2019北师大版八年级下册第一章三角形证明三角形的证明-知识点汇总

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(完整word版)北师大8下数学第一章三角形的证明

第一章三角形的证明知识点一：等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形,两底角相等（等边对等角)。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合.( “三线合一”）③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。

2、等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。

知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等,三个内角都相等,且都等于60°。

2、等边三角形的判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立;②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论;③假设不成立；④原命题成立.知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角：直角三角形，两锐角互余。

②边：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、直角三角形的判定定理：①角：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。

）3、特殊的直角三角形：在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等.(注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角.)知识点五:垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

知识点六：角平分线（点到边）1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角平分线判定定理：在一个角的内部,到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

北师大版数学八年级下册各章节知识点汇总

围直线 y ax b 在直线 y cx d 的上方对应的点的横坐标范围．
六、一元一次不等式组
※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax b ＞0 或 ax b ＜0 或 ax b ≥0 或 ax b ≤0（ a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y ax b 的值大于 0（或小于 0 或大于等于 0 或小于等于
0）时求相应的自变量的取值范围.
①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集; ⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五、一元一次不等式与一次函数 1、一次函数与一元一次不等式
一、不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <=> 大于等于 0(≥0) <=> 0 和正数 <=> 不小于 0 非正数 <=> 小于等于 0(≤0) <=> 0 和负数 <=> 不大于 0 二、不等式的基本性质性质 1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.

北师大版八年级下数学第一章-三角形的证明-1

情景创设
等腰三角形知识回顾
❖ 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） ❖ 2、等腰三角形有哪些性质？等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等腰三角形的三线合一）。
3、上述性质你是怎么得到的？
情景创设
等腰三角形知识回顾
❖ 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） ❖ 2、等腰三角形有哪些性质？等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（等腰三角形的三线合一）。
求证：∠B＝∠C．怎么想：常见辅助线做法（3）作底边上的中线；
BD C
探索活动合作与讨论
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
A
怎么想
怎么写
要证∠B＝∠C．只需证△ABD≌ △ACD 只需有 AB＝AC
∠ BAD＝ ∠CAD AD＝ AD
怎么想：常见辅助线做法 12
（1）作顶角的平分线
BD C
探索活动合作与讨论
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．源自求证：∠B＝∠C．A
怎么想：常见辅助线做法
（2）作底边上的高；
BD C
探索活动合作与讨论
证明：等腰三角形的两个底角相等
A 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
小结
❖ 在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等三角形。 ❖证明中常用的一种思考方法：从需要的证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件” 看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。

北师大版八年级数学下册同步精品第一章三角形的证明(单元小结)(课件)

理2来证明.
知识专题
二.与直角三角形有关的结论
1.直角三角形的性质定理性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：直角三角形的两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
知识专题
2.直角三角形的判定定理（1）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.
正确的有( C ) A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
考点专练
考点2 等腰三角形的判定
例2.将一副直角三角板如图摆放，等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD. 求证：△CDO是等腰三角形．
∴∠FGD＝180°-70°＝110°.
∵GE平分∠FGD， ∴∠EGD= 12∠FGD＝55°. ∵AB∥CD， ∴∠EHB＝∠EGD＝55°.
A
F
C
G
E B
H
D
考点专练
A
D
E
B
C
考点专练
考点5 直角三角形
例5. 如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，
CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，
∠EFH＝20°，求∠EHB的度数．
A
F
E
B H

北师版初二下册第一章三角形的证明

八年级下第一章三角形的证明【基础知识】1、全等三角形（1）定义：能够完全的三角形是全等三角形。

（2）性质：全等三角形的、相等。

（3）判定：“SAS ”、、、、。

三边：边边边（SSS ）两边: 边角边（SAS ）一边边角边（ASA ）角角边（AAS ）※※注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角※※证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 注意：公共边、公共角、对顶角、最长的边（或最大的角）、最短的边（或最小的角）2、等腰三角形（1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的相等。

