工程光学-高斯球面性质球面折射
第三章几何光学球面反射折射物像公式
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
2
r
2
s r
'
2
2 r s ' r cos
光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r
2
n
s r
'
2
2 r s r cos
1、高斯公式：
球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
§14-2 光在球面上的折射解析
7
如果要使光线折射后所成的像点处于主光轴上并 落在离开球面无限远处，即l2 = ∞ ，则物点必须放 置在主光轴的F1 点上，而球面顶点C到F1的距离可 以表示为： f 1 l1 n1 R
F1点也是表示折射面性质的点，称为第一主焦点， f2 n2 而f1称为折射面的第一焦距。
点的像距和像的横向放大率。
S1
n1（空气；水）
解：先求放在空气中的情形。
1.50 l2 n1l2 n2l1 1.00 80.0
C
80.0mm
n2(玻璃)
1.50 1.00 20.0 1.00
O
解得l2 = 120 mm
m
1 120 1.50 ( 80.0)
说明像是倒立的实像，位于C点右侧120 mm处。 12
S1O S 2 A sin i n 2 S1 A S 2 O sin r n1
n1
S1
i
θ
A
φ r
n2
S2
n2 n1 n2 n1 l1l 2 n1 Rl 2 n1 l1l 2 n2 Rl1n2 l l1 R 2
近轴光线的球面折射公式。可以看到，对于折射 率为n1和n2的介质以及给定的界面曲率半径R，像点 的位置只依赖于物点的位置。或者说物点和像点之 间存在一一对应的关系。 任何满足近轴光线条件的同心光束在球面上折射 后仍然保持同心性。 5
l1 R l 2 n2 l1 l 2 R n1
C
O
上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需按
照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
上式也可以用于描述光线在各种球面上的反射，
75工程光学(第三章球面光学系统成像)1PPT课件
sinI LrsinU r
sin I' n sin I n'
U'UII'
子午面内光路计 算大L计算公式
L' r(1 sinI' ) sinU'
上述四个公式就是子午面内光路计算的大L计算公式，
当 n, n’, r 和 L, U 已知时，可依次求出U’ 和 L’。
05.12.2020
14
当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的
第三步：由图可知 UIU'I'
则可知U’ 的大小: U'UII'
05.12.2020
12
nI
E
n’
-U A
I’
φC
U’
A’
O
r
-L
L’
第四步：在△EA’C中，CA’ = L’-r, 由正弦定理，可得
L'r r sinI' sinU'
L' r(1 sinI' ) sinU'
05.12.2020
13
（4）r = -40mm, L’ = 200mm, U’ = -10°
（5）r = -40mm, L = -100mm, U = -10°, L’= -200mm
05.12.2020
8
IE I’
n’>n
A -U O h φ C U’
A’
-L
r L’
4. 符号规则的意义：
通过各个物理量的正、负，体现光线传播和成像中的物理 意义和物理图象，给出更多、更细和更准确的描述；
05.12.2020
17
• 可以发现：同一物点发出的物方倾斜角
球面折射
r2 = ∞ r1 < 0
r1 < 0, r2 > 0
r2 > 0 r1 = ∞
r1 > 0, r2 > 0 r1 > r2
一
薄透镜成像
• 薄透镜公式：逐次成像法 薄透镜公式：
光线经第一折射面
n0 n n − n0 + = u v1 r 1
v1 v r2
光线经第二折射面 − n + n0 = n0 − n
MEDICAL PHYSICS LISHX
第一节
球面折射
GDMC.PHY.
