工程数学线性代数(同济五版)课后习题答案
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
1试用施密特法把下列向量组正交化
(1)
解 根据施密特正交化方法
(2)
解 根据施密特正交化方法
2下列矩阵是不是正交阵:
(1) ;
解 此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵
(2)
解 该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵
3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵
于是有正交矩阵P(p1p2p3)使P1APdiag(2110)从而有正交变换
使原二次方程变为标准方程2u211v21
29明二次型fxTAx在||x||1时的最大值为矩阵A的最大特征值.
证明A为实对称矩阵则有一正交矩阵T使得
TAT1diag(12n)
成立其中12n为A的特征值不妨设1最大
作正交变换yTx即xTTy注意到T1TT有
f2y125y22y32
(2)fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4
解 二次型矩阵为 由
得A的特征值为1123341
当11时可得单位特征向量
当23时可得单位特征向量
当341时可得线性无关的单位特征向量
于是有正交矩阵T(p1p2p3p4)和正交变换xTy使
fy123y22y32y42
证明 因为
HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T
E2(xT)TxTE2xxT
所以H是对称矩阵
因为
HTHHH(E2xxT)(E2xxT)
E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)
E4xxT4x(xTx)xT
E4xxT4xxT
E
所以H是正交矩阵
4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵
(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案
an
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(同济大学)线性代数第五版课后答案
成都大学诗叶子制作第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)ba c a cb cb a ;解 ba c a cb cb a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).成都大学诗叶子制作(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:成都大学诗叶子制作成都大学诗叶子制作(1)7110025*******214; 解 71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 2605232112131412-26053212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 efcf bf de cd bd aeac ab ---e c b e c b e c b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=.成都大学诗叶子制作(4)dc b a 100110011001---. 解 d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ada ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++成都大学诗叶子制作bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)成都大学诗叶子制作022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).成都大学诗叶子制作(5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-xx a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以成都大学诗叶子制作nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解成都大学诗叶子制作aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 00 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.成都大学诗叶子制作(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解成都大学诗叶子制作nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |;成都大学诗叶子制作解 a ij =|i -j |, 04321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 043211 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 111 1121成都大学诗叶子制作nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10001 000 100 0100 0100 0011332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 000100 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为成都大学诗叶子制作14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D D x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D ,成都大学诗叶子制作70351100650000601000051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ成都大学诗叶子制作有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,成都大学诗叶子制作故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;成都大学诗叶子制作解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,成都大学诗叶子制作 