数学建模中优化模型之运输问题详解
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
大学竞赛数学建模钢管订购和运输优化模型
1）将图1转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图. 所以可先求出钢厂 Si
到铁路与公路相交点 b j 的最短路径.如图3
30
290
320 160 160 1200 690 720 1100 202 20 1150 306 450 80 195 462 520 690 170 88 70 70
5.假设钢管在铁路运输路程超过1000km,铁路每增加1 至100km,1单位钢管运输的运价增至5万元.
6.订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量
二.基本假设
7.销售价和运输价不受市场价格变化的影响
三. 符号说明
第 第 个钢厂, 个钢厂的最大产量， 个点，
输送天然气的主管道上的第 第 钢厂 在点
86
333
621
165
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
比较好的方法：引入0-1变量
fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量 yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量
0.1 15 Min Aij xij [(1 y j ) y j (1 z j ) z j ] i, j 2 j 1 s.t. 500 f i xij si f i ,
非线性规划模型可用LINGO软件包或MATLAB软件包来求解，但这些软件包不能 直接处理约束条件：
可用分支定界法将此条件改为 模型变为
1）不让钢厂S7生产，模型变为:
计算结果： f1 1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件） 2）要求钢厂S7 产量不小于500个单位，模型变为:
数学建模在物流系统中的应用与优化
数学建模在物流系统中的应用与优化随着全球经济的快速发展，物流行业成为国家经济发力点之一。
在物流系统中，如何实现高效的运输和配送，提高物流效率，成为了一个重要的问题。
数学建模作为一种重要的工具，在物流系统中发挥着重要的作用。
本文将探讨数学建模在物流系统中的应用与优化，旨在寻找提高物流效率的方法。
一、运输路径优化物流系统中的一个重要问题是如何找到最优的运输路径，以最小化运输成本和时间。
在解决这个问题时，数学建模可以帮助确定最佳路径和运输策略。
首先，需要考虑到不同的因素，如运输距离、道路状况、货物量等。
这些因素可以被表示为数学模型，通过对不同因素的权衡和优化，可以得到最佳的运输路径。
其次，可以采用图论的方法来建立运输网络模型。
在这个模型中，节点可以表示不同的货物来源地或目的地，边表示不同的运输路径。
通过对图论模型的分析和求解，可以找到最短路径或最优路径。
最后，可以使用优化算法，如线性规划、整数规划等，对运输路径进行优化。
通过设定目标函数和约束条件，可以找到最佳的运输路径，并最大化物流系统的效益。
二、库存管理优化物流系统中的另一个重要问题是如何优化库存管理，以确保货物的正常供应并减少库存成本。
数学建模可以帮助分析和优化库存管理策略。
首先，可以使用随机过程模型来描述货物的需求情况。
通过对历史需求数据的分析，可以建立概率模型，预测未来的需求情况。
基于这个模型，可以制定合理的库存水平，以满足需求但不过度储备。
其次，可以采用优化模型来决定采购和补货的时机和数量。
通过考虑供应商的交货时间、库存成本和销售需求等因素，可以建立数学模型，并使用优化算法来求解最优的采购和补货策略。
最后，数学建模还可以帮助优化仓库布局和货物存储策略。
通过建立物流网络模型和空间优化模型，可以确定最佳仓库位置和货物存储方案，以最大化物流效率。
三、交通流量优化在物流系统中，交通流量的优化对于减少拥堵和提高运输效率至关重要。
数学建模可以帮助分析和优化交通流量。
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
专题二运输规划问题建模
27
销地 产地 A1 A2 A3 销量 销地 产地 A1 A2
目标函数表示运输总费用，要求其极小化； 第一个约束条件的意义是由各产地运往某一销地的物品数 量之和等于该销地的销量；
第二个约束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和 等于该产地的产量；
第三个约束条件表示变量的非负条件。
5
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机， 日生产能力分别是：50，60，50，供应四个 门市部，日销售量分别是：40，40，60，20 台，从各分厂运往个门市部的运费如表所示， 试安排一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
6
供求平衡的运输问题：供：50+60+50=160
需：40+40+60+20=160
数学模型
min z
i1
3
4
j1
c ij x ij
1 3 1 7 2
2 11 9 4 6
3 3 2 10 5
4 10 8 5 7
供应 7 4 9
25
（2）最优解的判别 判别的方法是计算非基变量即空格的检验数。当所有的非基 变量检验数全都大于等于 0 时为最优解。 ① 方法一：闭回路法
在给出调运方案的计算表上，从每一空格出发， 找一条闭回路。 它是以空格为起点，用水平线或垂直线向前划， 每碰到一数字格就转 90 度后继续前进。直到回到 起始空格处为止，(A1 , B1) 空格与(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1) 三个有数字的格构成一闭回路，如 此等等。 每个空格都存在唯一的闭回路。
全国大学生数学建模竞赛——运输问题(参考答案)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
