2020年1月江苏省常州市教育学会高2021届高2018级高二第一学期期末学业水平监测数学试题及参考答案
江苏省常州市教育学会2018-2019学年高一上学期期末学业水平监测数学试题(解析版)
������ ������
；
∴ 3������������������������ = 2������������������������；
∴
������������������������
=
3
2．
3
故答案为：2．
⃗⊥⃗
⃗⋅⃗=0
根据������ ������即可得出������ ������ ，进行数量积的坐标运算即可得出3������������������������ = 2������������������������，从而可求
江苏省常州市教育学会 2018-2019 学年高一上学期期末
学业水平监测数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，共 56.0 分）
1. 已知集合������ = {−1,0，1，2，3}，������ = {������|������ < 2}，则������ ∩ ������中元素的个数为______．
������������������������ = ������ = 4
若
9 + ������2 5，则实数������ = 4，
江苏省常州市高级中学分校2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析
江苏省常州市高级中学分校2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的公共弦所在的直线方程为 ( )(A)x-y=0 (B)x+y=0(C)x+2y-2=0 (D)2x-3y-l=0参考答案：A2. 已知三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，则实数b的值为（）A．4 B．﹣C．D．﹣2参考答案：A【考点】三点共线．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】直接利用两点的斜率公式相等，即可判定三点共线，求出a的值．【解答】解：∵三点（2，3），（6，5），（4，b）共线，∴=，解得：b=4，故选：A．【点评】本题考查三点共线的应用，斜率相等是求解三点共线的方法之一，必须掌握．3. 若的展开式中的系数为80，则的展开式中各项系数的绝对值之和为A．32 B．81 C．243 D．256参考答案：C4. 若，则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：A5. 直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2－2x＝0的位置关系是（A）相离（B）相切（C）相交（D）无法判断参考答案：B6. 设是一个等比数列，它的前3项的和为10，前6项的和为30，则它的前9项的和为( ) A．50 B．60 C．70 D．90欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
高考资源网（），您身边的高考专家参考答案：C7. 不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：C8. 设函数，则的定义域为A. B. [2,4] C. [1,+∞) D.参考答案：B【分析】由函数解得，再由函数，得到且，即可求解．【详解】由题意，函数满足，即，所以函数满足且，解得，即函数的定义域为，故选B．9. 设集合，，，则图中阴影（（）部分所表示的集合是A. B. C. D.参考答案：B10. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为▲.参考答案：（0，2）略12. 在直角三角形ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆经过A、B点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为_________。
江苏省2021年1月常州市教育学会学业水平测试高一数学期末试题(解析版)
常州市教育学会学业水平测试高一数学 2021 年 1月注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题 卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 命题“112>>∀x x ，”的否定是 A. 112≤>∀x x ， B. 112≤≤∃x x ， C. 112≤≤∀x x ， D. 112≤>∃x x ， 【答案】D【考点】全称量词命题的否定【解析】由题意，全称量词命题的否定需要将“∀”改为“∃”，结论否定即可，所以答案选D.2. 已知集合()(){}02|=--=a x x x M ，{}31，=N ，若∅=N M ，{}321，，=N M ，则实数a 的值为A. 1B. 2C. 3D.4 【答案】B【考点】集合的运算【解析】由题意可知当集合M 为双元素集合时，{}a M ，2=，因为{}31，=N ，∅=N M ，{}321，，=N M ，则不符合题意，所以集合M 为单元素集合，即2=a ，故答案选B.3. 学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度 为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为 A. rad 6.0 B. rad 6 C. rad 06 D. rad 006 【答案】A【考点】弧度制与角度制、扇形的弧长【解析】由题意可知弧长6=l ，且10=R ，所以rad R l 6.0106===α，故答案选A. 4. 若函数()3lg -+=x x x f 的零点所在的区间为()1+a a ，，则整数a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【考点】函数的零点概念及零点存在性定理的应用【解析】由题意可知()021<-=f ，()012lg 2<-=f ，()03lg 3>=f ，所以满足()()032<⋅f f ，所以零点所在的区间为()32，，故答案选C. 5. 函数()541xx x f -=的图象大致为【答案】D【考点】函数的图象识别与判断【解析】由题意可知该函数()541x x x f -=，满足()()()()x f x x x x x f -=--=---=-545411，则函数为奇函数，所以选项A 、C 错误，可排除；因为()3215221254-=-=f ，()43280331354-=-=f ，显然()()32f f <，所以排除选项B ，故答案选D.6. 已知a ，b 都是正数，则“4≥ab ”是“ab b a =+”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【考点】逻辑用语中条件的判断【解析】由题意可知当4≥ab 时，可取41==b a ，，显然不满足ab b a =+；当ab b a =+时，且00>>b a ，，所以ab ab b a 2≥=+，即()ab ab 42≥，解得04≤≥ab ab 或，所以“4≥ab ”是“ab b a =+”的必要不充分条件，故答案选B.7. 17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了叉数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 已知3010.02lg ≈，4771.03lg ≈，设105274⨯=N ，则N 所在的区间为A. ()16151010，B. ()17161010， C. ()18171010， D. ()19181010，【答案】C【考点】指对数的运算【解析】由题意对N 取常用对数，得27lg 104lg 527lg 4lg 274lg lg 105105+=+=⨯=N =323.173lg 302lg 103lg 102lg 532≈+=+，则()181717.323101010，∈=N ，故答案选C.8.已知()x f 是定义在[]11，-上的奇函数，且()11-=-f ，当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，()()0>++b a b f a f .已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，，若()θθ2cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，则θ的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-26ππ， B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--32ππ， C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23ππ， D. ⎪⎭⎫⎝⎛-62ππ，【答案】A【考点】函数的性质综合【解析】由题意()x f 是在[]11，-上的奇函数，且当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，即b a -≠，()()0>++b a b f a f 可化为()()()()0>--=--+b a b f a f b a b f a f ，则()x f 在[]11，-上单调递增，又()11-=-f ，所以()11=f ，所以()()11max ==f x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，时，()θθ2max cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，即θθ2cos 2sin 341-+<对⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，恒成立，此时()11sin ，-∈θ，则化简为01sin 3sin 22>++θθ对⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，恒成立，即()()01sin 1sin 2>++θθ，因为()11sin ，-∈θ，所以21sin ->θ解得⎪⎭⎫⎝⎛-∈26ππθ，，故答案选A. 二、选择题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列命题中，正确的有 A. 若0>>b a ，则22bc ac >B. 若0<<b a ，则22b ab a >>C. 若0>>b a 且0>c ，则abc a c b >++ D. 若0<<b a 且0<c ，则22bca c < 【答案】BC【考点】不等式的基本性质 【解析】法一：由题意可取特殊值验证，对于A 选项，取12==b a ，，当0=c 时，不能推出22bc ac >，故选项A 错误；对于选项B ，取12-=-=b a ，，则22b ab a >>，故选项B 正确；对于选项C ，取212===c b a ，，，可得2143=>=++a b c a c b ，故选项C 正确；对于选项D ，取112=-=-=c b a ，，，可得114122=<=b c a c ，故选项D 正确；所以答案选BC.法二：由题意，对于A 选项，由不等式的基本性质可得，当0=c 时，不22bc ac >能推出，故选项A 错误；对于选项B ，因为0<<b a ，所以ab a >2且2b ab >，则22b ab a >>，故选项B正确；对于选项C ，因为0>>b a 且0>c ，所以()()()()()0>+-=++-+=-++c a a b a c c a a c a b c b a a b c a c b ，所以abc a c b >++，故选项C 正确；对于选项D ，因为0<<b a 且0<c ，所以022>>b a ，所以22110b a <<，所以22bca c >，故选项D 正确；所以答案选BC.10. 某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为 A. 2.5元 B. 3元 C. 3.2元 D. 3.5元 【答案】BC【考点】解决实际问题【解析】由题意可设杂志最高定价为x 元，总销售收入为y 元，则x x x x y 150002500050002.021000002+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--=，因为销售收入不少于22.4万元时，可得到22400015000250002≥+-=x x y ，解得2.38.2≤≤x ，所以答案选BC.11. 对于函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6cos πωx x f (其中0>ω)，下列结论正确的有 A. 若()⎪⎭⎫⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则ω的最小值为2 B. 当21=ω时，()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛034，π中心对称 C. 当2=ω时，()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π，上是单调函数D. 当1=ω时，()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到 【答案】ABD【考点】三角函数的图象与性质及变换 【解析】由题意，对于选项A ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则1612cos 12=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πωππf ，则Z k k ∈=-，ππωπ2612，解得Z k k ∈+=，242ω，因为0>ω，所以ω的最小值为2，故选项A 正确；对于选项B ，当21=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx x f ，且02cos 63421cos 34==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf ，所以()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛034，π中心对称，故选项B 正确；对于选项C ，当2=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx x f ，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-65662πππ，x ，则函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-06，π上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛650π，上单调递减，故选项C 错误；对于选项D ，当1=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 26sin 6cos ππππx x x x f ，所以()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到，故选项D 正确；所以答案选ABD. 12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 狄利克雷函数就以其名命名，其解析 式为()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 01关于函数()x D 有以下四个命题，其中真命题有A.()x D 既不是奇函数也不是偶函数B. ()()x D r x D Q r =+∈∀，C. ()()1=∈∀x D D R x ，D. ()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，， 【答案】BCD【考点】新定义函数的性质及应用【解析】由题意，对于选项A ，当x 为有理数时，x -为有理数，则()()1==-x D x D ，同理当x 为无理数时，x -为无理数，则()()0==-x D x D ，所以当R x ∈时，()()x D x D =-，所以函数为偶函数，故选项A 错误；对于选项B ，当x 为有理数时，r x +为有理数，所以()()1==+x D r x D ，x 为无理数时，r x +为无理数，()()0==+x D r x D ，所以()()x D r x D Q r =+∈∀，，故选项B 正确；对于选项C ，当x 为有理数时，()()()11==D x D D ，当x 为无理数时，()()()10==D x D D ，所以()()1=∈∀x D D R x ，，故选项C 正确；对于选项D ，当x 、y 均为无理数，可令32==y x ，时，y x +为无理数，则()0=+y x D ，()()000=+=+y D x D 满足()()()y D x D y x D +=+，所以()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，，，故选项D 正确；所以答案选BCD.三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若角α的终边经过点()43，-P ，则()=+πα2021sin 【答案】54-【考点】三角函数的概念、诱导公式 【解析】由题意()54434sin 22=+-=α，则()()54sin sin 2021sin -=-=+=+απαπα，故答案为54-. 14. 计算:()=+⎪⎭⎫⎝⎛--326log 125.0212【答案】10【考点】指对数运算【解析】由题意，原式()104686868123232326log 2=+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，故答案为10.15. 已知函数()()mm xm m x f 42222---=是幂函数，且()∞+∈，0x 时，()x f 单调递减，则 m 27log 的值为【答案】31【考点】幂函数的概念及性质【解析】由题意可得1222=--m m ，解得13-==m m 或，当3=m 时，()3-=x x f 在()∞+，0上单调递减，满足题意，所以313log 313log log 33273===m ；当1-=m 时，()5x x f =在()∞+，0上单调递增，不满足题意，故舍去，综上，3=m ，31log 27=m . 16. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=11102x xx x x f ，，若关于x 的方程()()02=--m f x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范固是 .【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛2141，【考点】用数形结合思想解决函数的零点问题【解析】由题意()212=f ，则原方程可化为()021=--m x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，即函数()()2f x f -的图象与函数m y =的图象在[0，4]上有三个交点，所以()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=-12111021221x x x x x f ，，，可作出函数()()2f x f -的图象，由图像可知在[0，4]上有三个交点，得到⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2141，m .或函数()()2f x f -的图象可先作出函数()x f 的图象，再向下平移21个单位长度，最后再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到.四、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学答案