☆ 几何光学基本定律
1 反射和折射定律
法线
反射定律
i1 = i
' 1
入射光
i1 i
i2
' 1
反射光 L 折射光
分界面
折射定律
sin i1 n2 = sin i2 n1
主要内容
• 掌握单球面折射成像原理，计算方法 掌握单球面折射成像原理， 和符号法则； 和符号法则； • 掌握共轴球面成像系统，薄透镜成像 掌握共轴球面成像系统， 的规律和基本公式。 的规律和基本公式。
n − n0 1 1 f = − 1 n0 r r2
平面r1=∞ 平面堂小结
单球面折射成 像公式
n1 n2 n2 − n1 + = u v r
1 1 n − n0 1 1 + = − u v n0 r r2 1
求得v2=11.4cm 求得
第二节
透
镜
冰块是什么透镜？ 冰块是什么透镜？
•具有两个折射面的共轴系统 具有两个折射面的共轴系统 •薄透镜、厚透镜、柱面透镜（厚度） 薄透镜、厚透镜、柱面透镜（厚度） 薄透镜 •凸透镜、凹透镜（外形） 凸透镜、凹透镜（外形） 凸透镜
高斯光学
高斯光学又称近轴光学，是几何光学中研究共轴光学系统近轴区成像规律的一个分支。
1841年德国科学家C.F.高斯在其著作中阐明了有关理论。
基本概念共轴光学系统由透镜、反射镜等光学元件组成的系统，其中所有的折射面和反射面都是旋转对称面，并有一个共同的对称轴，称为光轴。
一般常见的共轴光学系统中折射面和反射面都是球面（平面当作半径无穷大的球面看待），通过所有球面的球心的直线即光轴。
理想光学系统能产生清晰的、与物体完全相似的像的光学系统。
下面用图1进一步说明。
不讨论光学系统的内部结构,只用最前表面M和最后表面M┡示意代表一个系统,OO ┡为其光轴。
物空间的一条光线经过光学系统中一系列光学表面的折射（或反射）后进入像空间，这条像空间光线和对应的物空间光线称为一对共轭光线。
由物点P1发出许多光线，如果系统是理想的，则像空间的所有共轭光线都通过同一点P姈。
P姈是P1的清晰像点,它们互称共轭点,通过P1的垂轴平面和通过P姈的垂轴平面是一对共轭面。
P1和P姈到光轴的距离分别为物高y1和像高y姈;像高与物高之比，即β＝y姈/y1称垂轴放大率。
在同一对共轭面上任意一对共轭点（如P2、P1）都有相同的垂轴放大率，因此理想光学系统所成的像与物有完全相似的几何形状。
实际的光学系统一般都不具有理想成像性质，但如果只考虑靠近光轴的很小范围(称为近轴区)，则由于此范围内光线与光轴的夹角很小，其正弦值可用角值（单位为弧度）代替，任何共轴光学系统用单色光成像时就具有理想光学系统的性质。
高斯光学适用范围高斯光学的理论和公式适用于共轴光学系统的近轴区；当这个系统是理想光学系统时，对近轴区和非近轴区都同样适用。
通常遇到的系统虽然都不是真正的理想光学系统，但在光学设计过程中，各种像差都得到某种程度的校正，就一定的孔径和视场范围而言，系统接近于一个理想光学系统，因此高斯光学的计算结果（像的大小、成像位置等）对非近轴区也接近正确；当然,它与光线追迹结果或多或少有些差别,而这个差别正好能说明像差校正的完善程度。
3-3 光在球面上的反射和折射
r s s ' r 1 1 2 物像公式 0 l l' s s' r 代数式 Note: 对于r一定的球面，只有一个s’与给定的s对应，此时 有确定的像点。这个像点是一个理想的像点，称为高 斯像点。s称为物距，s’称为像距； 物像公式同样适应凸球面反射； 当s=-∞时，s’=r/2。即沿主轴方向的平行光束入射 经球面反射后，成为会聚(或发散)的光束，光束的顶 点在主轴上，称为(像方)焦点(F’)。焦点到顶点的距 离，称为(像方)焦距，以f’表示， f’=r/2 物像公式 1 1 1 近轴光线条件下的物像公式 例3.3 s s' f '
返回第3 章
7/15/2013
第1章 光的干涉
3.3.1 符号法则
几何光学中的“符号”是人为规定的具有任意 性，需统一； 新笛卡儿符号法则，其特点是简明扼要、易于 理解和便于应用，在构思上和解析几何的观念 相吻合； 几何光学中涉及的主要是光线，光线的要素是 方位（－有向转角）和指向（－有向线段）； “符号法则”的目的：人为地为光线的方位和 指向规定适当的“符号”；
n' n n' n s' s r
f
n r n ' n
又
n' f ' r n ' n
可得：f/f’=-n/n’，由于n与n’不会相等，故物方 焦距f与像方焦距f’不相等。 第1章 光的干涉