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取成都大学诗叶子制作 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,成都大学诗叶子制作 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以成都大学诗叶子制作 (B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,成都大学诗叶子制作 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:成都大学诗叶子制作 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .成都大学诗叶子制作 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,成都大学诗叶子制作 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.成都大学诗叶子制作 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,成都大学诗叶子制作 )3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以(A *)-1=|A |-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得成都大学诗叶子制作A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A成都大学诗叶子制作11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . 26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,成都大学诗叶子制作所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,成都大学诗叶子制作1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C OC O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.成都大学诗叶子制作由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则成都大学诗叶子制作⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.成都大学诗叶子制作(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.成都大学诗叶子制作3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,成都大学诗叶子制作所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:成都大学诗叶子制作⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********;成都大学诗叶子制作解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2;成都大学诗叶子制作(3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有成都大学诗叶子制作A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为。
工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案【精品共223页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民ห้องสมุดไป่ตู้幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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工程数学线性代数课后答案__同济第五版
证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量
则有
Axx
2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax
于是可得2aTa从而0或aTa
设12n是A的所有特征值因为AaaT的主对角线性上
的元素为a12a22an2所以
a12a22an2aTa12n
这说明在12n中有且只有一个等于aTa而其余n1个全为
对于特征值341由
AE
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
~
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
得方程(AE)x0的基础解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3
和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量
6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同
71
证明因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE|
79
因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为
(
p,
1
p,
2
,
p)
2
a
1
a
0
n
a
n
0
a
1
22设
142
A求A100
034
043
解由
|AE|
1
0
0
4
3
4
3
2
4
(
1)(
5)(
5)
得A的特征值为112535
对于11解方程(AE)x0得特征向量p1(100)T
工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案【精品223页PPT
