤︒3605.0300n m ；“m 时n 分”分针所转动的角度，是指分针从“m 时到m 时n 分”所转动的角度，为：n ︒6，且有︒<︒≤︒36060n .所求的“钟面角”是指不超过180°的角，则时针与分针的夹角α)1800(︒≤≤︒α为：

① 当︒≤︒-︒+︒18065.030n n m 时，则n n m ︒-︒+︒=65.030α；

② 当︒>︒-︒+︒18065.030n n m 时，则n n m ︒-︒+︒-︒=65.030360α.

钟面角（m 时n 分）的几种求法：

例2.分别求：（1）2点10分 （2）2点20分 （3）2点45分时钟面角的度数.

方法一：运用钟面角公式：

解：（1）2点10分时，10,2==n m ，︒≤︒=⨯︒-⨯︒+⨯︒=1805106105.0230α，故钟面角为

（2）2点20分时，20,2==n m ，︒≤︒=⨯︒-⨯︒+⨯︒=180********.0230α，故钟面角为50°.

（3）2点45分时，45,2==n m ，︒>︒=⨯︒-⨯︒+⨯︒=1805.187456455.0230α，故钟面角为︒=︒-︒5.1725.187360.

方法二：观察法：

解：（1）2点10分时（图1），分针指向整时点2，此时时针与分针的夹角度数，即为时针从2点整到2点10分转过的度数，为：10⨯0.5°=5°，故钟面角为5°.

（2）2点20分时（图2），此时时针与分针间隔1个大格和若干个小格.可知1大格为30°，若干小格的度数=1大格度数—时针从2点整到2点20分转过的度数，即为：︒=⨯︒-︒20205.030，故钟面角的度数为：︒=︒+︒502030.

（3）2点45分时（图3），此时时针与分针间隔6个大格和若干个小格.可知1大格为30°，若干小格的度数=1大格度数—时针从2点整到2点45分转过的度数，即为：︒=⨯︒-︒5.7455.030，夹角度数为：︒>︒=︒+⨯︒1805.1875.7630，故钟面角为︒=︒-︒5.1725.187360.

3.求时针、分针成特殊角时所对应的时间

时钟问题可以看作是一个特殊的圆形轨道上2个人的同向而行的追及问题，不过这里的2个“人”分别是时钟的分针和时针.

方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以整点时为基准将时针、分针所转过的角度看成一个追及问题，从而借助方程进行求解.

等量关系：整点后分针转过的角度—整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+m 时n 分分针与时针的夹角（分针应多转的角度）.

例3.你能利用一元一次方程解决下列问题吗？

在3时和4时之间的哪一个时刻，时钟的时针与分针：（1）重合；（2）成直角；（3）成平角.

分析一：不妨设“这个时刻”为“3时n 分”，当3时的时候，时针与分针的夹角为︒=⨯︒90330.利用方程中追及问题的思想，可知：（1）如图4，当3时n 分“时针与分针”重合，即“分针追上了时针”，实质上是在相同的时间n 分钟内，分针比时针多走了90°.等量关系：分针n 分钟转过的角度—时针n 分钟转过的角度=90°.

（2）如图5，当3时n 分“时针与分针”成直角时，分针在n 分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了90°，所以等量关系为：分针n 分钟转过的角度—时针n 分钟转过的角度=︒=︒+︒1809090.

（3）如图6，当3时n 分“时针与分针”成平角时，分针在n 分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了180°，所以等量关系为：分针n 分钟转过的角度—时针n 分钟转过的角度=︒=︒+︒27018090.

可知n 分钟分针转过n ︒6，时针转过n ︒5.0，解决例3问题.

图1

图2

图3