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ参考答案2020年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1,12.13.104.0，5.26.71017.8.5129.6410.2211.212.1413.1 217,011714.1,25 1326二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC中，0B ，则sinB 0，因为B3，所以sin1cos21(3)2 6cos B B．…………………………3分33 3在ABC中，A B C ，所以sinC sin((A B))sin(A B)，…………5分33163 6所以sinC sin(B)sin cosB cos sin B ．3332323 6……………………………8分3（2）由余弦定理得b2a22accosB c2，则(2)212c c2，…………10分3所以223103c c ，(c 3)(c )0，……………………………12分3 3因为3c 0，所以c 30，即c 3． (14)分316．（本小题满分14分）证明：（1）取PC，BC的中点E,F，连结ME，EF，FN，三角形PCD中，M，E为PD，PC的中点，所以EM∥CD，1EM CD；三角形ABC中，F，N为BC,AC的中点，2所以FN∥AB，1FN AB，2因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AB CD，高三数学Ⅰ答案第1页（共7页）从而EM∥FN，EM=FN，所以四边形EMNF是平行四边形.……………………4分所以MN∥EF，又EF 平面PBC，MN 平面PBC，所以MN∥平面PBC.……………………………6分（2）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA CD.因为四边形ABCD是矩形，所以AD CD.……………………………8分又因为PA AD A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD 平面PAD.又AM 平面PAD，所以CD AM.……………………………10分因为AP AD，M为PD的中点，所以AM PD，又因为PD CD D，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM 平面PCD．……………………………12分又PC 平面PCD，所以PC AM．……………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）圆A:(x 2)y 1的圆心A(2,0)，半径r 1，与x轴交点坐标为(1,0),(3,0)2 2点F2在圆A:(x 2)2y21上，所以F2(1,0)，从而a 2，c 1，2 2x y所以b a2c222123，所以椭圆C的标准方程为 1.……4分4 3（2）由题，设点M(x1,y1)，0x12,y10；点N(x2,y2)，x20,y20.则AM (x 2,y)，1 1AN (x 2,y)，由2 213AM AN知点A，M，N共线.……5分2直线AM的斜率存在，可设为k（k>0），则直线AM的方程为y k(x 2)，由y k(x 2)，，得(x 2)y 12 21k2x 21k2k 1ky221k，，或1k2x 2，1k2，k 1ky221k所以1k k 1k2 2N(2，)，……………………………7分1k 1k2 2高三数学Ⅰ答案第2页（共7页）8k 2 6 y k(x2)，x，x 2，3 4k2由22，得 (3 4k 2 )x 2 16k 2 x 16k 2 12 0，解得，或，x y1y 012ky 4 323 4k所以 8k6 12k 2M( ， ) ， ……………………………10 分3 4k 34k22代入13AMAN 得28k6 12k 13 1k k 1k222( 2 )( )， ，，3 4k3 4k 21k 1k22223 (4k9)(52k51) 0 ，又 k>0，得 k， ……………………………13 分2223 2 3所以 M ) ，又 F 1(1,0) ，可得直线 F 1M 的斜率为(1,21(1)3 4．…………………14 分 18．（本小题满分 16 分）（图1）（图2）解：（1）在图1中连结AC,BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP，因为ABCD是边长为102cm的正方形，所以OB=10（cm)，x x由FG=x，得OM，PM BM10，……………………………2分2 2x x因为PM OM,即10,所以0x10．……………………………4分2 21x因为S4FG PM2x(10)20x x2，……………………………6分2 2由20x x275，得5≤x15，所以5x10．答：x的取值范围是5x10．……………………………8分高三数学Ⅰ答案第3页（共7页）（2）因为在 RT OMP 中，OM 2 OP PM ，22x x 所以 OP OM)( ) 100 10x ， PM 22(102 22 2 11 1 VFG 2 OP x 100 10x100x10x ，0 x10 ，…………10 分245333 设 f (x) 100x 410x 5 ， 0 x10 ，所以 f (x) 400x 3 50x 450x 3 (8 x) ，令 f(x) 0，得 x 8或x 0 （舍去）．……………………………12 分列表得，x (0，8) 8 (8，10) f'(x) ＋ 0 － f(x)↗极大值↘所以当 x ＝8 时，函数 f (x) 取得极大值，也是最大值， ……………………………14 分128 所以当 x ＝8 时，V 的最大值为35 ．128 答：当 x ＝8 cm 时，包装盒容积 V 最大为35 （cm 3 ）． ………………………16 分19．（本小题满分 16 分） （1）函数 f (x) 的定义域为 (0,) ， 21 f (x) (2ax 2) l n x (ax2x)ax 2(ax 1) l n x 2ax 2 2(ax 1)(l n x 1)，……2 分x 则 f (1) 2(a 1) 2 ，所以 a 0 ， ……………………………3 分此时 f (x) 2xln x1，定义域为 (0,) , f (x) 2(ln x 1)，令f (x)0，解得1x ；令f (x)0，解得e1x ；e高三数学Ⅰ答案第4页（共7页）所以函数f(x)的单调增区间为1(,)，单调减区间为e1(0,)e．…………………6分（2）函数af(x)(ax22x)ln x x21在区间[1,e]上的图象是一条不间断的曲线．2由（1）知f (x)2(ax 1)(l n x 1)，1）当a≥0时，对任意x(1,e)，ax 10,l n x 10，则f (x)0，所以函数f(x)在区a间[1,e]上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)2在区间(1,e)上无零点；……………………………8分2）当a 0时，令f (x)0，得1x 或e1a，其中1e1，1 ①若a ≤，即a ≤1，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]上1a af，且(e)e22e e210 单调递减，由题意得(1)10f a ，解得2 22(2e 1)2a ，其中23e 2(2e 1)3e 4e 22(2e 1)2(1)0，即1，2 23e23e3e所以a的取值范围是2a≤1；……………………………10分1 1②若≥e，即≤a 0，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]a ea上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)在2区间(1,e)上无零点；……………………………12分1 ③若1ea ，即11a ，则对任意e1x (1,)a，f (x)0；所以函数f(x)在区1 间[1,]a 上单调递增，对任意1x (1,]aa，都有f(x)f(1)10成立；2对任意1 1x ，f (x)0，函数f(x)在区间(,e)[,e]上单调递减，由题意得x ，f (x)0，函数f(x)在区间a aa2 2f(e)ae 2e e 10，解得22(2e 1) a，23e其中2(2e 1)13e 4e 2e 22(2e 1) 1 ()0，即()，3e e3e3e3e e 222 22(2e 1)所以a的取值范围是1a ．……………………………15分23e综上可得，实数a的取值范围是2(2e 1)2a ． (16)分23e高三数学Ⅰ答案第5页（共7页）20．（本小题满分16分）解：（1）设等比数列{a}公比为q，由8a=4a=1得8a q2=4a q=1，n321 1解得1a=q=，故121a=.……………………………3分n n22111123112 3（2）|a (a 1)||(1)||()+|=()+.…………5分n n n n n n2422422 411 1n N*，且n≤m时，有≤≤，对任意正整数m，当02m2n 2则(11)2+31+3=1，即|a (a21)|≤1成立，2n244 4n n故对任意正整数m，数列{a}，{a21}是“(m,1)接近的”.…………………8分n nS(b b) 1 （3）由1=n n nb b 2n n 1 ，得到1S(b b)=b b ，且b n，b n10，n n1n n n 12从而b bb b ，于是 110S=n nn n n2()b bn1n.……………………………9分b b当n 1时，S=1 212(b b)2 1 ，b，解得2 21=1b ，当n≥2时，b b b bb S Sn n1n1nn n n 12(b b)2(b b)n1n n n 1，又b 0，n整理得b 1b 12b，所以b n1b n b n b n1，因此数列{b n}为等差数列.n n n又因为b1=1，2=2b，则数列{b}的公差为1，故b n.……………………11分n n根据条件，对于给定正整数m（m≥5），当n N且n≤m时，都有*1(2)|2n(2)|≤成立，|b k|n k Lnan即L2n n2≤k≤L2n n2①对n1,2,3,m都成立.…………12分考察函数f(x)2x x2，f(x)2x ln22x，令g(x)2x ln22x，高三数学Ⅰ答案第6页（共7页）则g(x)2x(ln2)22，当x>5时，g(x)0，所以g(x)在[5,)上是增函数.又因为g(5)25ln2100，所以当x 5时，g(x)0，即f (x)0，所以f(x)在[5,)上是增函数.注意到f(1)=1，f(2)f(4)0，f(3)1，f(5)7，故当n 1,2,3,m时，L 2n n2的最大值为L 2m m2，L 2n n的最小值为L 1.……………………………14分2欲使满足①的实数k存在，必有L 2m m2≤L 1，即2m m 12L≥，2因此L的最小值2 1m m22，此时k2 1m m2.……………………………16分2高三数学Ⅰ答案第7页（共7页）常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题）参考答案2020 年 1 月21．【选做题】在 A 、B 、C 三 小 题 中 只．能．选．做．两．题．， 每 小 题 10 分，共计 20 分．A ．解：（1） A 13221 1 2． ……………………………4 分 （2）点 (a,b) 在矩阵 1 3 A 2 4 对应的变换作用下得到点 (4,6) ，所以 a 4A b 6， …6 分 所以3 2 a4 2 4 1A1b 6 1 6 112， ……………………………8 分 所以 a 1,b 1，得 a b 2 ．……………………………10 分B ．解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是 ρ 2r cos θ ． ππ又因为点 P(2 3, ) 在圆上，所以 2 32rcos ，解得 r2 .66因此所求圆的极坐标方程是 ρ 4cos θ . ……………………………10分C ．解：函数 yx 2 x 6x 1的定义域为[0,)， x 1 0. (2)分x 2x 6(x 1)4(x 1)9992(x 1)4≥2(x 1)4 2，x 1x 1x 1x 1当且仅当x 19，即x 4时取到“=”.……………………………8分x 1所以当x 4时，函数yx 2x6x 1的最小值为2.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A，则A表示“取出的3个样品3343343657中没有优等品”，P A，所以(10.3)P A 1P A 1，……3分100010001000答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000.……………………………4分（2）X B(3,0.3)，P(X k)C k0.3k (10.3)3k，k 0，1，2，3，…………………………6分3随机变量X的分布如下表：高三数学Ⅱ答案第1页（共2页）X012 3P343100044110001891000271000……………………………8分343441189279E(X)0123．1000100010001000109答：随机变量X的数学期望是10.……………………………10分23．解（1）A1t|t a13a0,其中a i A,i 0,14,5,7,8，所以A中所有元素的和为24；集合1 A中元素的个数为2n1.…………………………2分n（2）取s l 2n，下面用数学归纳法进行证明.①当n 2时，A213,14,16,17，22,23,25,26，……………………………3分取b113,b217,b323,b425,c114,c216,c322,c426，有b1b2b3b4c1c2c3c478，且12223242122232421612b b b bc c c c成立.…4分222 2k k k k22 ②假设当n k，k N*且k≥2时，结论成立，有b c，且b c成立.i i i ii1i1i1i 1当n k 1时，取B b b b c c c，231,31,,231,231,231,,2231k k k1121 2k k k k k kC c c c b b b，23,3,,23,23,23,,22 3k1k1k1k1k1k 1 k112k12k此时B，C无公共元素，且2k2k1 1 B2C2A (6)分k1k1k 1有222 2k k k kk1k1k1k 1 (b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，且i i i ii1i1i1i 122222 2k k k k k k(b 3k1)2(c 23k1)2b2c223k1b 43k1c 2k[(3k1)2(23k1)2]，i i i i i ii1i1i1i1i1i 122222 2k k k k k k(c 3)(b 23)c b 23c 43b 2[(3)(23)]，k12k1222k1k1k k12k1 2 ii i i i ii1i1i1i1i1i 1由归纳假设知2 2k kb c，且i ii1i 12 2k k2 2b c，所以i ii1i 1222 2k k k k(b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，k12k12k12k1 2 ii i ii1i1i1i 1即当n k 1时也成立；……………………………9分综上可得：能将集合A，n≥2分成两个没有公共元素的子集B b1,b2,b3,,b 和n s sC c1,c2,c3,,c，s,l N*，使得b2b2b2c2c2c2成立.………10分1212l ls l高三数学Ⅱ答案第2页（共2页）。
江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题【含答案】
常州市教育学会学业水平监测高二数学2024年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x=-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （）A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（）A ．310B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（）A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy+的最小值为（）A ．172B．1+C ．4D．4+7．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．33B．CD．2+8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232xf x f x x --<-+的解集为（）A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞ D ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A =B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ =Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ =Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b ++=，2=-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A .(1)求集合A ；(2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.1．B【分析】先将集合M 化简，再利用交集运算的定义求解.【详解】集合{}{}2230|13M x x x x x =--<=-<<，因为21ln 5ln e 2lne =<<=，所以{|1ln 5}M N x x ⋂=-<≤，即(1,ln 5]M N ⋂=-.故选：B 2．C【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得.【详解】22a y x x '=+，由题意22222a⨯+=，解得8a =-.故选：C.3．B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．C【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有25C 10=种选法，选的两人恰有1名男生与1名女生的有1132C C 6=种选法，所以所求的概率为63105=.故选：C 5．D【分析】借助正态分布的对称性可得()150180P X ≤≤，即可得解.【详解】由()2165,X N σ ，()1800.1P X ≥=，则()150180120.10.8P X ≤≤=-⨯=，100000.88000⨯=，故人数约为8000人.故选：D.6．D【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得.【详解】()22222224=2x y x y xyxy xy xyx y x y +++++⋅=4≥==+，当且仅当222x y =，即47x =，2217y =时，等号成立.故选：D.7．B【分析】利用正切型函数的图像得出T ，再算出,ωϕ，从而得解.【详解】由图像可知：ππ2π2263T T =-⇒=，所以π32T ω==，把π,02⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得：()3π3πtan 0π224k k ϕϕ⎛⎫⋅+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，取1k =得π4ϕ=，所以()3πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π35ππ2πtan tan1821843f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.8．B【分析】构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性，在将所给不等式中()f x 化为()g x 即可得解.【详解】令()()212g x f x x x =++，则()()1g x f x x ''=++，由题意可得，当0x ≥时，()10f x x '++>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2f x f x x =--，则()()2211222g x x x g x x x x --=--+-，即()()g x g x =-，故()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则不等式()()232232x f x f x x --<-+可化为：()()()()2221132222223222x g x x x g x x x x ------++<-+，即()()22g x g x -<，则有22x x -<，即()2222x x -<，即()()22220x x x x -+--<，即()()3220x x --<，解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性.9．BD【分析】对A ：利用周期函数性质举出反例即可得；对B ：将x 与()sgn x 都写成分段形式即可得；对C 、D ：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.【详解】对A ：由()sgn 00=，当0x ≠时，()sgn 0x ≠，故()sgn x 不是周期函数，故A 错误；对B ：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，由()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则(),0sgn =0,0,0x x x x x x x >⎧⎪--=⎨⎪-<⎩，故对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--，故B 正确；对C ：()2,02sgn 0,02,0x xx x y x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时，()21,x y =∈+∞，当0x =时，0y =，当0x <时，()21,0xy =-∈-，综上所述，函数()2sgn xy x =的值域为(]()1,01,⋃-+∞，故C 错误；对D ：()222,01sgn ln =0,1,1x x y x x x x x ⎧<<⎪=-=⎨⎪->⎩，则01x <<时，()20,1y x =∈，当1x =时，0y =，当1x >时，()2,1y x =-∈-∞-，故函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可知()345310102010P M ++==++，()11011010204P A ==++故()()1113()3401104P MA P M A P A ===,()2235()2403()310P A M P A M P M +===,()33351()(),103458P MA P M P A M =⋅=⨯=++故选：ACD 11．AD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出Q 点坐标，对A ：利用空间两点间距离公式计算即可得点Q 轨迹，即可得其长度；对B ：借助空间向量求出平面1A BD 法向量可得点Q 轨迹，即可得其长度的最小值；对C ：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点Q 轨迹即可得其范围；对D ：求出平面11AA B B 法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()2,1,2P ，设()0,,Q m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，对A ：PQ ==()()22121m n -+-=，则点Q 的轨迹为以()0,1,2为圆心，1为半径，且在正方形11CC D D 内部的半圆，则点Q 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确；对B ：()2,1,2PQ m n =---，()12,0,2A ，()2,2,0B ，则()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，令平面1A BD 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可令11x =，则111y z ==-，即()1,1,1m =-- ，由//PQ 平面1A BD ，则有()()()()2111210PQ m m n ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=，即1m n +=，则PQ ===≥，故B 错误；对C ：()2,0,0A ，()2,,AQ m n =- ，()2,2,BQ m n =--，设平面ABQ 的法向量为()222,,x y z α=，则有()22221220220AQ x my nz BQ x m y nz αα⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可令2x n =，则20y =，22z =，即(),0,2n α=，易得x 轴⊥平面ABP ，故平面ABP 的法向量可为()1,0,0β=，则cos ,αβαβαβ⋅==⋅ 由A 知()()22121m n -+-=，故()()221120m n -=--≥，即[]1,2n ∈，则52cos ,,52αβ=⎥⎣⎦ ，故二面角Q AB P --C 错误；对D ：()2,1,2PQ m n =--- ，平面11AA B B 法向量为()1,0,0β=，则sin cos ,PQ PQ PQ βθββ⋅===⋅由02m ≤≤，02n ≤≤，则()()[]22120,5m n -+-∈，故2sin ,13θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.12．2（答案不唯一）【分析】取1,1a b =-=即可代入求解.【详解】取1,1a b =-=，则()()()()01e 1,11f a f g b g =-====，满足()()f a g b =，此时2b a -=，故答案为：2（答案不唯一）13．