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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Hale Waihona Puke
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(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案(很全，最新版)习题解答L利用对角线法则计算卞列三阶行列式:解(1) JMS： = 2x( - 4)X3 + 0x(~l)x( - 1) -hix 1x8-ix(-4)x(-l)-2x(-])x8^oxix3 = -4；(2)原式=acb + bac + cba -一J ■沪~3abc - a" - b3—c3\(3)原式—+ 1' a*t a ~ - l*a*c a=be1 + + ab1—ba1—cb2—ac z=c2(b - a) ab(b - a) - c(b2- = (a - b)(b - c)(c - a)(4)原式*工+ y)y +歼(工+ $”(工+ 4刃_ (工+卅_八丈=-2(x J+ ^3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1) 1 2 S 4；(2) 4 1 3 2；(3) 3 4 2 I；(4) 2 4 1 3；(5) 1 3 - (2n - [) 2 4 …(6) 1 3 *** (2n -L) {In) (2n ~2)…2.解(1)此排列为自然排列•其逆序数为⑴(2)此排列的首位元素的逆序数为S第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元察3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0*第3位元素2的逆序数为2■末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4)类肌于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0.0t2, 1*故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3；(5)注意到这2卉个数的排列中，前N位元索之间没有逆序对•第討+ 1位元素2与它前面的玲-I个数构成逆序对”故它的逆序数为打- 1;同理，第n+2 倍元素4的逆序数为末位元累2«的逆序数为(L故此排列的逆序数为(« " 1) + (n * 2) + *" + 0 = y w (- 1);(6) 与(5)相仿*此排列的前n + 1位元素没有逆序对：第幵+ 2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第牯十3位元素2牯-4与它前面的2n - 3T 2H ~ l r 2n t 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4；-»；末位元素2的逆序数为2(«-1),故此 排列的逆序数为2 + 4 + -+2(M -1) = H («-O ，3・写出四阶行列式中含有因子gm 的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累. 而它们又分别位于第2列和第4列，即a 绘和“别或。
脣和盘心注意到排列1324 与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有引心袒的项为-5222^3441 2 4 ■ 口 -4r 〕-7 2 --4105 2 0"10r,-15 2 — 200 1 1 7 ■:-，Q 1 141712 02|■12 0 2心1口 01 ■.* 1心 +\Sr 20 117Q — 15 2 一■20 !0 0 17 85o-7 2-4；0 0 9 4522 02 1 2 0 ah 1 ac ae bd ■ cdde bfcf-ef0 0b-1 0 -1 00 1d(1)a与◎ U 日為总羽a42 '4.计算下列各行列式:=0 (因第3.4行成比例)*4 6 362 5 1 5 1 0 2 I0 =0 (因有两行相同”abcdif 7 L 1 1 -1 11 1 -1^^abcdef -1 1■0 0 0 2o i +皿-1 bo -1o o1 卄tib a -1 c0 -112；▼ 1注adcd・■ ii I (1 + fl/?a 0按口KJF i'* 1 (_ [}(_ 1)'-1 c 144> ■0~ld ~Aabcdefi1 +a/j-1ad1 +cd=(1 + a6)(l + cd) + ad5.求解下列方程：■1=0i⑵'1=0,其中a,b t c互不相等”解⑴左式V沽6 + 3}门-(t +3)巾—巧/、-(x + 3)= (x + 3)=(』+ 3)&2 -3)*于是方程的解为：巧二-3,帀=再皿严■厲;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式，由例12的结果得(■fj a)(jc ~ —c)(a 6) (a —c) (A —= 0.因a.b.c互不相等，故方程的解为；业== =6.证明：= (a-6)(a-c)(a-d)(6^c)(6-J)(c-rf)(a +^ + c + ^);X 0 -10-1…0…<)(5) Q*«出Vn V|««•■•000…J.-1证^1心fj -卩…a2- b2ab-' b1 (1)左式二2( a ~ b)a —b=(a - />)3=右式;(2)将左式按第1列拆开得=a B x" + + *** + a, x + a fl.护r I(a - b)1 ab - b1 b22b u a " o1 0 01ab b22a a +b 2b—(a- b)3; I11OJ C 十by ay + bzaz ■+bxay + bz az + bx ax + byaz + bx ajc +by ay + bza1Q + 1F(a+ 2)' (tH (6 + 1)2J 心+ 1严d2 (衣 + 1 )*(6 + 2)2(c + 2)2Q + 2尸+ 3尸(6 + 3)2(r + 3)2(£ + 3)23'=(a1 + 戻〉ax ay + bz az + bx by ay + bz az + bx左式=ay az bx ax + by+bz+Z LT ax + by=aDj + bD2 + az ax + by ay + bz bjc ax + by ay + bz其中tryay十6zaz + bxax + by于是ay + bz az + frj"az bx ax + byax + by ay + bzay +bz az十bxax byaz +bxa.r 十byuy +bzz az + bxx aj： byy ayt bz(3)左式JC y zD = aD. + bD2={a^ + f/) y z x二右式* zT y2« +52b I 26+3 26 + 52c + 1 2c + 3 2 c +52d+ 1 24 + 3 2d+ 5J y其中：x = c 1(r + Ha)-(Ar)(£f + a)-£b (^i + ai'^d 1-<i/j) = c(<i + 6 +y = d 2{d a) ~ bd(b + a) = d(a d}(d - b). 