余弦函数周期方波的傅里叶变换

常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)

਼ᰦ F ^g x exp j 2Sf a x ` G f x f a ࠭ᮠ൘オฏѝⲴ⴨〫ˈᑖᶕ仁ฏѝⲴᒣ〫
㪉
[ f ( x)] F (P ) ᷍ x0 㬨⤜㸋㒄⭥㬖⧄㭞᷍䋓䇱
[ f ( x r x0 )] exp(r j 2SP x0 ) F (P ) ᷉㠞䄧㾵䐫᷊ [exp p(r j 2SP0 x) f ( x)] F (P P0 ) ᷉㼁䄧㾵䐫᷊
重要
名称
连续傅里叶变换对傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
= sinc ( u)
2
结论: 三角形函数的傅里叶变换是 sinc 函数的平方
9
七、符号函数的傅里叶变换
1 F [sgn( x )] = jπ u
二维留待推算
1 1 F [sgn( x )sgn( y )] = • jπ u jπ v
八、exp[ jπx ] 函数的傅里叶变换 1 F {exp[ jπx ]} = δ ( u − ) 2
3
二、梳状函数的傅里叶变换
F [comb( x )] = comb( u)
普遍型
x F comb = a comb( au) a
结论
comb 函数的
傅里叶变换仍是
二维情况
x y F comb comb a b = ab comb( au) comb( bv )
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )ห้องสมุดไป่ตู้x
a x ≤ 2 其它

rect（x）
F.T.
sinc（u）
5
普遍型
x F rect a

信号与系统傅里叶变换对照表

信号与系统傅里叶变换对照表
傅里叶变换是信号与系统领域中非常重要的数学工具，它将一个时域信号转换为频域信号，可以帮助我们理解信号的频谱特性。

下面是一份傅里叶变换的对照表，列出了一些常见的信号和它们的傅里叶变换形式：
1. 单位冲激函数（单位脉冲）：
时域表示，δ(t)。

频域表示，1。

2. 正弦函数：
时域表示，sin(2πft)。

频域表示，jπ[δ(f-f0) δ(f+f0)]
3. 余弦函数：
时域表示，cos(2πft)。

频域表示，1/2[δ(f-f0) + δ(f+f0)] 4. 矩形脉冲信号：
时域表示，rect(t/T)。

频域表示，T sinc(fT)。

5. 三角脉冲信号：
时域表示，tri(t/T)。

频域表示，T^2 sinc^2(fT)。

6. 高斯脉冲信号：
时域表示，exp(-πt^2/σ^2)。

频域表示，exp(-π^2f^2σ^2)。

7. 指数衰减信号：
时域表示，exp(-at)。

频域表示，1/(a+j2πf)。

8. 阶跃函数（单位阶跃函数）：
时域表示，u(t)。

频域表示，1/(j2πf) + 1/2。

9. 周期方波信号：
时域表示，square(t/T)。

频域表示，(1/T)[δ(f-nf0) + δ(f+nf0)], n为整数。

以上仅列举了一些常见的信号及其傅里叶变换形式。

傅里叶变换对照表可以帮助我们在信号分析和系统设计中快速理解信号的频域特性，从而更好地理解信号与系统的行为和特性。

几种常见函数的傅里叶变换及推导

几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。

在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。

本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。

1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。

方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。

假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。

根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。

根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。

傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。

2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。

高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。

假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。

根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。

根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。

3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。

矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。

第3章周期信号的傅里叶变换

，
对方程取傅里叶变换，得
jY ( j ) 2Y ( j ) F ( j )
由上式可得该系统的频率响应函数 Y ( j ) 1 H ( j ) F ( j ) j 2
1 f ( t ) e ( t ) F ( j ) j 1
t
1 Y ( j ) H ( j )F ( j ) ( j 2)( j 1) 1 1 j 1 j 2
3.3 §周期信号的傅里叶变换
一、正、余弦函数的傅里叶变换
1 2 ( )
根据频移特性得
e e
j 0 t j 0 t
2 ( 0 ) 2 ( 0 )
所以，正、余弦函数的傅里叶变换为
1 j 0t cos( 0 t ) (e e j0t ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
T 2 T 2
1 jnt T (t )e dt T