数学建模的船队运输最优化问题
天，第5型船每个航次需增加减载时间4天。假设各型船的年度闲置费用均为购船
当时船价的3%。假设各型船年度营运时间为350天。
查阅相关资料，补充必要计算数据，参考教材中数学模型，以追求2012年船
队总费用支出最小为目标，制订该船队的年度货运航线配船计划。求2012年完成
各条航线预测运量的最佳航线配船方案及相应的船队总费用支出额。
现有船型技术参数及数量船型编号载重吨数量艘净吨位万元船速kn燃料油消耗170001060008000131823000158000110001352432000201104615000139261507016000133118766200001444023452220001353621表2航线参数航线编号挂靠港口运量万吨航线编号挂靠港口运量万吨秦皇岛宁波1000天津广州500秦皇岛广州800青岛宁波542天津宁波700连云港广州600表3港口装卸效率秦皇岛港天津港青岛港连云港宁波港广州港最大装船效率850080008000300080008300最大卸船效率660060006000300060006300注
a62 A62 a63 A63 a64 A64
a65 A65
a66 A66
小写字母代表船数 大写代表船次
各种船往返一次所用的时间
D=2+M/p+M/q+2S/V/24 M：载重量 p：装货率 q：卸货率
S：航线长度 V：船速 2：港口为停靠时间 24：一天 24 小时
1
2
3
4
5
6
秦皇岛-宁 波
11.372
船型编号 载重(吨) 数量(艘)
表1 现有船型技术参数及数量
燃料油消耗 柴油消耗率 船员定编
净吨位 船价 (万元) 船速(kn)
运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
数学建模大赛-货物运输问题
货物配送问题【摘要】本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。
我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。
针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。
第一方面是对车次安排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。
第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时最少、费用最少的方案。
耗时为40.5007小时，费用为4685.6元。
针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。
耗时为26.063小时，费用为4374.4元。
针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。
我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。
题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。
然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨，则用6吨货车运输，若在7~8吨用8吨货车运输。
最后得出耗时最少、费用最省的方案。
耗时为19.6844小时，费用为4403.2。
一、问题重述某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路(如图１)。
货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
数学建模运输优化模型
2012年数学建模培训第二次测试论文题目运输优化模型姓名马鹏系（院）数学系专业信息与计算科学、应用数学2012 年8 月27 日运输优化模型[摘要]在社会的经济生产活动中，产地（厂家）与客户都会想方设法合理调拨资源、降低运输费用，实现利益最大化，完成资源优化配置。
本文在运输费单价恒定，各产地发量一定，各客户的需求量也一定的条件下，努力解决多个特定目标实现问题。
力求最优的运输方案。
在确定问题为不平衡的运输问题时，先虚设一个产地，将问题装华为平衡运输问题，将问题转化为目标规划问题，按照目标规划问题的建模思想逐步建立模型。
本文的主要特点在于，将不平衡的线性规划问题合理地转化为目标规划问题，在求解时充分利用LINGO软件求解。
关键词： lingo 目标规划线性规划运输优化问题运费最少一．问题重述运输功能是整个现代物流七大基本功能之一，占有很重要的地位，运输成本在整个物流系统中所占的比重也很大，运输成本的有效控制对物流总成本的节约具有举足轻重的作用。
通过物流流程的改善能降低物流成本，能给企业带来难以预料的效益，影响运输成本的因素是多样化、综合性的，这就要求对运输成本的分析要采用系统的观点，进行综合分析。
由于影响物流运输成本的因素很多，控制措施既涉及运输环节本身，也涉及供应链的整个物流流程。
要想降低物流运输成本，就必须运用系统的观点和方法，进行综合分析，发现问题，解决问题，使物流运输活动更加优化、物流运输成本更加合理化。
本文已知把一种产品从产地一、二运到客户1、2、3处,产地的发量、客户的收量及各产地到各客户的运输单价已知。
本文要解决问题是：客户1为重要部门，必须全部满足需求量；满足客户2、3至少75%的的需求量；使总运费尽量少；从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。
二．问题分析根据题目中所给出的条件知：有现成的两个产地和需要产品的三个客户。
且两个产地的产量不同，运送到各个客户的运费单价不同。
三个客户所需的货物量不同。
数学建模运输问题
数学建模运输问题1. 引言运输问题是数学建模中的经典问题之一，其目的是优化物流调度和资源利用，以降低运输成本和提高运输效率。
在这篇文档中，我们将介绍运输问题的定义、常见的建模方法以及求解运输问题的优化算法。
2. 运输问题的定义运输问题的一般形式是在给定的供应地和需求地之间，通过运输网络将一种货物从供应地运送到需求地，以满足一定的需求量。