1 1(□ + i 4- c) d(a + b + d)=(<-^)(4/ -+ b + d) - c(a + b + c)]=^i)[(£Z — c)(a + b) d 2 - c 2 ]—(c — b)(d b)(d e)(a + Z? + 二十討)*因此，左式—(i^a)(c — a)(^~r n)(r ,_i r >)(d -/i)(J — £：)(3 + ^ + ^+ ^)=右式.(5)证一 递推法•按第1列展开，以彈立建惟公式，=xD. + (-l)1" + ^a = zD - + a 0. 又*归纳基础为：D* = % (注癒不是于是D.*i =工D. + 叫=x ( H D 卄 | + a 1) + fl a= j 2D P(-i + aij + «[j= 十工+…十％龙十％=a （）+幼工十十…十"H 文"■证二按最后一行展开得2a + 1 26 + 1 2c + 1=0 ｛因有两列和同”<4)左式工n -叭ri - arib ac - a bib a) c(c* a)F (F ~ a 2)- J )1 b61 { A + a) r a (c + £1) d 3 (t/ +a)I 110 c ~ b d ~ b Ox jc bd — b甸MT ・{f FS )Fl, —6^ + a ) rg■- 二—'(b - a)(c - a )(</ _ a)=(b - a)(c - a)(d ~ a)d - a— a) 护(护- a 1)1X=(r - b)=2<-/-U=〉：口左=a0 + a t j： + djX14- ■" + a B_i^a~l + 弧工”、7.设n阶咅列式D = <ki（%）,把D上下翻转、或逆时针旋转9叭或依副对轴线翻转、依欧得D t= i: .Di= ；J ,Di= i : TS *■'* 5 «ii '** %i | 纵i (i)证明D严D? = （- 1）业」D，巧=D*证（1）先计算口•为此通过交换行将0变换成D.从而找出0与D 的关系.D｝的最后一行是D的第【行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1 行，共诳行茁-1次交做卡这时最后一行是D的第2行，把它依次与旋面的行交换，直至挽到第2行，共进行冲-2次交换¥……，宜至最后一行是D的第卉-1 行，再通过一次交换将它换到第H —I行，这样就把D.变换成D,共进行p1（用-1）十（聲-2〉+ ・- + l-yn（H -1）次交换’故D严（-L）卜"八5.注r上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时’经當用到.它的特点是在把盘垢一行换到某一行的同时*歸持其余卅-1个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）”2*同理把D左右翻转所得行列式为（-1｝卜3小0.（2〉计算注意到D2的第1,2,行恰好嵌衣是D的第"比- 1列，故若把D2上下翻转得B2, M D a的第1,2,…』行依次是D的第1, 2严・小列，即D z = D r.于是由（1）D, = （- 1 ）卜山1>D3 = （- I ）T*i<_u D T= （ -1 ）卜D.（3）计算巧.注意到若把D3逆时针旋转如■得方.则D3的第1,乙…小列恰好是D的第歹叭于是再把D.左右翻转就得到D.由（1）之注及⑵'有6=（-1沪…审严口注本例的结论值得记取’即对行列式D作转置、依副对角蝮翻转、逹转18F所得行列式不变；柞上下翻转、左右翻转、逆（顺】时軒旋转所诣行列式为&卄算下列各行列式（D.^k阶行列式）：a1（1）a= * ，其中对角线上元絮都是s未写出的元素都是51 ◎⑵ D.二.. .;■A- ・■«■a a JC护(a- 1)* ■“ {a -cfT (a- l)>_]■■■ (o - n)*'⑶几产: - Jd口一 1 … a —n] 1 (1)提示：利用范德蒙縊行列式的结杲.■■■U| 仇，其中未写岀的元素都是山(5) D w=dett^),其中也=11 1 + a21 1 *** 1 + Qj,把D“按第一行展开得按第一列麗开解二由倒H)(2) 本题中D…是戟材例8中行列式的一般形式「它是一伞非常有用的行列式■在以后各章中育不少应用.(1)解一1).解利用各列的元索之和相同*提取公因式.=(i + (n - 1 )a ],(3) 解 把所给荷列式上下翻转’即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻 转’由于上下翻转与左右翻转所用交换胆数相等，故行列式经上下翻转再左右鞫 转(相当于转昶(T,参看题7)其值不变•于是按范德蒙德行列式的结果，可得1(a - Ji)* (a - n + 1}" '(i) S 本題与例口相苗丫懈法也大致相同，用递推法.H-由屁)…a 右-扒“)-口(旳必-払血)”110 | r -_r|2w-3 w-1 -2 -1 -2 »i•L (血比另一肓面，归纳基础为D 2 ==5£ -们门”利用这些结果,递推得⑸騁12n - 1 n-2 v-3n — +n -2（6）解 将原行列式化为上三角形行列式•为此’从第2行起’各行均减去 第1行’得与例1.3棚仿的行列式1 +尙 1 (1)-叭 衍b 1…1 0伽:匕*:-1 T--i-fl l …耳.°…a.' 1 1其中"17 + 6，*餌（1十衆）于是D —31-129. ^D=[ 3"f ,D 的（f J ）元的代数余子式葩作A,求 20 1 — 1 1-5 3-3A+ 3A JJ ~2A M + 2A^ +解 与例巧相仿Mj 严3/1龙7人刃+2人”警于用13 -2’2暮换D 的第 3行对应元素所得行列式■即 -I 1 3 -17 0 3 0 -1 -1 3 -2 -5 3▼ 1-1 3 10. 