T 2 T 2
(t )e
jnt
1 dt T
1 [ T ( t )] 2 ( n ) ( n ) ℱ n T n 令 ( ) ( n )
Y ( j ) H ( j ) F ( j )
称为系统的幅频特性（或幅频响应）
称为系统的相频特性（或相频响应）
( ) y ( ) f ( )
H ( j ) 是的偶函数， ( )是的奇函数。
幅频特性和相频特性的物理含义:
幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的倍数. 相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小.
e
cos 0 t
e
j 0 t

方波信号的傅里叶变换

CATALOGUE
方波信号的傅里叶变换原理
傅里叶变换的定义
01
02
03
04
05
傅里叶变换的性质
方波信号的傅里叶变换
CATALOGUE
方波信号的频谱分析
频谱的概念与计算
频谱定义
01
频谱计算
02
离散频谱
03
方波信号的频谱特点
基本频率分量
方波信号可以分解为一系列不同频率的正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波的频率即为
方波信号的傅里叶变换
• 方波信号概述 • 方波信号的傅里叶变换原理 • 方波信号的频谱分析 • 方波信号的滤波处理 • 方波信号的合成与调制 • 方波信号的傅里叶变换实例分析
CATALOGUE
方波信号概述
方波信号的定义
• 方波信号是一种常见的周期性信号，其特点是信号在一定周期内以矩形波的形式重复。方波信号在时间轴上的一个周期内，波形的最大值为1，最小值为-1，波形在最大值和最小值之间以线性方式变化。
CATALOGUE
方波信号的滤波处理
滤波器的基本概念
线性时不变系统
滤波器属于线性时不变系统，对输入信号的响应是线性的，并且不随时间改变。
传递函数
滤波器的传递函数表示系统输入与输出之间的数学关系。
频率响应
滤波器的频率响应描述了系统对不同频率信号的增益或抑制程度。
方波信号的滤波处理方法
理想滤波器
感谢观看
方波信号的基本频率分量。
谐波分量
除了基本频率分量外，方波信号还包含一系列谐波分量，它们的频率是基本频率分量的整数倍。
频谱对称性
方波信号的频谱具有对称性，即正弦波和余弦波的幅度随着频率的增加而逐渐减小，且正弦波和

常见函数傅里叶变换

常见函数傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。

它是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。

在本文中，我们将介绍几种常见的函数傅里叶变换。

1. 正弦函数傅里叶变换正弦函数傅里叶变换是将一个函数分解成一系列正弦函数的方法。

它适用于周期函数，即函数在一个周期内重复。

正弦函数傅里叶变换的公式为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的傅里叶系数，L 是函数的周期。

正弦函数傅里叶变换可以用于分析周期信号的频谱特性。

2. 傅里叶级数傅里叶级数是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。

它适用于周期函数，即函数在一个周期内重复。

傅里叶级数的公式为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的傅里叶系数，L是函数的周期。

傅里叶级数可以用于分析周期信号的频谱特性。

3. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。

它适用于非周期函数，即函数在整个实数轴上都有定义。

傅里叶变换的公式为：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，F(ω)是函数的傅里叶变换，f(x)是原函数，ω是频率。

傅里叶变换可以用于分析信号的频谱特性。

4. 离散傅里叶变换离散傅里叶变换是将一个离散信号分解成一系列正弦和余弦函数的方法。

它适用于数字信号处理。

离散傅里叶变换的公式为：X(k) = Σx(n)e^(-i2πnk/N)其中，X(k)是信号的傅里叶变换，x(n)是原信号，N是信号的长度，k是频率。

离散傅里叶变换可以用于分析数字信号的频谱特性。

傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数，从而分析函数的频谱特性。

在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有广泛的应用。

傅里叶变换(周期和非周期信号)

－π2
(b) 相位频谱
Next
傅里叶级数指数形式推导
利用欧拉公式 ej n0co n0 sjsinn0
cos
n0
1 2
(e jn0
e jn 0 )
sin n0
1 2j
(e jn0
e jn0 )
可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成
f(t)a0 (anco 0tsbnsi n 0t)
2
f ( 2t )
1 ASa( )
2
4
3．时延特性
若f(t)F() 则f(t-t0)F()ejt0
4．频移特性
若f(t)F() 则f(t)ej0t F(0)
Sa(x)函数介绍
Sa(x) 抽样函数, 记作：
Sa(x) sinx x
严格讲函数在x=0处是无定义的，但因为 lxim0 sinx x 1
A F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f(t) F ( ):F ( )f(t)e j td t
F() f(t):
F-1F()f(t)2 1 F()ejtd
傅里叶变换关系对常简记为：
f(t)F()
例：求矩形脉冲f(t)的频谱。
A f (t ) AG(t )
傅里叶（Fourier）变换
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换性质
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、三角函数式傅里叶级数
或2f、(t)指a 数0 形n 式 1的(a 傅nc里o 叶0t级s 数b nsi n 0t)
f(t)c0 cncon s0t(n)
f( t) 1 2 c0 o t c s2 o 0 t s 5 4 ) (2 si 0 t n 1 2 s3 i0 tn