24【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】如图，设圆锥的底面圆半径为r ，则8π2π4r r =⇒=，D 是弧AC 的中点，ADC △为等腰直角三角形，故2DC r ===过A 作//AM DC 交底面圆于M ，则M 为弧AC 中点，故22222AM AC r ==⨯=,又8OA OM ==,所以12cos 84AMOAM OA ∠==，故异面直线OA 与CD ．故答案为：24.14．2-【分析】由题先分析出实数,,a b c ，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为0a b ++=，2=-，所以,a b 两个数中有一个负数，不妔设a<0，所以{}min ,,a b c a =，由已知可得a b =-，所以(2b -+-，所以(2b +=，所以2(b =≥，所以31≤，所以1≤，由2a=≤-，故{}min ,,a b c 的最大值是2-.故答案为：2-15．(1){}|1a a >(2)[)2,+∞【分析】（1）根据Δ0<求出a 的取值范围，即可求出A ；（2）依题意可得101x m m x-->--，解得即可求出B ，再根据B A ⊆，得到11m -≥，解得即可.【详解】（1）因为命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题，所以2240a ∆=-<，解得1a >，所以{}|1A a a =>；（2）对于函数()1ln 1x m f x m x--=--，则101x m m x -->--，即()()110x m x m -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为11m m +>-，解得11m x m -<<+，所以{}|11B x m x m =-<<+，又B A ⊆，所以11m -≥，解得2m ≥，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.16．(1)证明见解析(2)5π6【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）连接PC ，设其与DE 交于M ，由四边形PDCE 是平行四边形，则M 为PC 中点，连接FM ，又F 是PA 的中点，则//FM AC ，由AC ⊄平面DEF ,FM ⊂平面DEF ,故//AC 平面DEF ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则PD CD ⊥，PD AD ⊥，有CD PA ⊥，PA PD P = ，,PA PD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，故PD 、DA 、DC 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()0,0,1P 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，则()1,0,1PA =- 、()1,1,1PB =- 、()0,2,1PC =- ,令平面FPB 与平面PBC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = ，则有1111100m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，22222020m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令121x x ==，则有10y =，11z =，21y =，12z =，即()1,0,1m = ，()1,1,2n = ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 由图可知，二面角F PB C --为钝角，故二面角F PB C --的余弦值为，则二面角F PB C --的大小为5π6.17．(1)11,22⎤-⎢⎥⎣⎦(2)ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出π6ϕ=，进而求出函数()f x 在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出()g x ，再利用正弦函数的性质求出递增区间.【详解】（1）选条件①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得ππ4π7π2,2233x ϕϕϕϕ⎛⎫-<<⇒+∈++ ⎪⎝⎭，所以满足条件π4π2π23,Z 7ππ2π32k k k ϕϕ⎧-≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，得11π11π2π2π,Z 66k k k ϕ-≤≤-∈，又ππ22ϕ-<<，所以取1k =，所以π6ϕ=；选条件②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，得ππsin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，得π06ϕ-=，所以π6ϕ=选条件③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知π6x =是()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，所以πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，则ππ,Z 6k k ϕ=+∈又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x -≤，由()1f x m -≤恒成立，得()()11f x m f x -≤≤+，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()1f x -的最大值为12-，()1f x +的最小值为12，则1122m -≤≤所以实数m的取值范围11,22⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π42π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，得ππππ,Z 21226k k x k -≤≤+∈，()g x 的单调增区间是ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．(1)12(2)3.75(3)11572048【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到()5,0.75X B ~，根据二项分布期望公式求出答案；（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.【详解】（1）小王能全部答对的概率为59510C 1C 2=；（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A ，则()0.1P A =，聊天机器人作答正确为事件C ，则()()()()()()()P C P AC P AC P A P C A P A P C A =+=⋅+⋅0.10.30.90.80.75=⨯+⨯=，故聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，数学期望50.75 3.75EX =⨯=；（3）由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为59510C 1C 2=，答对4道题的概率为4191510C C 1C 2=，由（2）知，聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，故机器人能答对5道题的概率为5553243C 41024⎛⎫= ⎪⎝⎭，机器人能答对4道题的概率为44531405C 441024⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为1243243210242048⨯=，小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为1243243210242048⨯=，都答对4道题的概率为1405405210242048⨯=，所以小王获胜的概率为243243405115712048204820482048---=.19．(1)2a ≤(2)3，证明见解析【分析】（1）参变分离后可得1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；（2）构造函数()()e ln 131x x x x μ=++--，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程()1f x =的实数根的个数.【详解】（1）()1e 1x f x a x =+-+'，则有()1e 01x f x a x +'=+-≥在()1,∞-+上恒成立，即1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，令()1e 1x g x x =++，则()()21e 1x g x x =-+'，令()()()21e 1x h x g x x ==-+'，则()()32e 1x h x x =++'，则当()1,x ∞∈-+时，()()32e 01x h x x +'=+>恒成立，故()g x '在()1,∞-+上单调递增，又()()0210e 001g '=-=+，故当()1,0x ∈-时，()00g '<，当()0,x ∞∈+时，()00g '>，故()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即有()()010e 201g x g ≥=+=+，故2a ≤；（2）当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根，证明如下：当3a =时，令()1f x =，即()e ln 131x x x ++-=，令()()e ln 131x x x x μ=++--，则()1e 31x x x μ=+-+'，由（1）知()1e 1x g x x =++在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()1e 31x x x μ=+-+'在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()010e 31001μ=+-=-<+'，()1151e 3e 0112μ=+-=-'>+，223321e 3e 02313μ--⎛⎫-=+-=> ⎪⎭+'⎝-，故存在12,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()20,1x ∈，使()()120x x μμ''==，由()()00e ln 013010μ=++-⨯-=，故0x =是方程()1f x =的一个根，则()10x μ>，()20x μ<，又1x →-时，()x μ∞→-，()()3333e ln 31331e ln 410e 90μ=++-⨯-=+->->故存在()11,m x ∈-，使()0m μ=，即x m =是方程()1f x =的一个根，存在()2,3n x ∈，使()0n μ=，即x n =是方程()1f x =的一个根，综上所述，当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数.。
2018年1月江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三期末试题及参考答案常州一模
高三数学Ⅰ试题
2018 年 1 月
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题 卷）满.本分 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答 必须用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚． 4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔．
0)
的两
条渐近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C 的离心率e 的取值范围是 ▲ .
1
x y ≤ 0, 10．已知实数 x, y 满足 2x y 2≥ 0, 则 x y 的取值范围是 ▲ ．
x 2 y 4≥ 0,
11．已知函数 f (x) bx ln x ，其中 b R ．若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y f (x) 相切，
棱 PB 上），求证： QF ∥ BC ．
（第 16 题）
2
17．（本小题满分 14 分）
已知小明（如图中 AB 所示）身高 1.8 米，路灯 OM 高 3.6 米，AB，OM 均垂直于水平地面，
分别与地面交于点 A，O．点光源从 M 发出，小明在地面上的影子记作 AB' ．
（1）小明沿着圆心为 O，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求 AB' 扫过的图形面积；
江苏省常州市教育学会2024学年高二化学第一学期期末经典模拟试题含解析
江苏省常州市教育学会2024学年高二化学第一学期期末经典模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、常温下，等体积等pH的盐酸和醋酸两溶液，下列说法正确的是A．分别与适量且等量的锌粒反应，平均反应速率前者大B．两溶液导电能力相同C．分别与等浓度的氢氧化钠溶液反应至中性，消耗的氢氧化钠的体积相同D．稀释10倍后，盐酸的pH比醋酸溶液的pH小2、重铬酸钾溶液中存在如下平衡：Cr2O72-(橙红色)+H2O 2H++2CrO42-(黄色)，向K2Cr2O7溶液中加入下列哪种试剂，溶液颜色会从黄色逐渐变为橙红色A．NaHSO4 B．NaHCO3C．Na2CO3 D．CH3COONa3、t℃时，在体积不变的密闭容器中发生反应：X（g）+3Y（g）⇌2Z（g），各组分在不同时刻的浓度如下表：下列说法正确的是（）物质X Y Z初始浓度/mol•L﹣10.1 0.2 02min末浓度/mol•L﹣10.08 a b平衡浓度/mol•L﹣10.05 0.05 0.1A．平衡时，X的转化率为20%B．t℃时，该反应的平衡常数为40C．增大平衡后的体系压强，v正增大，v逆减小，平衡向正反应方向移动D．前2min内，用Y的变化量表示的平均反应速率v（Y）=0.03mol•L﹣1•min﹣14、极稀溶液中溶质的物质的量浓度很小，常用其负对数pc表示（pc B=－lgc B）。
如某溶液中溶质的物质的量浓度为1×10﹣5mol·L﹣1，则该溶液中溶质的pc=5。
江苏省常州市教育学会学生学业水平监测高三期末卷数学(理)
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学I试题2018年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上..1.若集合A 二｛ -2,0,1｝, B 二｛x|x21｝，则集合A B =▲.2 .命题“去可0,1],x2 -1 > 0 ”是▲命题（选填“真”或“假” ）. —An^nr A_23. 若复数z满足z 2i = z +1（其中i为虚数单位），则Z = ▲.4. 若一组样本数据2015 , 2017, x, 2018, 2016的平均数为2017,则该组样本数据的方差为▲.5. 右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲.16. 函数f（x）= 的定义域记作集合D .随机地投掷一枚质地均匀的In x正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2，…,6 ），记骰子向上的点数为t，则事件“ D ”的概率为▲.7. 已知圆锥的高为6，体积为&用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7,则该圆台的高为▲.&各项均为正数的等比数列：a,中，若a2a3a4 -a2 a3 a4，则a3的最小值为▲.x2 y29.在平面直角坐标系xOy中，设直线l :x y ^0与双曲线C: 2 - 2=1（a 0,b 0）的两a b条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是▲.x —y w 0,10.已知实数x,y 满足 2x y -2 > 0,则x y 的取值范围是▲.x —2y 亠4 > 0,11. 已知函数f （x ）=：bx ・l nx ，其中b ■ R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y = f （x ）相切,则k -b 的值为 ▲. 12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数y =sin （•・x •「）（小-0,0 ：：： • ：：： n 的图象与 x 轴的 交点A,B,C 满足OA OC =2OB ，则 即=▲_13. 在 ABC 中，AB =5,AC =7,BC =3 , P 为厶ABC 内一点（含边界），若满足1 --BP BA -BC （: •二R ），则BA BP 的取值范围为▲.414. 已知 ABC 中，AB =AC =打3 , ABC 所在平面内存在点 P 使得PB 2 PC^3PA^3 ,则ABC 面积的最大值为▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）已知.ABC 中，a, b, c 分别为三个内角 A ,B,C 的对边，.3bsinC =ccosB c . （1）求角B ;16. （本小题满分14分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC _平面ABCD , PB 二PD ，点Q 是 棱PC 上异于P , C 的一点. （1）求证：BD _AC ；（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF （点F 在 棱 PB 上),求证：QF // BC .(2)若 b 2=ac ,1 1+ta nA ta nC的值.17. （本小题满分14分）已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯0M 高3.6米，AB, OM 均垂直于水平地面, 分别与地面交于点 A ，0.点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作 AB'.（1 ）小明沿着圆心为 0,半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若0A =3米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段 AA 1走到A , 0AA 二彳，且AA =10米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为最小值.18. （本小题满分16分）2 2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : ^-= 1（a b 0）的右焦点为F ,点A 是a 2b 2椭圆的左顶点，过原点的直线 MN 与椭圆交于M,N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准4 2线交于P 点.已知AM _MN ，且OA OM b . 3 ------------------- a -------------------------- 1（1） 求椭圆C 的离心率e ； 10（2） 若S AMN S PO ^ a ，求椭圆C 的标准方程. 319. (本小题满分16分) 已知各项均为正数的无穷数列｛耳｝的前n 项和为S n ，且满足a (其中a 为常数)，*b 2+a 气nS n 出=(n +1)S + n(n +1) (n 乞 N ).数列｛b h ｝满足 b n = J ------ (n w N *).V a n a^i(1 )证明数列｛a n ｝是等差数列，并求出｛a n ｝的通项公式；f （t ）（单位：米），求f （t ）的表达式与（第 17题）(2)若无穷等比数列｛c n｝满足：对任意的n・N*，数列｛b n｝中总存在两个不同的项b s, b t (s,t E N* ),使得b s < C n < b t，求｛c n｝的公比q .20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)二lnx2，其中a为常数.(x+a)2(1 )若a =0，求函数f (x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,_ a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3 )若a=—1，设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0，求证：f(x o)<-2 .。
2020年1月江苏省常州市教育学会2020届高三上学期期末学业水平质量监测英语试题及答案
绝密★启用前江苏省常州市教育学会2020届高三年级上学期期末学业水平质量监测英语试题2020年1月第一卷（选择题，共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What are the speakers going to do?A. Buy a new ear.B. Drive in the city.C. Wash the white paint.2. Why isn't the man going to the sale?A. He must go to work.B. The weather in not cold.C. It ends today，3. What are the speakers doing?A. Picking fruit.B. Eating candy. C Shopping，4. What is the relationship between the speakers?A. Cousins.B. Beat friends.C. Brother and sister.5. When did the man start losing his hair?A. About three years ago.B. About seven years ago.C. About ten years ago.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
江苏省常州市2020-2021学年高二上学期期末学业水平监测语文试题 Word版含答案
江苏省常州市2020-2021学年高二上学期期末语文试题一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下列小题。
“凡尔赛文学”：调侃还是炫耀胡一峰最近，“凡尔赛文学”在网上火了，根据网友的总结，“凡尔赛文学”是“一种表演高级生活的精神”，但又不正面、直白地描述或展示生活之高端，而是用轻描淡写的语气和言辞，看似漫不经心地说某个话题或故意流露出某个细节，来展现自己高人一等的优越感。
所以，有人提出，“凡尔赛文学”是“用最低调的话，炫最高调的耀”；也有人把“凡尔赛文学”的内容概括为漫不经心地做作、故作困扰的炫耀、欲拒还迎的责怪；还有人总结了“凡尔赛文学”的三大要素：先抑后扬（或明贬暗褒），自问自答，灵活运用第三人称视角。
