信号时频分析作业

短时傅里叶变换（STFT）算法研究与仿真实现

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短时傅里叶变换（STFT）算法研究与仿真实现

摘要：本文首先介绍了时频分析的发展，然后主要介绍了一种时频变换技术——短时傅里叶变换（STFT）的基本原理和特点，并应用短时傅里叶变换的方法对仿真信号进行了时频分析。最后，介绍了时频变换在雷达方面的具体应用。

关键词：时频分析，STFT

1引言

傅里叶变换是应用最广泛的信号分析工具之一，其基本观点是一个任意信号总是可以分解成一组不同频率的正弦信号，即实质上是将信号投影为一组基函数的过程，每一个基函数是频率固定的正弦波，投影的结果形成了原始信号的傅里叶变换，它在一个特定频率的值是信号与该频率正弦基相似性的度量，因此，信号的频率特性可以通过傅里叶变换表现出来。

现实世界中许多信号的频率是随时间变换的，在这种情况下，利用简单的正弦波作为基函数并且通过频谱来描述信号不总是最好的办法，时频变换就是为了描述信号的时变频率分量而发展起来的。时间信号的时频表示开始于Gabor，称为短时傅里叶变换（STFT）。它是一个移动窗口傅里叶变换，通过移动时间窗口来分析信号频率分量，这样得到一个二维的时频分布，称为谱图，谱图包含了信号在不同时间的频率信息。

时频变换主要分为两类：线性时频变换和双线性变换。本文主要讨论的STFT 是线性时频变换，而双线性变换的典型算法是Wigner-Ville分布(WVD)。

本文主要研究了短时傅里叶变换（STFT）的基本原理和特点，并应用短时傅里叶变换的方法对仿真信号进行了时频分析。最后，介绍了时频分析在雷达方面的具体应用。

2

短时傅里叶变换(STFT)

2.1 连续信号的STFT

分析时变频率分量信号的一种标准方法是把时间信号分成许多段，然后对每傅里叶变换，即为STFT 操作，信号()x t 的短时傅里叶变换定义如下：

()()(),j x t x t e d STFT ττττηΩ∞*

Ω=-⎰-∞ （0-1）

短时傅里叶变换与傅里叶变换唯一的区别就是给定了一个窗函数()t η去截取()x t ，对截下来的局部信号做傅里叶变换，即可得到t 时刻的该段信号的傅里叶变换。由于窗函数()t η的存在使短时傅里叶变换具有了局部特性，它既是时间的函数，又是频率的函数。对给定的时间t ，(),x t STFT Ω可以看作是该时刻的频谱。为了提高短时傅里叶变换的时间分辨率，需要选择尽可能短的窗函数()t η；另一方面要得到高的频率分辨率，要求选择的时间的窗函数()t η的时间宽度尽可能的长，因此与时间分辨率的提高相矛盾。对于非平稳信号，利用短时傅里叶变换方法很难找到一个合适的时间窗口来适应不同的时间段，这是它最大的不足之处。

与其它的时频分布（如Wigner 分布）的方法相比，基于短时傅里叶变换的微多普勒有速度快、算法简单、易实现等特点。 2.2 离散信号的STFT

实际应用中要实现一个信号的STFT ，必须对该信号进行离散化，且为有限长。设采样后的信号为()n x ，0,1,,1n L =-L ，对应式（（0-1）有

()()()()(),,j j n

j n x n

m e x n n mN e

x n g n mN e STFT g ωωω*

-=-=-∑ （0-2） 式子中N 是在时间窗函数移动的步长；s T ω=Ω是圆周频率，s T 为由()x t 得到()n x 的采样间隔。式（0-2）对应傅里叶变换中的DTFT ，即时间是离散的，频率是连续的。为了在工程中实现，还应将ω离散化，令2k k M

π

ω=

，则

()()()2,j

kn M

x k n

m x n n mN e

STFT g πω-*=-∑ （0-3）

上式将频率域的一个周期2π分成了M 个点，显然，它是一个M 个点的DFT 。若函数()g n 的宽度正好也是M 点，那么上式可以写成

()()()1

0,M nk

x M n m k n mN STFT W x n g -*

==-∑ ， 0,1,,1k M =-L （0-4）

若()g n 的宽度小于M ，那么可以将其补零，使之变为M ；若()g n 的宽度大于M ，则应增大M 使之等于窗函数的宽度。总之，上式为一标准的DFT ，时域、频域的长度都是M 。上式中，N 的大小决定了窗函数沿时间轴移动的间距，N 越小，m 的取值越多，得到的时频曲线越密。若1N =，即窗函数在()n x 的方向上每个一个点移动一次，这样按照上式共做L N 个M 点的DFT 。

上式的反变换是

()()1

1

n ,M nk M m k x STFT m k W

M

--==

∑∑ （0-5）

式中，m 的求和取值范围取决于数据的长度L 及窗函数移动的步长N 。 3

仿真实现

以线性调频信号和正弦调频信号为例，仿真结果如下所示。 3.1 线性调频（LFM ）信号 3.1.1 单个信号分量

信号的参数为：调频斜率K=500Hz/s ，时长1s ，带宽500Hz ，中心频率200Hz ，采样频率1600HZ

-800

-600

-400

-200

0200

400

600

800

-10-505101520

253035

40d B

frequency (Hz)

Spectrum of Signal

图 0-1 单个LFM 信号的频谱

其STFT 时频分布图如下：

time (s)

f r e q u e n c y (H z )

STFT of the Signal

00.10.20.30.4

0.50.60.70.80.9

-800-600-400-2000200400

600

图 0-2 单个LFM 信号的STFT 时频分布