傅里叶变换例子

傅里叶变换例子
傅里叶变换是一种数学工具，用于将时域(时间域)信号转换为频域(频率域)信号。

下面是一些常见的傅里叶变换例子：
1. 正弦波信号：正弦波是一种周期信号，它可以表示为f(x) = A*sin(2πft)，其中A是振幅，f是频率，t是时间。

傅里叶变换可以将正弦波信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，每个函数对应一个频率成分。

2. 方波信号：方波是一种非周期信号，它可以表示为f(x) = A，x属于[-T/2, T/2]，f(x) = 0，其他情况。

傅里叶变换可以将方波信号分解成一系列频率为奇数倍的正弦函数的和，每个函数的振幅和相位角度不同。

3. 三角波信号：三角波是一种周期信号，它可以表示为f(x) = A*(2/π)*arcsin(sin(2πft))，其中A是振幅，f是频率，t是时间。

傅里叶变换可以将三角波信号分解成一系列频率为奇数倍的正弦函
数的和，每个函数的振幅和相位角度不同。

4. 矩形脉冲信号：矩形脉冲是一种非周期信号，它可以表示为f(x) = A，x属于[-T/2, T/2]，f(x) = 0，其他情况。

傅里叶变换可以将矩形脉冲信号分解成一系列频率为奇数倍的正弦函数的和，每个函数的振幅和相位角度不同。

5. 高斯函数：高斯函数是一种连续信号，它可以表示为f(x) = A*exp(-x^2/2σ^2)，其中A是振幅，σ是标准差，x是时间。

傅里叶变换可以将高斯函数分解成一系列频率成分，其中高频成分对应着
信号的快速变化部分，低频成分对应着信号的缓慢变化部分。

这些例子展示了傅里叶变换的应用范围之广泛，它们在信号处理、通信、图像处理等领域都有广泛的应用。

第四章(5)周期信号的傅里叶变换

�
fT ( t )e
dt
∞
fT ( t )] = ∑ Fne jn t ] = ∑ Fn [e jn t ] [ [
n = ∞
∞
n = ∞
= 2π
n = ∞
∑ Fnδ (ω n )
∞
[ f
Tபைடு நூலகம்
( t )] =
[ ∑ F e
n = ∞ ∞ n n = ∞ n
∞
jn t
]=
n = ∞
∑ F [e
n
∞
δ (t )
∞
∴ δ T ( t ) δ (ω )
1
δT(t )
-3 -2 - 0 2 3
ω 周期冲激序列的傅立叶变换
-3T -2T -T 0 T 2T3T t
图 4.6-3 周期冲激序列
可见: 的单位冲激序列, 可见:时域中周期为 T 的单位冲激序列,在频域中是周期为 ,强度为
的冲激序列. 的冲激序列.其中 =
j
ωT 2
1 1 2 nT Fn = F0 ( jω) ω= n = Sa ( )e T 2 4 1 2 nπ jnπ = Sa ( )e 2 2 得到: 得到:
j
nT 2
1 2 nπ jnπ jnt f T ( t ) = ∑ Sa ( )e e 2 n = ∞ 2
+∞
本节小结
1,正弦,余弦函数的傅里叶变换 ,正弦, 2,周期信号的傅里叶变换 , 3,傅里叶系数与傅里叶变换的关系 ,
T 2 T 2
1 jn t δ T ( t )e dt = T
∞
∫
T 2 T 2
δ ( t )e
jn t
1 dt = T

