2018年江苏高考数学填空压轴题
2018江苏高考数学试题及答案word版
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绝密★启用前2018 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 I注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包括非选择题（第 1 题 ~ 第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务势必自己的姓名、准考据号用0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点。
3.请仔细查对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与自己能否符合。
4.作答试题，一定用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡上的指定地点作答，在其余位置作答一律无效。
5.如需变动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 小分，合计70 分。
请把答案填写在答题卡相应地点上。
1. 已知会合 A {0,1,2,8}, B { 1,1,6,8},那么A B __________.2. 若复数 z 知足i z 1 2i , 此中i是虚数单位 , 则 z z的实部为 __________.3. 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如下图, 那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 __________.4.一个算法的伪代码如下图 , 履行此算法 , 最后输出的S的值为 __________.5. 函数f x log 2 1 的定义域为__________.6. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 , 现从中任选 2 名学生去参加活动, 则恰巧选中 2 名女生的概率是 __________.7. 已知函数y sin(2 x )(2) 的图像对于直线x对称,则的值是__________.2 38. 在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x2 y21(a 0, b 0) 的右焦点 F (c,0) 到一条渐a2 b2近线的距离为3c ,则其离心率的值是__________. 29. 函数f (x)知足f ( x 4) f ( x)( x R) ,且在区间 ( 2,2) 上cos x,0 x 2f ( x) 2 , 则f ( f (15)) 的值为 __________.1|,| x 2 x 0210. 如下图 , 正方体的棱长为2, 以其全部面的中心为极点的多面体的体积为__________.11. 若函数 f (x) 2x3 ax 2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点,则 f ( x) 在 [ 1,1]上的最大值与最小值的和为__________.12. 在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点, B5,0 以 ABuuur uuur, 则点A的横坐标为 __________.为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ,若 AB CD 013. 在 ABC 中,角A, B, C所对应的边分别为a,b, c, ABC 120o , ABC 的均分线交AC 于点 D ,且 BD 1,则 4a c 的最小值为__________.14. 已知会合A x | x 2n 1,n N* ,B x | x 2n , n N*,将A B 的全部元素从小到大挨次摆列组成一个数列a n , 记S n为数列的前n项和 , 则使得S n 12a n 1建立的 n 的最小值为 __________.二、解答题15. 在平行四边形ABCD A1B1C1D1中, AA1 AB, AB1 B1C11.求证 : AB / /平面A1B1C2.平面 ABB1 A1平面 A1BC16. 已知, 为锐角 , tan 4,cos 5 3 51.求 cos2 的值。
2018年江苏省高考冲刺压轴数学试卷(附答案)
2018江苏省高考压轴卷数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．4.如图，该程序运行后输出的结果为 ．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0， b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．9.设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=﹣81，且a2，a4，a 3成等差数列，则数列{a n}的前4项和为．10.设定义在R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．11.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．12.如图，在△ABC中，已知AN=21AC，P是BN上一点，若AP=m AB+41AC，则实数m的值是．13.已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a+b|，则a与2a－b夹角的余弦值为．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x,ax25x9x1x,xsin23，若函数f（x）的图象与直线y=x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为．15.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．16.在△ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()2cos cosa b C c B-⋅=⋅.AA1B1C1BCFE（第16题）（1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 的面积为3，求该三角形的周长.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。
江苏省2018年高考[数学]考试真题与答案解析
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江苏省2018年高考：数学卷考试真题与答案解析一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B =．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()f x =的定义域为．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．已知函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距，则其离心率的值是 ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．二、解答题本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点12，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．答案解析一、填空题1、{1，8}2、23、904、85、[2，+∞）6、3107、π6-8、2910、4311、–312、3 13、914、27二、解答题15．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos 22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=sin()αβ+==，因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y ==．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得1,2x =所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+．19．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==．当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′．由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**）此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．解：（1）由条件知：112(,)n nn a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,32．（2）由条件知：111(1),n nn a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）．①当2n m ≤≤时，1112222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-．②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m ．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．。
2018年江苏省高考原创押题卷数学试题及答案 精品
2018年高考押题卷（1）【江苏卷】数学试题一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则AB =【命题意图】本题考查集合交集的概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】{}0,1 【解析】A B {}1,0,1=-{}0,1,2,3={}0,1.2.已知23(,,ia bi ab R ii +=+∈为虚数单位)，则a b +=【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】1【解析】23323,2, 1.ia bi i a bi ab a b i +=+⇒-=+⇒==-+=3. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为【命题意图】本题考查圆锥体积、圆锥展开图等基础知识，意在考查基本运算能力．4. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为【命题意图】本题考查古典概型概率基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力.【答案】1 3【解析】从中4个球中任取两个球共有6种基本事件，其中两个球颜色相同包含两种基本事件，故概率为21 = 63.5. 下图是一个算法流程图，则输出的x的值是【命题意图】本题考查算法流程图、简单的不等式运算基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力． 【答案】59.【解析】第一次循环：3,7x y ==，第二次循环：13,33x y ==，第三次循环：59,151x y ==，结束循环，输出59.x = 6.已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的一个焦点为(3,0)，直线10x y --=与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为 【命题意图】本小题主要考查双曲线的离心率，双曲线标准方程等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．【答案】22154x y -=7.若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为【命题意图】本题考查线性规划求最值基础知识，意在考查学生的基本运算能力．【答案】1【解析】可行域为ABC ∆及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C 直线2z x y =+过点(0,1)C 时取最小值1.8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,63,763==S S 则=++987a a a 【命题意图】本题考查等比数列的性质及求和等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力． 【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ++=，45663756a a a ++=-=，所以789568448a a a ++=⨯=9. 将函数()sin y x x x =+?¡的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力.【答案】6π10.若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为【命题意图】本题考查基本不等式求最值基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力． 【答案】4 【解析】因为22log log 12x y xy +=⇒=，所以222()24()4,x y x y xy x y x y x y x y+-+==-+≥---当且仅当时2,2x y xy -==，即11x y ==-22x y x y+-的最小值为4.11. 若函数()ln |31|f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不具有单调性，则实数k 的取值范围为【命题意图】本题考查函数的图象和性质的综合运用等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】)35,34[]32,1( --. 【解析】函数()y f x =的图象如图，11013k k -<<+≤或121133k k ≤-<<+，解得213k -<≤-或4533k ≤<.12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c -的取值范围为【命题意图】本题考查三角函数最值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力．【答案】[13. 已知圆22:2C xy +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为【命题意图】本题考查正弦定理、直线与圆的位置关系基础知识，意在考查运用数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】8[0,]5【解析】在OPQ ∆中，设α=∠OQP ，由正弦定理，得αsin 45sin 0OPOQ =，即αsin 222OP =，得2sin 2≤=αOP ，即2)22(202≤-+x x ，解得5800≤≤x .14. 已知函数2()f x ax =，若存在两条过点(1,2)P -且相互垂直的直线与函数()f x 的图像都没有公共点，则实数a 的取值范围为【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像与性质基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】1(,)8+∞二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==． （1）若67πβα=-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .【命题意图】本题考查线面平行及面面垂直的判定定理等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力.【解析】（1）连接1AC 交1AC 于点O ，连接OF ，F为AC 中点，∴111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF且，∴四边形BEOF是平行四边形， ………4分∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC (7)分17. （本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P(点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？【命题意图】本题考查解三角形、两角和的正切公式、基本不等式的应用等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力．【解析】(1)如图作AN CD ⊥ 于N ．因为m CD m AB CD AB 15,9,//==, 所以m NC m DN 9,6==. 设AN x DAN θ∠＝，＝ ，因为45=∠CAD ,所以θ-=∠45CAN .