用克拉默法则解下列方程组; j| + X J + X J + — 510,=1・xI + 2X 2 E^i + 4工^2;3x, + J ：2 + 2 J's + 1 L T 4 = 0;-7 -2 3 23 0 - 13r t ~2r}-12-3 -7—33 0 -31C - 3心-15 - 1 8 -15 -1 8 1 J 5 1 1 516 =1 2 —2 4 -a0 1 -7 32 ~3—2 -5 -2r0—5•—12-73 10 11r* ~3n0-2—15811 5+ 5rj01-7311—478=i B=--426 00'47 801—291400-29 143 3.5-270 32ri +3r a3-2 -423 0 -22口_ 2心-10-1 9-io-1g32=-142；-3-13-50 1 -2 3r3~2r0 一 5 -3 -7F-3r80 *2-11 1 8(J1II '5 14-2723按巾廉开23'33-1371=-284;4-5111-21400111 151I15 1 2-11 -2 -7 2 3-3n-2ri□厂*5-3 -12 12 0 Io 一 2-1-15由克拉默法则•得= 65i-114,于是 0 = 325 - 114 = 211；=-19 + 180=161i5 6 0 0|5 6 06 0 015 6 0按口展开1 5 6—1 5 60 15 60 1 50 1 50 0 15矿2®1 00 0 11-13 -55 -7-47-29-13-47-S-29fl ；(*由（・）式5 6 06 0 0 15 6—5 6 0 ]o 151 5 665-216= -151;0 6 5 10 0 6 5116 05 0 00 5 6+ 1 6 00 1 50 5 6= 142.6 1 5 0 1 00 1由克拉默法则’得151 一 6亠］616_109 _6_64万-— —— - ~?nt x 4--D - = m .11. 问芯声取何值时，齐欧线性方程组+帀 +^3=0, s j| + 严“ + x 3 =0, ，工［+2中’十工严0有非零解？［Ax| + X 2 + jj —0, ［工［+ Xj — 0*显然x, =l,j ：3 = t-A t ^3=- -1星它的一牛非零解;当A = l,原方程组成为J } + xj + jj *0,w Xj + 牛* + Xj - 0>十 2灼 Xy=Q tJL 然“产-U JTJ =0F Xi= 1是它的一个非零解一 因此，当站=0或A = 1时.方程组有非零解. 注 定理占（或定理亍）仅表明齐欧线性方程组聲有非零解，它的系数行列5 6 0 11 5 65 6 015 6 0 拽创6JF0 15十J 5 60 15 00 0 10 1 50 0 11= 5-114= -109?D t =-1 + 65 = 64.0 0 65由（• }式解 由定理5’.此时方程组的系数行列式必须为山故只宿当P =0^X = 1时•方程组才可能有非零解. •当戸三队原方程组磁为式必为零、至于这条件是否充分将在第三章中予以解决•目前还是应验证它有非 零解•下题也是同样情形.12问A 取何值时，齐次线性方程组f (1 ~ A I -2不2 + 4x3 = 0,■*2J ：I + (3-A)I 1+J :5 = 0,+X ： + (1 - A>Jt 3 =0有非零解？解 若方程组有非零解，由定理5S 它的系数行列式D = 0.13 - A -2故D = 0=>A = 0或人=2或A = 3t 并且不难验证;当人=0时’工产-2,Z 2 = l t j ：3 = 1；当；I = 2时严-2口产3*巧=1：当 人=3时口严-1,^=5,^ = 2均是该方程组的非零解*所以当A =0t 2F 3时 方程组有非零解.习题解答1.-A2^-1 C1+ f|1 - A A-3 +A 4-(1-A)1A **3 3A — I-A Il — 14 3 r7351 -2 32 =6 57 0J J> Il 49,解<1)=-A (a -2)(A - 3) +43 J7(1) 1-2 32； (2) (1,2J) 257 0.n丄2 (3) 1 (72)|3」4 0 —0 -^3+ A 4 —1 - A ) 1 - A 一 2 23-A 1 1I.计算下列乘积:ri 3 it14 0 -2J3⑵(1.2,3),^ 2 =(10)1K1 =10；412Xj + fluXjXi + a l2 + a 3I JT Z + a a ^-Ej ++白口工」工i 十a ］』』、a…x? + 血盟h ： + a jj + 2a (J j| x 2 +2a ()Jr, jr 3 + la^XiXt.0 15 242 22'-213 22-15 ]8 — 22-2 = -2 -17 2027.2 -22.,429因A T = A t 即A 为对称阵’故1 12. 设 A= 11 4 - 1求 3AB-2A R A T B.1 2 3 ,B =-1 -2 4.05 LAB =于是 3AB-2A =31-12 -23 4 = 0 05 -58 65 1..2 9 0. 5 8111 15 6 -2 11 -190J-1 L-2(-L2)|1(I = -1 -3 a ll xl+ aIE X 2 + a IJ J-1 1 00 2I'O 5 81A7B = AB= 0 -5 «2 9 Oj3. 已知两个线性变换求从JE|「九到JTj T Ij t的线性变换，解依欢将两个线性变换写忧矩阵JB式:2 0 1 -3 1 (T其中沖=-2 3 2t B =2 0 1分别为对应的系数矩阵；X =115 .0-13」X = AY=A(BZ)^(AB)Z^CZ ・这里矩阵即有Xi = 6z t+ + 3tj* jj = L2z(- 4矶 + 9?jL ij —- 10^| 一十."5； )"(： J 冋(1) 吗？(2) (A + B)l = 42 +2AB + B:n^?(3) (A + B)(A - B) = A2(3 )故心以(2) (>4 + B)J= {A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + i?-T 但由(1), AB^BA，故AB + BA 7^2 AB,从而(A+ B)2^4Z +2AB + B2；y =• 1>1Vl»Z =」•在这些记号下+从到me列的线性变换的矩2 0 11-3 1 0 f 13AE 土-2 3 2 2 0 1 =12 -4 9,415」0-13..-10 - 1 16阵形式为(3) (A + B)(A - B) = A z+ B4 - AB - 由(l)：ABH HA ,故HA -AB^O,从而（A + 0）（4 - - B1.乳举反例说明下列命題是错误的；（1）若A2=O f则4 = 0;（2）若= 则 A = 0 或4 = E;（3）若AX= AY,且A^O t则X= Y.解⑴取A = L J.