傅里叶变换Fouriertransform

例题1 矩形函数的定义为求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。解：
傅立叶变换
例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。解：先求出 f (t) 的傅立叶变换代入傅立叶积分公式，得
例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换傅立叶变换
狄拉克函数
本章小结
傅立叶级数周期函数的三角展开公式；基本三角函数的性质。傅立叶变换非周期函数的三角展开公式；傅立叶变换的性质。狄拉克函数狄拉克函数概念；狄拉克函数性质；狄拉克函数功能。
作业
P73 6-2 (3) (1) (3) (1)
实施：
展开公式
困难
展开系数 cn 为无穷小；幂指数 nx/L 不确定。
解决方法：把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ；把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式：展开公式：
展开系数：
取极限：傅立叶变换：
傅立叶积分：
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换的性质一般假定 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数线性性质 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω)；
典型周期函数(周期为2π)
傅立叶级数
添加标题
理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
01
添加标题

傅里叶变换原理

傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

傅里叶变换的原理是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，从而可以将一个时域信号转换到频域上，这样就可以更好地分析信号的频率成分和特性。

傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt。

其中，f(t)表示原始函数，F(ω)表示傅里叶变换后的函数，e^(-iωt)表示复指数函数，ω表示频率。

傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来解释。

假设有一个周期性的方波信号，我们可以通过傅里叶变换将其分解成一系列的正弦函数。

这些正弦函数的频率是原始信号的基频的整数倍，而且每个正弦函数的振幅和相位可以通过傅里叶变换的结果来确定。

这样，我们就可以清楚地了解信号的频率成分和特性。

傅里叶变换有两种形式，一种是连续傅里叶变换，适用于连续信号；另一种是离散傅里叶变换，适用于离散信号。

在实际应用中，我们通常会用到离散傅里叶变换，因为大部分信号都是以离散的形式存在的。

傅里叶变换的原理虽然看起来比较复杂，但是在实际应用中却非常有用。

通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频率成分，从而可以实现信号的滤波、压缩、编码等操作。

在图像处理领域，傅里叶变换也被广泛应用，可以实现图像的去噪、增强、压缩等功能。

除了分析信号的频率成分外，傅里叶变换还可以用于求解微分方程和积分方程。

通过将微分方程或积分方程进行傅里叶变换，可以将其转化成代数方程，从而更容易求解。

总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

通过傅里叶变换，我们可以更好地分析信号的频率成分和特性，实现信号的滤波、压缩、编码等操作，同时还可以用于求解微分方程和积分方程。

因此，掌握傅里叶变换的原理和应用是非常重要的。

方波信号的傅里叶变换课件

傅里叶变换定义
将时间域的信号转换为频域的表示，通过将信号拆分为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
方波信号的频谱计算
通过对方波信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱，即各个频率分量的幅度和相位。
频谱分析
通过分析方波信号的频谱，可以了解该信号在不同频率下的表现和特征。
方波信号的频域分析
频域分析方法
在频域中，通过观察信号的频谱，可以分析信号的频率成分、能量分布以及频率变化规律等信息。
方波信号的频域特性
方波信号在频域中表现出较为突出的离散性，即主要集中在某些特定的频率分量上。
频域分析的应用
通过频域分析，可以对方波信号进行滤波、调制和解调等操作，实现信号处理和通信系统的应用。
方波信号的逆变换结果
01
02
03
逆变换的概念
将经过傅里叶变换得到的频域表示重新变换回时间域，恢复原始信号的过程。
时移性质
若f(t)是函数，则f(t+a)的傅里叶变换为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
若f(t)是函数，则f(at)的傅里叶变换为|a|F(|a|ω)。
对偶性
若f(-t)=f*(t)，则 F(ω)=F*(-ω)。
帕斯瓦尔定理
f(t)的能量等于其傅里叶变换在无穷大频率域上的积分。
离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）
方波信号的傅里叶变换课件
目录
• 方波信号简介 • 傅里叶变换基础 • 方波信号的傅里叶变换 • 方波信号的傅里叶逆变换 • 方波信号的傅里叶变换实例
01
方波信号简介
方波信号的定义
方波信号是一种常见的周期信号，其在一个周期内取值为+1或-1，且在半个周期内从+1跳变到-1或从-1跳变到+1。