网上流行的“凡尔赛文学”应区分为两类。
一类是真心炫耀，此类“凡尔赛文学”所表述的内容或许是真实的也或许是虚假的，但创作者自我炫耀的心态是真的；另一类则是借此调侃，此类“凡尔赛文学”只是借用这种网络流行句式，完成某种话语修辞，并非为了炫耀，而只是为了营造场景、增强思想或情绪的表达效果。
区分两种“凡尔赛文学”，有助于我们更清晰地发现其文化和心理基础。
作为炫耀工具的“凡尔赛文学”，植根于人性深处的炫耀心理。
炫耀之心，古已有之。
《史记·项羽本纪》中记载：“项王见秦宫室皆以烧残破，又心怀思欲东归，曰：‘富贵不归故乡，如衣绣夜行，谁知之者！’”项羽富贵还乡的渴望，不但表现出炫耀之心，而且表明熟人社区是更好的炫耀对象。
这或许也为“凡尔赛文学”多现于朋友圈提供了佐证。
民间还流传着这样的笑话，某人家贫，吃不起肉，出门时用肉皮把嘴抹得油光锃亮，让人以为自己吃了肉。
如果说项羽尚属“实力炫耀”，肉皮抹嘴者则是“打肿脸充胖子”，用嘴上浅浅的油光来暗示腹中大有油水，这一细节很得“凡尔赛文学”之真谛，也说明“凡尔赛文学”有深刻的心理基础。
作为文体的“凡尔赛文学”，实际上是一种修辞术。
通过运用诸如正话反说、翻转、对比、错位等各种手法造成强烈的场景效果，带给人超越语言之外的感受。
2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ＝0}，B ＝{x |lnx ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，1]B ．[0，1）C ．（﹣∞，1]D ．[0，1]2．在复平面内，复数z =−12+√32i 对应的向量为OA →，复数z +1对应的向量为OB →，那么向量AB →对应的复数是（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3iD ．−√3i3．已知实数a ，b 满足等式lga ＝lnb ，下列三个关系式中可能成立的个数为（ ） ①a ＜b ＜1；②1＜a ＜b ；③a ＝b ． A ．0B ．1C ．2D ．34．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是（ ） A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的充分条件D ．“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA →=（5，0），OB →=（4，3），弧AB 的中点为C ，则OC →=（ ）A ．(92，32)B ．(3√102，√102)C ．（4，2）D ．(2√5，√5)6．已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A 到平面PBC 的距离是（ ） A ．3√2B ．√6C ．3D ．3√327．已知定义在R 上的函数f （x ）的导数为f ′（x ），f （1）＝e ，且对任意的x 满足f '（x ）﹣f （x ）＜e x ，则不等式f （x ）＞xe x 的解集是（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1+d2＝（）A．2B．4C．6D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符三合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n（n≥4），其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k+1（k＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A．极差B．平均数C．中位数D．标准差10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ（单位：℃）与时间t（单位：h）近似地满足函数关系θ＝A sinωt+B（A＞0，B＞0，0＜ω＜12），其中0≤t≤24．已知当天开始计时（t＝0）时的温度为25℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19℃，则（）A．ω=π12B．当天下午3：00温度最高C．温度为28℃是当天晚上7：00D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22℃11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A．存在点P，使得CP⊥平面A1DBB．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°C．PC+PD的最小值为2√3D．以P为球心，P A为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是2√2 3π12．关于函数f(x)=2x+1√x+1，下列说法正确的有（）A．函数f（x）的图象关于点(−12，0)对称B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则t=√5D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线的标准方程为x2k−4+y2k−5=1，则该双曲线的焦距是．14．已知函数f（x）={−a−x2+3x，x＜0，|log3x|−2，x＞0，若f[f(13)]=a，则实数a的值为．15．如图，以等腰直角三角形BA0A1的直角边BA1为斜边，在△BA0A1外侧作等腰直角三角形BA1A2，以边BA0的中点O1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A0A1；再以等腰直角三角形BA1A2的直角边BA2为斜边，在△BA1A2外侧作等腰直角三角形BA2A3，以边BA的中点O2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A1A2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i﹣1A1的直角顶点A i首次落到线段BA0上，作出相应的圆弧后结束．若BA0＝4，则i＝，所有圆弧的总长度为．16．已知二面角α﹣1﹣β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2+cn+c，c∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，2a m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N（6，σ2），其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求σ；（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布X～N（μ，σ2）来说，通过Z=X1−μσ转化为标准正态分布Z～N（0，1），从而查标准正态分布表得到P（X＜X1）＝Φ（Z）．可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ（Z）19．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高为h ，已知B =π3．（1）若b =√3h ，求ca的值；（2）若c ﹣a ＝h ，求sin A −√3cos A 的值．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ＝AD ，PD ＝2√3，M 是AB 的中点，N 是线段PC 上一点，且MN ∥平面P AD ，MN ⊥PC ． （1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝me x +cos x +n ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ． （1）讨论函数f （x ）在[﹣π，+∞）上的单调性；（2）当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥3sin x ﹣ax 恒成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P （2a ，0）．（1）若点A ，B 关于原点对称，且F A ⊥FB ，求e 的取值范围；（2）若点A ，B 关于x 轴对称，直线P A 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e =12，求OM →⋅ON →的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市教育学会高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |x 2﹣x ＝0}，B ＝{x |lnx ＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（0，1]B ．[0，1）C ．（﹣∞，1]D ．[0，1]解：由A 中方程变形得：x （x ﹣1）＝0，解得：x ＝0或x ＝1，即A ＝{0，1}， 由B 中不等式变形得：lnx ＜0＝ln 1，即0＜x ＜1， ∴B ＝（0，1），则A ∪B ＝[0，1]， 故选：D ．2．在复平面内，复数z =−12+√32i 对应的向量为OA →，复数z +1对应的向量为OB →，那么向量AB →对应的复数是（ ） A ．1B ．﹣1C ．√3iD ．−√3i解：复数z =−12+√32i 对应的向量OA →=（−12，√32），复数z +1=12+√32i 对应的向量OB →=（12，√32），向量AB →=OB →−OA →=（1，0）对应的复数是1． 故选：A ．3．已知实数a ，b 满足等式lga ＝lnb ，下列三个关系式中可能成立的个数为（ ） ①a ＜b ＜1；②1＜a ＜b ；③a ＝b ． A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一个坐标系中画出函数y ＝lgx 与y ＝lnx 的图象，如图所示：由图象可知，当lga ＝lnb ＞0时，a ＞b ＞1， 当lga ＝lnb ＝0时，a ＝b ＝1， 当lga ＝lnb ＜0时，0＜a ＜b ＜1， 所以可能成立的是①③． 故选：C ．4．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是（ ） A ．“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac 2＝bc 2”是“a ＝b ”的充分条件 D ．“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件解：A ，c ＝0时不成立， B ，a ＝b 能推出ac 2＝bc 2，正确， C ，c ＝0时不成立， D ，c ＝0时不成立． 故选：B ．5．已知扇形AOB 的半径为5，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，OA →=（5，0），OB →=（4，3），弧AB 的中点为C ，则OC →=（ ）A ．(92，32)B ．(3√102，√102)C ．（4，2）D ．(2√5，√5)解：因为OA →=(5，0)，OB →=(4，3)，所以A （5，0），B （4，3）， 所以cos ∠BOA =OA →⋅OB→|OA →||OB →|=45，令∠BOA ＝θ， 因为C 是弧AB 的中点，所以∠COA =θ2，又因为点C 在第一象限，所以cos θ2＞0，sin θ2＞0，所以cos 2θ2=1+cosθ2=910，cos θ2=3√1010， sin 2θ2=1−cosθ2=110，sin θ2=√1010， 令C （x ，y ），则{cos θ2=x 5=3√1010sin θ2=y 5=√1010， 所以C(3√102，√102)，即OC →=(3√102，√102)．故选：B ．6．已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A 到平面PBC 的距离是（ ） A ．3√2B ．√6C ．3D ．3√32解：如图所示，设正三角形ABC 的中心为E ， 连接PE ，AE ，延长AE 交BC 于点F ，则PE ⊥平面ABC ，且F 为BC 中点，连接PF ，则易得BC ⊥平面P AF ， 从而可得平面PBC ⊥平面P AF ，在平面P AF 内过A 作AH ⊥PF 于点H ， 则AH ⊥平面PBC ，故AH 即为所求，设底面正三角形的边长为a ，则BF ＝CF =a2，AF =√32a ，AE =√33a ，又P A ＝3，∴PE =√9−a 23，PF =√9−a 24， ∴正三棱锥P ﹣ABC 的体积为：V =13×12×a 2×√32×√9−a 23=a 212×√27−a 2=16√a 22⋅a 22⋅(27−a 2)≤16√[a 22+a 22+(27−a 2)3]3=92，当且仅当a 22=27−a 2，即a 2＝18时，等号成立，此时AH=AF×PEPF=√32a×√9−a23√9−a24=√a2(27−a2)√36−a2=√18×(27−18)√36−18=3，∴当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC的距离是3．故选：C．7．已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）＝e，且对任意的x满足f'（x）﹣f（x）＜e x，则不等式f（x）＞xe x的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）解：令g（x）=f(x)e x−x，g′（x）=f′(x)e x−e x f(x)(e x)2−1=f′(x)−f(x)−e xe x，因为对任意的x满足f'（x）﹣f（x）＜e x，所以g′（x）=f′(x)−f(x)−e xe x＜0，所以g（x）在R上单调递减，又f（1）＝e，所以g（1）=f(1)e−1＝0，不等式f（x）＞xe x等价于g（x）＞0，即g（x）＞g（1），所以x＜1．故选：A．8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1+d2＝（）A．2B．4C．6D．8解：设|AH|＝2a，以AH的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（a，0），C（4+a，0），直线l：x＝﹣a，以A为焦点的抛物线的方程为y2＝4ax，点P，Q既在圆C上，又在抛物线上，联立{y2=4ax(x−4−a)2+y2=16，可得x2﹣（8﹣2a）x+（4+a）2﹣16＝0，则x P+x Q＝8﹣2a，又d1+d2＝x P+x Q+2a＝8﹣2a+2a＝8．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符三合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据x1，x2，…，x n（n≥4），其中x1＜0＜x n，若由y k＝2x k+1（k＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1，y2，…，y n，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A．极差B．平均数C．中位数D．标准差解：一组样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4），其中x1＜0＜x n，不妨设极差为x m﹣x k，则由y k＝2x k+1（k＝1，2，…，n）生成一组新的数据y1、y2、⋯、y n的极差为y m﹣y k＝2（x m﹣x k），因为x1≠x n，所以y m﹣y k≠x m﹣x k，选项A错误；对于B，设样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4）的平均数为x，即x=1n（x1+x2+...+x n），故样本数据y1、y2、⋯、y n的平均数为：y=1n（y1+y2+...+y n）=1n[（2x1+1）+（2x2+1）+...+（2x n+1）]=2n（x1+x2+...+x n）+n＝2x+1，由y=2x+1=x知，根据平均数的定义得：当x=−1时，两组样本数据的平均数相等，选项B正确；对于C，当n＝2m﹣1（m∈N*）时，样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4）的中位数为x m，由中位数的性质得：样本数据y1、y2、⋯、y n的中位数为y m＝2x m+1，同理可知当x m＝﹣1时，中位数相等，当n＝2m（m∈N*）时，样本数据x1、x2、⋯、x n（n≥4）的中位数为x m+x m+12，由中位数的性质得：样本数据y1、y2、⋯、y n的中位数为：y m +y m+12=(2x m +1)+(2x m+1+1)2=2×x m +x m+12+1， 同理可知当x m +x m+12=−1时，两组数据的中位数相等，选项C 正确；对于D ：设样本数据x 1、x 2、⋯、x n （n ≥4）的标准差为s x ， 由方差和标准差的性质得：样本数据y 1、y 2、⋯、y n 的标准差为s y ， 则：s y ＝4s x ，∵x 1＜0＜x n ，∴s y ≠0，s x ≠0， ∴两组样本数据的标准差不可能相等，故D 错误． 所以选BC ．10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ（单位：℃）与时间t （单位：h ）近似地满足函数关系θ＝A sin ωt +B （A ＞0，B ＞0，0＜ω＜12），其中0≤t ≤24．已知当天开始计时（t ＝0）时的温度为25℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19℃，则（ ） A ．ω=π12B ．当天下午3：00温度最高C ．温度为28℃是当天晚上7：00D ．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22℃ 解：由题意知，T ＝24，所以ω=2πT =π12，选项A 正确； t ＝0时，对应上午9点，θ＝B ＝25；凌晨3点，对应t ＝﹣6，θ＝﹣A +B ＝19，解得A ＝6，B ＝25； 所以下午3点，对应t ＝6，θ取得最大值为θ＝A +B ； 即当天下午3：00温度最高，选项B 正确；所以θ＝6sin （π12t ）+25；令θ＝28，得sin （π12t ）=12，解得π12t =π6或5π6，所以t ＝2或10，t ＝2时，对应为上午11点，t ＝10时，对应为晚上7点，选项C 错误； 令θ≤22，得sin （π12t ）≤−12，解得−5π6+2k π≤π12t ≤−π6+2k π，k ∈Z ；所以﹣10+24k ≤t ≤﹣2+24k ，k ∈Z ，k ＝0时，得﹣10≤t ≤﹣2，对应时间为当天晚上23：00到第二天清晨7：00，选项D 正确． 故选：ABD ．11．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ）A ．存在点P ，使得CP ⊥平面A 1DBB ．不存在点P ，使得直线C 1P 与平面A 1DB 所成的角为30°C ．PC +PD 的最小值为2√3D ．以P 为球心，P A 为半径的球体积最小时，被正方形ADD 1A 1截得的弧长是2√23π解：由题，建立如图所示的空间直角坐标系，BP →=λBD 1→，则P （2﹣2λ，2﹣2λ，2λ），对于A ，AC 1⊥面A 1BD ，AC 1→=(−2，2，2)是平面A 1BD 一个法向量，假设CP ⊥面A 1DB ，则CP →=(2−2λ，−2λ，2λ)与（﹣2，2，2）共线矛盾，假设不成立，故A 错；对于B ，若存在P ，C 1P 与A 1DB 所成角为30°，则∠AC 1P =60°，〈C 1A →，C 1P →〉=60°，∴12=C 1A →⋅C 1P→|C 1A →||C 1P →|=2√3√(2−2λ)2+4λ2+(2λ−2)2λ=−4+√21610＞1不满足条件， 假设不成立，故B 对； 对于C，PC +PD =√(2−2λ)2+(−2λ)2+(2λ)2+√(2−2λ)2+(2−2λ)2+(2λ)2=2√3(√(λ−13)2+29+√(λ−23)2+29)．√(λ−13)2+29+√(λ−23)2+29表示P （λ，0）与E(23，√23)，F(13，−√23)距离之和，PE +PF ≥qEF =1，PC +PD ≥2√3，C 对；对于D ，PA =√(−2λ)2+(2−2λ)2+(2λ)2=√12λ2−8λ+4，λ=13时P A 最小，P(43，43，23)，PA =2√63，N(43，0，23)， 球与面ADD 1A 1交于Q ，Q 在以N 为圆心，2√23为半径的圆上， 在正方形ADD 1A 1内轨迹为半圆，长度=12⋅2π⋅2√23π=2√23π，故D 对．故选：BCD ． 12．关于函数f(x)=2x+1√x +1，下列说法正确的有（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−12，0)对称B ．函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减C ．若方程f （x ）＝t 恰有一个实数根，则t =√5D ．若∀x ∈R ，都有f （x ）＞m ，则m ≤﹣2 解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，函数f(x)=2x+1√x +1，f （﹣1﹣x ）=−1−2x√x +2x+2，f （x ）≠﹣f （﹣1﹣x ）， 则f （x ）的图象不关于点（−12，0）对称，A 错误；对于B ，f ′（x ）=2√x 2+1−(2x+1)2x 2√x +1x 2+1=2(x 2+1)−x(2x+1)(x +1)√x +1=2−x(x +1)(√x +1)，在区间（﹣∞，2）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数， 在区间（2，+∞）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，B 正确； 对于C ，f(x)=2x+1√x +1=0，解可得x =−12，当t ＝0时，方程f （x ）＝t 恰有一个实数根，C 错误； 对于D ，当x ＞−12时，f （x ）＞0，当x ＜−12时，f （x ）＜0，此时f （x ）=2√x 2+x 4+14√x 2+1，又由x 2+1﹣（x 2+x 4+14）=3−x4＞0，则f （x ）=2√x 2+x 4+14√x +1−2，则有f （x ）＞﹣2，故若∀x ∈R ，都有f （x ）＞m ，则m ≤﹣2，D 正确． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知双曲线的标准方程为x 2k−4+y 2k−5=1，则该双曲线的焦距是 2 ． 解：∵双曲线的标准方程为x 2k−4+y 2k−5=1，又k ﹣4＞k ﹣5，∴双曲线的标准方程为：x 2k−4−y 25−k=1，可得a 2＝k ﹣4，b 2＝5﹣k ． ∴c 2＝a 2+b 2＝1．故该双曲线的焦距是2c ＝2． 故答案为：2．14．已知函数f （x ）={−a −x 2+3x ，x ＜0，|log 3x|−2，x ＞0，若f[f(13)]=a ，则实数a 的值为 ﹣2 ．