多元函数的积分学;微分方程
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多元函数积分学；微分方程 试题
1. 求22()D
x y dxdy +⎰⎰，D y ≤所在第一象限区域.
2. 设(,)f x y 为有界闭区域{}222(,)D x y x y a =+≤上的连续函数，求
2
01lim (,)a D
f x y dxdy a π→⎰⎰.
3.求I=)D
y d σ⎰⎰，D ：由224x y +≤和22(1)1x y ++≥围成.
4.求I=1
1
0x
dx --⎰⎰
.
5.交换2
12(,)x
dx f x y dy -⎰的积分次序.
6.
交换积分次序：11142210
4
(,)+(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx ⎰⎰⎰.
7.求2
2max(,)
x
y D
e dxdy ⎰⎰，其中：{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤.
8.设区域2
2
2
:D x y R +≤，求22
22()D
x y dxdy a b +⎰⎰.
9.设区域{}22:(,)1,0D x y x y x +≤≥，求I=22
11D
xy
dxdy x y
+++⎰⎰
.
10.设(,)f x y 为连续函数，222
()(,)x y t F t f x y dxdy +≤=⎰⎰
，求()F t '.
11.
求
D
σ,其中D 是由直
线0)y a a =-+>和直线y x =-所围成的区域.
12.设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，试证：21
()()()
b
b a a
f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰
.
13.设()f x 在[,]a b 上连续， 试证：1
1()
()=()()()b
y
b
n n a
a
a
dy y x f x dx b t f t dt n N n -+--∈⎰⎰⎰.
14.
求D
σ,其中D 为22+1x y =的上半圆与222x y y +=的下半圆所
围成的区域.
15.
设{}
22=(,)0,0D x y x y x y +≤≥≥,22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数，求22[1]D
xy x y dxdy ⋅++⎰⎰.
16.设(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)D
f x y dxdy a =⎰⎰，
其中：{}=(,)01,01D x y x y ≤≤≤≤，求：I=(,)xy
D
xyf x y dxdy ''⎰⎰.
17.求22
11lim ()()
n
n
n i j n
n i n j →∞
==++∑
∑.
1.求方程tan cos y y x x '+=的通解.
2.求方程2
2
x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.
3.求方程2ln xy y x x '+=满足11
9
x y ==-的特解.
4.解方程2223(36)(64)0y yx dy y x x dx +++=.
5.设()f x 有连续的导函数，且对任意常数a 和b ，有2()()()a b f a b e f b e f a +=+，
(0)f e '=，求()f x .
6.求方程30xy y '''+=的通解.
7.求方程20yy y '''+=满足初始条件01x y ==，01
2
x y ='=的特解.
8.求方程21y y '''=+的通解.
9.解方程4dy y dx x
=+(0,0)y x >≠.
10.求方程22420250d x dx
x dt dt
-+=的通解.
11.求方程(4)61280y y y y ''''''-+-=的通解.
12.求方程(4)5360y y y ''+-=的通解.
13.求方程424220d x d x
x dt dt
++=的通解.
14.求方程(4)0y y -=的通解.
15.求方程8252cos y y y x '''++=之通解.
16.求方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解，其中1a >.
17.设线性无关的函数1y ，2y ，3y 均为二阶非齐次线性方程
()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 为任意常数，
试说明1122123(1)c y c y c c y ++--为非齐次线性方程的通解.
18.设12(sin cos )x y e c x c x =+为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，求方程.
19.设123cos2sin 2x y c e c x c x =++123(,,c c c 常数)为某三阶常系数线性齐次微分方程的通解，求该方程.
20.设2sin x ，2cos x 是方程()()0y p x y q x y '''++=的解，12,c c 为常数，则不能构成该方程通解的是（ ）
A ．2212cos sin c x c x + B. 12cos2c c x + C. 2212sin 2tan c x c x + D. 212cos c c x +
21.求方程2322cos x y y y x xe x '''-+=-+的通解.