在Rt ANC∆和Rt AND∆ 中，因为069tan ,tan(45-)=x x θθ=，………………………4分所以()91tan 451tan tan xθθθ-∴︒+＝－＝,化简整理得215540x x －－＝ ，解之得12)183(x x ＝，＝－舍去 ．所以BC的长度是18 m． ………………………7分(2)设BP t ＝ ，所以915PC=18-t,tan =,tan =18t t αβ- (9)分 则BCADP(第17题图)tan tan 661tan t 9151(an 145277227827)18t t t tan t t t t t αβαβαβ++----+++--++＋＝＝＝-＝- ………14分63013502)27(1350)27(=≥+++t t,当且仅当1350t+27=27t +，即时，()tan αβ＋ 取最小值． ……15分 答：P在距离B点m)27615(- 时,()tan αβ＋ 最小． ………………………16分 18. （本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>, 经过点P(1,，离心率是.（1）求椭圆C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题和解决问题的能力．将①②代入③，得 225161204m m k -+=+，解得65m =或2m =（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分19. （本小题满分16分）已知函数()xf x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.[学科网 ]（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间；（3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 【命题意图】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．（2）由1a =，21()xx bx h x e ++=，∴2(2)1()x x b x b h x e -+-+-'=， ∴2(2)1(1)((1))()x x x b x b x x b h x e e -+-+----'==-，………7分由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. ………10分 （3）由1a =，则()()()1xx f x g x ebx ϕ=-=--，∴()x x e b ϕ'=-，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 上单调递增， 又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， (12)分②当0b >时，()0x ϕ'>，ln x b >；()0x ϕ'<，ln x b <，∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，20. （本小题满分16分）等差数列{}na 的前n 项和为nS ，已知12a=，622S =.（1）求nS ；（2）若从{}na 中抽取一个公比为q 的等比数列{}nk a ，其中11k=，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}nk 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值. 【命题意图】本题考查等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n 项和公式，数列单调性等基础知识，意在考查学生灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，……2分所以(5)3n n n S +=.………4分（2）①因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{nk a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ，解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；……6分若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n k n a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n nk -=⨯-， ………8分所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． ………10分附加题部分21.【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM 与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，求DMDN【命题意图】本题主要考查切割线定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.xy ，B．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C：1若矩阵M ⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C变为曲线C '，求曲线C '的方程.【命题意图】本题考查矩阵与向量乘积、相关点法求轨迹方程等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，∴22x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎦⎣⎦⎣⎦，∴x y x ''=x y y ''+=， (5)分∴x '=，y '=，∴1x y ''==，∴曲线C '的方程为222y x -=.…10分C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()42l πρθ-=，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 【命题意图】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，直线与曲线位置关系等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()a b c a b c +++++≥【命题意图】本题考查利用均值不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．【解析】因为a b c，，均为正数，由均值不等式得22223()a b c abc ++≥3，………………2分因为13111()abc a b c-++≥3，所以223111(()abc a b c -++)≥9．…………………………………5分故22222233111(()()a b c abc abc a b c -++++++)≥39． （当且仅当c b a ==时取等号）又32233()9()abc abc -+=≥（当且仅当433=abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥的侧棱长与底边长都为，点M ，N 分别 在PA ，BD上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．【命题意图】本题考查向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角等基础知识，意在考查运算求解能力，逻辑思维能力．（2）设平面PAD 的法向量为(,,),n x y z =(3,3,0),(3,0,3),AD AP =--=-由0,0,n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得330,330.x y x z --=⎧⎨-+=⎩取1,z =得1, 1.x y ==-23. 设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE .【命题意图】本题考查子集定义及性质、古典概型及离散型随机变量分布列和期望等基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力，运算求解能力，逻辑思维能力． 【解析】可列举出集合S的非空子集的个数为：31125=-个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为： 317=p .（6分）（2）ξ的可能值为1，2，3，4，5.（9分）()31129311653184314331223111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（10分）。
2018年江苏省高考冲刺压轴数学试卷(有答案)
绝密★启封前2018江苏省高考压轴卷数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．4.如图，该程序运行后输出的结果为 ．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ． 10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是 ．12.如图，在△ABC 中，已知=21，P 是BN 上一点，若AP =m AB +41，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a +b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为 ．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ． 15.如图，在三棱柱1B 1C 1中，，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； （2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，△ABC 3.17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)=﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．AA 11C 1B C FE（第16题）数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~第23题）。
(数学)江苏省2018届高三高考压轴卷数学试题 Word版含答案
绝密★启封前2018江苏省高考压轴卷数 学I注意事项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．2.若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z = ．3.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人．4.如图，该程序运行后输出的结果为 ．5.将函数y=3sin （2x ﹣6π）的图象向左平移4π个单位后，所在图象对应的函数解析式为 ． 6.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则三棱锥A ﹣B 1D 1D 的体积为 cm 3．7.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为41，则阴影部分的面积为 ．8.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右端点分别为A 、B 两点，点C （0， b ），若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为 ． 9.设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=﹣81，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 ．10.设定义在R 上的偶函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），则实数m 的取值范围是 ．11.已知函数f （x ）=，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a+b+c 的取值范围是 ． 12.如图，在△ABC 中，已知=21，P 是BN 上一点，若=m +41，则实数m 的值是 ．13.已知非零向量，满足||=||=|+|，则与2－夹角的余弦值为 ．14.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥++-<1x ,a x 25x 9x 1x ,x sin 23，若函数f （x ）的图象与直线y=x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．15.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE ∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ； （2）BC // 平面AEF ．16.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；（2）若2c =， △ABC .17.已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点． （1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．19.设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 20.（16分）已知f （x ）=x 2+mx+1（m ∈R ），g （x ）=e x ．（1）当x ∈[0，2]时，F （x ）=f （x ）﹣g （x ）为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若m ∈（﹣1，0），设函数 G(x)=)x (g )x (f ，H(x)= ﹣41x+45，求证：对任意x 1，x 2∈[1，1﹣m]，G （x 1）＜H （x 2）恒成立．数学II （附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题 ~ 第23题）。
2018年江苏省高考数学压轴试卷
2018年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1. 若集合A={−1, 0, 1, 2}，B={x|x+1>0}，则A∩B=________．2. 若复数z满足z(1−i)=2i（i是虚数单位），z是z的共轭复数，则z=________．3. 某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100, 150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120, 130)内的学生共有________人．4. 如图，该程序运行后输出的结果为________．5. 将函数y=3sin(2x−π6)的图象向左平移π4个单位后，所在图象对应的函数解析式为________．6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A−B1D1D的体积为________cm3．则阴影部分的面积为________．8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右端点分别为A 、B 两点，点C(0, √2b)，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为________．9. 设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=−18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为________．10. 设定义在R 上的偶函数f(x)在区间(−∞, 0]上单调递减，若f(1−m)<f(m)，则实数m 的取值范围是________．11. 已知函数f(x)={lgx,0<x ≤10,|−12x +6|,x >10, 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是________．12. 如图，在△ABC 中，已知AN →=12AC →，P 是BN 上一点，若AP →=mAB →+14AC →，则实数m 的值是________．13. 已知非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与2a →−b →夹角的余弦值为________．14. 已知函数f(x)={sinx,x <1,x 3−9x 2+25x +a,x ≥1,若函数f(x)的图象与直线y =x 有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．二、解答题（共6小题，满分16分）如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．