傅里叶变换的本质及其公式解析

傅里叶变换的本质及其公式解析傅里叶变换的基本思想是任意一个周期函数，都可以看作是若干个正弦波和余弦波的叠加。

换句话说，我们可以用频率不同的正弦函数来分解一个信号。

这种分解是通过傅里叶级数实现的，而傅里叶级数就是傅里叶变换的特例。

傅里叶级数表示了一个周期函数可以由一系列正弦和余弦函数按照一定比例组成的事实，而傅里叶变换则是将这种分解应用到非周期函数上。

傅里叶变换将一个非周期函数表示为一系列连续频率的正弦和余弦函数的叠加，其中每个正弦和余弦函数的振幅和相位信息反映了原始函数在相应频率上的能量分布和相对位置。

F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w) 表示变换后的频域函数；f(t) 表示原始时域函数；e^(-jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。

该公式表示了将一个时域函数f(t)变换到频域函数F(w)的过程，其中w取负无穷到正无穷范围内的任意实数。

这个公式反映了在频域上，一个信号可以用一系列关于频率w的复指数函数进行分解。

1.傅里叶变换是一个线性变换，即对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，傅里叶变换可以分别计算它们的变换F1(w)和F2(w)，然后将两个变换相加得到变换结果F(w)=F1(w)+F2(w)。

2.傅里叶变换存在两种表示方式：复数形式和指数形式。

复数形式将频域函数表示为实部和虚部的形式，而指数形式将频域函数表示为振幅和相位的形式。

3.傅里叶变换有一个逆变换，可以将频域函数重新变换回时域函数。

逆变换的公式表示为：f(t) = ∫[F(w) * e^(jwt)] dw其中，f(t) 表示逆变换后的时域函数；F(w) 表示频域函数；e^(jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。

傅里叶变换的本质是将一个时域上的信号或函数转换到频域上进行分解和分析。

通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频率特性，包括频率分量的能量分布和相位关系，从而可以对信号进行滤波、频谱分析、信号合成和解调等操作。

常见函数的傅里叶变换

常见函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个函数映射到频域的数学工具。

通过它，我们可以将一个信号或者一个函数进行频域分析，对其进行处理、滤波、特征提取等。

在信号处理、图像处理、通信等领域中，傅里叶变换非常重要。

本文将介绍几种常见的函数的傅里叶变换及其应用。

一、常数函数常数函数f(x)=c，其中c为常数，其傅里叶变换为：F(k)=c\int_{-\infty}^\infty e^{-2\piikx}dx=c\delta(k)其中\delta(k)是狄拉克δ 函数，表示在k=0时存在一个单位脉冲。

显然，常数函数的傅里叶变换是一个单位脉冲。

在实际应用中，常数函数的傅里叶变换用于求解不同函数的卷积。

二、正弦函数正弦函数f(x)=sin(2πwx)，其傅里叶变换为：F(k)=\int_{-\infty}^\infty sin(2\pi wx)e^{-2\pi ikx}dx=-\frac{iw}{2} (\delta(k-w)+\delta(k+w))正弦函数的傅里叶变换具有许多实用性质，例如：1. 它反映了信号在频域中的分布，即将正弦函数分解成不同频率的正弦函数的和。

2. 它可以用来提取频率信息。

3. 它还可以用来滤波。

三、余弦函数余弦函数f(x)=cos(2πwx)，其傅里叶变换为：F(k)=\int_{-\infty}^\infty cos(2\pi wx)e^{-2\pi ikx}dx=\frac{w}{2} (\delta(k-w)+\delta(k+w))与正弦函数相似，余弦函数也可以用来分解信号，并且可以用来提取频率信息和滤波。

四、矩形脉冲函数矩形脉冲函数f(x)=rect(x)（即在[-0.5, 0.5]内为1，在其他地方为0），其傅里叶变换为：F(k)=\int_{-\infty}^\infty rect(x)e^{-2\piikx}dx=\int_{-0.5}^{0.5}e^{-2\piikx}dx=\frac{sin(\pi kw)}{\pi kw}矩形脉冲函数的傅里叶变换也称为sinc函数。