有d = 0 •但心6⑵取盘叫罪有A1-A,但AHO且AHE*⑶s（：：片（；：）•…彳:帥皿小且市6但X^Y.6,设心=（；:卜求;)(:;卜的・(:\K :H畀)(：m)一般可禍事塞上•当A = 1时，（2.3）式显然成立;设当k = n时江2. 3）式成立，那么当k = n十1时,由归纳法，知£2二）武成立一A 1 07+设A= 0 A 1 .求A".0 0 A.解把A写成两个矩阵之和A 001 ()I 0A ==0A0+0 0 [==A£+B ( 0A0 DjQ i010 0 1其中三阶矩阵00 1 満足fi-=0 0 0t B^ = O(i>3).卫0 0 e o (2.3)(J Ml ：）于是A K =(AE + B)- = + C l X'1B + -■ + C：B n=O"E +C>"'B +A-C”10 厂十'0nAA1rt(n-l)]2冰lo 0r J.00 X1 .8,设A,强为卑阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵. 证根据矩阵乘积的转證规则•有= = 〈因A为对称阵）「故由定义，知fi T AB为对称阵-9•设都是甘阶对称阵•证明AB是对称阵的充要条杵是证因A T = 故AB为对称阵^{AJ8）T= 4B<=?B T A T=ABUEA = AB t10.求下列矩阵的逆阵：玄0^2…（叭如…％H0〉*Abi,0 a, ）1解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得f1 2f =.1j 5 -2、j 5 7]\2 5) 1 2 \-2-2J2 51 2-1]⑶ 3 45 -4-sin \ _ i ( DOS 0cos 6 / ccs : & & \ — sin 0cos d sin 6 —sin 6 cos 0于是由定理1的推论倔A 可逆「且=（右右…』）•注 本题结论值得记貶，可当作公式用.11.解下列矩阵方程：0 I O'I 0 J1 -431 0 0 X 0 0 1—2 0 -I 、ooi.0 1 0.1 -2 01 2⑶因|A|= 34 5-44 -2Mn=. = -4-4 !「2 =2^a f 故A 可逆，并且 3 Mu- 5M 3I =,KA422 =A42J = 1 -1 =6F51| 12II=-1415 -4M JI = Mj! = 241 3 -1 I-2 =l是有恿义的，井且因AB =diag （a 1宀’…宀）由昭（+舟）= diag （l t l r-J ） =,（4 ）因我L 旳…庄” * ° i 故叫工0门=1 +sin 0 cos 0= ------ AMl=丄-4 2j -136 1-32 140113 ■»■ 2一 16 -Mn%」1 O'3 - Xn 2 1 7…小.于是矩阵B =解 H)因矩阵f J 的行列式=1,不均零+叙它可逆.从而用它的逆矩阵 左乘方程两边"得.T U 1)HJ DC DHo ①(2)记矩阵方程为故A 可逆，用A"右乘方程的两边褂X=PA只.1 / -663\ -2 21-8 15-2)_2 "■ ■ ----@|A|=6^0 JBI =2^0.故均可逆”依次用片“和卅"左乘和右乘方程两边得I 112 12\琳 3 0)= + 0I 1 4\ / 2 0\ 13 t B =,C = 1-J 2\ -1 1/ W(3)记"；),则矩阵方程可写为AXB=C.det A -L ： 1門于是-%0 (4)本题与｛3)相仿個矩阵11 01 (10 1J 1001］的行列式都是-1,故0 ■均是可逆阵■并且0 1 W■ 10】0 1 0 0 -1 1 0 011 0 0 — 1 0 0V0 0 1=0 0 1.0 0 L .0 0 1, 0 1 0. .0 1 0J1 0 X 11 ▼ 4 31 0 0* J故得K = 10 02 0- Ji° 0 1〔）0 1.J -2 oJ toi thL卩-431F 0 0=12 0 -1 c0 1出0 L 111-20i io 1 0；1卩 3 -41F -101 = 1 0 o 2-1 0 = i3 -4,0 01J 111 0 -2-11-2,12-利用逆矩阵醉下列线性方程组：+ 2JT 2 +3=hH - -玄 —(1) 2x ( + 2x r + 5JTJ =2,⑵［2文］* 斗 一 3工严 1 ・3x ( + 5x a + xj = 3;(3X )+ 2x 3 -5x )= 0-解将方程组写作距阵形式Ax = b t这里，A 为系数矩阵山二（4 口的心卩为未知数矩阵』为常数矩阵”12 3,，⑴因M2 2 2 5 =)5^0\故A 可逆*于是3 51I 2 3 -■ rrJT = A '1 fr = 2 25 23 5L工-23 13P fl 1'V1 1513 -8 1 2 1 ~15 041 -2.30 j即有X ］ = U 5X1 = 0*严厂°；1 ⑵因⑷二2 3-1 -1-1 -3 =3^0,故A 可逆，于是1 -1 -r -1 12 Jf si A 1 = 2-1 -3IJ2 -s.即有13.已知线性蛮换工I =2^, +2划 I- y }, w Ji = Sy 亠如+ 5伽， 列=3y +2^ + 3^.求从变量眄花到变量p ，加的线性变换一解 记工=（旳⑷申八厂® 宀心八则线性变换的矩阵影式为工二于是yi = -7T | -4^； + 9J 51 S y t =6x t + -7^3 i [yj = 3j| + 2X 3 "■ 4xj*14”侬A 为三阶距阵JAU 二求K2AL-5A ・I. 辭 因141=^0,故A 可逆.于是由"=|A f *八及（2A ），昇二 得 （24）_, -5A* =y4'!= -2A'\两端取行列武得\(2A)l -5A\ = |-2A'1l = ('2)J pr l =-16.注 先化简矩阵，再取行列式■往往使计算变得简单.0 3 3115•设1 1 0 t AB = A + 2B,求 R. T2 3jXi = 5, =0i jj =3.4卅碁中A 为它的系数距阵•因d 岂A = 2 2 I3 1 5 J2 3,是从变量£ .孔到变疑汕，旳的线性变换的矩阵形式为 y = A^x.-43 2又 A*1 = - 1-7 6 3「丁=1工0,故A 冕可逆阵，于解 由 AB = A +2B=*(A ~2E)B = A.-23 3 因A~2E=1 - 1 0 ,它的行列式der (A -2E)=2^0,故它是可逆阵.L - 12 L用⑺-2E)J 左乘上式闯边得解 由方程^B + E = A 3 + B.合并含有未卿矩阵B 的项，得<4-£)« = 42-£=(4-£)(4+£),0 0 1]又t A-E= «1 0 ,其行列式det(A - - 1^0,故A-E 可逆，用I 0 0」(A-E)'1左乘上式两边■即得2 0 1B = A + E= 0 3 01 0 2」17.