7/15/2013
n
A F O B r f’ C
n’ F’ x’ P’
n' n n'n ...... 物像公式 s' s r
顶点O的右边，虚像。
第二章：应用光学——高斯光学
• 一般选择特殊的面和共轭点作为基面和基点
29
一 焦点和焦面（Focus length and Planes）
• F'及F'面的性质
➢ 平行于光轴入射的任一条光线，经系统出射后必通过 F'点
➢ 斜平行光束，经系统出射后，交于F'面上一点
• F及F面的性质
第二章 高斯光学
本章是本课程的理论基础 也是本课程的重点。
§2.1 近轴光学系统的光路计算
• 大多数光学系统都是由折、反射球面或
平面组成的共轴球面光学系统
• 折射球面系统具有普遍意义 • 所以首先讨论单个折射球面折射的光路
计算问题，再过渡到整个光学系统
2
一 基本概念和符号规则
1.基本概念
• 子午面：通过物点和光轴的截面 • 一条光线，可以用两个量来确定位置：截距和孔径角
光轴与法线的夹角：光轴转向法线
➢反射情况：P26
E nI
h
注：几何图形上所有值标注绝对值
I′ n´-U源自′AOD rC
-L
L′
4
二 单个折射球面的光路计算
在给定单个折射球面的 结构参量 n、n 和r 时，由已知入射光线 坐标 L 和U，计算折
E nI
h
-U
I′ n´ U′
射后出射光线的坐标 A
物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′
物方孔径角:U，像方孔径角：U′
入射光线
A
E nI
h
-U
OD
出射光线
I′ n´
U′
r
C
-L
L′
3
2. 符号规则：
1. 4. 光在球面上的反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
143球面反射和球面折射成像
15cm O
12cm R
C
大学物理
河南农业大学理学院
例2 折射率为1.5的长玻璃棒，左端磨成半径为4cm的凸球面， 长为4mm的物体垂直立于棒轴上，离球面顶点12 cm。求像 的位置与大小。
解 已知r =4cm，n=1，n’=1.5，l=-12cm，y=4mm 由球面折射成像公式
n n n n l l r
大学物理
河南农业大学理学院
例1、设有一个半径为R的球面，球面的左侧是空气，球面 右侧是玻璃长圆柱（n=1.5），过球面顶点O和曲率中心C的 连线是主光轴。设曲率半径是R=12cm，在主光轴上距O点 为15cm的左侧有一支小小的烛焰（如图）。则下述判断中 正确的是 (A) 烛焰在玻璃中呈一倒立的缩小的实像； (B) 烛焰在玻璃中呈一倒立的放大的实像； (C) 烛焰在空气中呈一正立的放大的虚像； (D) 烛焰在空气中呈一倒立的放大的虚像。
三、横向放大率
y 定义 y
nl nl
P
´ y´
Q
l´
´
β > 0 像正立 β < 0 像倒立
|β|>1 放大 |β|<1 缩小
大学物理
河南农业大学理学院
四、近轴光线的作图法
F'
F
大学物理
河南农业大学理学院
五、 共轴球面系统成像（逐次成像）
共轴球面系统所成的最终像，可由第一球面 所成之像作为第二球面之物、第二球面所成之像 作为第三球面之物逐次计算而得。 光学系统的横向放大率为每次球面成像的横 向放大率的乘积。
1
r f f 2
l l
2
3 4 5
c F
横向放大率
工程光学名词解释。大二末考必备
工程光学名词解释一、几何光学（1）理想光学系统具有下述性质：①光学系统物方一个点（物点）对应像方一个点（像点）。
即从物点发出的所有入射光线经光学系统后，出射光线均交于像点。
由光的可逆性原理，从原来像点发出的所有光线入射到光学系统后，所有出射光线均交于原来的物点，这一对物、像可互换的点称为共轭点。
某条入射光线与对应的出射光线称为共轭光线。
②物方每条直线对应像方的一条直线，称共轭线；物方每个平面对应像方的一个平面，称为共轭面。
③主光轴上任一点的共轭点仍在主光轴上。
任何垂直于主光轴的平面，其共轭面仍与主光轴垂直。
④对垂直于主光轴的共轭平面，横向放大率（见凸透镜）为常量。
（2）入射瞳孔：由轴上物点发出的光线。
经过孔径阑前的组件而形成的孔径阑之像，即由轴上物点的位置去看孔径阑所成的像。
（3）出射瞳孔：由轴上像点发出的光线，经过孔径阑后面的组件而形成的孔径阑之像，即由像平面轴上的位置看孔径阑所成的的像。