3.8 周期信号的傅里叶变换

其中：其中：
1 T1 F = ∫ 21 f (t)e− jwt dt T n − T 2 1
1.单脉冲信号的傅里叶变换
单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个 f(t) 周期，得到单脉冲信号。周期，得到单脉冲信号。
单脉冲的傅里叶变换F ):为非周期信号直接用傅里单脉冲的傅里叶变换F0(ω):为非周期信号直接用傅里叶变换定义公式。叶变换定义公式。
F(w)
−T 0 T 1 1
t
∞
−2w −w 0w 2w 1 1 1 1
w
(t)是周期函数求其傅里叶级数：是周期函数， δT(t)是周期函数，求其傅里叶级数：
δT (t) = ∑F ejnwt n
1
1 1 t − jw F = ∫ f (t)e dt = n T T 1 1 jnwt δ e ∴ T (t) = ∑ 1 T n=−∞ 1
−
τ
2
0
τ
2
t
−
τ
2 π
w
τ
再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数F 再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数Fn
f (t)
E
… …
Eτ T 1
F n
2 π
−
2 π
−T
−
τ
2
0
τ
2
τ
T
t
π 0 2
T 1
τ
w
1 E τ nwτ F = F (w w=nw = ) Sa( 1 ) n 0 1 T T 2 1 1
求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数：
FT QfT (t) →2 ∑F δ(w− nw ) π 1 n ∞

周期信号的傅里叶变换

Sa ns
2
Fs ()
E
Ts
n
Sa
ns
2
F (
ns )
上式表明:
信号在时域被抽样后,它的频谱Fs(ω)是连续信号的频谱F(ω)以抽样频率ωs为间隔周期地重复而得到的.在重复过程中,幅度被抽样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权,加权系数取决于抽样脉冲序列的形状.
抽样前 F(ω) 1
抽样后 Fs(ω) E ωs
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T 2
T (t) ( )
2
T
F()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
(1) d f (at b) dt
(2) f 2 (t) sin 0t
理想抽样
:
Fs ( )
1 Ts
F (
n
ns )
频域抽样信号的FT
f1 (t )
1
1
n
f
(t
nT1)
时域抽样定理
| | m
fs
2 fm或Ts
1 2 fm
频域抽样定理
|t
|
tm
Ts
2tm或f s
1 2tm
例题1:
已知周期信号f1(t)和f2 (t)如图,且
f1(t) a0 [an cos(n1t) bn sin(n1t)] n1
✓若f(t)被等间隔T取样,将等效于F(ω)以 ωs=2/T为周期重复;
✓而F(ω)被等间隔ωs取样,则等效于f(t)以T 为周期重复.
➢因此,在时域中进行抽样的过程,必然导致频域中的周期函数;在频域中进行抽样的过程,必然导致时域中的周期函数。

基础知识积累—傅里叶变换

概念
傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。定义：f(t)是 t 的周期函数，如果 t 满足狄里赫莱条件：在一个以 2T 为周期内 f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附 f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则 F（x）以 2T 为周期的傅里叶级数收敛，和函数 S（x）也是以 2T 为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立，称为积分运算 f(t)的傅立叶变换。 ②式的积分运算叫做 F(ω)的傅立叶逆变换。 F(ω)叫做 f(t)的像函数， f(t)叫做 F(ω)的像原函数。 F(ω)是 f(t)的像。 f(t)是 F(ω) 原像。 ①傅立叶变换：
傅里叶变换
作为现代信号处理的基本方法，有必要重新开始理顺信号处理的来龙去脉，让基础更加牢靠，并重最初的经典中探寻前人的智慧结晶，以现代的角度了解事物发展的过程中的相互联系。科学家在描述自然过程中，自然而然的就是建立物理模型，期望用数学表达式来精确描述这个过程。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
i
f (n i N ) 。并且当 N 时，

f'[n]实际上就是 f[n]，那么我们现在可以求出 f'[n]的傅里叶级数。同样，当 N 时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数 X (e j ) （正如离散傅里叶变换一文中所述），这就是 f[n]的离散时间傅里叶变换。这时，只需在它的主值区间上采样，就可以得到离散傅里叶变换的变换序列。

三角波的傅里叶变换公式

三角波的傅里叶变换公式
三角波的傅里叶变换公式是：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T 为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。

最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅里叶变换是描述信号的需要。

只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好。

信号特征可以用特征值进行量化。

所谓特征值，是指可以定量描述一个波形的某种特征的数值。

全面描述一个波形，可能需要多个特征值。

比如说：正弦波可以用幅值和频率两个特征值全面描述；方波可以用幅值、频率和占空比三个特征值全面描述(单个周期信号不考虑相位)。

上述特征值，我们可以通过示波器观测实时波形获取，称为时域分析法。

傅里叶变换的目的
傅里叶变换是一种信号分析方法，让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。

把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。

这就是傅里叶变换的主要目的。

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。