（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

（3）判定：①定义②“ ”3、等边三角形（1）定义：的三角形是等边三角形。

（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。

（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是等边三角形。

4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（3）“斜边、直角边”或“HL ”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等【巩固训练】1、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm2、（2011江苏宿迁）如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD ≌△ACD 的条件是（） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CDC ．∠B ＝∠CD ．∠ BDA ＝∠CDA3 、（2011广东湛江19,4分）如图，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要使ABC DEF ∆≅∆，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）．4、（2012攀枝花）已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、（2010湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6B ．7C ．8D ．96、（2012哈尔滨）一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．7、（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。

新北师大版八年级下册《三角形的证明》

【知识点一：全等三角形的判定与性质】1 •判定和性质2 •证题的思路:找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS）找已知角的另一边（SAS）边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA ）已知两角找两角的夹边（ASA ）【典型例题】1 •用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明/AOC= / BOC的依据是（）A • SSSB • ASA /"C • AASD •角平分线上的点到角两边距离相等気"2. 下列说法中，正确的是（）o /S7 sA .两腰对应相等的两个等腰三角形全等B .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等三角形的证明C .两锐角对应相等的两个直角三角形全等D .面积相等的两个三角形全等3. 如图，△ ABC^A ADE，若/ B= 80 ° / C = 30 ° / DAC = 35 °则/ EAC的度数为（）D.A. 40 °B. 35 °C. 30°4. 已知：如图，在△ MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ = NQ.求证：HN = PM.第1页共20页5.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知/ AOB 的两边上，分别取 0M =ON (如图5-7),再分别过点 M 、N作OA 、0B 的垂线，交点为 P ,画射线0P ，贝U OP 平分/ AOB ，请你说出其中的道理.【巩固练习】1 .下列说法正确的是()A . —直角边对应相等的两个直角三角形全等B .斜边相等的两个直角三角形全等C .斜边相等的两个等腰直角三角形全等D .一边长相等的两等腰直角三角形全等2.如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ ADB 也△ EDB 也△ EDC ,贝U / C 的度数为( A . 15 °B . 20 °C . 25 °D . 30 °3.如图，已知△ ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△A ABC BA A'B'C', AD 、A'D'分别是 (1)请证明 AD = A'D';(2)把上述结论用文字叙述出来; (3)你还能得出其他类似的结论吗4.如图4— 9,已知A ABC 和从'BC 的角平分线.B£ABC 全等的图形是图4 — 95. 如图4—10,在厶ABC中，/ ACB = 90° AC = BC,直线I经过顶点C,过A、B两点分别作I的垂线AE、BF, E、F为垂足.（1）当直线I不与底边AB相交时，求证：EF = AE+ BF .图4—10（2）如图4—11,将直线I绕点C顺时针旋转，使I与底边AB交于点D，请你探究直线I在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系.①AD > BD :②AD = BD :③AD V BD .【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；②等腰三角形三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等.【典型例题】1 .等腰三角形的两边长分别为3和6 ,则这个等腰三角形的周长为（）A. 12 B . 15 C . 12 或15 D . 182 .等腰三角形的一个角是80 °则它顶角的度数是（）A . 80 °B . 80。

第一章-三角形的证明(单元小结)-八年级数学下册同步精品课堂(北师版)

2、判定：三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”。
1、性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
考点专练
1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．20° B．40° C．50° D．80°
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
考点专练
7.如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：BF=CF．
解：连接BC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB．∴FB=FC．
考点专练
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
∴ ∠CAD ＝ ∠CBD
考点专练
1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是_______。
2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（）A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、性质定理的逆定理（判定定理）：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
要点梳理
4．常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的；(2)作已知线段的垂直线．
垂线
平分
3、三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝_____。

北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》章节全部知识框架

全等三角形性质等腰三角形等边三角形判定对应边相等对应角相等一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS 两直角三角形全等的判定定理： HL 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。

SAS ：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

ASA ：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

AAS ：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。

可利用全等三角形的这一性质证明线段或角相等。

性质判定 ①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。

②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。

③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。

④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。

⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。

（对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。

前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。

可用于证明线段或角相等（等腰三角形） ③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C 、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

（不能直接使用结论证性质判定 ①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。

②三边都相等，三内角都相等且为60度。

③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O, 这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC ），到三边的距离相等（OD=OE=OF ）。