(1)求证：平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求证：BC // 平面AEF ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB．(1)求角C的大小；(2)若c=2，△ABC的面积为√3，求该三角形的周长．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率.为√53(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD // BC，∠BAD=∠CBA=90∘，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1)求EF与DG所成角的余弦值；(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0．记c i=a i+b i(i=1, 2, 3, 4)．(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；(2)设a1=1，q=2．若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．已知f(x)=x2+mx+1(m∈R)，g(x)=e x．(1)当x∈[0, 2]时，F(x)=f(x)−g(x)为增函数，求实数m的取值范围；f(x)15[1, 1−m]，G(x 1)<H(x 2)恒成立．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【几何选讲】如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ．(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)求证：AM ⋅MB =DF ⋅DA ．【矩阵与变换】已知变换T 将平面上的点(1, 12)，(0, 1)分别变换为点 (94, −2)，(−32, 4)．设变换T 对应的矩阵为M ．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．【参数方程与极坐标】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t,（其中t 为参数），在以原点O 为极点，以x 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设M 是曲线C 上的一动点，OM 的中点为P ，求点P 到直线l 的最小值．参考答案与试题解析2018年江苏省高考数学压轴试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.【答案】{0, 1, 2}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={−1, 0, 1, 2}，B={x|x+1>0}={x|x>−1}，∴A∩B={0, 1, 2}．故答案为：{0,1,2}.2.【答案】−1−i【考点】共轭复数复数代数形式的混合运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求得z．【解答】解：∵z(1−i)=2i，∴z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i，∴z=−1−i．故答案为：−1−i.3.【答案】300【考点】频率分布直方图【解析】根据频率和为1，求出成绩在[120, 130)内的频率与频数即可．【解答】解：根据频率和为1，得成绩在[120, 130)内的频率为1−(0.010+0.020+0.025+0.015)×10=0.3，所以成绩在[120, 130)内的学生共有1000×0.3=300人．4.【答案】45【考点】程序框图【解析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：经过分析，本题为当型循环结构，执行如下：S=0，A=1;S=1，A=2;S=3，A=3;S=6，A=4;S=10，A=5;S=15，A=6;S=21，A=7;S=28，A=8;S=36，A=9;S=45，A=10;当S=45不满足循环条件，输出．故答案为：45.5.【答案】y=3sin(2x+π3 )【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数y=3sin(2x−π6)的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式是y=3sin[2(x+π4)−π6]=3sin(2x+π3).故答案为：y=3sin(2x+π3).6.【答案】3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段．△B1D1D为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可．【解答】连接AC交BD于O，如图：则AC⊥BD，又D1D⊥AC，所以AC⊥面B1D1D，因为AB=AD=3cm，AA1=2cm，所以AC=√AB2+AD2=3√2(cm)=B1D1，又因为AO为A到面B1D1D的垂线段，且AO=12AC=3√22．又S△B1D1D =12D1D×D1B1=12×2×3√2=3√2，所以所求的体积V=13×3√22×3√2=3(cm3)．故答案为：3.7.【答案】2【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知阴影部分面积为矩形面积的14，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，则x8=14，解得x=2．故答案为：2.8.【答案】√102【考点】双曲线的离心率【解析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则√2b=√32⋅2a，由a，b，c的关系和【解答】解：由线段AC 的垂直平分线过点B ，结合对称性可得△ABC 为等边三角形， 则√2b =√32⋅2a ， 即b =√62a ， c =√a 2+b 2=√a 2+32a 2=√102a ， 则e =c a =√102. 故答案为：√102. 9.【答案】58【考点】等差中项数列递推式等比数列的前n 项和【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，根据a 2，a 4，a 3成等差数列，可得2a 2q 2=a 2+a 2q ，q ≠1，解得q ．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 2，a 4，a 3成等差数列，∴ 2a 4=a 2+a 3，∴ 2a 2q 2=a 2+a 2q ，化为：2q 2−q −1=0，q ≠1，解得q =−12．∵ a 1a 2a 3=−18，∴ a 13⋅q 3=−18，解得a 1=1． 则数列{a n }的前4项和=1−(−12)41−(−12)=58． 故答案为：58.10.【答案】(12, +∞) 【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得其在区间[0, +∞)上单调递增，进而可以将f(1−m)<f(m)转化为|1−m|<|m|，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且在区间(−∞, 0]上单调递减，则函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，若f(1−m)<f(m)，由函数为偶函数，可得f(|1−m|)<f(|m|)，又由函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则|1−m|<|m|，解可得：m >12，则实数m 的取值范围为：(12, +∞).故答案为：(12, +∞).11.【答案】(25, 34)【考点】分段函数的应用【解析】画出函数的图象，根据f(a)=f(b)=f(c)，不妨设a <b <c ，求出a +b +c 的范围即可．【解答】解：作出函数f(x)的图象如图，不妨设a <b <c ，则：b +c =2×12=24，a ∈(1, 10)，则a +b +c =24+a ∈(25, 34).故答案为：(25, 34).12.【答案】12【考点】平面向量的基本定理向量的共线定理【解析】由于B ，P ，N 三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得AP →=λAB →+(1−λ)AN →=λAB →+1−λ2AC →，又AP →=mAB →+14AC →，利用共面向量基本定理即可得出．解：∵ B ，P ，N 三点共线， ∴ 存在实数λ使得：AP →=λAB →+(1−λ)AN →=λAB →+1−λ2AC →，又AP →=mAB →+14AC →， ∴ {m =λ,14=1−λ2, 解得m =12． 故答案为：12.13.【答案】5√714【考点】数量积表示两个向量的夹角 向量的模【解析】用|a →|表示出a →∗(2a →−b →)，|2a →−b →|，代入夹角公式计算． 【解答】解：∵ |a →|=|b →|=|a →+b →|，∴ a →2=b →2=a →2+b →2+2a →⋅b →， ∴ a →⋅b →=−12a →2=−12b →2， ∴ (2a →−b →)2=4a →2+b →2−4a →⋅b →=7a →2， ∴ |2a →−b →|=√7|a →|， 又a →⋅(2a →−b →)=2a →2−a →⋅b →=52a →2， ∴ cos <a →，2a →−b →>=a →⋅(2a →−b →)|a →||2a →−b →| =52a →2|a →||√7a →|=5√714． 故答案为：5√714. 14.【答案】{−20, −16}【考点】利用导数研究函数的单调性 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断因为y=sinx (x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3−9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，只需g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)与x轴有2个交点即可，【解答】解：因为y=sinx (x<1)与y=x有1个交点，故只需函数f(x)=x3−9x2+25x+a(x≥1)的图象与直线y=x有2个不同的公共点即可，令g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)，g′(x)=3x2−18x+24=3(x2−6x+8)=3(x−2)(x−4)，当x∈(1, 2)，(4, +∞)时，g(x)单调递增；当x∈(2, 4)时，g(x)单调递减，依题意只需g(x)=x3−9x2+24x+a(x≥1)与x轴有2个交点即可，∵g(4)=16+a，g(1)=16+a，∴只需g(1)=16+a=0或g(2)=20+a=0，∴a=−20或a=−16．故答案为：{−20, −16}.二、解答题（共6小题，满分16分）【答案】证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1 // CC1，因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．又AE⊥BB1，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB=AC，所以Rt△AEB≅Rt△AFC，所以BE=CF．又由(1)知，BE // CF，所以四边形BEFC是平行四边形，故BC // EF．又BC平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC // 平面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）证明AF⊥BB1．结合AE⊥BB1，证明BB1⊥平面AEF．然后证明平面AEF⊥平面BB1C1C．（2）证明Rt△AEB≅Rt△AFC．所推出BE=CF．证明BC // EF．然后证明BC // 平面AEF．【解答】证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1 // CC1，因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．又AE⊥BB1，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．(2)因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB=AC，所以Rt△AEB≅Rt△AFC，所以BE=CF．又由(1)知，BE // CF，所以四边形BEFC是平行四边形，故BC // EF．又BC平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC // 平面AEF．【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R，又因为(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA，∵0<A<π，∴sinA>0，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)∵S△ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4，又c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−3ab=4，∴(a+b)2=16，∴a+b=4，∴周长为6．【考点】两角和与差的正弦公式解三角形余弦定理正弦定理三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得cosC与C的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求得a+b的值，再求周长．【解答】解：(1)在△ABC中，由正弦定理知asinA =bsinB=csinC=2R，又因为(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sinA，∵0<A<π，∴sinA>0，∴cosC=12，又0<C<π，∴C=π3.(2)∵ S △ABC =12absinC =√34ab =√3， ∴ ab =4 ，又c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b)2−3ab =4，∴ (a +b)2=16，∴ a +b =4，∴ 周长为6．【答案】解：(1)根据题意：{2a =6,c a=√53, 解得a =3,c =√5，∴ b 2=a 2−c 2=4，∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2，设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得2d =√53， 解得：d =65√5．【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】（1）由已知可得a ，再由离心率求得c ，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； （2）由题意定义结合已知求得PF 2，再由椭圆的第二定义可得点P 到右准线的距离．【解答】解：(1)根据题意：{2a =6,c a =√53, 解得a =3,c =√5，∴ b 2=a 2−c 2=4，∴ 椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1.(2)由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2，设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得2d =√53， 解得：d =65√5．【答案】解：(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)，∵ E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E(1,12,0)，F(0, 1, 12)，G(12,12,12)，∴ EF →=(−1, 12,12)， DG →=(12,−32,12)， 设EF 与DG 所成角为θ，则cosθ=|EF →⋅DG →||EF →|⋅|DG →|=233√66．∴ EF 与DG 所成角的余弦值为233√66．(2)设平面PBC 的法向量为n →=(x, y, z)，∵ BC →=(0, 1, 0)，PB →=(1, 0, −1)，∴ {n →⋅BC →=y =0,n →⋅PB →=x −z =0,取x =1，得n →=(1, 0, 1)，M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →， 设M(x 1,y 1,z 1)，N(x 2, y 2, z 2)，则{x 2−x 1=z 2−z 1,y 2−y 1=0, ① ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →=λEF →,DN →=tDG →，∵ EM →=(x 1−1,y 1−12,z 1)，DN →=(x 2, y 2−2, z 2)， ∴ {x 1−1=−λ,y 1−12=12λ,z 1=12λ, 且{x 2=12t,y 2−2=−32t,z 2=12t, ② 把②代入①，得{−32t −12λ+32=0,12t +λ−1=12t −12λ, 解得{λ=23,t =79,∴ M(13,56,13)，N(718,56,718)． 