解：∵函数f （x ）={−a −x 2+3x ，x ＜0|log 3x|−2，x ＞0，∴f （13）＝|log 313|﹣2＝1﹣2＝﹣1，∴f [f （13）]＝f （﹣1）＝﹣a ﹣1﹣3＝a ，解得a ＝﹣2．故答案为：﹣2．15．如图，以等腰直角三角形BA 0A 1的直角边BA 1为斜边，在△BA 0A 1外侧作等腰直角三角形BA 1A 2，以边BA 0的中点O 1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 0A 1；再以等腰直角三角形BA 1A 2的直角边BA 2为斜边，在△BA 1A 2外侧作等腰直角三角形BA 2A 3，以边BA 的中点O 2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A 1A 2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BA i ﹣1A 1的直角顶点A i 首次落到线段BA 0上，作出相应的圆弧后结束．若BA 0＝4，则i ＝ 8 ，所有圆弧的总长度为7(2+√2)16π ．解：根据题意，每进行一次操作，线段BA i 以B 为圆心，逆时针方向旋转45°， 又由360°＝45°×8，故第8次操作后，直角三角形BA i ﹣1A 1的直角顶点A i 首次落到线段BA 0上，故i ＝8， 8次操作中，设第n 次操作得到的弧的弧长为a n （1≤n ≤8）， 第一次操作时，圆弧的半径为2，易得a 1=90×π×2180=π， 以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的√22，则弧长变为上一次操作的√22，故数列{a n}是首项为π，公比为√22的等比数列，故圆弧的总长度l＝a1+a2+……+a8=a1(1−q8)1−q=7(2+√2)16π．故答案为：8；7(2+√2)16π．16．已知二面角α﹣1﹣β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是2√6±√28．解：如图，过l上一点Q作QE⊥l交m于点E，QF⊥l交n于点F，设PQ=√3x，∴QE＝x，QF=√3x，EF=√x2+(√3x)2−2x⋅√3x⋅12=√4x2−√3x2，cos∠EPF=4x 2+6x2−4x2+√3x22⋅2x⋅6x=2√6+√28，如图，设PQ=√3x，∴QF=√3x，PF=√6x，QE＝x，PE＝2x，∠EQF＝120°，EF=√x2+3x2−2⋅x⋅√3x⋅(−12)=√4x2+√3x2，cos∠EPF=4x 2+6x2−4x2−√3x22⋅2x⋅√6x=6−√34√6=2√6−√28，故答案为：2√6±√28．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2+cn+c，c∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，2a m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b n}的通项公式．解：（1）因为S n＝n2+cn+c，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+cn+c﹣（n﹣1）2﹣c（n﹣1）﹣c＝2n+c﹣1，当n＝1时，a1＝1+2c符合上式，所以1+c＝1+2c，即c＝0，故a n＝2n+c﹣1＝2n﹣1；（2）由（1）得，a m＝2m﹣1，令0＜2n﹣1≤22m﹣1，则1≤n≤1+22m−12=22m﹣2+12，则1≤n≤22m﹣2，所以b m＝22m﹣2，即b n＝4n﹣1．18．（12分）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N（6，σ2），其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求σ；（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布X～N（μ，σ2）来说，通过Z=X1−μσ转化为标准正态分布Z～N（0，1），从而查标准正态分布表得到P（X＜X1）＝Φ（Z）．可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ（Z）解：（1）因为1145000=0.0228，所以P（X≥6.04）＝1﹣P（X＜6.04）＝1﹣Φ（6.04−6σ）＝0.0228，所以Φ（6.04−6σ）＝0.9772，所以6.04−6σ=2，解得σ＝0.02；（2）因为P（5.95＜X＜6.05）＝P（X＜6.05）﹣[1﹣P（X＞5.95）]＝P（X＜6.05）+P（X＞5.95）﹣1＝Φ（6.05−60.02）+Φ（6−5.950.02）﹣1＝2Φ（2.5）﹣1＝2×0.9938﹣1＝0.9876，且5000×（1﹣0.9876）＝62，所以这批金属棒中不合格的金属棒约有62根．19．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC边上的高为h，已知B=π3．（1）若b=√3h，求ca的值；（2）若c﹣a＝h，求sin A−√3cos A的值．解：（1）由等面积法得12acsin60°=12bℎ，且b=√3ℎ，从而b2=32ac①，又由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，b2＝a2+c2﹣ac②，由①，②可得a2+c2−52ac=0，所以a＝2c或a=12c，即ca=2或12；（2）sinA−√3cosA=2(12sinA−√32cosA)=2sin(A−π3)．令A−π3=t，则A=π3+t，C=2π3−A=π3−t．由12acsin60°=12bℎ得ℎ=√3ac2b，而c﹣a＝h，则c−a=√3ac2b，由正弦定理得（2R sin C﹣2R sin A）•2•2R sin B=√3•2R sin A•2R sin C，所以有sin C﹣sin A＝sin C•sin A．所以有sin(π3−t)−sin(π3+t)=sin(π3−t)sin(π3+t)，所以−2cos π3sint=sin2π3cos2t−cos2π3sin2t，即−sint=34cos2t−14sin2t，所以4sin2t﹣4sin t﹣3＝0，所以sint=−12或sint=32（舍）．所以sinA−√3cosA=2sint=−1．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，P A＝AD，PD＝2√3，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面P AD，MN⊥PC．（1）求证：CD⊥平面P AD；（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．（1）证明：过点N作NG∥CD，交PD于点G，连接AG，MN，则A，M，N，G四点共面，因为MN∥平面P AD，MN⊂平面AMNG，平面AMNG∩平面P AD＝AG，所以MN∥AG，又NG∥CD∥AM，所以四边形AMNG是平行四边形，所以NG＝AB=12 CD，所以N，G分别是PC，PD的中点，因为P A＝AD，所以AG⊥PD，因为MN∥AG，MN⊥PC，所以AG⊥PC，又PD∩PC＝P，PD、PC⊂平面PCD，所以AG⊥平面PCD，因为CD⊂平面PCD，所以AG⊥CD，因为AD⊥CD，且AG∩AD＝A，AG、AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD．（2）解：由（1）知CD⊥平面P AD，故以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x ，y 轴，作Dz ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PQ ⊥AD 于点Q ， 因为P A ＝AD ＝2，PD ＝2√3， 所以∠P AD ＝120°，在Rt △P AQ 中，∠P AQ ＝180°﹣∠P AD ＝60°，P A ＝2， 所以PQ =√3，AQ ＝1，所以P （3，0，√3），B （2，2，0），C （0，2，0），D （0，0，0），M （2，1，0），N （32，1，√32），所以MN →=（−12，0，√32），CM →=（2，﹣1，0），DB →=（2，2，0），DP →=（3，0，√3），设平面MNC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅MN →=−12x +√32z =0m →⋅CM →=2x −y =0， 取z ＝1，则x =√3，y ＝2√3，所以m →=（√3，2√3，1），设平面PBD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅DB →=2a +2b =0n →⋅DP →=3a +√3c =0，取a ＝﹣1，则b ＝1，c =√3，所以n →=（﹣1，1，√3）， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−√3+2√3+√33+12+1×√5=√1510，故平面MNC 与平面PBD 所成的二面角的正弦值为√1−(1510)2=√8510．21．（12分）已知函数f （x ）＝me x +cos x +n ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ． （1）讨论函数f （x ）在[﹣π，+∞）上的单调性；（2）当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥3sin x ﹣ax 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为f ′（x ）＝me x ﹣sin x ， 所以f ′（0）＝m ﹣1， 又f （0）＝1+m +n ＝0， 所以m ＝1，n ＝﹣2， 所以f （x ）＝e x +cos x ﹣2， 所以f ′（x ）＝e x ﹣sin x ， 当﹣π≤x ≤0时，e x ＞0，sin x ≤0， 所以f ′（x ）＝e x ﹣sin x ＞0，当x ＞0时，e x ＞1，sin x ≤1， 所以f ′（x ）＝e x ﹣sin x ＞0，所以f ′（x ）在[﹣π，+∞）上恒成立， 所以f （x ）在[﹣π，+∞）上单调递增．（2）“当x ∈[0，+∞）时，f （x ）≥3sin x ﹣ax 恒成立” 等价于“e x ﹣3sin x +cos x ﹣2+ax ≥0在[0，+∞）上恒成立”， 设g （x ）＝e x ﹣3sin x +cos x ﹣2+ax ，x ∈[0，+∞）， 则g ′（x ）＝e x ﹣3cos x ﹣sin x +a ，设h （x ）＝g ′（x ），则h ′（x ）＝e x +3sin x ﹣cos x ， 当x ∈[0，π）时，由于sin x ≥0，e x ≥1，cos x ≤1， 所以h ′（x ）≥0，当x ∈[π，+∞）时，由于e x ≥e π＞23＝8，3sin x ﹣cos x ≥−√10， 所以h ′（x ）＞0，综上所述，h （x ）＝g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝a ﹣2，若a ≥2，则g ′（x ）≥g ′（0）≥0， 所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g （0）＝0，符合题意， 若a ＜2，则g ′（0）＜0，所以必存在正实数x 0满足g ′（x 0）＝0，所以g （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， 又g （0）＝0，所以g （x 0）＜0，不符合题意， 所以实数a 的取值范围为[2，+∞）．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为e ，A ，B 是C 上的相异两点，P （2a ，0）．（1）若点A ，B 关于原点对称，且F A ⊥FB ，求e 的取值范围；（2）若点A ，B 关于x 轴对称，直线P A 交C 于另一点D ，直线BD 与x 轴的交点Q 的横坐标为1，过Q 的直线交C 于M ，N 两点．已知e =12，求OM →⋅ON →的取值范围．解：（1）设A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），F （﹣c ，0）（c ＞0）， 所以FA →=（x 0+c ，y 0），FB →=（﹣x 0+c ，﹣y 0），由F A ⊥FB 可得FA →•FB →=c 2−x 02−y 02=0，点A （x 0，y 0）在椭圆C 上可得x 02a 2+y 02b 2=1，两式联立后消去y 0，可得x 02=a 2(b 2−c 2)b 2−a 2， 由于0≤x 02＜a 2，则{ a 2(b 2−c 2)b 2−a 2≥0a 2(b 2−c 2)b 2−a2＜a 2，化简得{b 2−c 2≤0a 2−c 2＞0，解得√22≤e ＜1， 所以e 的取值范围[√22，1）．（2）由题意可得直线P A 的斜率存在， 所以设直线P A 的方程y ＝k （x ﹣2a ）， 由e =12得a ＝2c ，所以b =√a 2−c 2=√3c ，所以直线P A 的方程为y ＝k （x ﹣4c ）， 设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），B （x 1，﹣y 1）， 所以直线BD 的方程为y ﹣y 2=y 2+y 1x 2−x 1（x ﹣x 2）， 令y ＝0，则x ＝x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1=x 2y 1+x 1y 2y 2+y 1=x 2k(x 1−4c)+x 1k(x 2−4c)k(x 1−4c)+k(x 2−4c)=2x 1x 2−4c(x 1+x 2)x 1+x 2−8c，由{y =k(x −4c)x 24c 2+y 23c 2=1，得（3+4k 2）x 2﹣32ck 2x +64k 2c 2﹣12c 2＝0， 所以{ Δ=(−32ck 2)2−4(3+4k 2)(64k 2c 2−12c 2)＞0x 1+x 2=32ck23+4k 2x 1x 2=64k 2c 2−12c 23+4k2，所以x =2x 1x 2−4c(x 1+x 2)x 1+x 2−8c=2×64k2c 2−12c 23+4k 2−4c×32ck23+4k232ck23+4k2−8c =c ，所以c ＝1，第21页（共21页） 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，若直线MN 与x 轴重合，则OM →•ON →=（2，0）•（﹣2，0）＝﹣4，若直线MN 与x 轴不重合，设直线MN 的方程为x ＝my +1，M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 则OM →•ON →=x 3x 4+y 3y 4＝（my 3+1）（my 4+1）+y 3y 4＝（m 2+1）y 3y 4+m （y 3+y 4）+1， 由{x =my +13x 2+4y 2=12，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 所以{ Δ=(6m)2−4(4+3m 2)⋅(−9)＞0y 3+y 4=−6m 4+3m 2y 3y 4=−94+3m 2， 所以OM →•ON →=（m 2+1）（−94+3m 2）−6m 24+3m 2+1=−12m 2−54+3m 2=114+3m 2−4， 由于m 2≥0，则0＜114+3m 2≤114， 所以OM →•ON →∈（﹣4，−54]， 综上所述，OM →•ON →的取值范围为[﹣4，−54]．。
江苏省常州市教育学会2020届学业水平监测高三期末英语试题及答案(25页)
江苏省常州市教育学会2020届学业水平监测高三期末英语试题高三英语试题2020年1月第一卷（选择题，共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What are the speakers going to do?A. Buy a new ear.B. Drive in the city.C. Wash the white paint.2. Why isn't the man going to the sale?A. He must go to work.B. The weather in not cold.C. It ends today,3. What are the speakers doing?A. Picking fruit.B. Eating candy. C Shopping,4. What is the relationship between the speakers?A. Cousins.B. Beat friends.C. Brother and sister.5. When did the man start losing his hair?A. About three years ago.B. About seven years ago.C. About ten years ago.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
2018-2019学年江苏省常州市教育学会高二第一学期学生学业水平监测期末统考数学卷 解析版
绝密★启用前江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷一、填空题1．过点，的直线的斜率为______．【答案】【解析】【分析】根据直线的斜率公式直接进行计算即可．【详解】解：根据直线的斜率公式得，故答案为：．【点睛】本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键．2．命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一【答案】假【解析】【分析】根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．【详解】解：由得，，则命题“，”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假【点睛】本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．3．抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为4．与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．【答案】【解析】【分析】设球的半径为r，可得出正方体的棱长为2r，再利用球体的体积公式与正方体的体积公式可得出答案．【详解】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．【点睛】本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．5．若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．【答案】【解析】【分析】由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点求得p，则抛物线方程可求．【详解】解：由题意可设抛物线方程为，抛物线经过点，，得．抛物线的方程为．故答案为：【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．6．曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．【详解】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为．故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．7．在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．【答案】7【解析】【分析】由题意知、共线，列方程求出a、b的值，再求和．【详解】解：空间直角坐标系中，三点5，，4，，3，共线，则，；，解得，，．故答案为：7．【点睛】本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题．8．设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一【答案】充分不必要条件【解析】【分析】由充分必要条件的有关知识可得：“”是“”的充分不必要条件，得解．【详解】解：解绝对值不等式“”，得或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件由绝对值不等式的解法得：由“”，得或，【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题．9．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意可得，由二次不等式的解法，可得所求范围．【详解】解：由题意可得，即，可得，即a的曲折范围是．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10．一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．【答案】24【解析】【分析】由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解．【详解】解：如图，正四棱锥的底面边长为，．连接AC，BD，交于O，连接PO，则底面ABCD，，又棱长，，．故答案为：24．【点睛】本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．11．双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．【答案】【解析】【分析】求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．【详解】解：双曲线的，，可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12．已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求导函数，判断其极小值点，从而求得a取值范围．【详解】由函数．得．令，解得．，且，．为的极小值点．函数在区间上存在极小值．即．故答案为：．【点睛】本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法．13．在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．【详解】解：在长方体中，，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，2，，2，，2，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是______．若，，则；若，，则；，，，则；若，，，则．【答案】【解析】【分析】在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，由线面垂直的判定定理得．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，，，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故正确．