第3讲特殊三角形专题复习

特殊三角形专题复习

【构造等腰三角形解题的常见途径】 一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．

例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交 BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．

例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．

例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．

求证：EF ∥AB ．

C

A

B

E D

O

图3

图4

F C

D E

B A 图2

F B

A

C

P

E

图1

① A

D C B

E

②

E

C B

D A

B A

C D E ③

④

A

B

F

C

D E

G

二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．

例4 如图6，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．

三、利用转化倍角，构造等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC ＝2∠C ，如果延长线CB 到D ，使BD ＝BA ，连结AD ，则△ADC 是等腰三角形；如图7③中，若∠B ＝2∠ACB ，如果以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作∠ACD ＝∠ACB ，交BA 的延长线于点D ，则△DBC 是等腰三角形．

例5 如图8，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．

四、模拟画图

例6 已知在如图1的△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC 分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）．

E

图5

A

B C

D 图6 B

F D

C

A

图7

B C D

A

① ② B

C D

A

③

B

C

D

A

图8

C

B

A

【学力训练】

一、基础夯实

1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）

A．6

5

B．

9

5

C．

12

5

D．

16

5

(第1题) (第2题) (第3题)

2．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，•沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是______．

3．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2008的位置，则点P2008的横坐标为_______．

4．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，•再将其中的一个按同样的方

法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：

所剪次数 1 2 3 4 …n

正三角形个数 4 7 10 13 …a

n

则a n

=_____________________________（用含n的代数式表示）．

5．如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为53，求AD的长．

6．已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。求证：∠DBC=

2

1

∠A．

A

B C

D

A B

C

D

M

P

C

B

A 二、提高训练：

7．若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：

① 以a 2

，b 2

，c 2

的长为边的三条线段能组成一个三角形 ② 以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形 ③ 以a + b ，c + h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形

④ 以a 1，b

1

，c 1的长为边的三条线段能组成直角三角形

其中所有正确结论的序号为 ．

8．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC ，以BP 为边作等边三角形BPM ，连结CM . （1）观察并猜想AP 与CM 之间的大小关系，并说明你的结论； （2）若PA =PB =PC ，则△PMC 是________ 三角形；

（3）若PA :PB :PC =1:2:3，试判断△PMC 的形状，并说明理由.

9．（2008杭州）如图，在等腰A B C △中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接A P 交BC 于点E ，连接B P 交AC 于点F ．

（1）证明：C A E C B F =∠∠； （2）证明：A E B F =；

（3）以线段A E B F ，和A B 为边构成一个新的三角形A B G （点E 与点F 重合于点G ），记A B C △和ABG △的面积分别为ABC S △和ABG S △，如果存在点P ，能使得ABC ABG S S =△△，求C ∠的取值范围．

（第9题）

A

B

C

F

E

P

H