【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离向量语言表述线面的垂直、平行关系【解析】（1）以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF 与DG 所成角的余弦值．（2）求出平面PBC 的法向量，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →，由此利用向量法能求出结果．【解答】解：(1)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)，∵ E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E(1,12,0)，F(0, 1, 12)，G(12,12,12)，∴ EF →=(−1, 12,12)， DG →=(12,−32,12)，设EF 与DG 所成角为θ，则cosθ=|EF →⋅DG →||EF →|⋅|DG →|=233√66．∴ EF 与DG 所成角的余弦值为233√66．(2)设平面PBC 的法向量为n →=(x, y, z)，∵ BC →=(0, 1, 0)，PB →=(1, 0, −1)，∴ {n →⋅BC →=y =0,n →⋅PB →=x −z =0,取x =1，得n →=(1, 0, 1)，M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN ⊥平面PBC ，则MN → // n →，设M(x 1,y 1,z 1)，N(x 2, y 2, z 2)，则{x 2−x 1=z 2−z 1,y 2−y 1=0, ① ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →=λEF →,DN →=tDG →，∵ EM →=(x 1−1,y 1−12,z 1)，DN →=(x 2, y 2−2, z 2)， ∴ {x 1−1=−λ,y 1−12=12λ,z 1=12λ, 且{ x 2=12t,y 2−2=−32t,z 2=12t, ② 把②代入①，得{−32t −12λ+32=0,12t +λ−1=12t −12λ, 解得{λ=23,t =79, ∴ M(13,56,13)，N(718,56,718)． 【答案】(1)证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2=c 1+c 3，即2(a 2+b 2)=(a 1+b 1)+(a 3+b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2=b 1+b 3．从而2a 2=a 1+a 3．又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22=a 1a 3．所以a 1=a 2=a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(2)解：因为a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．因为c 22=c 1c 3，所以(2+b 2)2=(1+b 2−d)(4+b 2+d)，即b 2=d 2+3d ， 由c 2=2+b 2≠0，得d 2+3d +2≠0，所以d ≠−1且d ≠−2．又d ≠0，所以b 2=d 2+3d ，定义域为{d ∈R|d ≠−1, d ≠−2, d ≠0}．(3)解：假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1=c 3c 2=c4c 3． 所以c 3−c 2c 2−c 1=c 4−c 3c 3−c 2，即a 3−a 2+d a2−a 1+d =a 4−a 3+d a 3−a 2+d ． 两边同时减1得，a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =a 4−2a 3+a 2a 3−a 2+d ．因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =q(a 3−2a 2+a 1)a 3−a 2+d ．又a 3−2a 2+a 1=a 1(q −1)2≠0，所以q(a 2−a 1+d)=a 3−a 2+d ，即(q −1)d =0．这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．【考点】等比数列的性质等比关系的确定等差关系的确定【解析】（1）运用反证法证明，假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，由中项性质，结合条件，推得a 1，a 2，a 3是等比数列也是等差数列，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式、等差数列的通项公式，化简整理，可得所求解析式和定义域；（3）方法一、设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1，由条件可得首项与公比的方程组，化简变形可得b 1=0，d =0，即可判断结论；方法二、假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，推理论证，即可得到结论．【解答】(1)证明：假设数列c 1，c 2，c 3是等差数列，则2c 2=c 1+c 3，即2(a 2+b 2)=(a 1+b 1)+(a 3+b 3)．因为b 1，b 2，b 3是等差数列，所以2b 2=b 1+b 3．从而2a 2=a 1+a 3．又因为a 1，a 2，a 3是等比数列，所以a 22=a 1a 3．所以a 1=a 2=a 3，这与q ≠1矛盾，从而假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3不是等差数列．(2)解：因为a 1=1，q =2，所以a n =2n−1．因为c 22=c 1c 3，所以(2+b 2)2=(1+b 2−d)(4+b 2+d)，即b 2=d 2+3d ， 由c 2=2+b 2≠0，得d 2+3d +2≠0，所以d ≠−1且d ≠−2．又d ≠0，所以b 2=d 2+3d ，定义域为{d ∈R|d ≠−1, d ≠−2, d ≠0}．(3)解：假设数列c 1，c 2，c 3，c 4是等比数列，则c 2c 1=c 3c 2=c4c 3． 所以c 3−c 2c 2−c 1=c 4−c 3c 3−c 2，即a 3−a 2+d a2−a 1+d =a 4−a 3+d a 3−a 2+d ． 两边同时减1得，a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =a 4−2a 3+a 2a 3−a 2+d ．因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q(q ≠1)，所以a 3−2a 2+a 1a 2−a 1+d =q(a 3−2a 2+a 1)a 3−a 2+d ．又a 3−2a 2+a 1=a 1(q −1)2≠0，所以q(a 2−a 1+d)=a 3−a 2+d ，即(q −1)d =0．这与q ≠1，且d ≠0矛盾，所以假设不成立．所以数列c 1，c 2，c 3，c 4不能为等比数列．【答案】解：(1)∵ F(x)=x 2+mx +1−e x ，∴ F′(x)=2x +m −e x ，∵ x ∈[0, 2]时，F(x)是增函数，∴ F′(x)≥0即2x +m −e x ≥0在[0, 2]上恒成立，即m ≥e x −2x 在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x −2x ，x ∈[0, 2]，则ℎ′(x)=e x −2，令ℎ′(x)=0，解得：x =ln2，∴ ℎ(x)在[0, ln2]递减，在[ln2, 2]递增，∵ ℎ(0)=1，ℎ(2)=e 2−4>1，∴ ℎ(x)max =ℎ(2)=e 2−4；(2)G(x)=x 2+mx+1e x ，则G′(x)=−(x−1)[x−(1−m)]e x， 对任意x 1，x 2∈[1, 1−m]，G(x 1)<H(x 2)恒成立，即证G(x)max ≤H(x)min ，∵ x ∈[1, 1−m]，∴G(x)在[1, 1−m]递增，G(x)max=G(1−m)=2−me1−m，∵H(x)在[1, 1−m]递减，H(x)min=H(1−m)=−14(1−m)+54，要证G(x)max≤H(x)min，即证2−me1−m ≤−14(1−m)+54，即证4(2−m)≤e1−m[5−(1−m)]，令1−m=t，则t∈(1, 2)，设r(x)=e x(5−x)−4(x+1)，x∈[1, 2]，即r(x)=5e x−xe x−4x−4，r′(x)=(4−x)e x−4≥2e x−4>0，∴r(x)在[1, 2]递增，∵r(1)=4e−8>0，∴e x(5−x)≥4(x+1)，从而有−14(1−m)+54≥2−me1−m，即当x∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系【解析】（1）求出函数F(x)的导数，分离参数，问题转化为m≥e x−2x在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x−2x，x∈[0, 2]，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G(x)max≤H(x)min，根据函数的单调性分别求出G(x)的最大值和H(x)的最小值，从而证出结论．【解答】解：(1)∵F(x)=x2+mx+1−e x，∴F′(x)=2x+m−e x，∵x∈[0, 2]时，F(x)是增函数，∴F′(x)≥0即2x+m−e x≥0在[0, 2]上恒成立，即m≥e x−2x在[0, 2]恒成立，令ℎ(x)=e x−2x，x∈[0, 2]，则ℎ′(x)=e x−2，令ℎ′(x)=0，解得：x=ln2，∴ℎ(x)在[0, ln2]递减，在[ln2, 2]递增，∵ℎ(0)=1，ℎ(2)=e2−4>1，∴ℎ(x)max=ℎ(2)=e2−4；(2)G(x)=x2+mx+1e x，则G′(x)=−(x−1)[x−(1−m)]e，对任意x1，x2∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立，即证G(x)max≤H(x)min，∵x∈[1, 1−m]，∴G(x)在[1, 1−m]递增，G(x)max=G(1−m)=2−me1−m，∵H(x)在[1, 1−m]递减，H(x)min=H(1−m)=−14(1−m)+54，要证G(x)max≤H(x)min，即证2−me1−m ≤−14(1−m)+54，即证4(2−m)≤e1−m[5−(1−m)]，令1−m=t，则t∈(1, 2)，设r(x)=e x(5−x)−4(x+1)，x∈[1, 2]，即r(x)=5e x−xe x−4x−4，r′(x)=(4−x)e x−4≥2e x−4>0，∴r(x)在[1, 2]递增，∵r(1)=4e−8>0，∴e x(5−x)≥4(x+1)，从而有−14(1−m)+54≥2−me1−m，即当x∈[1, 1−m]，G(x1)<H(x2)恒成立．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【几何选讲】【答案】证明：(1)连接OC，如图，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC，∴∠FAC=∠OCA，∴OC // AD．∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．(2)连接BC，如图：在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM⋅MB，又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF⋅DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC，∴△AMC≅△ADC，∴DC=CM，∴ AM ⋅MB =DF ⋅DA .【考点】与圆有关的比例线段圆的切线的性质定理的证明圆的切线的判定定理的证明直线与圆的位置关系【解析】（1）证明DC 是⊙O 的切线，就是要证明CD ⊥OC ，根据CD ⊥AF ，我们只要证明OC // AD ；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM 2＝AM ⋅MB ，再利用切割线定理得到DC 2＝DF ⋅DA ，根据证明的结论，只要证明DC ＝CM ．【解答】证明：(1)连接OC ，如图，∵ OA =OC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∵ CA 是∠BAF 的角平分线，∴ ∠OAC =∠FAC ，∴ ∠FAC =∠OCA ，∴ OC // AD ．∵ CD ⊥AF ，∴ CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线．(2)连接BC ，如图：在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ，∴ CM 2=AM ⋅MB ，又∵ DC 是⊙O 的切线，∴ DC 2=DF ⋅DA ．∵ ∠MAC =∠DAC ，∠D =∠AMC ，AC =AC ，∴ △AMC ≅△ADC ，∴ DC =CM ，∴ AM ⋅MB =DF ⋅DA .【矩阵与变换】【答案】解：(1)设M =[a b c d]， 则[a b c d ][112]=[94−2]， [a b c d ][01]=[−324]， 所以：{ a +12b =94,c +12d =−2,b =−32,d =4,解得：a =3，b =−32，c =−4，d =4．则M =[3−32−44]. (2)设矩阵M 的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)=|λ−3324λ−4| =(λ−3)(λ−4)−6=λ2−7λ+6，令f(λ)=0，可得λ=1或λ=6,即矩阵M 的特征值为1或6.【考点】特征值与特征向量的计算矩阵的应用矩阵变换的性质【解析】（1）利用矩阵的对应运算关系求出结果．（2）利用矩阵的运算求出特征值．【解答】解：(1)设M =[a b c d]， 则[a b c d ][112]=[94−2]， [a b c d ][01]=[−324]， 所以：{ a +1b =9,c +12d =−2,b =−32,d =4,解得：a =3，b =−32，c =−4，d =4．则M =[3−32−44]. (2)设矩阵M 的特征多项式为f(λ)，可得f(λ)=|λ−3324λ−4|=(λ−3)(λ−4)−6=λ2−7λ+6，令f(λ)=0，可得λ=1或λ=6,即矩阵M 的特征值为1或6.【参数方程与极坐标】【答案】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t （其中t 为参数），∴ 消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4．(2)设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0, 1)到直线l 的距离：d =√2=√2．所以点P 到直线l 的最小值为√2−1．【考点】直线一般参数方程化为标准参数方程圆的极坐标方程轨迹方程点到直线的距离公式【解析】（1）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出l 的普通方程，由ρ=4sinθ，能求出曲线C 的直角坐标方程．（2）设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，P 是OM 的中点，从而点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，圆心(0, 1)到直线l 的距离d =√2=√2．由此能求出点P 到直线l 的最小值．【解答】解：(1)∵ 直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =√22t （其中t 为参数），∴ 消去参数t ，得l 的普通方程x −y −1=0．∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4．(2)设P(x, y)，M(x 0, y 0)，则x 02+(y 0−2)2=4，由于P 是OM 的中点，则x 0=2x ，y 0=2y ，所以(2x)2+(2y −2)2=4，得点P 的轨迹方程为x 2+(y −1)2=1，轨迹为以(0, 1)为圆心，1为半径的圆．圆心(0, 1)到直线l 的距离：d =√2=√2．所以点P到直线l的最小值为√2−1．。
2018届江苏省高考压轴卷数学试题及答案
江苏省高考压轴卷
数
学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．设全集U=R ，A =1,2,3,4,5，B ={x ∈R ︱x 2+x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为
▲ .
2. 若,32121x x 则3322x x ▲ .
3. 设函数2()
ln f x x x ，若曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为y
ax b ，则b a ▲ .
