在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题

在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.

定义1 设n 元函数12()(,,)n f X f x x x = 在12(,,,)T n n X x x x R =∈ 的某个邻

域内有一阶、二阶连续偏导数。 记

12()()()(),,,n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭ , ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,,)T n X x x x = 处的梯度.

定义3 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.

定义4

222211212222212()()()()()()

()()n i j n n n n n f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂

⎪⎛⎫∂ ⎪== ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 称为函数12()(,,)n f X f x x x = 在点n X R ∈处的黑塞矩阵。显然()H X 是由

()f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.

定理8(极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点

000012(,,,)T n X x x x = 处存在一阶偏导数，且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=.

定理9(极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且000012()()()(),,,0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭

则 : (1)当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值;

(2)当

0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值; (3)当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值。

应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

例3 求三元函数

222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解 先求驻点，由

220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=

所以驻点为0(1,1,1)P

--. 再求(Hessian)黑塞矩阵

因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,

所以

200040006H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.

当然，此题也可用初等方法

222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值6-，结果一样.

4.2投入产出的矩阵理论 投入产出分析对于生产生活中有着非常广泛和重要的作用，它是利用数学理论和计算机技术来对经济活动中生产部门和消费部门之间的相互关系进行研究的,尤其是研究和分析各部门在产品生产和消费之间的数量关系。在利用矩阵理论研究投入产出经济问题的过程中,通常地会把所讨论的某一个经济系统反映在一张平衡表中(我们称之为投入产出表),并通过建立数学模型把这种关系用数学关系式表示出来。我们可以从它们特有的数学模型看出来,这种模型是研究某一经济系统中各部门之间“投入”和“产出”关系的一种线性模型。能够反映一个系统中各部门之间数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程统被我们称之为投入产出模型。投入产出模型按其内在结构可分为两类:一是闭模型;另一个是开模型。

一、投入产出分析的闭模型

这类模型计量全部产出都被当作生产中的所有投入而消耗的情况。它可以反映整个生产系统的投入产出结构。

例1.有三个农户张、王、李，各有所长,商定通过转工来实行联合经营。张要把劳动时间的20%用在自家，40%用在王家，40%用在李家；王要把劳动时间的10%用在张家，50%用在自家，40%用在李家；李要把劳动时间的60%用在张家，10%用在李家，30%用在自家。一年后，需要计算每户应得多少劳动报酬(包括在自家的劳动报酬)，以使每个人的劳动报酬与此其所做的工作量相当。

分析：将上述张、王、李的劳动时间分配情况排列成一个数表，即33⨯矩阵

张王 李

在张家做工所占比例0.2 0.1 0.6

在王家做工所占比例0.4 0.5 0.1

在李家做工所占比例0.4 0.4 0.3

以123x x x 、、分别表示张、王、李应得的劳动报酬。为公平合理，就要求每户付出的总量与所得到的总量相等，因此，得到如下等量关系：内部消耗=总产出。

于是有：

1123 0.2 0.1 0.6 x x x x =++

2123 0.4 0.5 0.1 x x x x =++

3123 0.4 0.4 0.3 x x x x =++

解：设123x x x 、、分别表示张、王、李应得的劳动报酬

则上述方程组用矩阵表示为

1122330.20.10.60.40.50.10.40.40.3x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

若记A 为系数矩阵(直接消耗矩阵),X 为张、王、李产出

的列向量，则AX 为用于内部消耗所需在张、王、李家的投入

量。于是，上述矩阵方程可表示为

X AX =

化简得() 0E A X -=(1)