①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。

③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。

北师大版三角形的证明综合知识点

北师大版三角形的证明综合知识点一、知识概述《三角形的证明综合知识点》①基本定义：三角形的证明就是要用一些已知的条件和定理去证实三角形具有某些性质或者关系。

比如说证明两个三角形全等，就是要证实这两个三角形在形状和大小上完全一样。

②重要程度：在北师大版的数学里，这可太重要了。

就像是建房子的基石一样，三角形的证明很多时候是解决更复杂几何问题的前提，很多四边形、多边形的性质研究啥的最后都能归结到三角形的证明。

③前置知识：你得先知道三角形的基本性质，像三角形的内角和是180度呀，三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）这种。

还得对线段、角这些基本的几何概念很熟悉。

④应用价值：在建筑设计里，如果要做那种三角架，就得用到三角形稳定的这个性质的证明啊，好使这个架子打得牢固。

还有测量的时候，如果知道某些三角形的关系，也能通过证明算出一些我们不好直接测量的距离或者角度。

二、知识体系①知识图谱：三角形的证明在几何知识体系里可是核心部分。

就像一个大树的树干一样，很多几何知识都从这里“长”出来或者和它有关联。

②关联知识：和角平分线、线段垂直平分线等知识点联系超紧密。

例如，角平分线性质定理在证明三角形边角关系时可能会用到。

还有勾股定理这种关于直角三角形三边关系的定理也和三角形的证明息息相关。

③重难点分析：- 掌握难度：说实话，有点难。

因为要注意的细节很多，得从给出的条件里准确找到能用来证明的线索。

- 关键点：对定理、定义的理解和灵活运用。

比如说三角形全等的判定定理有好几个（SSS、SAS、ASA、AAS等），要清楚啥时候用哪个。

④考点分析：- 在考试中的重要性：相当重要，每次考试的几何部分基本都会有涉及三角形证明的题。

- 考查方式：可能是直接让证明三角形全等或者相似，也可能是把三角形的证明作为解决其他更大问题（比如计算面积、求线段长度）中的一个步骤。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 三角形全等：就是两个三角形能完全重合。