设 A = diag(l 1-2J)M*BA=2BA - 8£,求 E.解 由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵，因此仍从公式AA^ = lAlE^手.为此•用A 左乘所给方程两边，得^AA ' SA ^2ABA -SA ,又，也1 = -2HQ,故A 是可逆拒阵，用A 右乘上式两边+得|4|B = 24B-8E=><2A + 2E)J3 = 8E=>(A + E)B=4£.注意到 A + £ = diAg (U -2J) +di ag (klj)=diag(2t - 1.2)是可逆矩阵，且(A 十 JE ) z = diag (寺，j —寺)"于是B = 4(A + E)'1 =diae (2, -4,2),is.已知矩阵A 的祥随阵"=dm ft (iaa.8)t 且助" + 3E,求 B,解 先由A*来确定丨4|.由题意知存在■有A* = \ A \ A~* \A' | = |Ar|A-'| = |A|\BSU' t=8T tt|A|| =2.再化简所给矩阵方程ABA'l =BA^ +3E =>(A - E)BA''=3E-2 3 3B = (A -2E)-l A = 1 -1 0! -1 2 1[-1 3 30 3 3 _ 1' 113JI [}1 1 - 1」.-1 2 30 3 3 1 1 0 .-1 23.1 .2 1 0 】6.设A- 0 2 J 010 "目AH + E = A ，+叭求臥6 61 f 04 6 2 Oj2 3 1 O J- E)B^3A =>(E-=由 |Al=2t ft A-'-yJjA' =ydiag(l,ia,8)=diag|y,y.y t 4)tK A 丄=Tiog (壬*寺、乡* …3 )， (E-A-1)-' 二山昭(2,2,2,-£).B V 「)，3血申,22-寺)"叔£石6- 6 -1 -41 1本甌与教材例13相仿■因P ,AP=A,故A =PAP"\ A 11 =PA n P=(■: y 1$ 9?(J 4)=A S (5E -6A + A 2)^111解 因"2 10 -2 = -6^0,故P 是可逆阵.于是尸由AP^ PA.1 -1 1 .^A = PAP'\井且记多项式列工)=卅(5-壮十d),有p(A) = JV (A>P _l .因A 是三阶对角阵’故巒(A ) = diag(卩(-L)會(1).p(5)) ™di<g(12*0»0)»121 1 1 =4111.J I 1.注，由于臥人)除(l J)元外均是队故在求P*时、只需计算P 的仃J)元壮2,1) 元.(3J)于是解于是19.设 P {AP = A t 其中 P = c: ■:)(■;亂;一:)1 i 1 +2bJ 4 + 2H \ /2 731 2 732-1 -4-2"J _ I -683 -68420. 设AP = PA,其中11:11-11 0 -2 L A = 11 -11. •于是-2A H*A 21 * * 「2 M (4-)A ； * 「2元的代数余子式A lt.A21和21-设A^O(k为正豔数)，证E-A可逆，井且其逆矩阵(E-4)-' =E + A + A1+ …十A_」，*证由(E —AjtF+A + 41++** +'4*-1) —E + 4 + ■■■ + 4*~1一A —越‘ ■…一=E- O = E t由定豐2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵〈E —= E +A4■…+住判断矩阵B是否为A胸逆矩阵「罐直接、最简单的方法就是验证AB , ^ B .F - . , - ■^ • T ■(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3是否为+的逆只需验证£ X3是否等于1 一样，下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵A漓足A1-A-2E^=O ・(2.4)证明A及A+2E都可逆"井求A"及(A+2E)^\解先证盘可逆.由(2*4)式得A(A- E)= 2E；, . J 徂就是- E)j=E.由定理2之推论知片是可逆的，且A^ = ^(A-E)i再证A +2E可逆.用例2.1的解法，由(A +2E)(A -3£) = A2 - A - 6E = 2£-6£= -4E,即(A+2更)[#(3E …A) 爲.同理MA^2E可逆,K(A + 2E)^ = l(3JE-4).23,设矩阵A可逆，证明其仲随阵A •也可逆*且(4' = .证AA =\A\E及|AlH(L由定理2的推论知加可逆，且(A)' =7T7tI A I另一方面’因A*](^-'}* = I A'J|E ・用A左乘此式两边得比较上面两个式子’即知结论成立.24.设N阶矩阵A的伴随阵为/T，证明:⑴若Ml二0侧K丨=0；(2)|AJ = |A|*'\证(1}因26. =G:)•沁;卜赵-:)-=(原式二 Au Bn +设"34 0 .0若记"-2 30 -3Ko：原式二A 「:「23 \0 -3) 5 2 -4 0-3 0 0 0 0 22O A 1A 11 ® 11 +®22J)(z-42 -43 -9 2 -4 3-9J■求U 及冒.+则A 咸为一A* A = \A\E tSlAl "时，上式成为A* A = O.要证|A“ I 工山用反证法：设由矩阵可逆的充要条件知，是可 逆矩阵，用(A*)_,左乘上式導号两边•得A^O.于是推得A 的所有旳-1阶子 式，亦即A •的所有元累均为零.这导致/T 此与A •为可逆矩阵矛盾，这 一矛盾说明^141=0时訂於丨=0.(2)分两种情形： 情形li|4|=0.由⑴訂刖结论成立*情形2:|AM0.在(2. 5)式的两边取行列式，得|A*llAI = IA*AHllAl£J = l4lV与教材碉15相同，本题练号分块矩阵乘法■记1 2 1 °卩3 1 0 1 0°L2 -10 2 « 0-23 咼 C 0 30 0 -3J 计算(2.5)于是注 |A*I = W 本题(2)的结果值得记取.-2 0亍分块对角矩阵于是I J 4*I = |A|* = (|A| I Ijijl)"* |A| 1*1 IO 11189乔（:£卜诡点小畑—2（；：）,故心（：看习题6） •代人即得5J Q 0 0 '—0 亍0 0 0 0 24 0 00 24 2*J27.设tt 阶矩阵A 与*阶矩阵M 都可逆，求由分块矩阵乘法规则,(2.6)为此，根据原矩阵的分块悄况■对X 作一样的分块,其中X n ,X （3T X 2（.氐立是未知矩阵（为明矶起见，它们依次是« X X矩阵｝.