4．已知a =log 0.55，b =log 0.53，c =log 32，d =20.3，则a,b,c,d 依小到大
排列为▲ . 注
意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求１．本试卷共4页，包含［填空题（第
1题～第14题，共70分）、解答题（第15～20题，共90分）。
本次考试时间
120分钟，满分160分、考试结束后，请将答题卡交回。
理科学生完成加试，考试时间30分钟。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用
0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用
2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。
在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用
2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
2018江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)
2018江苏一、填空题1．已知集合A ＝{0，1，2，8}，B ＝{－1，1，6，8}，那么A ∩B ＝． 【解析】由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1，8}．2．若复数z 满足i •z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为． 【解析】因为i •z ＝1＋2i ＝i(－i ＋2)，则z ＝2－i ，则z 的实部为2．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为90． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为．【解析】由伪代码可得I ＝3，S ＝2；I ＝5，S ＝4；I ＝7，S ＝8；因7＞6，故结束循环，输出S ＝8． 5．函数f (x )＝log 2x －1的定义域为．【解析】要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．7．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是．【解析】由函数y ＝sin(2x ＋φ) (－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，得sin(2π3＋φ)＝±1，因－π2＜φ＜π2，故π6＜2π3＋φ＜7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是．【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，故|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，故b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，故双曲线的离心率e ＝ca＝2．9．函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为．【解析】因函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，故函数f (x )的最小正周期是4．因在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，故f (f (15))＝f (f (－1))＝f (12)＝cos π4＝22．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，故该多面体的体积为13×(2)2×1×2＝43．11．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为． 【解析】f ′(x )＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1，故此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞a 3，由f ′(x )＜0得，0＜x ＜a 3，则f (x )在(0，a3)上单调递减，在(a 3，＋∞)上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，故f (a 3)＝1－a 327＝0得，a ＝3，故f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，故f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为．【解析】因AB →·CD →＝0，故AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，故∠BAD ＝45°．设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan(θ＋π4)＝－3．又B (5，0)，故直线AB 的方程为y ＝－3(x－5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得x ＝3，y ＝6，故点A 的横坐标为3．13．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为． 【解析】因∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，故∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a ＞0，c ＞0，故1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．14．已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为． 【解析】所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26．当n ＝1时，S 1＝1＜12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3＜12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6＜12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10＜12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503＜12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546＞12a 28＝540，符合题意．故使得S n ＞12a n ＋1成立的n 的最小值为27．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1． 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； 平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【解析】(1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因AB 不在平面A 1B 1C 内，A 1B 1⊆平面A 1B 1C ，故AB ∥平面A 1B 1C ． (2)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又AA 1＝AB ，故四边形ABB 1A 1为菱形，故AB 1⊥A 1B ．又AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，故AB 1⊥BC ．又A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊆平面A 1BC ，BC ⊆平面A 1BC ，故AB 1⊥平面A 1BC ．因AB 1⊆平面ABB 1A 1，故平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ． 16．(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．【解析】(1)因tan α＝43，tan α＝sin αcos α，故sin α＝43cos α．因sin 2α＋cos 2α＝1，故cos 2α＝925，故cos2α＝2cos 2α－1＝－725．(2)因α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55，故sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，故tan(α＋β)＝－2．因tan α＝43，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211．17．(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．17．【解析】(1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，故OH ＝10．过O 作OE ⊥BC 于点E ，则OE ∥MN ，故∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，连接OG ，则GK ＝KN ＝10．令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14，θ0∈(0，π6)．当θ∈[θ0，π2)时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，故sin θ的取值范围是[14，1)．答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是[14，1)．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k ＞0)，则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝8 000k (sin θcos θ＋cos θ)，θ∈[θ0，π2)．设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈[θ0，π2)，则f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1)＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)．令f ′(θ)＝0得，θ＝π6，当θ∈(θ0，π6)时，f ′(θ)＞0，故f (θ)为增函数；当θ∈(π6，π2)时，f ′(θ)＜0，故f (θ)为减函数，因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值．答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(3，12)，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．(1)若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；(2)直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．【解析】(Ⅰ)因椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，故可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．又点(3，12)在椭圆C 上，故⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．因圆O 的直径为F 1F 2，故其方程为x 2＋y 2＝3．(Ⅱ)(1)设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，故直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0．由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0(*)，因直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0．因x 0＞0，y 0＞0，故x 0＝2，y 0＝1．故点P 的坐标为(2，1)．(2)因△OAB 的面积为267，故12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20），故AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2．因x 20＋y 20＝3，故AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52满足(*)式的Δ＞0，x 20＝20舍去，则y 20＝12，故P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22． 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋32．19．(本小题满分16分)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数．若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”． (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值．(3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，e ()xb g x x=．对任意a ＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．19．【解析】(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”．(2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g′(x )＝1x．设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*)，得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝⎛⎭⎫e －122＝e 2．当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”．因此，a 的值为e 2．(3)对任意a ＞0，设h (x )＝x 3－3x 2－ax ＋a ．因h (0)＝a ＞0，h (1)＝－2＜0，且h (x )的图象是不间断的，故存在x 0∈(0，1)，使得h (x 0)＝0，令()302e 1x x b x =-，则b ＞0．函数f (x )＝－x 2＋a ，()e x b g x x =，则f ′(x )＝－2x ，．由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得()22e e 12x x b x a xb x x x -+⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩，即()()()00320030202e e 1e 122e 1x x x x x x a x x x x x x x -+=⋅---=⋅-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(**)，此时，x 0满足方程组(**)，即x 0是函数f (x )与g (x )在区间(0，1)内的一个“S 点”．因此，对任意a ＞0，存在b ＞0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S点”．20．(本小题满分16分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若 |a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．【解析】(1)由条件知：a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1，因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52，因此，d 的取值范围为[73，52]．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1．若存在d ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1q n －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)，即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因q ∈(1，m2]，则1＜qn －1≤q m≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －in －1b 1＞0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．故取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项和数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项(n ＝2，3，…，m ＋1)． ①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n （n －1）＝n （q n －q n －1）－q n ＋2n （n －1），当1＜q ≤21m 时，有q n ≤q m ≤2，从而n (q n －qn －1)－q n ＋2＞0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1单调递增，故()()2e 1x b x g x x -'=数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1－2n －1的最大项为q m －2m ．②设f (x )＝2x (1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x ＜0，所以f (x )单调递减，从而f (x )＜f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nn q n －1n －1＝q （n －1）n ≤21n ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＜1，因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1单调递减，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫q n －1n －1的最小项为q m m ．因此，d 的取值范围为⎣⎡⎦⎤b 1（q m －2）m ，b 1q m m ． 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC = BC 的长． 【解析】连结OC ，因为PC 与圆O 相切，故PC ⊥．又因为23PC =2OC =，故224OP PC OC =+=．又因为2OB =，从而B 为Rt OCP △斜边的中点，故2BC =．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2．(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标． 【解析】1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0，故A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 2． (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，因此，点P 的坐标为(3，－1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，故曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，故A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6．连接OB ．因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，故AB ＝4cos π6＝23．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解析】由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2．因x ＋2y ＋2z ＝6，故x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z 2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，故x 2＋y 2＋z 2的最小值为4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OB ，OO 1．则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ．以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ．因AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，－1，2)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，从而BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0，2，2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →|·|AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎫32，12，0，因此AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AC 1→＝(0，2，2)，CC 1→＝(0，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1，1)．设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→|·|n |＝25×2＝55，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．(本小题满分10分)设n ∈N *，对1，2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记f n (k )为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求f 3(2)，f 4(2)的值；(2)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．【解析】(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，故f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5．(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，故f n (0)＝1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，故f n (1)＝n －1．为计算f n ＋1(2)，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n ．当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22．因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22．。
2018江苏高考数学压轴题的分析与解答
(n m)2 2m1 2 12(2n 1)
n2 2(m 12)n (m2 2m1 24m 14) 0 若 m 5 ，解①和②，得 n 27 ，成立. 所以 nmin 27 . 此题亦可先将 m 5 带入得
an1 2n 9 ， Sn (n 5)2 62
从而求出 nmin 27 .
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解
2018 年江苏卷
11．若函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 f (x) 在[1,1] 上的最大值与最小值 的和为 ▲ ．
解析：-3 函数 f (x) 导函数为
f (x) 6x2 2ax 2x(3x a)，f (0) 1
12.在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点， B(5, 0) ，以 AB 为直径的圆 C 与直
线 l 交于另一点 D．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ．
解析：3
方法一：几何法.
由 AB CD 0 ， AC DC BC ，可得 △ADB 为等腰直角三角形.