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，射线交椭圆于若的面积为，内角A为，则椭圆的焦距为______．【答案】10【解析】【分析】由题意可得为等边三角形，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程，求得A，B的纵坐标，由三角形的面积公式，解方程可得c，即可得到焦距2c．【详解】解：由题意可得为等边三角形，即有，，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，化为，解得或，即有的面积为，可得，即有椭圆的焦距为10．故答案为：10．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．16．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：其中上存在点P，在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是______．【答案】【解析】【分析】根据条件，若在圆上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，等价为圆心到直线的距离小于等于3即可．【详解】解：圆心坐标，半径，则直径为2，要使在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线的最大值距离，即圆心到直线l：的距离d满足，即，则，平方得，得，得或舍，则k的最小值为，故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．二、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：其中设p：点在圆内，设q：圆与圆：外离．若p为真命题，求m的取值范围；若q为真命题，求m的取值范围；若“p或q”为真命题，求m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】点在圆内；两圆外离等价于圆心距大于两圆半径之和；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可【详解】解：若p为真命题，即点在圆：内，则，解得，即m的取值范围为；若q为真命题，即圆与圆外离，则，解得或，即m的取值范围是；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为【点睛】本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD 的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】由E，F分别是BC，CD的中点，得，由此能证明平面PBD．设，求出，，，利用勾股定理得，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEF．【详解】证明：，F分别是BC，CD的中点，，平面PBD，平面PBD，平面PBD．设，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面ABCD，，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，，平面PEF．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．求双曲线的方程；求椭圆的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．【详解】解：双曲线：经过点，可得，其中一条近线的方程为，可得，解得，，即有双曲线的方程为；椭圆：与双曲线有相同的焦点，可得，椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，由点F到直线AB：的距离为，可得，化为，由解得，，则椭圆的方程为．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点其中点A在点B左侧，直线l过点．若直线l与圆C相切，求直线l的方程；若直线l上存在点M，满足．求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求面积的最大值及此时直线l的方程．【答案】（1）或（2）或．【解析】【分析】讨论直线斜率是否存在，结合直线和圆相切的等价条件，转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解即可根据条件，求出M坐标满足的轨迹，结合直线和圆相切的等价条件进行转化即可【详解】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为，即．若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离，解得，即直线l的方程为，综上直线l的方程为或设，则由，得，，即整理得：，即点M在圆上，根据题意直线l与圆有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：与圆有公共点，即，解得，即直线l的斜率的范围在圆上，当点M的坐标为或时，M到x轴上的距离d 取得最大值4，则面积的最大值为，此时直线l的方程为或．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，讨论直线斜率是否存在，以及利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．21．已知函数．若，求的单调减区间；当a在区间上变化时，求的极小值的最大值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】若，利用二次函数单调性求的单调递减区间；若，求原函数的导函数，再由导函数小于0求得的单调减区间；求出原函数的导函数，由导函数的零点对函数定义域分段，可得函数的单调性，进一步求得极小值，再由配方法求得极小值的最大值．【详解】解：若，，则的单调递减区间为；若，则．令，得，即或．则的单调减区间为，；，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值为为．当时，函数的极小值取得最大值为．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．如图，正四棱锥底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O 为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC中点．求向量，的夹角的余弦值；求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据条件知正四棱锥的高为，求出，3，，由此能求出c向量，的夹角的余弦值．求出平面BVC的一个法向量和平面DVC的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】解：根据条件知正四棱锥的高为，根据条件，2，，2，，，0，，1，，，3，，向量，的夹角的余弦值为．0，，设平面BVC的一个法向量y，，则，取，得3，，同理可得平面DVC的一个法向量0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【点睛】本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，，其中e为椭圆的离心率，过定点的动直线l与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若总成立，求m的值；是否存在定点其中，使得总成立？如果存在，求出点M 的坐标用m表示；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）坐标为．详见解析.【解析】【分析】由椭圆过点，，列出方程组，能求出椭圆方程．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出m的值．假设存在这样的点，其中满足条件，则，从而为定值，由此能求出坐标．【详解】解：椭圆过点，，，解得，，椭圆方程为．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，，，，总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，对恒成立，即对恒成立，即恒成立，代入式并整理得．假设存在这样的点，其中满足条件，则，的斜率同时存在且和为0，即，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合中式有：为定值，这样的点如果存在，其坐标只可能为，，满足条件，坐标为．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数值的求法，考查满足两角相等的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、两角相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
常州市教育学会2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
常州市教育学会2021-2022学年高二上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、直线x+√3y=0的倾斜角的大小是（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°2、函数f(x)=xe x的单调递增区间是（）A. (−∞,−1)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (−1,+∞)3、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为（）A. 95B. 131C. 139D. 1414、若点P是圆C：x2+y2+2y=0上一点，则点P到直线2x−y+4=0的距离最大值为（）A. √5−1B. √5+2C. 2D. √5+15、已知函数f(x)=2lnx−x+ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. [1,+∞)6、记S n为等差数列{a n}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（）A. ①B. ②C. ③D. ④7、已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1、F2，其渐近线上横坐标为12的点P满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则a=（）A. 14B. 12C. 2D. 48、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+2n(n∈N∗)，b n=a n+1a n.设t∈Z，若对于∀n∈N∗，都有b n>t恒成立，则t的最大值为（）A. 3B. 4C. 7D. 9二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、已知曲线C的方程为x2k−2+y26−k=1(k∈R)，则下列结论正确的是（）A. 当k=4时，曲线C为圆B. “k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件C. 存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为√2D. 当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±√3x10、已知函数f(x)=(x−a)(x−3)2，当x=3时，f(x)有极大值，则a的取值可以是（）A. 6B. 5C. 4D. 311、已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且S5<S6=S7>S8，则下列命题正确的是（）A. S5<S9B. 该数列的公差d<0C. a7=0D. S12>012、古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足PAPB =12.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A. C的方程为(x+4)2+y2=12B. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线C. 在C上存在K使得KO=2KAD. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得PDPE =12三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是．14、在正项等比数列{a n}中，若a1a5a9=64，a6与a7的等差中项为12，则a10等于______．15、美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形(如图所示)，则该椭圆的离心率为．16、定义在R 上的函数f(x)满足f′(x)−f(x)<2e x ，其中e 为自然对数的底数，f(2)=4e 2，则满足f(a)2>ae a 的a 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，且a 1+a 3=8，a 4−a 2=4． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记数列{1S n }的前n 项和为T n ，若T n >99100，求n 的最小值．18、(本小题12.0分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c(a,b,c 为常数)． (1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)若a =b =4，且函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数c 的取值范围． 19、(本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，且椭圆C 1与抛物线C 2：y 2=2px(p >0)在第一象限的交点为Q ，已知∠F 1QF 2=60°． (1)求ΔF 1QF 2的面积； (2)求抛物线C 2的标准方程． 20、(本小题12.0分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且2S n =3a n −3，等差数列{b n }中，b 3=23，b 5=19． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n ；(2)定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b ，记c n =a n ∗b n ，求数列{c n }的前20项和T 20．21、(本小题12.0分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =2√23，且椭圆C 经过点M(3√2,√2)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作两条不同的直线与椭圆C 分别交于点A ，B(均异于点M).若∠AMB 的角平分线与y 轴平行，试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由． 22、(本小题12.0分)已知函数f(x)=ae x+sinx，a∈R，e为自然对数的底数．(1)当a=1时，证明：∀x∈(−∞,0]，f(x)≥1；(2)若函数f(x)在(−π2,0)上存在极值点，求实数a的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：本题考查直线方程，考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．利用直线方程可求得直线的斜率，从而可求得其倾斜角．∵直线的方程为：x+√3y=0，∴其斜率为−√3，3(θ为该直线的倾斜角)，即tanθ=−√33又θ∈[0,π),∴θ=150°．即其倾斜角为150°．所以选C．2.答案：D解析：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，此题是基础题．对函数f(x)=xe x进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，即可得到答案．由函数f(x)=xe x，得f′(x)=e x+xe x=e x(x+1)，因为e x>0，由f′(x)=e x(x+1)>0，得：x>−1．所以，函数f(x)=xe x的单调递增区间是(−1,+∞)．所以选D．3.答案：A解析：由题意可知1，5，11，21，37，61，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，的差的数列为：4，6，10，16，24，⋅⋅⋅⋅⋅⋅则这个数列的差组成的数列为2，4，6，8，⋅⋅⋅⋅⋅⋅的差是一个等差数列，设原数列的第7项为x，则x−61=24+10，解得x=95，∴原数列的第7项是95．所以选：A．利用已知条件，推导出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．本题考查等差数列在生产生活中的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：圆C：x2+y2+2y=0的标准方程为x2+(y+1)2=1，表示以C(0,−1)为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线的距离为d=1+4√4+1=√5，故圆C上的点到直线l的距离最大值为√5+1．所以选：D．把圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离为d，把d加上半径即为所求．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．5.答案：D解析：因为函数f(x)=2lnx−x+ax ，则f′(x)=2x −1−ax2，由已知可得f′(x)=2x−1−ax2≤0，解得a≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立，只需a≥(−x2+2x)max，因为−x2+2x=−(x−1)2+1，当x=1时，(−x2+2x)max=1，故a≥1，即实数a的取值范围为[1,+∞)，所以选：D．由已知求出函数的导函数，再由已知可得f′(x)=2x −1−ax2≤0，即a≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立，只需a≥(−x2+2x)max，然后根据二次函数的性质求出最大值即可求解．本题考查了利用函数的单调性求解参数范围的问题，涉及到导函数的性质应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6.答案：B解析：若a1=1，a4=4同时成立，则d=1，此时S3=1+2+3=6，S5=1+2+3+4+5=15≠25与题意不符，所以①②不能同时成立，③④一定成立，由{3a 1+3d =95a 1+10d =25，解得d =2，a 1=1，①成立，②不成立， 所以选：B ．分析①②同时成立时，求出首项及公差，结合等差数列的求和公式得出③④是否可能． 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用问题，是基础题．7.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积与向量的垂直关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．根据题意求出P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简求解a 即可． 双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，渐近线上横坐标为12的点P ， 不妨取P 在第一象限， 可得P(12,b2a) 因为点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2， 所以(12+c)2+(b 2a )2+(12−c)2+(b2a )2=4c 2，① c 2=a 2+b 2，②解①得1+b 2a 2=4c 2，将②代入可得：1+c 2−a 2a2=4c2， 解得a =12．所以选：B ．8.答案：A解析：利用数列的递推公式可得数列{an2n +1}是以32为首相以32为公比的等比数列，即可求出列数列{a n }的通项公式，再根据函数的性质求出b n 的范围，即可求出t 的范围．本题考查了数列的递推关系式和通项公式的求法和函数的值域，属于中档题． ∵a n+1=3a n +2n ，∴a n+12n =3a n 2n+1， ∴a n+12n+1=32⋅a n2n+12，∴a n+12n+1+1=32(a n2n+1)，∵a 1=1， ∴a 121+1=32，∴数列{an2n+1}是以32为首相以32为公比的等比数列， ∴a n2n+1=(32)n ，∴a n =3n −2n ， ∴b n =a n+1a n=3n+1−2n+13n −2n=3⋅(32)n−2(32)n −1=3+1(32)n−1， ∵∀n ∈N ∗，∴(32)n −1≥12∴0<1(32)n −1≤2，∴3<b n ≤5，对于∀n ∈N ∗，都有b n >t 恒成立，∴t ≤3∴t 的最大值为3， 所以选：A ．9.答案：AD解析：当k =4时，曲线C 的方程为x 2+y 2=4，该曲线表示圆，故A 正确；由6>k >4时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，k >6时，“曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线”，所以“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故B 错误； 不存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2，故C 不正确；当k =0时，曲线C 为双曲线y 26−x 22=1，其渐近线方程为y =±√3x ，D 正确；所以选：AD ．根据曲线所表示的方程的特征对选项进行逐一计算即可判断．本题考查了椭圆与双曲线方程的性质，充分必要条件的判断，属于基础题．10.答案：ABC解析：本题考查导数的综合应用，利用导数求函数极值，解题中需要理清思路，属于中档题．求导得f′(x)=3x2−(2a+12)x+9+6a，由于当x=3时，f(x)有极大值，则f′(x)=0有两个根，其中一个根为3，设另一个根为x0，且3<x0，列出不等式组，求解a，即可得出答案．因为f(x)=(x−a)(x−3)2，(a∈R)f′(x)=3x2−(2a+12)x+9+6a=(x−3)2+2(x−a)(x−3)=(x−3)(3x−2a−3)，因为当x=3时，f(x)有极大值，所以f′(x)=0有两个不同的根，其中一个根为3，设另一个根为x0，且3<x0，>3，所以2a+33所以a>3，所以符合上述要求的一个a的值为4、5、6，所以选ABC．