（4）入光瞳直经：入光瞳直径等于物空间中用透镜单位表示的近轴像光阐的大小。
（5）出光瞳直径：出光瞳直径等于近轴像空间用透镜单位表示的近轴像光阐的大小。
近轴出光瞳的位置相联系于像表面。
（6）视场、视角：物空间中，在某一距离光学系统所能接受的最大物体尺寸，此量值以角度为单位。
（7）子午平面：在一个轴对称系统中，包含主光线与光轴的平面。
（8）数值孔径：折射率乘以孔径边缘至物面（像面）中心的半夹角之正弦值，其值为两倍的焦数之倒数。
数ˋ值孔径有物面数值孔径与像面数值孔径两种。
（9）物空间数值孔径：物空间数值孔径是度量从物方进入光线的散度。
数值孔径被定义作近轴边缘光线角的折射指数。
（10）球面像差：近轴光束与离轴光束在轴上的焦点位置不同而产生。
（11）渐晕、光晕：离轴越远（越接近最大视场）的光线经过光学系统的有效孔径阑越小，所以越离轴的光线在离轴的像面上的光强度就越弱，而形成影像由中心轴向离轴晕开。
（12）渐晕因子：渐晕因子是描述入瞳大小和不同场角位置的系数。
工程光学(填空题)
工程光学一、填空题1、光就其本质而言是一种电磁波，光波波长范围大致为1mm~10nm ，其中波长在380nm~760nm 之间的电磁波能为人眼所感知，称为可见光。
2、光的直线传播定律与光的独立传播定律概括的是光在同一均匀介质中的传播规律，而光的折射定律与反射定律则是研究光传播到两种均匀介质分界面上时的现象与规律。
3、介质的折射率是用来描述介质中的光速相对于真空中的光速减慢程度的物理量。
4、全反射发生的条件是：（1）光线从光密介质向光疏介质入射；（2）入射角大于临界角。
5、费马原理也叫光程极短定律，指光沿着光程为极值（极大、极小或常量）的路径传播。
6、如果组成光学系统的各个光学元件的表面曲率中心都在同一条直线上，则称该光学系统为共轴光学系统。
7、物体所在的空间称为物空间；像所在的空间称为像空间。
8、光学系统成完善像应满足的条件为：入射波面为球面波时，出射波面为球面波；入射光为同心光束时，出射光为同心光束。
9、由实际光线相交所形成的点为实物点或实像点，而由光线的延长线相交所形成的点为虚物点或虚像点。
10、平面可以看成是曲率半径r→∞的特例，反射则是折射在n' = -n 时的特例。
11、通过物点和光轴的截面称为子午面，轴上物点的子午面有无数多个，而轴外物点的子午面只有一个。
12、单个折射球面对轴上的物点成像是不完善的，这种现象称为球差。
13、真空中的光速c=3×108m/s ，则光在水中（n=1.333）的光速为v=2.25×108m/s 。
14、设光纤所在介质的折射率为n 0，入射在光纤输入端面的光纤最大入射角为U m ，则光纤的数值孔径N A 为n 0sinU m 。
15、以任意宽的光速都能完成完善像的光学系统称为理想光学系统；在该系统中，每个物点对应于唯一的一个像点，这种物像对应的关系叫做共轭。
16、一对主点和主平面，一对焦点和焦平面，通常称为共轴理想光学系统的基点和基面。
光学——球面反射和折射
sin i2 sin u
A
n
-i1
n`
-i2
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
PC s r r s PC s r
nsini1 nsini2
AC r
15
PC sin u PC sin u n r ssin u s r sin u n
n
n
s r n sin u r s
f n n n f f
f
n
“-”号表示 f 和 f 永远异号，
物、像方焦点一定位于球面两侧.
23
四、理想成象的两个普适公式
1.高斯公式
将f、f’的表达式分别代入反射、折射理想成象 公式中,经整理后可得到同一表达式
f f 1 ——高斯公式 s s
对于任何形式的成象过程,只要确定相应的f、
率就取物方折射率.(与虚像类似;如上图中P4---物方折 射率为n4)
④ 虚物仍遵从符号法则.（如上图中S4>0）
33
§1.6 薄透镜
透镜 近轴条件下薄透镜的物像公式 横向放大率 薄透镜作图求像法
34
一、透镜
1.定义
用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个 球面或一个球面一个平面所形成的薄片. 通常做成园形.
P1
P2 P1
P3
P4
29
二、逐个球面成像法
1.定义：依球面的顺序,应用成像公式逐个对球面
求像,最后得到整个共轴光具组的像.