(2) 若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； (3) 已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x) 在区
x 间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由．
由 AB CD 0 和 AD BD 0 ，得
AD
AB
CD
(5
a)(b
a
2
5)
2a(2b
a)
0
BD (b a)(b 5) 4b(b a) 5(b 1)(b a)
2018年江苏省高考数学押题试卷Word版含解析
2018年江苏省高考数学押题试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B= ．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8= ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2= ．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．9．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是 ．10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有=，则= ．11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P 是线段BC 上的一个动点，则•的取值范围是 ．12．如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF=时，椭圆的离心率为 ．13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若+=，则的最大值为 ．14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a□b=设f （x ）=（x ﹣4）□（x ﹣4），若关于x 的方程|f （x ）﹣m|=1（m ∈R ）恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos （α+）=．（1）求cos （）的值；（2）求cos （2α﹣）的值．16．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA=CB ，AA 1=AB ，D 是AB 的中点（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）若点P 在线段BB 1上，且BP=BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD ．17．如图，直线l 是湖岸线，O 是l 上一点，弧是以O 为圆心的半圆形栈桥，C 为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D ，同时沿线段CD 和DP （点P 在半圆形栈桥上且不与点A ，B 重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC ，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP 在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km ），设湖岸BC 与直线栈桥CD ，DP 是圆弧栈桥BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为S （km 2），∠BOP=θ （1）求S 关于θ的函数关系式；（2）试判断S 是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．19．已知数列{an }满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an }的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．20．已知函数f（x）=e x（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．2018年江苏省高考数学押题试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B= {x|﹣1≤x≤3} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8= 16 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等求得a，b的值，代入（a+bi）8，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由a+i=1﹣bi，得a=1，b=﹣1，从而（a+bi）8=（1﹣i）8=（﹣2i）4=16．故答案为：16．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2= ．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为 4 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205 ．【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是[1，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有=，则= 9 ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q′，∵=，∴n=1时，a 1=b 1．n=2时，．n=3时，．∴2q ﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q 2﹣q+6=0， 解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE ⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF=时，椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，通过|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义，转化求解离心率即可．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义得：2c（cos+sin）=2a，即：e====．故答案为：．13．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若+=，则的最大值为．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由+=可得， +=，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：由+=可得， +=，即=，∴=，即=，∴sin2C=sinAsinBcosC．根据正弦定理及余弦定理可得，c2=ab•，整理得a2+b2=3c2，∴=≤=，当且仅当a=b时等号成立．故答案为．14．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b=设f（x）=（x﹣4）□（x﹣4），若关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪（2，4）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．【解答】解：解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．因为关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，∴或或，解得2＜m＜4或﹣1＜m＜1．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos（α+）=．（1）求cos（）的值；（2）求cos（2α﹣）的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α+），利用诱导公式即可得解cos（）的值．（2）利用诱导公式可求sin（），由2α=（α+）﹣（），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵α为锐角，∴α+∈（，）．又cos（α+）=，故sin（α+）=，…4分∴cos（）=cos[﹣（α+）]=sin（α+）=，…6分（2）又sin（）=﹣sin[﹣（α+）]=﹣cos（α+）=﹣，…8分故cos（2α）=cos[（α+）﹣（）]=cos（α+）cos（）﹣sin（α+）sin（）=×﹣×（﹣）=…14分16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB=x，则证明△ABP∽△ADA1，可得AP⊥A1D，又由线面垂直的性质可得CD⊥AP，从而可证AP⊥平面A1CD；法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）法一：由题意，设AB=x，则BP=x，AD=x，A1A=x，由于=，∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP=∠AA1D，∵∠DA1A+∠ADA1=90°，可得：AP⊥A1D，又∵CD⊥AB，CD⊥BB1，可得CD⊥平面ABA1B1，∴CD⊥AP，∴AP⊥平面A1CD．法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得： =（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1D=A1，所以：AP⊥平面A1CD17．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【考点】HN ：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP 中，CP 2=CO 2+OP 2﹣2OC •OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP 得面积S △CDP =CP 2=（5﹣3cosθ），又因为△COP 得面积S △COP =OC •OP=sinθ，所以S=S △CDP +S △COP ﹣S 扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=，当DP 所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP 中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin （θ+）=，当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S 取得最大值，此时cos （θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos （θ0+）cos+sin （θ0+）sin=18．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2=3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得a 2=4，b 2=3，c 2=1，则椭圆方程可求；（2）设P （x 0，2）（x 0≠0），当x 0=时和x 0=﹣时，求出A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭圆上，当x 0≠±时，求出过点O 且垂直于0P 的直线与椭圆的交点，写出该交点与P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A 在椭圆C 上．【解答】解：（1）由题意得： ==2，2a=4，又a 2=b 2+c 2，联立以上可得： a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆C 的方程为+y 2=1；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为y=±2，不妨取y=2，设P （x 0，2）（x 0≠0），则k OP =，∴过原点且与OP 垂直的直线方程为y=﹣x ，当x 0=时，过P 点的圆的切线方程为x=，过原点且与OP 垂直的直线方程为y=﹣x ，联立，解得：A （，﹣），代入椭圆方程成立；同理可得，当x 0=﹣时，点A 在椭圆上；当x 0≠±时，联立，解得A 1（，﹣），A 2（﹣，），PA 1所在直线方程为（2+x 0）x ﹣（x 0﹣6）y ﹣x 02﹣12=0．此时原点O到该直线的距离d==，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上．19．已知数列{an }满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{an }的前n项和Sn；（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）若k=0，则数列{an }满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），则数列{an}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，可得2a4=a3+a5+k，k=2．数列{an}满足2an+1=an+an+2+2，利用递推关系可得：2（an+1﹣an）=（an﹣an﹣1）+（an+2﹣an+1），令bn=an+1﹣an，则2bn =bn﹣1+bn+1．数列{bn}是等差数列，即可得出．【解答】解：（1）若k=0，则数列{an }满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a3+a5=﹣4．∴2×2+6d=﹣4，解得d=．∴Sn=2n×=．（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，则2a4=a3+a5+k，﹣2=﹣4+k，解得k=2．数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2+2， 当n ≥2时，2a n =a n ﹣1+a n+1+2，相减可得：2（a n+1﹣a n ）=（a n ﹣a n ﹣1）+（a n+2﹣a n+1）， 令b n =a n+1﹣a n ， 则2b n =b n ﹣1+b n+1．∴数列{b n }是等差数列，公差=b 4﹣b 3=（a 5﹣a 4）﹣（a 4﹣a 3）=﹣2． 首项为b 1=a 2﹣a 1，b 2=a 3﹣a 2，b 3=a 4﹣a 3， 由2b 2=b 1+b 3，可得2（a 3﹣a 2）=a 2﹣2﹣1﹣a 3， 解得3（a 3﹣a 2）=﹣3，b 2=a 3﹣a 2=﹣1． ∴b n =b 2+（n ﹣2）（﹣2）=﹣2n+3． ∴a n+1﹣a n =﹣2n+3．∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =[﹣2（n ﹣1）+3]+[﹣2（n ﹣2）+3]+…+（﹣2+3）+2=+2=﹣n 2+4n ﹣1．20．已知函数f （x ）=e x （x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4），其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）关于x 的不等式f （x ）＜﹣e x 在（﹣∞，2）上恒成立，求a 的取值范围； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）原不等式转化为所以a ＞﹣（x ﹣2）2，根据函数的单调性即可求出a 的范围， （2）先求导，再构造函数，进行分类讨论，利用导数和函数的极值的关系即可判断．【解答】解：（1）由f （x ）＜﹣e x ，得e x （x 3﹣2x 2+（a+4）x ﹣2a ﹣4）＜﹣e x ， 即x 3﹣6x 2+（3a+12）x ﹣6a ﹣8＜0对任意x ∈（﹣∞，2）恒成立， 即（6﹣3x ）a ＞x 3﹣6x 2+12x ﹣8对任意x ∈（﹣∞，2）恒成立，因为x ＜2，所以a ＞=﹣（x ﹣2）2，记g（x）=﹣（x﹣2）2，因为g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，且g（2）=0，所以a≥0，即a的取值范围为[0，+∞）；（2）由题意，可得f′（x）=e x（x3﹣x2+ax﹣a），可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．令g（x）=x3﹣x2+ax﹣a，①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）=x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则g（x1）•g（x2）≥0，由g′（x）=x2﹣2x+a=0有解，得a＜1，且x12﹣2x1+a=0，x22﹣2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a，所以g（x1）=x13﹣2x12﹣2+ax1﹣a=x1（2x1﹣a）﹣x1+ax1﹣a=﹣（2x1﹣a）﹣ax1+ax1﹣a= [（a﹣1）x1﹣a]，同理，g（x2）= [（a﹣1）x2﹣a]，所以g（x1）g（x2）= [（a﹣1）x1﹣a]• [（a﹣1）x2﹣a]≥0，化简得（a﹣1）2x1x2﹣a（a﹣1）（x1+x2）+a2≥0，所以（a﹣1）2a﹣2a（a﹣1）+a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1．所以，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点；②若f（x）有三个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0．综上，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点，当a＜0时，f（x）有三个极值点．。
2018年高考(江苏省)真题数学试题及答案解析
2018年江苏高考数学试题数学Ⅰ试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长.圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ．【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ．【答案】213．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ．【答案】54．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】135．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 【答案】6π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】247．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ．【答案】48．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是 ． 【答案】329．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ．。
2018年江苏高考数学试题及答案
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； ②直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点．若 △OAB 的面积为 2 6 ，
7 求直线 l 的方程．
19．（本小题满分 16 分） 记 f ( x), g ( x) 分别为函数 f ( x), g (x) 的导函数．若存在 x0 R ，满足 f ( x0 ) g (x0) 且 f ( x0 ) g ( x0 ) ，则 称 x0 为函数 f (x) 与 g( x) 的一个“ S 点”．
．
3．已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为
．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
S 的值为
．
5．函数 f x log 2 x 1 的定义域为
．
6．某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 ．
2 名女生的概率为
7．已知函数 y sin 2x
x
的图象关于直线 x
对称，则 的值是
．
2
2
3
8．在平面直角坐标系
x2 xOy 中，若双曲线 a 2
y2 b2
1a
0,b
0 的右焦点 F c,0 到一条渐近线的距离为
3 c ，则其离心率的值是
．
2
9．函数 f x 满足 f x 4 f x x R ，且在区间 ( 2,2] 上， f x
直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
．
13．在 ABC 中，角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、c ， ABC 120 ， ABC 的平分线交 AC 于点 D ，
2018年江苏高考数学试题及答案(无错版)001 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则AB = ▲ ．2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 ▲ ．3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是 ▲ ．4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ▲ ． 5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ． 6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s = ． 7．已知tan()24x π+=，则xx2tan tan 的值为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ． 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 ．10．已知1e ，2e 是夹角为π32的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若0a b ⋅=，则实数k 的值为 ．11．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．13．设1271a a a =≤≤≤…，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ．14．设集合{(,)|A x y =222(2)2mx y m ≤-+≤，},x y R ∈，{(,)|B x y =2m x y ≤+≤21m +，},x y R ∈，若A B ≠∅， 则实数m 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,． （1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=，,E F 分别是,AP AD 的中点．求证：（1）直线//EF 平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD ．17．（本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切Read a ，bIf a >b Then m ←a Else m ←b End If Print mP EFABCDxyO3π 712π 2-去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ．（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．19．（本小题满分16分）已知,a b 是实数，函数3()f x x ax =+，2()g x x bx =+，)(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数．若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致．A60E FBx xCD PxyBPCOAMN（1）设0>a ，若)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致，求实数b 的取值范围；（2）设0a <且b a ≠，若)(x f 和)(x g 在以,a b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．20．（本小题满分16分）设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对任意整数k M ∈，当n k >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立． （1）设{1}M =，22=a ，求5a 的值；（2）设{3,4}M =，求数列}{n a 的通项公式．附加题21．[选做题]A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与2r （12r r >）．圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）．求证：:AB AC 为定值．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：|21|3x x +-<．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱1111ABCD ABC D -中，12AA=，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．设二面角1A DN M --的大小为θ．（1）当90θ=时，求AM 的长；（2）当6cos 6θ=时，求CM 的长．23．（本小题满分10分）ABC D 1A1B1C1DNM设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,a b ∈{}1,2,3,,n …，a b >． （1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B ．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)
S←1
I←1
【答案】7 While I
10
【解析】S←S＋2
试题分析I：←第I＋一3 次循环： S 3, I 4 ;第二次循环： S 5, I 7 ;第三次循环： S 7, I 10 ;结束循环，输出 SEn7d. While
Print S 考点：循环结构流程图
（第 4 题图）
6
6
6
6
4
62
6
因此
11 k 0
ak
ak 1
33 4
12
9
3
考点：向量数量积，三角函数性质
二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分 14 分）
在 ABC 中，已知 AB 2, AC 3, A 60 .
