初中数学竞赛辅导讲义：几何的定值与最值

初中数学竞赛辅导讲义：几何的定值与最值

几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明．

几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法；

2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为．

1AB一常思路点拨如图,作CC′⊥AB于C,DD′⊥AB于D′,DQ⊥CC′,CD2=DQ2+CQ2,DQ=

2

数,当CQ越小,CD越小,本例也可设AP=x,则PB=x

10,从代数角度探求CD的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等；

(2)端点处、临界位置等．

【例2】如图,圆的半径等于正三角形ABC的高,此圆在沿底边AB滚动,切点为T,圆交AC、

⌒

BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN为的度数（）

A．从30°到60°变动B．从60°到90°变动

C．保持30°不变D．保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断．

注：几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值．

【例3】 如图,已知平行四边形ABCD,AB=a ,BC=b (a >b ),P 为AB 边上的一动点, 直线DP 交CB 的延长线于Q,求AP+BQ 的最小值．

思路点拨 设AP=x ,把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示,运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当

b a =时取等号)来求最小值．

【例4】 如图,已知等边△ABC 内接于圆,在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M,设直线AC 与BM 相交于K,直线CB 与AM 相交于点N,证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值,在图形中△ABC 的边长是一个定值,说明AK ·BN 与AB 有关,从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边,作一个大胆的猜想,AK ·BN=AB 2,从而我们的证明目标更加明确．

⌒

注：只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题．

【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值．

思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=x,CZ=y,建立x,y的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值．

注：数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：

(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值；

(2)构造二次函数求几何最值．

学力训练

1．如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合）,分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为,最小值为．

2．如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR 的周长的最小值为．

3．如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P 在直线MN上运动,则PB

PA 的最大值等于．

4．如图,A 点是半圆上一个三等分点,B 点是弧AN 的中点,P 点是直径MN 上一动点,⊙O 的半径为1,则AP+BP 的最小值为( ) A ．1 B ．

2

2

C ．2

D ．13-

5．如图,圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形,动点P 从A 点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )

A ．212π+

B ．2412π+

C ．214π+

D ．242π+

6．如图、已知矩形ABCD,R,P 户分别是DC 、BC 上的点,E,F 分别是AP 、RP 的中点,当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时,那么下列结论成立的是( ) A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小

C ．线段EF 的长不改变

D ．线段EF 的长不能确定

7．如图,点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合),分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE,AE 与CD 相交于点M,BD 与CE 相交于点N ． (1)求证：MN ∥AB ；

(2)若AB 的长为l0cm,当点C 在线段AB 上移动时,是否存在这样的一点C,使线段MN 的长度