运输问题的主要目标是确定如何分配供应地的货物到需求地，并最小化总的运输成本。
运输问题通常基于以下几个假设进行建模：•每个供应地和需求地之间的运输成本是已知的。
•每个供应地和需求地的供应量和需求量是已知的。
•货物在运输过程中没有损耗或浪费。
•每个供应地的供应量等于通过该供应地输出的货物总量。
•每个需求地的需求量等于通过该需求地输入的货物总量。
基于以上假设，我们可以将运输问题抽象为一个线性规划问题，通过求解线性规划问题的最优解，得到最佳的货物分配方案。
3. 运输问题的建模方法运输问题的建模方法可以分为两种：3.1 列生成法列生成法是一种迭代求解运输问题的方法，它从一个初始解开始，逐步地添加新的变量（列）来改善当前解，并最终得到最优解。
具体步骤如下：1.初始化一个基本可行解，即满足供应量和需求量约束的初始解。
2.利用这个基本可行解计算每个可能的新变量的代价，即将某个供应地与某个需求地之间的货物分配量作为新的变量。
3.找到一个具有最小代价的新变量，并将它添加到当前解中。
如果不存在新的变量可以添加，那么当前解就是最优解，算法终止。
4.更新当前解，重新计算供应量和需求量，并返回第2步。
列生成法通过逐步添加新的变量来改善当前解，从而降低运输成本，并且由于每次只添加一个变量，可以减少计算的时间复杂度。
3.2 转运算法转运算法是一种常用的直接求解运输问题的方法，它将运输问题转化为一个线性规划问题，并通过求解线性规划问题的最优解得到最佳的货物分配方案。
具体步骤如下：1.定义决策变量，即每个供应地与需求地之间的货物分配量。
数学建模货运列车编组运输问题
数学建模货运列车编组运输问题数学建模是一门将实际问题抽象化并运用数学方法解决的学科。
货运列车编组运输问题是在实际生产与运输中常遇到的一个问题，即如何合理编组货运列车，以达到效率最大化、成本最小化的目标。
本文将针对这个问题进行深入探讨，并给出一种解决方案。
首先，我们来分析货运列车编组运输问题的背景和影响因素。
货运列车作为运输货物的一种重要方式，具有运载量大、运输成本低的优势。
然而，由于货物种类和数量的不同，以及货物间的相互关系，如何合理编组列车、安排运输路线，成为一个关键问题。
合理的编组方案可以提高运输效率，减少运输成本，提高生产力。
其次，我们来了解一下数学建模在解决货运列车编组运输问题中的应用。
数学建模是通过建立合理的数学模型，运用数学方法来解决实际问题的过程。
在货运列车编组运输问题中，数学建模可以帮助我们确定合适的编组方案。
具体来说，我们可以将问题抽象为一个数学模型，考虑列车的运载限制、货物的属性、运输距离、运输成本等因素，并通过数学方法求解最优解。
接下来，我们来介绍一种常用的数学建模方法——线性规划。
线性规划是一种数学优化方法，用于求解一类特殊的最优化问题。
在货运列车编组运输问题中，我们可以将其建模为一个线性规划问题。
具体来说，我们可以定义目标函数和约束条件，通过线性规划求解器求解最优解。
目标函数可以是最小化运输成本或最大化运输效率，约束条件包括列车的运载限制、货物的属性等。
通过求解线性规划问题，我们可以得到一个最优的编组方案。
除了线性规划，还有其他一些数学建模方法可以用于解决货运列车编组运输问题，如整数规划、动态规划、遗传算法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题的性质选择适合的方法。
然后，我们来讨论一些与货运列车编组运输问题相关的实际案例。
以某货运公司为例，他们需要编组一列货运列车，按照一定的编组规则将货物装载到不同的车厢中，以便快速、高效地运输货物。
该公司采用了数学建模的方法，通过线性规划求解器得到了一个最优的编组方案。
数学建模模版之运输问题资料
ui
vj
cij , (i,
j
)
J
，并将其填于格
N
子(i,j)的左下角(基变量格子不填)
最优判别： 如表中各非基格子(i,j)左下角全小于等于零， 则当前解为最优。
例. 由最小元素法求得的可行调运方案为：
B1 B2 B3 B4 B5 ui
A1
7 -8
A2
5 0
10 8 6 4 0
-7 -7
20 20
2.(TP)的特征
k
记 ek (0,,0,1, 0,,0)T Enm , (TP)的系数矩阵：
A (Pij ) E(nm)nm
① Pij=ei+em+j,rank(A)=m+n-1,从而A不是行满秩的，且A的任 何m+n-1行线性无关，故(TP)的基解中有n+m-1个基变量；
② (TP)恒有可行解和最优解
作业：2.14 ①用最小元素法产生初始调运方案
②用伏格尔法产生初始调运方案
2.6.3 产销不平衡TP问题的平衡转换
m
n
1. 供过于求： ai bj
i 1
j 1
①原始数学模型：
mn
min z
cij xij
i1 j 1
n
s.t. xij ai ,i 1,2,, m j 1
m
xij bj , j 1,2,, n
6
6
4
(2) 用伏格尔法产生初始调运方案
|
|
B1 B2 B3 产量 行差额
|
A1
5★ 1★ 8 2 10
12 2 4 4√ 5√
A2
2★ 4 3
0★
14 11
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载
数学建模案例分析--最优化方法建模3分派与装载在物流运输中，分派与装载是一项重要的任务，旨在最大化运输效益并降低成本。
在这个案例分析中，我们将使用最优化方法来解决一个分派与装载的问题。
问题描述：一家货运公司负责将货物从一处仓库运输到多个目的地。
仓库具有不同类型的货物，每个目的地需要不同类型的货物，并且每个货物具有不同的重量和体积。
公司有多辆不同载重和容量的卡车可供选择。
目标是通过合理地分派和装载货物，使得每辆卡车的装载量最大，并且所有货物都被及时运送到目的地。
数据收集与整理：1.仓库中可用货物的类型和数量。
2.每个目的地所需货物的类型和数量。
3.每种货物的重量和体积。
4.每辆卡车的载重和容量。
问题思路及数学建模：1.首先，我们将定义一些决策变量，包括每辆卡车所装载的每种货物的数量。
令x[i,j]表示第i辆卡车所装载的第j种货物的数量（i=1,2,...,m，j=1,2,...,n，其中m为卡车数量，n为货物类型数量）。