P1
n n1
P3
2P2
n3
n4
P2' P1'
S1' S2 d12
n5
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
哈工大《工程光学》课件
Engineering Optics
授课：任秀云
n
E n’
A
-U
h
C U’
A’
O r
-L
L’
折射光线EA’ 由以下参量确定：
※像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。
※像方倾斜角：折射光线EA’ 与光轴的夹角，也叫像方 孔径角，用U’ 表示。
（5）r = -40mm, L = -100mm, U = -10°, L’= -200mm
Engineering Optics
授课：任秀云
2.1.3 单折射球面成像的光路计算
一、实际光路的计算公式（追迹公式或大L公式）：
nE
n’
A
-U
C O
r
-L
当结构参数 r , n , n’ 给定时，只要知道 L 和 U ，就可求L’ 和 U’
光轴 为起始边。
B
y -U
A
-L
E I
h
I’
φ
C
U’
A’
O
r
-y’ B’
L’
Engineering Optics
授课：任秀云
×
×
√
×
L = 100mm, U = 30°
Engineering Optics
授课：任秀云
同学们一定要记住上面 的符号规则！
Engineering Optics
授课：任秀云
Engineering Optics
n
授课：任秀云
I
E
n’
-U A
-L
φC
O
r
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
工程光学第二章知识点
第二章共轴球面光学系统第一节符号规则●常见的光学系统有多个光学零件组成，每个光学零件往往由多个球面组成●这些球面的球心在一条直线上即为“共轴球面系统”●这条直线称为“光轴”●折射球面的结构参数：曲率半径r、物方折射率n、像方折射率n'●入射光线的参数：物方截距L、物方孔径角U●像方量在相应的物方量字母旁加“ ’ ”区分●光线的传播方向为自左向右●规定符号规则如下：●1）沿轴线段（如L、L’和r）●以顶点为原点，与光线方向相同为正，相反为负●2）垂轴线段（如h、y和y’）●以光轴为基准，光轴以上为正，以下为负●3）光线与光轴的夹角（如U、U’）●光轴转向光线；角量均以锐角计、顺时针为正、逆时针为负●4）光线与法线的夹角（如I、I’、I”）●光线转向法线●5）光轴与法线的夹角（如φ）●光轴转向法线●6）折射面间隔d●前一面顶点到后一面顶点，与光线方向相同为正，相反为负；在折射系统中，d恒为正●物方截距、像方截距、物方孔径角、像方孔径角等物理量是可以有正负的，但作为几何量AO、OA’、∠EAO、∠EA’O等应为正值；在负值物理量前加负号，以保证相应几何量为正●根据物像的位置判断物像的虚实●负（正）物距对应实（虚）物●正（负）像距对应实（虚）像第二节物体经过单个折射球面的成像1，单球面成像的光路计算已知折射球面的结构参数曲率半径r ，物方折射率n ，像方折射率n ’已知入射光线AE 的参数物方截距L ，物方孔径角U （轴上物点）求出射光线参数像方截距L ’，像方孔径角U ’（轴上像点）光路计算2在ΔAEC 中用正弦定律，有 sin sin()I U r L r -=-导出求入射角I 的公式sin sin L r I U r -=（2-1）由折射定律可以求得折射角I ’sin sin n I I n '=='（2-2）由角度关系，可以求得像方孔径角U ’U U I I ''=+-（2-3） 在ΔA ’EC 中应用正弦定律，得像方截距L ’ sin sin I L r r U ''=+' （2-4）式（2-1）至（2-4）就是子午面内实际光线的光路计算公式，利用这组公式可以由已知的L 和U 求L ’和U ’ sin sin L r I U r -= sin sin n I I n '=='U U I I ''=+-sin sin I L r r U ''=+'当物点A 位于轴上无限远处时，相应的L=∞，U=0，则式（2-1）须改变为sin hI r =（2-5）●若L 是定值，L ’是U 的函数，即从同一点发出的光线，孔径角不同，将在像方交在不同的点上 ● 同心光束经过单球面后不再是同心光束●这种误差被称为“球差” ●球差是各种像差中最常见的一种●如果把孔径角U 限制在很小的范围内，光线距光轴很近，称为“近轴光”，U 、U ’、I 和I ’都很小，式（2-1）~（2-4）中的正弦值用弧度来表示 ● 用小写字母u 、u ’、i 、i ’、l 和l ’表示近轴量● l r i u r n ii n u u i i i l r r u -='='''=+-''=+'（2-6）~（2-9） ● 当入射光线平行于光轴时，也以h 作为入射光线的参数，有●h i r =（2-10） ●近轴光线l ’与u 无关，即当物点位置确定后，其像点位置与孔径角u 无关，物点发出的同心光束经折射后在近轴区仍为同心光束 ●在近轴区成的是完善像，这个完善像通常称为“高斯像” ● 近轴区最常用的物像位置公式●n n n n l l r ''--='（2-14） ●已知物点位置l 求像点位置l ’时（或反过来）十分方便 ●1、轴上物点：轴上同一物点发出的近轴光线，经过球面折射以后聚交一点，即轴上物点近轴成像时是符合理想成像条件的。
§14 2光在球面上的折射解析
n2 S2
S1O ? sini
S1A sin?