(完整版)新北师大版初二数学下册知识点总结

初二数学下册总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定定理：三边分别相等的两个三角形全等.（SSS）定理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（ASA）定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS)定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(HL)二、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等.三、等腰（边）三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等.(等边对等角)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 四、等腰（边）三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.五、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.六、直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.七、直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.八、线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.九、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.三角形三内角的平分线性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.十、互逆命题和互逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.备注：一个命题一定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.十一、尺规作图的应用已知等腰三角形的底边及底边上的高作等腰三角形.第二章一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等关系定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.与方程的区别：方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系.备注：准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”“不小于”“不大于”“至多”“至少”等数学术语.二、不等式的基本性质●不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，那么c a ±＞c b ±；●不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc （或c a ＞c b ）；●不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或c a ＜cb ）.三、不等式的解集1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.2、不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的实心圆点，无等号的空心圆圈；（2）方向：大于向右，小于向左.四、一元一次不等式定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.列不等式解应用题的基本步骤：①审，②设，③列，④解，⑤答.备注：解一元一次不等式特别要注意，当不等式两边都乘一个负数时，不等号要改变方向.五、一元一次不等式与函数设一次函数b=，则有一次函数的图像在x轴的上方⇔bkxy+kx+＞0；一次函数的图像在x轴的下方⇔bkx+＜0.六、一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法：“分开解，集中判”备注：几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定.第三章图形的平移与旋转一、平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移的两个要素：平移方向、平移距离.二、平移的性质1、平移不改变图形的形状和大小.2、一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.3、一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.4、平移前后的图形全等.三、旋转定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.四、旋转的性质1、旋转不改变图形的大小和形状.2、一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.3、旋转前后的图形全等.五、两图成中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.备注：成中心对称的图形是两个图形.六、两个图形成中心对称的性质1、成中心对称的两个图形是全等图形；2、成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分；3、成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.七、中心对称图形定义：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.例如：圆，平行四边形，长方形，正方形及边数是偶数的正多边形都是中心对称图形.八、中心对称图形的性质中心对称图形上的每一对对应点连成的线段都被对称中心平分.九、图案设计步骤1、确定设计图案的表达意图；2、分析设计图案所给定的基本图形；3、对基本图形综合运用平移、旋转、轴对称设计图案第四章因式分解一、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解与整式乘法的区别与联系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式.备注：因式分解与整式乘法是互逆关系二、提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.如：)(c b a ac ab +=+.依据：)(c b a m cm bm am ++=++步骤：①找公因式：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积； ②提公因式：提取公因式后的多项式，合并同类项前与原多项式的项数相同.（多项式中的某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为1，而不是0）三、公式法1、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；2、完全平方公式：222)(2b a b ab a -=+-,222)(2b a b ab a +=++.●因式分解的一般步骤：首项有“负”必先提，各项有“公”先提“公”，每项都提莫漏“1”，括号里面分到底.第五章分式与分式方程一、分式1、定义：一般地，用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，那么称BA 为分式.对于任意一个分式，分母都不能为零.2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3、公因式：一个分式的分子与分母都含有的因式，叫这个分式的公因式.4、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.约分的方法：可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同除以它们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去.5、最简公分母：（1）把各分式分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式；（3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式.6、通分：把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.7、最简分式：一个分式的分子与分母除了1以外没有其他的公因式时，叫做最简分式.二、分式的乘除法1、两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；2、两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.三、分式的加减法1、同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.式子表示是：CB AC B C A ±=± 2、异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.式子表示是：BDBC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 备注：先对多项式进行因式分解，再确定最简公分母.四、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2、解分式方程的一般步骤：①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入原方程进行检验，也可以代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3、分式方程的增根：解分式方程的过程中所求出的使原分式方程的分母等于零的根，是原方程的增根.4、列分式方程解应用题的一般步骤：①审清题意；②设未知数；③根据题意找相等关系，列出（分式）方程；④解方程，并验根；⑤写出答案.备注：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验！第六章平行四边形一、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等.定理：平行四边形的对角相等.定理：平行四边形的对角线互相平分.第 11 页平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.二、平行四边形的判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形.三、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. ●由三角形的三条中位线，可以得出以下结论：（1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；（2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；（3)三条中位线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.四、多边形的内角和与外角和定理：n 边形的内角和等于)2-n （·180°.定理：多边形的外角和都等于360°.备注：n 边形共有)3(21-n n 条对角线.。

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北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。

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2019北师大版八年级下册第一章三角形证明三角形的证明-知识点汇总三角形的证明知识点汇总知识点1：全等三角形的判定及性质全等三角形的判定定理包括SSS、SAS、ASA和AAS四种情况。

其中，SSS是指两个三角形的三条边分别相等，SAS是指两个三角形的两边和它们夹角分别相等，ASA是指两个三角形的两角和它们夹边分别相等，AAS是指两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等。

此外，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形也是全等的。

全等三角形的性质包括对应边相等和对应角相等。

知识点2：等腰三角形的性质定理及推论等腰三角形的性质定理包括顶角平分线、底边上的中线和高线，它们都是其他两条线的等腰三角形的两底角相等。

此外，等腰三角形中的相等线段有两底角的平分线相等、两腰上的高相等、两腰上的中线相等以及底边的中点到两腰的距离相等。

知识点3：等边三角形的性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度。

它是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。

此外，等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”。

知识点4：等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形。

即若∠B=∠C，则AC=BC。

需要注意的是，“等角对等边”的前提是在同一个三角形中。

知识点5：反证法反证法是概念证明的一般步骤。

它的基本思路是假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，知条件相矛盾的结果。

且角平分线把角分成两个相等的角一条线段是一个角的平分线，当且仅当这条线段把这个角分成两个相等的角应用：在三角形中，三条角平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等（交点是内心）。

反证法是一种常用的数学证明方法，当直接证法困难或无法证明时，可以采用反证法。

反证法先假设命题的结论不成立，然后推导出矛盾的结果，从而判定假设不正确，进而证明原命题正确。

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图S1－5
[解析] 要证明△DEF为等腰三角形，需要证DE＝DF.连接 AD，利用全等可得这一结论．至于在延长线上，可利用同样的方法．
8．三线共点三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等 .
9．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．
► 考点四等腰三角形的判别
例4 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图S1－5，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质性质(1)：等腰三角形的两个底角相等. 性质(2)：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

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