g(x)
|
0,0 x 1
x2
4
|
2,
x
，则方程
1
|
f
(x)
g(x) | 1 实根的个数为
【答案】4
考点：函数与方程
14.设向量 ak
(cos
k 6
, sin
k 6
cos k 6
)(k
11
0,1,2,,12) ，则 (ak ak1) 的值为 k 0
5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，
则这 2 只球颜色不同的概率为________. 【答案】 5 .
6
考点：古典概型概率
6.已知向量 a= (2,1) ，b= (1,2) , 若 ma+nb= (9,8) ( m, n R ), m n 的值为______.
2018年高考数学江苏卷高考真题(含答案)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B =I . 2.若复数z 满足i 12i z =+g ,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =u u u r u u u rg ,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=o ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()5αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(完整版)2018江苏高考数学试题与答案,推荐文档
2018年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷>本试题卷分为非选择题(第1题～第20题，共20题>．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：(1>样本数据x1，x2，…，xn 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑. (2>直棱柱的侧面积S ＝ch ，其中c 为底面周长，h 为高．(3>棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A ＝{－1，1，2，4}，B ＝{－1，0，2}，则A ∩B ＝________.2．函数f(x>＝log5(2x ＋1>的单调增区间是________．3．设复数z 满足i(z ＋1>＝－3＋2i(i 为虚数单位>，则z 的实部是________．4．根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的m 的值为________．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数．则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．SjkbsIFcn16．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________.SjkbsIFcn17．已知tan()4x π+＝2，则tan tan 2x x的值为________．8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数2()f xx=的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．SjkbsIFcn19．函数f(x>＝Asin(ωx＋φ>(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0>的部分图象如图所示，则f(0>的值是________．SjkbsIFcn110．已知e1，e2是夹角为23π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b ＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．SjkbsIFcn111．已知实数a≠0，函数2,1,()2, 1.x a xf xx a x+<⎧⎨--≥⎩=若f(1－a>＝f(1＋a>，则a的值为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x>＝ex(x＞0>的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．SjkbsIFcn113．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q 的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．SjkbsIFcn114．设集合A＝{(x，y>|2m≤(x－2>2＋y2≤m2，x，y∈R}，B ＝{(x，y>|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．SjkbsIFcn1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．(1>若sin()6A π+＝2cos A ，求A 的值； (2>若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值． 16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．SjkbsIFcn1求证：(1>直线EF ∥平面PCD ；(2>平面BEF ⊥平面PAD ．17．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm>．SjkbsIFcn1 (1>某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2>最大，试问x 应取何值？(2>某厂商要求包装盒的容积V(cm3>最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆22=142x y 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C ．连结AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k.SjkbsIFcn1(1>若直线PA 平分线段MN ，求k 的值；(2>当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ；(3>对任意的k ＞0，求证：PA ⊥PB ．19．已知a ，b 是实数，函数f(x>＝x3＋ax ，g(x>＝x2＋bx ，f ′(x>和g ′(x>分别是f(x>和g(x>的导函数．若f ′(x>g ′(x>≥0在区间I 上恒成立，则称f(x>和g(x>在区间I 上单调性一致．SjkbsIFcn1(1>设a ＞0，若f(x>和g(x>在区间[－1，＋∞>上单调性一致，求b 的取值范围；(2>设a ＜0且a ≠B ．若f(x>和g(x>在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b|的最大值．SjkbsIFcn120．设M 为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n 项的和为S n ，已知对任意的整数k ∈M ，当整数n ＞k 时，Sn ＋k ＋Sn －k ＝2(Sn ＋Sk>都成立．SjkbsIFcn1(1>设M ＝{1}，a2＝2，求a5的值；(2>设M ＝{3，4}，求数列{an}的通项公式．21．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A ，其半径分别为r1与r2(r1＞r2>．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上>．求证：AB∶AC为定值．B．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A＝1121⎡⎤⎢⎥⎣⎦，向量β＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得A2α＝β.C．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆5cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数>的右焦点，且与直线423x ty t=-⎧⎨=-⎩(t为参数>平行的直线的普通方程．SjkbsIFcn1D．选修4－5：不等式选讲解不等式x＋|2x－1|＜3.22．如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC1上．设二面角A1—DN —M 的大小为θ.SjkbsIFcn1(1>当θ＝90°时，求AM 的长；(2>当cos CM 的长． 23．设整数n ≥4，P(a ，b>是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a ，b ∈{1，2，3，…，n}，a ＞B ．SjkbsIFcn1(1>记An 为满足a －b ＝3的点P 的个数，求An ；(2>记Bn 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求Bn.参考答案1．答案：{－1，2}2．答案：(12-，＋∞>3．答案：14．答案：35．答案：136．答案：1657．答案：49 8．答案：4910．答案：54. 11．答案：34- 12．答案：2e +12e1314．答案：[12，2] 15．解：(1>由题设知sin cos +cos sin 66A A ππ＝2cos A ．从而sinA ＝，cos A ≠0，所以tan A .因为0＜A ＜π，所以A ＝3π.SjkbsIFcn1(2>由cos A ＝13，b ＝3c 及a2＝b2＋c2－2bccos A ，得a2＝b2－c2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13. 16．证明：(1>在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ．所以直线EF ∥平面PCD ．(2>连结BD ．因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD ．SjkbsIFcn1又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．17．解：设包装盒的高为h(cm>，底面边长为a(cm>．由已知得a ，h =)x =-，0＜x ＜30. (1>S ＝4ah ＝8x(30－x>＝－8(x －15>2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2>V ＝a2h ＝32+30x x -），V ′＝(20)x -．由V ′＝0得x ＝0(舍>或x ＝20.当x ∈(0，20>时，V ′＞0；当x ∈(20，30>时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时1=2ha .即包装盒的高与底面边长的比值为12.18. 解：(1>由题设知，a ＝2，b M(－2，0>，N(0，，所以线段MN 中点的坐标为(－1，2->．由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k(2>直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得 224+=142x x ，解得23x =±，因此P(23，43>，A(23-，43->．于是C(23，0>，直线AC 的斜率为40+3=122+33，故直线AB 的方程为2=03x y --.因此，d＝3. (3>解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入22+=142x y ，解得x＝记P(μ，μk>，A(－μ，－μk>．于是C(μ，0>．故直线AB 的斜率为0++k μμμ＝2k ，其方程为y ＝2k x μ-（）代入椭圆方程得(2＋k2>x2－2μk2x －μ2(3k2＋2>＝0，解得x ＝22322k k μ(+)+或x ＝－μ.因此B(22322k k μ(+)+，322k k μ+>．SjkbsIFcn1于是直线PB 的斜率k1＝32222322k kk k k μμμμ-+(+)-+＝32222322k k k k k -(+)+-(+)＝1k -.因此k1k ＝－1，所以PA ⊥PB ．解法二：设P(x1，y1>，B(x2，y2>，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1>，C(x1，0>．设直线PB ，AB 的斜率分别为k1，k2.