S2A? sin?
S2O sinr
S1O S2A? sini ? n2 S1A S2O sinr n1
S1A? S1C, S2A? S2C
C点是主光轴与球面的交点称为球面的 顶点。
S1C是物点到球面顶点的距离称为 物距，用l1表示。 S2C是像点到球面顶点的距离称为 像距，用l2表示。
f2
?
n2 n2 ? n1
R
7
如果要使光线折射后所成的像点处于主光轴上并
落在离开球面无限远处，即 l2 = ∞ ，则物点必须放
置在主光轴的 F1 点上，而球面顶点 C到F1的距离可
以表示为：
f1
?
l1
?
?
n1 n2 ?
n1
R
F1点也是表示折射面性质的点，称为 第一主焦点 ，
而f1称为折射面的第一焦距 。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1 = ∞，那么由它发出而投射到球面上的光线必定
平行于主光轴。这时表示像点位置的像距应为：
l2
?
n2 n2 ? n1
R
由l2所确定的点表示了折射面的性质，称为 第二
主焦点 ，用F2 表示。
由球面顶点 C到F2 的距离，称为 折射面的第二焦距 ，
若用f2 表示，则有：
§14-2 光在球面上的折射
一、介绍几个概念
光线在两种折射率不同的透明介质所形成的球形
分界面上发生一次折射后的规律，这种情形也称为
光在单球面上的折射 。物点与球心的连线称 为主光
轴，在主光轴附近并与主光轴夹角很小的光线，称
为近轴光线，或傍轴光线。
工程光学-高斯球面性质球面折射
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成像公式
2015/12/18
物點M所發出的任一條斜線，經過界面折射後形成像點M’，由圖中的 幾何關係，可以將單一球面的近軸成像理論推導出來，因為：
n sini nsint
由幾何關係知：i , t
在高斯光學範圍中，可將上式改為： ni nt
且： h , h , h
單一球面折射-凹球面
球心在球面左邊的情形，此球面定義為凹球面(concave surface) 將n’材料的一端磨成凹球面，放置於疏介質n中，則將會發現在光軸某
位置上的虛光點所發出的會聚光束經凹球面後，折射為平行於光軸的 平行光束 平行於光軸入射的平行光束，經凹球面後，折射光的延伸線亦會在軸 上交於一點
第一焦點到頂點的距離f稱為第一焦距長(primary focal length) 若將一平行於光軸的平行光束射至凸球面，折射光線將會聚至光軸上
某一點，我們定義此點的位置為系統的第二焦點(secondary focal point)，如圖(b) 第二焦點到頂點的距離f’稱為第二焦距長(secondary focal length) 綜上所論，由第一焦點所發出的光線經系統後，必平行光軸射出。平 行於光軸的入射光經系統後，必通過第二焦點 若光線經系統後以偏向光軸的方向射出，具有這種效果的系統稱為會 聚系統(converge system)
在各種特殊形式的曲面中，球面的優點為：設計簡單、便 於加工
因此，球面是目前實際應用上最常使用的曲面 在這章，我們針對球面的光學性質來加以討論
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2015/12/18
成像系統的光學名詞和概念
真實的光源都是具有體積大小的，然而為了使用上的方便，而有所謂 的點光源(point source)，或稱為物點(object point)，這是一個只有幾何 位置但沒有體積大小的光源，也是一個實際上並不存在的理想光源
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成像公式
2015/12/18
物點M所發出的任一條斜線，經過界面折射後形成像點M’，由圖中的 幾何關係，可以將單一球面的近軸成像理論推導出來，因為：
n sini nsint
由幾何關係知：i , t
在高斯光學範圍中，可將上式改為： ni nt
且： h , h , h
的左邊，而第二焦點則在頂點的右邊，系統的二個焦距長皆為正值 若P為負值，所對應的是一個發散系統，第一焦點在頂點的右邊，第
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工程光學-高斯球面性質
劉承揚
球面折射
任一個曲面都可看成是由無限個光學平面以不同方位組合 而成
在光學的應用上，光學曲面比光學平面的應用要廣泛的多， 因為具有曲面的元件除了和光學平面一樣會造成光線方向 的改變外，還能使光束產生發散(diverge)或會聚(converge) 的現象，因而有不同的成像方式
