第五章杆件的内力图 工程力学

在这里再次提醒学习者注意 到载荷集度、剪力、弯矩之 间的微分关系
载荷集度为负，弯矩 图凸的方向与M坐标 正方向一致。
剪力图斜率为负，载 荷集度向下。
剪力为零处，弯矩图 有极值。
本章作业：5-5 b)、d)；5-6b)、d)
例题5-3（p82） 图示之圆轴受到四个绕轴线转动的外加 力偶作用，其力偶矩的大小和方向均示 于图中，其中力偶矩的单位为N· m，轴 尺寸单位为mm。试画出轴的扭矩图。 解：1、应用截面法确定1-1，2-2，3-3 截面处的扭矩：
用轴线方向的坐标轴表示 杆截面的位置，其垂直方 向的另一个坐标轴表示扭 矩的大小。
FQ x FRA qx ql qx
qx2 M x qlx 2
(0 x＜2l )
x M 0, M x FRA x qx 0 2
(0 x＜2l )
例题5-5（p86） 图示悬臂梁在 B 、C两处分别承受集中力Fp和集中力 偶M=2Fpl作用。梁的全长为2l 。试写出该梁的剪力方程与弯矩方程。 解：需分段建立剪力方程、弯矩方程。
BC段
y Q
(0 x1＜l )
2 p
F 0, F x F 0 M 0, M x F 2l x 0 FQ x2 Fp (l x2＜2l )
2 p 2
M x2 Fp 2l x2
(l x2＜2l )
5.3.2 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
剪力
使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；反之则为负。
弯矩
作用在左侧截面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在 右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之则为负。
扭矩
扭矩矢量方向（按右手螺旋定则确定）与截面外法线方向 一致者为正；反之则为负。
例题5-1（p80）
图示悬臂梁承受集中力Fp及集中力偶Mo作用，试 确定截面C及截面D上的剪力和弯矩。
由平衡方程 解得
由平衡方程
解得
5.2 轴力图与扭矩图 5.2.1 轴力图
例题5-2（p81） 表示轴力沿杆件轴线变化的图形。 轴力图
2 截面法
3 画轴力图
用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂 直方向的另一个坐标轴表示轴力的大小。
5.2.2 扭矩图
表示扭矩沿轴线变化的图形。
功率、转速和扭矩的关系
AC段
FQ x1 Fp
F 0, F x F 0 M 0, M x M F 2l x 0
y Q 1 p
1 p 1
(0 x1＜l )
M x1 M Fp 2l x1 2 Fp l Fp 2l x1 Fp x1
第5章
杆件的内力图
5.1 基本概念与基本方法 5.2 轴力图与扭矩图 5.3 剪力图与弯矩图
5.1 基本概念与基本方法
在外力作用下，明了杆件的内力性质和其在沿杆件长度方向的 变化情况，这是确定杆件的危险截面和变形所必需的。
杆件上内力分量的正负号规则 轴力 无论作用在哪一侧横截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。
可以证明，载荷集度、剪力、弯矩之 间存在如右所示的微分关系。可以帮 助我们在画剪力图和弯矩图时提高效 率、减少错误。
这种关系表明：
剪力图的斜率等于均布载荷的集度；弯矩图在某 点处的斜率等于该处剪力的数值。 如果某段梁上无分布载荷作用（q =0），则该段梁的剪 力图为水平线，弯矩图为斜直线。 如果某段梁上有均布载荷作用（q =常数），则该段梁的剪力 图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。 弯矩图的抛物线的凸凹性与载荷集度的正负有关。当q为正（向上）时， 凹的方向与M坐标正方向一致；当q为负（向下）时，凸的方向与M坐 标正方向一致。
2、根据计算结果作出扭矩图
5.3 剪力图与弯矩图 5.3.1 剪力方程和弯矩方程
描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程。 例题5-4（p85） 图示简支梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长 度为2l 。试写出该梁的剪力方程与弯矩方程。
解：1、求支反力
2、剪力方程、弯矩方程
F
y
0, FRA qx FQ x 0
Βιβλιοθήκη Baidu.3.3 剪力图弯矩图的绘制
例题5-6（p89） 试画出 图示简支梁的剪力图与弯矩图，并确定剪力和弯 矩绝对值的最大值。
解：1、求支反力
FAy 0.89kN , FFy 1.11kN
2、求特定截面上的剪力和弯矩并根据微分 关系作图
集中力作用处，剪力图有突变。 变化值为集中力值。
A截面 : FQ 0.89kN , M 0 B截面 : FQ 0.89kN , M 1.335kN m C截面 : FQ 0.89kN , M 0.335kN m D截面 : FQ 0.89kN , M 1.665kN m E截面 : FQ 1.11kN , M 1.665kN m F截面 : FQ 1.11kN , M 0
3、由图确定剪力和弯矩绝对值的最大值
集中力偶作用处，弯矩图有突变。 变化值为集中力偶值。 集中力作用 处，弯矩图 斜率变化。
FQ
max
1.11kN 位于EF段, M
max
1.665kN m 位于D、E截面
例题5-7（p90）
解题的过程与上题一 样，在此省略。
试画出 图示外伸梁的剪力图与弯矩图。