2. 其次，我们需要定义一些约束条件，确保每辆卡车所装载的货物不超过其载重和容量。
例如，对于每辆卡车i，其载重约束可表示为∑(j=1 to n) (x[i,j] * weight[j]) ≤ max_weight[i]，其中weight[j]表示第j种货物的重量，max_weight[i]表示第i辆卡车的最大载重量。
3. 我们还应该确保每个目的地所需货物的数量都能够得到满足。
例如，对于每个目的地k，其需求约束可表示为∑(i=1 to m) x[i,k] = demand[k]，其中demand[k]表示目的地k所需货物的数量。
4. 最后，我们需要定义一个目标函数，以最大化卡车的装载量。
例如，目标函数可定义为maximize ∑(i=1 to m) ∑(j=1 to n) x[i,j]。
5.将上述决策变量、约束条件和目标函数整合在一起，形成一个数学模型。
最后，我们可以使用最优化方法，如线性规划或整数规划，来求解这个数学模型，并得到最优的分派与装载方案。
数学建模大赛-货物运输问题
数学建模大赛-货物运输问题问题重述：某港口需要将三种原材料A、B、C分别运往8个公司，运输车有三种型号：4吨、6吨、8吨。
每辆车有固定成本，每次出车也有固定成本。
运输车平均速度为60公里／小时，每日工作不超过8小时。
设计一个方案，使得耗时最少、费用最省。
方案设计：针对问题一，我们首先考虑最小化运输次数，然后根据卸载顺序和载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型。
我们采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案，并将方案分为两步：第一步是使每个车次满载并运往同一个公司；第二步是采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。
最后得出耗时为40.5007小时，费用为4685.6元的方案。
针对问题二，我们加上两个定理及其推论，设计的数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。
我们采用与问题一相同的算法，得出耗时为26.063小时，费用为4374.4元的方案。
针对问题三的第一小问，我们排除了4吨货车的使用，并仍旧采用顺时针送货(①~④公司)和逆时针送货(⑤~⑧公司)的方案。
最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，分为三步：第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。
最后得出耗时为19.6844小时，费用为4403.2元的方案。
建立模型时，需要注意以下几个问题：目标层：在建立模型时，如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，会导致模型中变量过多，不易求解。
因此，可以将目标转化为两个阶段的求解过程。
第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。
约束层：1)运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，需要考虑不同方向时的载重用；(2)大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；(3)每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；(4)满足各公司当日需求。
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3
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1 14
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4
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6
5 3
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单位费用变化：5＋8－6－2＝5
4 3
14
7 27
6 19
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闭回路法(3)
1
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单位费用变化：3＋10＋8－6－2－6＝7
闭回路法(4)
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单位费用变化：7＋10－6－2＝9
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闭回路法(5)
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－11
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12
13
单位费用变化：2+5－8－10＝－11
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
运输问题网络图
供应地
运价
6
s1=14 1 7
5 3
供
8
应 量
s2=27 2
4 2
7
5
9
s3=19 3 10
6
需求地 1 d1=22
2 d2=13
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(10＋6)＝－11
4
3 u1=-4
7
7
9 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(13)
1
2
3
6
7
5
1
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9