若同心光束的心為實光點，則此同心光束稱為發散光束 若同心光束的心為虛光點，這個同心光束稱之為會聚光束 若光束為平行光束，即指光束的心在無限遠的地方
對於實際上的發光體或物體，可想像成是由許多點光源或物點所構成， 而每一個點光源或物點都會發出同心光束，再經由光學系統處理
成像系統的光學名詞和概念
單就發光體中一個物點來說，其同心光束經過光學系統後，射出的光 束仍會是一個同心光束
對凸球面系統來說，第一焦點將在凸球面頂點的右邊，第二焦點的位置在頂 點的左邊
對凹球面系統而言，第一焦點將在頂點的左邊，第二焦點在頂點右邊
由此可見，焦點位置的決定，取決於兩個因素：
球面的凹凸形狀 球面兩邊介質折射率的相對大小
此外，在凸或凹球面系統中，第一焦距長和第二焦距長並不相等，兩 焦距長的比值和球面兩邊折射率的比值有關
平行光線繪圖法
凹球面的發散系統 系統的第一焦點在凹球面的右邊，而第二焦點在凹球面的左邊，折射率
的關係為n<n’ 光線1，平行光軸，經過界面A’A”後，折射光的延伸線必通過F’點 光線2，通過球心不偏折的光線 光線3，選取的是指通過第一焦點F的光線，在遇到界面A’A”後，將平行於
光軸射出 這三條光線所交會的點，是由其延伸線交會而成，所以是一個虛的像點
此同心光束的心，即稱為該物點對光學系統的像點(image point)
若像點是由光線實際交會而成的，稱為實像點(real image point) 若是由光線的延伸線索交會而成的，稱為虛像點(virtual image point) 由實像點所組成的像叫實像(real image) 由虛像點鎖組成的像就叫做虛像(virtual image)
光線2，也可以加以利用來決定像點位置，此光線是由物點Q所發出， 指向球面球心的一條，由於此光線過球心，故在界面A’A”上是以0度 的入射角入射，所以不會發生偏折而保持原來方向繼續行進，和光線 1、光線3會聚於Q’點
這種利用光線1、2、3的偏折而取得成相位置、像的大小和方位變化 的方法，稱為平行光線繪圖法
單一球面折射-凹球面
球心在球面左邊的情形，此球面定義為凹球面(concave surface) 將n’材料的一端磨成凹球面，放置於疏介質n中，則將會發現在光軸某
位置上的虛光點所發出的會聚光束經凹球面後，折射為平行於光軸的 平行光束 平行於光軸入射的平行光束，經凹球面後，折射光的延伸線亦會在軸 上交於一點
在光學系統中，若光線實際上是由某一個點光源發出，則這個點光源 是一個實光點或實物點(real object point)
若只是實際光線的延伸線虛構成的發光點光源，則這個點光源就稱為 虛光點或虛物點(virtual object point)
若組成光束的所有光線都會交於某一點，這種光束稱為同心光束，所 交會的那一點即稱為此同心光束的心
光線3，選取由Q發出經過系統第一焦點的光線，此光線最後必平行 光軸射出
利用光線1和光線3的交會點，即可定出物點Q的像點Q’，Q’到光軸的 垂線M’，即為物體成像的位置，而Q’M’即為物QM的像，所成的像是 一個由實際光線會聚而成的倒立實像
在繪圖過程中，n、n’介質的界面為凸球面，在近軸條件下，可以用平 面A’A”代替，因此所畫的光線至平面A’A”上即開始發生偏折，會聚的Q’ 是一個沒有像差的理想像點
Q’，Q’M’稱為QM的虛像
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平行光線繪圖法
在上圖中，由Q點所發出的光線，經球面折射後，折射光 或其延伸線都會通過Q’，這也就是像點的定義
由物點所發出的同心光束，經系統作用後亦為一同心光束， 此同心光束的心稱為像點
同理，由物點M所發出的光線，經球面折射後，這些光線 必會聚在像點M’上
ni nt
因此，具有曲率的界面也可將視為一平面看待，如此在圖解問題時將 方便許多
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圖解成像
成像系統中，物與像之間的關係，可以用繪圖 的方式得到，下面就介紹幾種圖解成像法：
平行光線繪圖法(parallel ray method) 斜線繪圖法(oblique ray method)
斜線繪圖法
平行光線繪圖法可以決定出一個離軸物點的成像位置，但若是位於軸 上的物點，例如上圖的M點，我們就無法利用相同的方法來得到M’的 位置，此時就必須藉助斜線繪圖法的幫助
斜線繪圖法是針對軸上物點的成像作圖法
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斜線繪圖法
由軸上物點M所發出光線中，任取一條不平行光軸的斜線 例如光線MT，然後過球心O作一條和MT光線平行的輔助光線OX 平行光束經過一系統，必會聚在焦平面上，故對MT與OX所組成的平