把上式代人（2飞）武得到 比较上式两端两个矩阵，有必=&口儿=八AX n = O=>X tl = O ；CX i2 + BX 12 ■ E t BX 21 斗 E (=>X 22 - B _l ；CX (I 十 BX a] = O=>BX 21 = - CX tl 二宀 CA'1 =^X 2i = - CA 于是得；）（可齧⑵求（:的逆阵•就是求” + $阶方阵JC 使解U ）因A 和B 均可逆，件分块阵& O \ - O\i^n o Ej \C E 八 X 丹2,|C| = 12,fe B*C 均是可逆阵.由27^(2)的结论，得B D习题解答L 用初等行变换把下列矩阵化为行敖简彩矩阵:1 02 "10 2-3 I 1(1) 2 0 31 « *⑵ 0 3-43 *.3 0 4 3j,0 4-7 - lj1 —1 34 32 3 1 — 33 -3 5-4L1 2 0 -2 -4⑶A f⑷2-2 3 - 23 -2 8 3 0 3一3 4 * 2 -L2 -37 4310 2 …11 Fj -Al 1 02 - I解(1)2 03 1 一J- —0 0 -1 33 04 3. 心0 0~25 2 0 010 0 0 2 10 012 0 0( ⑵0 0 8 3 2 13 0^0 0 5 2-1 2 1 4J求下列矩阵的逆阵: 0(1)将 分块为A 二A 5 2\ , /L 2 l)，Ai=(5lA.I-LlAj-l.故它们均可逆+于是由分块对角矩阵的性质，有1-20 0A ；' O⑵记A，因0 0(D c)***" = (! 2)'C=(10 0 2 -50 0-3 " 8-_ 12 - 1 2 .D--^\B\ =B 1 O-C 1 Cr2x (-l ) P 02 0 -2|1 02 0 -2■' J r1 -1 -1 -1 n+rj 0 I -1 03 內+B 皓0 0 1 4 nF0 0 01 4 r* +7 J140 0c-1 -2 -32 3 2 071 2 3 4 10 (T r l "2r i 1 2 3 4 1 0 0 解(A,E) =2 3 4 5 0 I 0乌-5r (0 -1-2 -3 -2 1 03 4 3 2 0 0.0 —6-12-18-5 0 1」5 •求一个可逆阵P,便PA 为行堆简形.2」K 0 2-3(2) 0 3-4 0 4-71 一］ 3 ⑶1 3 -3 5 2-2 3374广i~2r t Io3]-310L010fl10-I1] ro 2 X2? ° 2 J |o or a x ( - U-3-20巾6 * r t --31OJ -33121 -3,5 3 ; 02 0 -2 _4】 *1 11 L -8 8 9 12 -7 78 1E 12 3 £ 设 A~ 2 3 45 4 3 -4 4 -2 -20 0 0721 0 -1-2 ft p=2 -1 0 •井且A 的行最简形为=0 13• 7 -6 ij0 0u左设A =；L (1)求一个可逆阵巴使PA 为行量简形'(2)求一个可逆阵C.ffi QA 7为行最简形.-52 1 0 01 0 12 0*⑵(A\E) =3 -1010 ri *2" 3-1 0 1 C,1 10 0 1」J10 0 1.4.试利用矩阵的初導变换，求下列方阵的逆阵:解记所给的矩阵为A.10 0-110 -10 1.(1) 3 3 .3 2 1 1 5 *2 3] 「2L 00 2 -3 20 0r a -r(-2) n-9nrx * 4n72 1■ ” r y2 -i9 1T2 12\⑴人斫「；4 ；O ' ]门 + 3r (1 0 4 1' ------\2 -1 1 0r t x( -1)lo4 1 3\7 2 5/于是P 二(U为A 的行摄简形;于是Q =n巧 10 1 2 0 r? *( - 1) 1 0 1 2 00 -1 -3-5 0 -— ■ 0 1 3 5 0 o ~ n ,0 1 1 - 2 1 J乃■ ri 0 0 -4 -71 2 0 j 013 「4-7 1J1为山丫的押最简形.0 0 5 0，并且“丁二 3 210 0 1J r,^n to 0 22-I丄因由定理1之推论”知A可逆，且(3 -2-2-2I T J01J()302=322-20010]10 0 0 17 10 0 010 10 0-1 -2 -3-2 001010001510-30—10!0 -2000!2'10 0 01110—3 -41010-2-0 0 - 1 10-10 1 ID 0 1-1046 _2 06910-3 -4 2 1 一6-10-因由定理1之推论，知A 可逆，并且解 ⑴与教材例3相仿*若A 是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为X =A'\B t 而判断A 是否可逆和求解可適过（A,E ）的行最简形一起解决：即若IA-EM A 可逆，并且初等行变换把A 变为E 的同时、把B 变为A"'B-10 2 于是A 可逆，且-15 -3‘ 12 4.（2）可以仿照教材中的方迭，用初等列变换求BA \但通常习惯用初導行 窘换求X.因X4^B=>A T X T =B T =>X T = （A T ）Jj B T r 与题仃）相同，可用初等行变换 先求得从而得K.计算如下：2 2 -1 -3 3 1 2 2' -3 n**rj I 0 3 -7 -411 3 -4 1 -5J 3 -4 31 rj ~2r t .02 -3 1 2.⑵设“1 1 -1-2 0 3 -6 6 -1641-211-32 2 1 ,B = 22 .3 1 1」,3 _10 2 -313 _4. t B = \24 1 -2 I "3 2 2 1 2 2.3 1 -1 3 -ljj 0 -1-2 1・・0 2 3 6 G _3rj.0 1 2 9I 0 * 1 -2 -2a 2 2L 2 23 1 -1 3 一5. (I)设 A 二 ，求* 使 A¥ = B; 2-1 7 -1 01 -I P A¥ = 2X +X-0 1 "AX = 2X + A^(A -2E)X=A.欲解此方程，需要(i)判断A~2E 为可逆矩阵;(ii)进一步求X = (A-2E)^l A.这两件事可由(A -2EM )的行最简形一起解决.-1-1 0 1 -1 0 F| x{- 1}1 1 0-1 1 O' (A -2E t A) = 0 -1 -1 0 1 -1 H - r 3 +— 0 1 1 0 -1 1-1 0 -I -1 0 1. K 7 .0 1 -1 -2 I L4 0 T ■ 1 2 -1 ■R(-2) 1 0 0 0 1 -— 1 C - r 2 0 1 1 0 -1 1 -- rj卜 0 1 0 -1 01 心-r t 0 0 -2 -2 2 Q J rj ▼ r, ,0 0 r 1 -I0.上述结果表明A-2E-E t 故A -2E 可逆，且[0 1 -11 I' ,X=(A -2£)~'A =10 1..1-1 》7+衽秩是r 的矩阵中，有没有等于。