因为C 在直线AB 上，所以k2＝1110y x x -(-)-(-)＝112y x ＝2k .SjkbsIFcn1从而k1k ＋1＝2k1k2＋1＝2·2121y y x x --·2121()()y y x x ----＋1 ＝2221222122y y x x --＋1＝22222211222122x y x y x x (+)-(+)- ＝222144x x --＝0.因此k1k ＝－1，所以PA ⊥PB ． 19．解：f ′(x>＝3x2＋a ，g ′(x>＝2x ＋B ．(1>由题意知f ′(x>g ′(x>≥0在[－1，＋∞>上恒成立．因为a ＞0，故3x2＋a ＞0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞>上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞>．SjkbsIFcn1(2>令f ′(x>＝0，解得x＝若b ＞0，由a ＜0得0∈(a ，b>．又因为f ′(0>g ′(0>＝ab ＜0，所以函数f(x>和g(x>在(a ，b>上单调性不一致．因此b ≤0.SjkbsIFcn1现设b ≤0.当x ∈(－∞，0>时，g ′(x>＜0；当x ∈(－∞，时，f ′(x>＞0.因此，当x ∈(－∞，时，f ′(x>g ′(x>＜0.故由题设得a≥b≥13-≤a ＜0，于是13-≤b ≤0.因此|a －b|≤13，且当a ＝13-，b ＝0时等号成立．SjkbsIFcn1又当a ＝13-，b ＝0时，f ′(x>g ′(x>＝6x(x219->，从而当x ∈(13-，0>时f ′(x>g ′(x>＞0，故函数f(x>和g(x>在(13-，0>上单调性一致．因此|a －b|的最大值为13.SjkbsIFcn120．解：(1>由题设知，当n ≥2时，Sn ＋1＋Sn －1＝2(Sn ＋S1>，即(Sn ＋1－Sn>－(Sn －Sn －1>＝2S1.从而an ＋1－an ＝2a1＝2.又a2＝2.故当n ≥2时，an ＝a2＋2(n －2>＝2n －2.所以a5的值为8.(2>由题设知，当k ∈M ＝{3，4}且n ＞k 时，Sn ＋k ＋Sn －k ＝2Sn ＋2Sk 且Sn ＋1＋k ＋Sn ＋1－k ＝2Sn ＋1＋2Sk ，两式相减得an ＋1＋k ＋an ＋1－k ＝2an ＋1，即an ＋1＋k －an ＋1＝an ＋1－an ＋1－k.所以当n ≥8时，an －6，an －3，an ，an ＋3，an ＋6成等差数列，且an －6，an －2，an ＋2，an ＋6也成等差数列．SjkbsIFcn1从而当n ≥8时，2an ＝an ＋3＋an －3＝an ＋6＋an －6，(*>且an ＋6＋an －6＝an ＋2＋an －2，所以当n ≥8时，2an ＝an ＋2＋an －2，即an ＋2－an ＝an －an －2，于是当n ≥9时，an －3，an －1，an ＋1，an ＋3成等差数列，从而an ＋3＋an －3＝an ＋1＋an －1，故由(*>式知2an ＝an ＋1＋an －1，即an ＋1－an ＝an －an －1，当n ≥9时，设d ＝an －an －1.SjkbsIFcn1当2≤m ≤8时，m ＋6≥8，从而由(*>式知2am ＋6＝am ＋am ＋12，故2am ＋7＝am ＋1＋am ＋13.SjkbsIFcn1从而2(am ＋7－am ＋6>＝am ＋1－am ＋(am ＋13－am ＋12>，于是am ＋1－am ＝2d －d ＝D ．SjkbsIFcn1因此，an ＋1－an ＝d 对任意n ≥2都成立．又由Sn ＋k ＋Sn －k －2Sn ＝2Sk(k ∈{3，4}>可知(Sn ＋k －Sn>－(Sn －Sn －k>＝2Sk ，故9d ＝2S3且16d ＝2S4.解得472a d =，从而232a d =，12d a =.因此，数列{an}为等差数列．由a1＝1知d ＝2.SjkbsIFcn1所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1.21．选做题A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E 和点D ．连结BD ，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A ，所以点O2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O1，圆O2的直径．SjkbsIFcn1从而∠ABD ＝∠ACE ＝2π. 所以BD ∥CE ，于是112222r r AB AD AC AE r r ===. 所以AB ∶AC 为定值．B ．选修4—2：矩阵与变换解：A2＝1121⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 设α＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由A2α＝β，得3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而321,43 2.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c4，所以右焦点为(4，0>．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.SjkbsIFcn1故所求直线的斜率为12，因此其方程为1(4)2y x =-，即x －2y －4＝0.D ．选修4—5：不等式选讲解：原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩解得1423x ≤<或122x -<<.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<．22．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设CM ＝t(0≤t ≤2>，则各点的坐标为A(1，0，0>，A1(1，0，2>，N(12，1，0>，M(0，1，t>．所以DN u u u r ＝(12，1，0>，DM u u u u r ＝(0，1，t>，1DA u u u u r＝(1，0，2>．设平面DMN 的法向量为n1＝(x1，y1，z1>，则n1·DN u u u r ＝0，n1·DM u u u u r＝0.即x1＋2y1＝0，y1＋tz1＝0，令z1＝1，则y1＝－t ，x1＝2t.所以n1＝(2t ，－t ，1>是平面DMN 的一个法向量．SjkbsIFcn1设平面A1DN 的法向量为n2＝(x2，y2，z2>，则n2·1DA u u u u r＝0，n2·DN u u u r＝0.即x2＋2z2＝0，x2＋2y2＝0.SjkbsIFcn1令z2＝1，则x2＝－2，y2＝1.所以n2＝(－2，1，1>是平面A1DN 的一个法向量．从而n1·n 2＝－5t ＋1.SjkbsIFcn1(1>因为θ＝90°，所以n1·n 2＝－5t ＋1＝0，解得t ＝错误!.从而M(0，1，错误!>．所以AM(2>因为|n1|，|n2|， 所以cos 〈n1，n2〉＝1212⋅n n n n. 因为〈n1，n2〉＝θ或π－θ，所以＝6，解得t ＝0或t ＝12.根据图形和(1>的结论可知t ＝12，从而CM 的长为12.23．解：(1>点P 的坐标满足条件：1≤b ＝a －3≤n －3，所以An ＝n －3.(2>设k 为正整数，记fn(k>为满足题设条件以及a －b ＝3k 的点P 的个数．只要讨论fn(k>≥1的情形．由1≤b ＝a －3k ≤n －3k 知fn(k>＝n －3k ，且k ≤13n -.SjkbsIFcn1设n －1＝3m ＋r ，其中m ∈N*，r ∈{0，1，2}，则k ≤m.所以11()(3)mmn n k k B f k n k ====-∑∑3(1)(233)22m m m n m mn +--=-=将13n r m --=代入上式，化简得(1)(2)(1)66n n n r r B ---=-.所以3,631263n n n nB n n n (-)⎧⎪⎪=⎨(-)(-)⎪⎪⎩是整数，，不是整数。
2018年江苏高考数学填空压轴题
2018年江苏高考数学填空压轴题已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N ⁺}，B={x|x=2ⁿ,n ∈N ⁺},将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n+1成立的n 的最小值为 .解：由题意得等差数列前n 项和：S A =2)1(2)(11d n n na n a a n -+=+=n 2. (a 1=1,d=2) 等比数列前n 项和：S B =qq a q q a a n n --=--1)1(111=2n+1-2. (a 1=2,q=2) S n =a 1+a 2+a 3+……+a n=1+21+元素个A 13+22+元素个A 1275++23+元素个A 22⋅⋅⋅⋅⋅⋅+24+…+2m-1+元素个A m 22-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2m +… 以下分为两种情况讨论：①若数列{a n }的前n 项和S n 中最大的项是集合B 中的元素2m 时，则有：集合A 中的元素正好有：1+2+22+…+2m-2+1=2m-1个. 集合B 中的元素正好有：m 个.且n=2m-1+m, a n+1=2(2m-1+1)-1=2m +1.即Sn=1+个13+个275++...+个22-⋅⋅⋅⋅m +21+22+ (2)=(2m-1)2+2m+1-2又S n ＞12a n+1 ，得：（2m-1）2+2m+1-2＞12（2m +1）化简，得：（2m-1-10）2＞114 ⇒ m ＞5此时，n=2m-1+m＞21.②若数列{a n}的前n项和S n中最大的项是集合A中的元素且介于2m与2m+1之间，设其在2m后i位.则有：集合A中的元素恰好有：2m-1+i个.集合B中的元素恰好有：m个.且n=2m-1+m+i ,a n+1=2(2m-1+i+1)-1=2m+2i+1 .又S n＞12a n ,得：（2m-1+i）2+2m+1-2＞12（2m+2i+1）化简得：（2m-1+i-10）2＞114+4i由①知：∵m＞5，∴2m-1+i-10＞0∴2m-1+i-10＞i4114+2m-1＞24＞10-i+i4114+即i2+8i-78＞0.⇒i＞94-4＞5综上①②所述：n=2m-1+m+i＞21+5=26.故满足题意的n的最小值为27.。
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2018年江苏高考数学填空压轴题
已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N ⁺}，B={x|x=2ⁿ,n ∈N ⁺},将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n ＞12a n+1成立的n 的最小值为 .
解：
由题意得
等差数列前n 项和：S A =2
)1(2)(11d n n na n a a n -+=+=n 2. (a 1=1,d=2) 等比数列前n 项和：S B =q
q a q q a a n n --=--1)1(111=2n+1-2. (a 1=2,q=2) S n =a 1+a 2+a 3+……+a n
=1+21+元素个A 13+22+元素个A 1275++23+元素个A 22⋅⋅⋅⋅⋅⋅+24+…+2m-1+元素个A m 22-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2m +… 以下分为两种情况讨论：
①若数列{a n }的前n 项和S n 中最大的项是集合B 中的元素2m 时，则有：
集合A 中的元素正好有：1+2+22+…+2m-2+1=2m-1个. 集合B 中的元素正好有：m 个.
且n=2m-1+m, a n+1=2(2m-1+1)-1=2m +1.
即Sn=1+个
13+个275++...+个22-⋅⋅⋅⋅m +21+22+ (2)
=(2m-1)2+2m+1-2
又S n ＞12a n+1 ，得：
（2m-1）2+2m+1-2＞12（2m +1）
化简，得：（2m-1-10）2＞114 ⇒ m ＞5
此时，n=2m-1+m＞21.
②若数列{a n}的前n项和S n中最大的项是集合A中的元素且介于2m与2m+1之间，设其在2m后i位.
则有：
集合A中的元素恰好有：2m-1+i个.
集合B中的元素恰好有：m个.
且n=2m-1+m+i ,a n+1=2(2m-1+i+1)-1=2m+2i+1 .
又S n＞12a n ,得：
（2m-1+i）2+2m+1-2＞12（2m+2i+1）
化简得：（2m-1+i-10）2＞114+4i
由①知：
∵m＞5，∴2m-1+i-10＞0
∴2m-1+i-10＞i4
114+
2m-1＞24＞10-i+i4
114+
即i2+8i-78＞0.⇒i＞94-4＞5
综上①②所述：
n=2m-1+m+i＞21+5=26.
故满足题意的n的最小值为27.。