11.答案：BCD解析：本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由题意推导出a6>0，a7=0，a8<0，从而得到等差数列{a n}中前6项为正，从第8项起为负，结合等差数列的性质和前n项和的公式对对选项进行判断即可．由S5<S6可得S6−S5=a6>0，S6=S7可得S7−S6=a7=0，S7>S8可得S8−S7=a8<0，∴等差数列{a n}的公差d<0，故B正确；∴等差数列{a n}中前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，故C正确；∴S9−S5=a9+a8+a7+a6=2(a8+a7)=2a8<0，即S9<S5故A错误；×12=6(a6+a7)=6a6>0，故D正确．S12=a1+a122所以选BCD．12.答案：BD解析：本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．设P(x,y)，运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；当A，B，P三点不共线时，由|OA| |OB|=12=|PA||PB|，由角平分线定理的逆定理，可判断B；若在C上存在点M，使得|KO|=2|KA|，可设K(x,y)，运用两点的距离公式，可得K的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断C；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得PDPE =12，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断D．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，点P满足PAPB =12，设P(x,y)，则√(x+2)2+y2√(x−4)+y2=12，即x2+y2+8x=0，化简可得(x+4)2+y2=16，故A错误；当A，B，P三点不共线时，由|OA||OB|=12=|PA||PB|，可得射线PO是∠APB的平分线，故B正确；若在C上存在点K，使得|KO|=2|KA|，可设K(x,y)，即有√x2+y2=2√(x+2)2+y2，化简可得x2+y2+163x+163=0，联立x2+y2+8x=0，可得方程组无解，故不存在点K在圆C上，故C错误．假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得PDPE =12，可设D(m,0)，E(n,0)，可得√(x−n)2+y2√(x−m)+y2=2，化简可得3x2+3y2−(8m−2n)x+4m2−n2=0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x=0，可得8m−2n=−24，4m2−n2=0，解得m=−6，n=−12或m=−2，n=4(舍去)，即存在D(−6,0)，E(−12,0)，故D正确．所以选BD．13.答案：14解析：本题考查抛物线的方程，焦点与准线，属于基础题．将抛物线方程化成标准形式得：x2=12y，从而得到焦点与准线，即可得解．∵抛物线y =2x 2化成标准方程，可得x 2=12y ∴2p =12，可得p2=18．∴抛物线的焦点坐标为F(0,18)，准线方程为：y =−18． 因此抛物线的焦点到准线的距离是14， 所以答案为：14．14.答案：128解析：正项等比数列{a n }中，a 1a 5a 9=a 53=64，所以a 5=4，又因为a 6与a 7的等差中项为12，所以a 6+a 7=24， 设{a n }的公比为q ，q >0， 则4q +4q 2=24，化简得q 2+q −6=0，解得q =2或q =−3(舍去)， 所以a 10=a 5q 5=4×25=128． 所以答案为：128．根据等差与等比数列的定义与性质，即可求出公比和对应的项．本题考查了等差与等比数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15.答案：√22解析：本题考查椭圆的实际应用，椭圆性质的应用，属于基础题．由题意可得长轴长，短轴长的值，进而求出焦距的值，再求离心率的值． 设圆柱的半径为r ，最长母线与最短母线所在截面如图所示， 所以DE =2r ，CD =√2DE =2rsin45∘=2√2r ，即长轴长2a =2√2r ，a =√2r ，短轴长2b =2r ，所以b =r ，c 2=a 2−b 2=r 2， 所以e =c a =√22所以答案为：√22．16.答案：(−∞,2)解析：∵f′(x)−f(x)<2e x ∴构造函数g(x)=f(x)e x−2x ， 则g′(x)=f′(x)−f(x)e x−2， ∴g′(x)<0，g(x)在R 上为减函数 ∵f(x)2>xe x ⇔g(x)>0， 而g(2)=f(2)e 2−4且f(2)=4e 2，∴g(2)=0，∴f(x)2>xe x 的解集为(−∞,2)． 故满足f(a)2>ae a 的a 的取值范围是(−∞,2)．所以答案为：(−∞,2)．由f′(x)−f(x)<2e x 知，可构造函数g(x)=f(x)e x−2x ，g′(x)<0⇒g(x)在R 上为减函数；于是f(x)2>xe x ⇔g(x)>0，由g(2)=f(2)e 2与f(2)=4e 2可得：g(2)=0，于是可得答案．本题考查利用导数判断函数单调性的问题，构造新函数是关键，利用单调性解不等式，建议积累有关这方面题的解题经验，多总结．属于中档题目．17.答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意{2a 1+2d =82d =4，解得{a 1=2d =2，所以a n =2n ；(2)由(1)得S n =n 2+n ，则1S n=1n 2+n =1n −1n+1，所以T n =1S 1+1S 2+⋯+1S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1，因为T n >99100，即1−1n+1>99100，解得n >99，所以n 的最小值为100．解析：(1)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求； (2)由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和可得T n ，解不等式可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：(1)f′(x)=3x 2+2ax +b ，f′(0)=b ，又f(0)=c ，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =bx +c ； (2)当a =b =4时，f′(x)=3x 2+8x +4 令f′(x)=0解得x =−2，x =−23所以，当x <−2或x >−23时，f′(x)>0，当−2<x <−23时，f′(x)<0，即f(x)在(−∞,−2)和(−23,+∞)上单调增，在(−2,−23)上单调减， 当x =−2时，y 取极大值c ，当x =−23时，y 取极小值c −3227因为函数f(x)有三个不同的零点，所以c >0且c −3227<0，解得0<c <3227所以，实数c 的取值范围是(0,3227)． 解析：本题考查了导数的几何意义及利用导数求函数的极值，函数零点的应用，属于中档题． (1)由导数几何意义得切线斜率为f′(0)，再根据斜截式写出切线方程；(2)根据导数求出函数单调性，由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c 的取值范围．19.答案：(1)由椭圆方程知a =2，b =1，c =√3,F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，设|QF 1|=m ，|QF 2|=n ，则{m +n =2a,(2c)2=m 2+n 2−2mncos60∘，即{m +n =4,m 2+n 2−mn =12,{m +n =4,m 2+n 2−mn =12,，求得mn =43，所以ΔF 1QF 2的面积为12mnsin60°=12×43×√32=√33；(2)设Q(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)．由(1)中S ΔF 1QF 2=12×|F 1F 2|×y 0=√3y 0=√33，得y 0=13．又x 024+y 02=1，x 0=4√23，所以Q(4√23,13)．代入抛物线方程得(13)2=2p ×4√23，所以p =√248．所以抛物线的标准方程为y 2=√224x ．解析：本题考查抛物线的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(1)设|QF 1|=m ，|QF 2|=n ，利用椭圆定义以及余弦定理，求解mn ，然后求解三角形的面积； (2)设Q(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，通过三角形的面积、椭圆方程求解Q 的坐标，然后求解抛物线方程即可．20.答案：(1)由题意，当n =1时，2S 1=3a 1−3⇒a 1=3≠0，当n ≥2时，2S n =3a n −3，2S n−1=3a n−1−3， 两式相减得，2a n =3a n −3a n−1，即a n =3a n−1． ∴{a n }是首项为3，公比为3的等比数列． ∴a n =3n ，设数列{b n }的公差为d ，∵b 5−b 3=19−23=−4=2d ， ∴d =−2⇒b 1=27． ∴b n =29−2n ．(2)由a n ≤b n ⇒3n ≤29−2n ⇒n ≤2． ∴c n =a n ∗b n ={3n ,1≤n ≤2,29−2n,n ≥3，∴T 20=a 1+a 2+b 3+b 4+b 5+⋯+b 20=3+32+b 3+b 202⋅18=3+9+23−112⋅18=12+18×6=120．解析：(1)结合已知递推公式可得a n =3a n−1，然后结合等比数列的通项公式可求a n ，结合等差数列的通项公式先求出公差d 及首项，进而可求； (2)由已知定义，结合等差数列的求和公式可求．本题主要考查了利用数列的递推公式及等差，等比数列的通项公式，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．21.答案：(1)由e =2√23，得c 2a2=a2−b 2a 2=89，所以a 2=9b 2，① 又椭圆过点M(3√2,√2)，则18a 2+2b2=1，②，由①②解得a =6，b =2，所以椭圆的标准方程为x 236+y 24=1．(2)设直线MA 的斜率为k ，点A(x 1,y 1)，B(x 2；y 2)，因为∠AMB 的平分线与y 轴平行，所以直线MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线MB 的斜率为−k ．联立直线MA 与椭圆方程，得{y =kx +√2−3√2kx 236+y 24=1．，整理，得(9k 2+1)x 2+18√2k(1−3k)x +162k 2−108k −18=0， 所以x 1=18√2(3k 2−k)9k 2+1−3√2，同理可得x 2=18√2(3k 2+k)9k 2+1−3√2，所以x 2−x 1=36√2k 9k 2+1，x 2+x 1=108√2k29k 2+1−6√2，又y 2−y 1=−kx 2+√2+3√2k −(kx 1+√2−3√2k)=−k(x 2+x 1)+6√2k =−108√2k 39k 2+1+12√2k =12√2k9k 2+1，所以k AB =y 2−y1x 2−x 1=12√2k9k 2+136√2k 9k 2+1=13为定值．解析：(1)通过椭圆的离心率，结合椭圆过点M(3√2,√2)，求解a ，b 得到椭圆方程．(2)设直线MA 的斜率为k ，点A(x 1,y 1)，B(x 2；y 2)，∠AMB 的平分线与y 轴平行，所以直线MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线MB 的斜率为−k.直线MA ：y =kx +√2−3√2k ，联立直线MA 与椭圆方程，求出A 、B 横坐标，然后求解AB 的斜率即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.答案：(1)当a =1时，f(x)=1e x +sinx ，则f′(x)=−1e x+cosx ， 当x ∈(−∞,0]时，0<e x ≤1，则−1e x≤−1，又因为cosx ≤1，所以当x ∈(−∞,0]时，f′(x)=−1e x+cosx ≤0，仅x =0时，f′(x)=0，所以f(x)在(−∞,0]上是单调递减，所以f(x)≥f(0)=1，即f(x)≥1． (2)f′(x)=−ae x +cosx ，因为x ∈(−π2,0)，所以cosx >0，e x >0，①当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(−π2,0)上单调递增，没有极值点． ②当a >0时，f′(x)=−ae x +cosx ，在(−π2,0)上单调递增，因为f′(−π2)=−a ⋅e π2<0，f′(0)=−a +1．当a ≥1时，x ∈(−π2,0)时，f′(x)<f′(0)=−a +1≤0， 所以f(x)在(−π2,0)上单调递减，没有极值点．当0<a<1时，f′(0)=−a+1>0，所以存在x0∈(−π2,0)，使f′(x0)=0，当x∈(−π2,x0)时，f′(x)<0，x∈(x0,0)时，f′(x)>0，所以f(x)在x=x0处取得极小值，x0为极小值点．综上可知，若函数f(x)在(−π2,0)上存在极值点，则实数a∈(0,1)．解析：本题考查了导数的综合应用及极值点引出的含参问题，综合性高，难度较大．(1)把a=1代入，直接用导数法证明即可；(2)对f(x)求导，f′(x)=−ae x+cosx，对a进行讨论，判断函数f(x)的极值，确定a的范围．。
江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷含答案
江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）1.过点，的直线的斜率为______．2.命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一3.抛物线的准线方程是______．4.与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．5.若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．6.文科做曲线在处的切线方程为______．7.理科做在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．8.设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一9.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．10.一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．11.双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．12.文科做已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．13.理科做在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．14.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是______．若，，则；若，，则；，，，则；若，，，则．15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，射线交椭圆于若的面积为，内角A为，则椭圆的焦距为______．16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：其中上存在点P，在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是______．二、解答题（本大题共7小题，共102.0分）17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：其中设p：点在圆内，设q：圆与圆：外离．若p为真命题，求m的取值范围；若q为真命题，求m的取值范围；若“p或q”为真命题，求m的取值范围．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．19.在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．求双曲线的方程；求椭圆的方程．20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点其中点A在点B左侧，直线l过点．若直线l与圆C相切，求直线l的方程；若直线l上存在点M，满足．求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求面积的最大值及此时直线l的方程．21.文科做已知函数．若，求的单调减区间；当a在区间上变化时，求的极小值的最大值．22.理科做如图，正四棱锥底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC中点．求向量，的夹角的余弦值；求二面角的余弦值．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，，其中e为椭圆的离心率，过定点的动直线l与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若总成立，求m的值；是否存在定点其中，使得总成立？如果存在，求出点M的坐标用m表示；如果不存在，请说明理由．江苏省常州市2018-2019第一学期教育学会学生学业水平监测高二数学期末统考卷（解析版）一、填空题（本大题共16小题，共80.0分）24.过点，的直线的斜率为______．【答案】【解析】解：根据直线的斜率公式得，故答案为：．根据直线的斜率公式直接进行计算即可．本题主要考查直线斜率的计算，根据两点间直线斜率公式是解决本题的关键．25.命题“，”的否定是______命题选填“真”、“假”之一【答案】假【解析】解：由得，，则命题“，”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．26.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：，，开口向右，准线方程是．故答案为．先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．27.与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为______．【答案】【解析】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为，球的体积为．所以，球的体积与正方体的体积之比为．故答案为：．设球的半径为r，可得出正方体的棱长为2r，再利用球体的体积公式与正方体的体积公式可得出答案．本题考查球体的体积与正方体的体积公式，解决本题的关键在于弄清楚正方体内切球的半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．28.若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点，则抛物线的方程为______．【答案】【解析】解：由题意可设抛物线方程为，抛物线经过点，，得．抛物线的方程为．故答案为：由题意设出抛物线方程，再由抛物线经过点求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．29.文科做曲线在处的切线方程为______．【答案】【解析】解：的导数为，可得曲线在处的切线斜率为，切点为，即有切线方程为．故答案为：．求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．30.理科做在空间直角坐标系中，若三点5，，4，，3，共线，则______．【答案】7【解析】解：空间直角坐标系中，三点5，，4，，3，共线，则，；，解得，，．故答案为：7．由题意知、共线，列方程求出a、b的值，再求和．本题考查了空间直角坐标系的三点共线问题，是基础题．31.设，则“”是“”的______条件选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一【答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”，得或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件由绝对值不等式的解法得：由“”，得或，由充分必要条件的有关知识可得：“”是“”的充分不必要条件，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题．32.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，即，可得，即a的曲折范围是．故答案为：．由题意可得，由二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．33.一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为5cm，则它的体积为______．【答案】24【解析】解：如图，正四棱锥的底面边长为，．连接AC，BD，交于O，连接PO，则底面ABCD，，又棱长，，．故答案为：24．由已知求得正四棱锥的底面积与高，代入棱锥体积公式求解．本题考查棱锥体积的求法，是基础的计算题．34.双曲线其中的离心率为2，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：双曲线的，，可得，解得，故答案为：．求得双曲线的c，由离心率公式，解方程可得a的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．35.文科做已知函数在上存在极小值，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】由函数．得．令，解得．，且，．为的极小值点．函数在区间上存在极小值．即．故答案为：．求导函数，判断其极小值点，从而求得a取值范围．本题主要考察导数研究函数极小值的知识点，运用求导思想方法．36.理科做在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】解：在长方体中，，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，2，，2，，2，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故答案为：．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．37.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是______．