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-3
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：9－(6＋6)＝－3
4
3 u1=-4
7
7
9 u2=-2
6
13 u3=6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(11)
1
2
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7
5
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5
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2
2
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5 3
9
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6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：7－(0＋(－2)＝9
4
3 u1=-4
7
7
9 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(12)
1
2
3
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7
5
1
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5
5
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4
2
2
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6
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10
6
v1=10
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
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8
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6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
v3=4
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(8)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
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6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：7－(6＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(9)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
min z =
xij 0
m i 1
c x n
j1 ij ij
s.t.
m i 1
xij
ai ,
j 1,2,, n
x n j1 ij
bi ,
i
1,2,, m
运输问题的表格表示——运输表
需求地 供应地
1
2
3
需求量
1
6
x11
8
x21
5
x31
22
2
3
7
x12
4
x22
9
x32
13
5
x13
2
x23
v4=0
对偶变量法(2)
1
2
6
7
1
14
8
4
2
8
13
5
9
3
v1
v2
u3+v4=c34 u3=6
3 5
2
6
10
6
v3
4 3
u1
7 u2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(3)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1
v2
u3+v3=c33 v3=4
v3=4
4 3
u1
7 u2
6
13 u3=6
需
求
量
3 d3=12
4 d4=13
运输问题线性规划模型
min z 6x11 7x12 5x13 3x14 8x 21 4x 22 2x 23 7x 24 5x 31 9x 32 10x 33 6x 34
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x 21 x 22 x 23 x 24
3
13 14 1 0
8
2
2
4
2
7
13
12
27 15 2 0
5
9
10
3
19
6
19 0
22
13
12
13
3 2
0
0
0
0
空格改进指数计算—闭回路法(1)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
22
13
12
单位费用变化：7＋8－6－4＝5
4 3
ห้องสมุดไป่ตู้14
7 27
6 19
13
13
闭回路法(2)
1
x31 x32 x33 x34
27 地 约
19 束
x11
x21
x31
x12
x 22
x32
x13
x 23
x33
x14
x 24
x34
22
需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x32 x33 x 34
0
一般情形：有m 各供应地，n个 需求地，则有
闭回路法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5
9
10
3
－11
－3
6
22
13
12
单位费用变化：2+9－4－10＝－3
4
3
7 14
7
9 27
6 19
13
13
空格检验数计算—对偶变量法(1)
1 2 3
v4=0
1 6
14
8
8
5
v1
2
3
7
5
4
13
9
v2