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單一球面折射
對單一球面而言，若光線入射至球面上的某一點，例如下圖中的B點， 則此入射光相當於入射到與球面切於B點的平面上，此平面兩邊介質 的折射率分別與球面兩邊介質折射率相同，入射光線將在平面上有反 射與折射現象
過B點與球心O的連線即為入射光的法線，入射光線將滿足Snell定律 的折射角來決定經過球面後的光線走向
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單一球面折射-凹球面
我們同樣可以定出在n小於n’的情況下，凹球面系統的第一焦點F，第 一焦距長f，第二焦點F’和第二焦距長f’
由圖中可知，光線經過系統後是以偏離光軸的方向射出，稱為發散系 統(diverge system)
另一方面來說，若介質的分佈相反，亦即n為密介質，n’為疏介質，則 在滿足Snell定律的折光條件下，焦點的位置將會有所變動
平行光線繪圖法
凸球面的成像範例 假設QM為一正立在光軸上方的物，放置在凸球面左邊的n介質中，而
凸球面右邊的材料折射率為n’，在n<n’的條件下，這是一個會聚系統 第一焦點在頂點的左邊，第二焦點在頂點的右邊，利用焦點定義就可
以將像的位置和大小決定出來
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平行光線繪圖法
光線1，選取由物點Q發出平行於光軸的光線，此光線必經過系統的 第二焦點
第一焦點到頂點的距離f稱為第一焦距長(primary focal length) 若將一平行於光軸的平行光束射至凸球面，折射光線將會聚至光軸上
某一點，我們定義此點的位置為系統的第二焦點(secondary focal point)，如圖(b) 第二焦點到頂點的距離f’稱為第二焦距長(secondary focal length) 綜上所論，由第一焦點所發出的光線經系統後，必平行光軸射出。平 行於光軸的入射光經系統後，必通過第二焦點 若光線經系統後以偏向光軸的方向射出，具有這種效果的系統稱為會 聚系統(converge system)
行光束而言，也必會聚在第二焦平面XF’上 又因經過球心的光線不會發生偏折，所以MT光線在經界面A’A”折射後，
必通過OX光線與焦平面XF’的交點X TX即為入射線MT的折射光線，折射光與光軸的交點M’，即為物點M的
像，M’是一個實像點
成像公式
成像公式的規則與符號：
在所畫的光路圖中，光線皆由左向右傳播 物距在頂點的左邊，取為正值，若在頂點右邊，其值為負 像距在頂點的右邊，取為正值，若在頂點左邊，其值為負 會聚系統的第一焦距、第二焦距，其值均取為正 發散系統的第一焦距、第二焦距，其值均取為負 凸球面的曲率半徑其值為正，凹球面的曲率半徑其值為負 物高與像高之值，若從光軸向上測量，則取為正值，從光
一物點經光學系統後只形成一個像點，而且任一直線所成的像也必為 一直線
這種以理想光學來取代的作法，可以省卻許多繁複的計算，而且計算 結果也具有相當程度的準確性
理想光學系統的理論是在1841年由Gauss建立的，所以可把這種光學 理論稱為高斯光學(Gauss optics)
高斯光學中的方程式都是屬於線性一階方程式，在三角函數中，正弦 函數的值在小角度時，可直接以角度值取代，亦即：
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折光率
高斯公式等號右邊的量，我們定義其為此單一球面的折光率 (refracting power)，用符號P表示： P n n r
P值越大，表示光經球面後的偏折也越大 P的單位是長度單位的倒數，習慣上式以公尺的倒數表示，即m-1 對會聚系統而言，P值為正，表示此單一球面系統的第一焦點在頂點
角的平行光束
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高斯光學
在處理實際的光學系統成像問題時，某一物點發出的許多條光線，在 每一光學面上利用Snell定律計算其位置和光程後，這些光線並不能均 會聚成一個像點，這種失真的原因即在於系統存在有像差的問題
在幾何光學中，要解決實際光學系統的成像問題時，為了避免像差的 影響，經常要利用理想光學系統的成像概念
在各種特殊形式的曲面中，球面的優點為：設計簡單、便 於加工
因此，球面是目前實際應用上最常使用的曲面 在這章，我們針對球面的光學性質來加以討論
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成像系統的光學名詞和概念