若，，则；若，，则；，，，则；若，，，则．【答案】【解析】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，则m与相交、平行或，故错误；在中，，，，则m与相交、平行或，故错误；在中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故正确．故答案为：．在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，m与相交、平行或；在中，由线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．38.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，射线交椭圆于若的面积为，内角A为，则椭圆的焦距为______．【答案】10【解析】解：由题意可得为等边三角形，即有，，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，化为，解得或，即有的面积为，可得，即有椭圆的焦距为10．故答案为：10．由题意可得为等边三角形，可得椭圆方程为，设直线AB的方程为，代入椭圆方程，求得A，B的纵坐标，由三角形的面积公式，解方程可得c，即可得到焦距2c．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．39.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：其中上存在点P，在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是______．【答案】【解析】解：圆心坐标，半径，则直径为2，要使在圆C：上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线的最大值距离，即圆心到直线l：的距离d满足，即，则，平方得，得，得或舍，则k的最小值为，故答案为：根据条件，若在圆上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，等价为圆心到直线的距离小于等于3即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．二、解答题（本大题共7小题，共102.0分）40.在平面直角坐标系xOy中，已知圆：其中设p：点在圆内，设q：圆与圆：外离．若p为真命题，求m的取值范围；若q为真命题，求m的取值范围；若“p或q”为真命题，求m的取值范围．【答案】解：若p为真命题，即点在圆：内，则，解得，即m的取值范围为；若q为真命题，即圆与圆外离，则，解得或，即m的取值范围是；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为【解析】点在圆内；两圆外离等价于圆心距大于两圆半径之和；因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可本题考查了复合命题及其真假，属基础题．41.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．【答案】证明：，F分别是BC，CD的中点，，平面PBD，平面PBD，平面PBD．设，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面ABCD，，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，，平面PEF．【解析】由E，F分别是BC，CD的中点，得，由此能证明平面PBD．设，求出，，，利用勾股定理得，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEF．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．42.在平面直角坐标系xOy中，双曲线：经过点，其中一条近线的方程为，椭圆：与双曲线有相同的焦点椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．求双曲线的方程；求椭圆的方程．【答案】解：双曲线：经过点，可得，其中一条近线的方程为，可得，解得，，即有双曲线的方程为；椭圆：与双曲线有相同的焦点，可得，椭圆的左焦点，左顶点和上顶点分别为，，，由点F到直线AB：的距离为，可得，化为，由解得，，则椭圆的方程为．【解析】由双曲线经过点，可得m；再由渐近线方程可得m，n的方程，求得n，即可得到所求双曲线的方程；由椭圆的a，b，c的关系式，求得F，A，B的坐标，可得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．43.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点其中点A在点B左侧，直线l过点．若直线l与圆C相切，求直线l的方程；若直线l上存在点M，满足．求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求面积的最大值及此时直线l的方程．【答案】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为，即．若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离，解得，即直线l的方程为，综上直线l的方程为或设，则由，得，，即整理得：，即点M在圆上，根据题意直线l与圆有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：与圆有公共点，即，解得，即直线l的斜率的范围在圆上，当点M的坐标为或时，M到x轴上的距离d取得最大值4，则面积的最大值为，此时直线l的方程为或．【解析】讨论直线斜率是否存在，结合直线和圆相切的等价条件，转化为圆心到直线的距离等于半径进行求解即可根据条件，求出M坐标满足的轨迹，结合直线和圆相切的等价条件进行转化即可本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，讨论直线斜率是否存在，以及利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．44.文科做已知函数．若，求的单调减区间；当a在区间上变化时，求的极小值的最大值．【答案】解：若，，则的单调递减区间为；若，则．令，得，即或．则的单调减区间为，；，．当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增．的极小值为为．当时，函数的极小值取得最大值为．【解析】若，利用二次函数单调性求的单调递减区间；若，求原函数的导函数，再由导函数小于0求得的单调减区间；求出原函数的导函数，由导函数的零点对函数定义域分段，可得函数的单调性，进一步求得极小值，再由配方法求得极小值的最大值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．45.理科做如图，正四棱锥底面边长为4，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC中点．求向量，的夹角的余弦值；求二面角的余弦值．【答案】解：根据条件知正四棱锥的高为，根据条件，2，，2，，，0，，1，，，3，，向量，的夹角的余弦值为．0，，设平面BVC的一个法向量y，，则，取，得3，，同理可得平面DVC的一个法向量0，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为．【解析】根据条件知正四棱锥的高为，求出，3，，由此能求出c向量，的夹角的余弦值．求出平面BVC的一个法向量和平面DVC的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．46.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，，其中e为椭圆的离心率，过定点的动直线l与椭圆交于A，B两点．求椭圆的方程；设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若总成立，求m的值；是否存在定点其中，使得总成立？如果存在，求出点M的坐标用m表示；如果不存在，请说明理由．【答案】解：椭圆过点，，，解得，，椭圆方程为．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，，，，总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，对恒成立，即对恒成立，即恒成立，代入式并整理得．假设存在这样的点，其中满足条件，则，的斜率同时存在且和为0，即，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合中式有：为定值，这样的点如果存在，其坐标只可能为，，满足条件，坐标为．【解析】由椭圆过点，，列出方程组，能求出椭圆方程．椭圆的准线方程为，则，当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为，，设，，由，得，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出m的值．假设存在这样的点，其中满足条件，则，从而为定值，由此能求出坐标．本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数值的求法，考查满足两角相等的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、两角相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
江苏省常州市2020—2021学年高二第一学期期末考试英语试题(含参考答案解析)
江苏省常州市教育学会学业水平监测高二英语试题 2021年1月注意：本试卷分四个部分，答案全部做在答题纸上。
总分为150分。
考试时间120分钟。
第一部分、听力（满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. When will the man meet John?A. Tomorrow.B. Tonight.C. The day after tomorrow.2. What color is the woman's dress?A. BlueB. Red.C. Black.3. What does the man hate?A. Telephoning while driving.B. Some women drivers.C. Traffic lights.4. What are the speakers talking about?A. A horse.B. A movie.C. A girl.5. What does the man want someone to do?A. Find his lost bags.B. Wait for him downstairs.C. Carry the bags for him.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6. What is important in playing volleyball?A. Being tall and strong.B. Figuring out the method.C. Cooperating with each other.7. How many people are playing volleyball?A. 4.B. 5.C. 6.听第7段材料，回答第8至9题。
江苏省常州市教育学会2020-2021学年高二下学期期末数学试题(wd无答案)
江苏省常州市教育学会2020-2021学年高二下学期期末数学试题一、单选题(★★) 1. 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 2. 三位同学各自写了一张明信片并分别署上自己的名字，将这三张明信片随机分给这三位同学，每人一张．则“恰有一位同学拿到自己著名的明信片”的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知的展开式中含的项的系数为，则实数（）A．B．C．D．(★★) 4. 某校为调查学生参加研究性学习的情况，从全校学生中随机抽取名学生，其中参加“数学类”的有名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是（）A．B．C．D．(★★★) 5. 位教师和位学生排成一排合影留念，师生相间的排法种数为（）A．B．C．D．(★) 6. 分析连续次实验的甲、乙两项指数，下面是这两项指数的折线图，则（）A．这次实验中甲指数和乙指数均逐次增加B．这次实验中甲指数的极差大于乙指数的极差C．第次至第次实验中甲指数和乙指数均超过D．第次至第次实验中甲指数的增量小于乙指数的增量(★★★) 7. 展开式中项的系数为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“ 阶比增函数”．若函数为“ 阶比增函数"，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 小明用一枚质地均匀的硬币进行抛硬币实验，则下列说法正确的有（）A．小明抛掷硬币次，则该硬币正面向上的概率为B．小明连续抛掷硬币次，则恰有次正面向上的概率为C．小明连续抛掷硬币次，则正面向上的次数恰好为次D．随着抛掷次数的增加，硬币正面向上的次数与抛掷次数的比值在附近摆动，并趋于稳定(★★) 10. 数据的组测量值为，已知，，，．若对的线性回归方程记作，则（）附：线性回归方程中，，，其中、为样本平均值．A．B．C．与正相关D．时，的估计值为(★★★) 11. 已知函数（为自然对数的底数），若，则（）A．B．C．当时，D．当时，(★★★) 12. 在正三棱锥中，设，，则（）A．的取值范围为B．当时，正三棱锥的高为C．变大时，正三棱锥的体积一定变大D．变大时，正三棱锥的表面积一定变大三、填空题(★★) 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为 __________ .(★★) 14. 据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥．现有一个“阳马”，底面，底面是矩形，且，，，则这个四棱锥外接球表面积为 __________ .(★★) 15. 已知苏锡常镇四市联考中某校学生数学成绩 服从正态分布 ，且 ，则从该校学生中任选一名学生，该生的数学成绩超过分的概率为__________ .(★★★★★) 16. 已知函数，若存在实数 ，使得成立，则实数的所有可能取值构成的集合为 __________ .四、解答题(★★★) 17. 为鉴定某疫苗的效力，将只实验鼠分为两组，其中一组接种疫苗，另一组不接种疫菌，然后对这 只实验鼠注射病原菌，其结果列于下表：发病没发病合计接种没接种合计（ ）求 ， 的值，并判断是否有 的把握认为实验鼠是否发病与疫苗有关? （ ）若将（ ）中的频率视为概率，从该批实验鼠中任取 只，设其中接种疫苗且发病的实验鼠的只数为随机变量，求 的期望． 参考数据：独立性检验界值表：其中，，（注：保留三位小数）．(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为，的中点．（）求证：平面；（）求证：平面平面．(★★★) 19. 某游客计划到常州的恐龙园、东方盐湖城、天目湖、春秋乐园这四个景点游览，若该游客游览恐龙园的概率为，游览东方盐湖城、天目湖和春秋乐园的概率都是，且该游客是否游览某个景点相互独立．记该游客游览的景点个数为随机变量．（）求该游客至多游览一个景点的概率；（）求随机变量的分布与期望.(★★★) 20. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．（是自然对数的底数）(★★★) 21. 如图，在梯形中，，在线段上，且．沿将折起，使点到达点的位置，满足．（1）证明：平面；（2）若在梯形中，，折起后在平面上的射影恰好是与的交点，求直线与平面所成角的正弦值.(★★★★★) 22. 已知函数（为自然对数的底数）．（1）求曲线在点处的切线方程：（2）若方程有两个不等的实数根，而，求证：．。
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江苏省常州市教育学会2019—2020学年度第一学期学生学业水平监测
高中二年级数学试题
2020.1
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.如果a ＜b ＜0,c ∈R,那么
A.a ﹣b ＞0
B.ac ＜bc
C.a 2＜b 2
D.11a b
> 2.在等差数列{}n a 中,已知11a =,358a a +=,则7a ＝
A.5
B.6
C.7
D.8 3.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为
A.2
8y x = B.2
x y = C.2
8y x =或2
x y = D.无法确定 4.命题“x ∃∈(0,+∞),ln 1x x =-”的否定是
A.x ∀∈(0,+∞),ln 1x x ≠-
B.x ∀∉(0,+∞),ln 1x x =-
C.x ∃∈(0,+∞),ln 1x x ≠-
D.x ∃∉(0,+∞),ln 1x x =-
5.椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A,B,左右焦点分别是F 1,F 2,若AF 1,F 1F 2,F 1B 成
等比数列,则此椭圆的离心率为
A.
14 B.5 C.12
2
6.在下列函数中,最小值为2的是 A.55x y x
=
+(x ∈R 且x ≠0) B.1
lg lg y x x =+(1＜x ＜10)
C.33x
x
y -=+(x ∈R) D.1sin sin y x x
=+
(0＜x ＜2π
)
7.已知空间向量m u r ＝(1,3,x ),n r ＝(x 2,﹣1,2),则“x ＝1”是“m u r ⊥n r
”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 8.若x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝S,xy ＝P ,则下列说法中正确的是
A.当且仅当x ＝y 时S 取得最小值
B.当且仅当x ＝y 时P 取得最大值2
S 4
C.当且仅当P 为定值时S 取得最小值
D.当且仅当S 为定值且x ＝y 时P 取得最大值2
S 4
9.《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为 A.12.5尺 B.10.5尺 C.15.5尺 D.9.5尺
10.已知离心率为2的双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F,O 为坐标原点,以OF
为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点.若△AOF 的面积为2,则实数a
的值为
A.2
B.22
C.4
D.8 11.如图,在三棱锥C —OAB 中,OA ⊥OB,OC ⊥平面OAB,OA ＝6,OB ＝
OC ＝8,点D 、E 分别为AC,AB 的中点,点F 在线段BC 上.若BF ＝
3
4
BC,则异面直线EF 与OD 所成角的余弦值为 A.37-
B.37
C.47-
D.4
7
第11题 12.已知F 为椭圆M ：22
12
x y +=的右焦点,点A,B,C 为椭圆M 上三点,当FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r 0
=r 时,称△ABC 为 “和谐三角形”,则“和谐三角形”有
A.0个
B.1个
C.3个
D.无数个
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 13.不等式
21
31
x x -+＞1的解集是 . 14.己知正数a ,b 满足4a ＋b ＝l,则1
ab ab
+
的最小值为 . 15.若数列
{}
n a 的通项
公
式
为
1
2n n a -=,数列
{}
n b 满
足 2log n n b a =+
2122
1log log n n a a ++⋅(N n *
∈),则数列{}n b 的前10项和为 .
16.点P 为椭圆
22
12516
x y +=上一点,M 、N 分别是圆22(3)4x y ++=和22(3)1x y -+=上的
动点,则PM ＋PN 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)
已知p ：x 2﹣7x ＋10＜0,q ：x 2﹣4mx ＋3m 2＜0,其中m ＞0. (1)求使得P 为真命题的实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 是n S 与2的等差中项.数列{}n b 中,1b ＝2,点P(n b ,1n b +)在直线y ＝x ＋2上.
(1)求1a 和2a 的值；
(2)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
(3)设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T .
19.(本小题满分12分)
如图,两条公路垂直相交于A 站,已知AB ＝100千米,甲车从A 站出发,沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶,同时乙车从B 站出发,沿BA 方向以v 千米/小时的速度行驶.乙车行驶至A 站时停止前行并停留在A 站,甲车仍继续行驶(两车的车长均忽略不计).
(1)求甲、乙两车的最近距离(用含v 的式子表示)；
(2)若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t 0小时,问v 为何值时t 0
最大?
20.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD,AB ⊥AC,AB ＝1, AC ＝AA 1＝2,AD ＝CD ＝
5.
(1)求二面角D 1—AC —B 1的正弦值；
(2)点N 是线段D 1D 的中点,点E 为线段A 1B 1上点,若直线NE 与平面ABCD 所成角的正弦值为
367
,求线段A 1E 的长.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的离心率为32,左右焦点分别为F 1,F 2,焦距为6.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆左顶点的两条斜率之积为1
4
-
的直线分别与椭圆交于M,N 点.试问直线MN 是否过某定点?若过定点,求出该点的坐标；若不过定点,请说明理由.
22.(本小题满分12分)
己知数列{}n a 中,n a ＞0,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且2
2n n n
a S a +=. (1)求2S ,3S ,并求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设2
1
n n n b S S +=
+,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若22n T k -≥0 对任意的正整数n 都
成立,求实数k 的取值范围.。