竞赛中复数相关知识点

复数的概念与运算

1. 疑数的捉念

复散有四种衷示形式：

代数形式*工=卫+扫，q.占

几何晤式：复数==私+再i", 与逻平面内的点Z(s小或由似点发出的向It

o2—对应&

三角陋式：丄■ r(cGaO+ isin^> f r O t 6 R i

指数形式」甲空O.BWIG

其中.* = cos^+istrt? Jfi #为塑数工昶報嘔这就屆茗名的欧擅(Euhr)公式.

通过这四料形式来点达fitt.ffiaft的槪盒更加淸期・立观、形象、深刻.这四种晤式所甄含的实标意文，沟通f代数、三帝、几何帶学科剛的联系.曲它们所建立起来的塑数的运审法则+标只右各貞的特点•通过它们之闸的彼此转化.我fj能灵活地分析间SftW 决问團.

2. 址数的运算法刚

加、滅法；G + 用)± 匸

期法：也+ £i〉Q + 山)=(m —加)+ (撿+ M )i*

fi Crr>s(?i + Xin" ) • ^(cras^j —isir^ > = nrjfcosCf?十0 ) + isin(tf5+ ft )1;

「厶* a + 6i uc H- W L U ~~ ad. j* , rtS

除法：冲»君孑+产市&+山融°儿

=—[cestui tf2) + >3in<^i —)J*

乘方；[『(co諮+ i«ntf>J" — r*(cOR曲 + isinrttf)(« € 2 ) «

开方:震数HcoM+ istiM)的n次方楸是皓(tx "二；飯+ isin j t k =

11 *"・用一I *

3. X£数的模与共耗复数^

共枫复数的性质：

(1 > 5i ±«r = ti ±Xj I

(2) z t z2= zi * £z« (孑)=吐0) * .

(3) Rets) = 4■“ + i)« Im(上)=丄(髦一*

£Zi

(4) 需是实数的充赛条件是巧=I, I是纯虎數的充要条件是文=-!且雷HQ *

(5) 龙・£ = | I I1=[?[*.

复数的模的性曉；

(1)max { | Re(^> I * | Im(z) I } W 丨疋！W 丨尺貞爼》1 + 1 lm( t) | ;

(2)I Z)• I = I zi I • I zi I »J — = ! - ] 0) »

(3)II !-| z t f |

却尹0时•当且仅肖I arg^( - arg^ |=托时，左边取畔号*当且仅当argii = argtj时，右边取等号.

危似地.还有I丨引I 一I為I I瑤I =：—拓r I £1航I + 1刘h 这两个不等式称为三猜不等式.

4. 團个复数相尊的充爽条伸是它们的实部、虚部对应相等，或丹它的的模与轴角主備对应相導f非零«»).利用复数相等的充妥条件，可以把复散问懸转化为实数问赵•从而获得解决间题的一种途径.

复数的模也足将梵数问题实数化的冇效方法之齊于利用模的性质.足模运算中的一个突出方面. ^

复数的几何意义

复数的几何形式，使训址数本身及其运算农了几何意义.

复数的加法可以按嗨佝址加法的平行四边形祛则来进行；两个复数的差引一引纭连结两个向献终点井揃向發减数的向fit对应.

设ti = ri (cos^i 4-isin^! = r z (co瞰+ isin^；人则M个烫数的乘积⑺引对应的向磧就览把間#6^7按逆时針方向旋转一个角解若ft

设在4(平面内的对应点分别为乙・Z_Zj,由复數及It运算的几何意文，我们容豺得到以F结论】

(B Ut - z?|丧示两点Z| Z间的距离.

(2) 满足| Z—引1 = 1 t-Zr |的复数上对应的点的轨迹是线段乙乙的垂直平分线.

(3) 満足I Z —G |=r(r>0)的g»r对应的点的轨迹是以点乙为圆心*为半泾的虬

(4) 滿圮| z —Zi|+| I —z：|・2a(0 < I Zi Zt I < 2a)的塑数工对应的点的轨迹是以点n 为焦点.长轴长为加的椎圆.

(5) 満足I I z-t! 1-1墨一引||=2a(|Z l Z I|>2a>0)的复数玄对应的点的轨迹堆以点乙*乙为焦点，宴轴长:为站的双曲纵

(6) 満足argz«tf(d6[0, 2電))的簸数r对应的点的轨if是以原点为端点的一条射线(以丁正半軸为始边，此射线为终边的最小非负角为㈤.

利用®數的几何意义•给某些数诫关系以几何解释•适当将数竝关系问题转化成图形件质问趣•通过图形求解.这种数形站合的思想方法■不仅增强了问題的2L观性*而11

复数与方程

由于塑数的引人•代数方程的右关何题出现了新的内容•在复数范阁内，対于一元” 次方程“以・+ 4_才1 +・・・+如=0(6护0),我们不加证明地给岀下述一些結论，

(1) 代数基本定理；牡糸数的一元"次方程有且仅有”个根(&审根按女个根计算)；

(2) 韦达定理；设厂，/,・・•，孔咼该方程的”个复根•則它们与方程的系数之何成立如下关系

xi + x： + ••• 4- x,

lilt +1*,工9 + •*• + Xe-1 J.

S n…刊=〈一i”严

工心…几=(—1)R—

a.

(3) 实系数方稈成根成对定理：若珈・尙•…，a.都是实数，则对方程的任；&复根a 其共也复数匚也是该方程的根.

这些便找们能够更深人地研究代数方程的解以及相关问题. 复数方桎类割繁多•解复数方程的方法也很名.

对F复系数的一元二次方程or' +Zir+c = 0(aHO)・我们可将斥来的实数范用内

的一元二次方程的求根公式工="土纟丫「叫沪一仏0)中的— W改为 &：-4“的平方根•则求根公式依然成立.

对F二项方稈h-a = 0・可令a = r(cos^+isin^)(r>0,^e R)，利用复数开方，即得该方程的"个根为折(83心齊十isin牛严卜这里& = 0,1,…，” 1.

一般地，对于低次方程，可以利用复数相等的充耍条件，转化为实数问题求解.有时. 也可以采用以模为突破口•先求模畑■再求复数£・