椭圆综合题(含答案)

椭圆综合题

一、椭圆中的定值、定点问题

1、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；

2、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:13

x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2

OG OD =∙OE ，求证：直线l 过定点；

椭圆中的取值范围问题

1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22

:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且

3AP PB =，求m 的取值范围．

2、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为

)0,2(H .

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.

椭圆中的最值问题

1.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆2

2

1

x y +=上运动时。 （I ）求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点2

2

(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。

2、已知椭圆2

2:14

x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线

l 交椭圆G 于A,B 两点.

将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.

一|：1、解：（1）设椭圆方程为22

221y x a b +=，由题意可得

2,2,22a b c ===22

142

y x +=

则122),(0,2)F F -，设

0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--

22

1200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=

点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y +=2

2

0042

y x -∴=

从而2

2

004(2)12

y y ---=，得02y =P 的坐标为2)。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，

设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-

由222(1)

124

y k x x y ⎧=-⎪⎨+

=⎪⎩得222

(2)2(2)(2)40k x k k x k +++-=

设(,),B B B x y 则222

2(2)222

122B k k k k x k k --=-=++

同理可得22

2222A k k x k

+-=+，则2422A B k

x x k -=+ 2

8(1)(1)2A B A B k y y k x k x k -=----=

+ 所以直线AB 的斜率2A B AB

A B

y y k x x -==- 2、 解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,

由22

13

y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222

(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->

设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:

12x x +=

2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002

313kn

y kx n k n k

-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2

)13n

k

+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上，

所以OE OD k K =，即133

m

k -

=-， 解得1m k =，

所以22m k +=

2

2

12k k

+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3

m

y x =-,

所以由223

1

3

m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为22

3G m y m =+, 又因为2

13E n y k

=+,D y m =,且2

OG OD =∙OE ，所以222313m n m m k =⋅++, 又由（Ⅰ）知:1

m k

=

,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 二：1、解：（1）当直线斜率不存在时：1

2

m =±

（2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y

∴2

2

21

y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222

(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+> （*）

212122221

,22

km m x x x x k k --+==++

∵3AP PB =，∴123x x -=，