第12章动能定理(删——新)

P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2
1 2 Mv A m3 gh 2
1 M 2v A v A m3 gh m3 gv3 Mv A a A 2
而 ∴
讨论： 动能定理的最后表达式一般为：
2vA v3 2m3 g aA M
即为所求轮心A的加速度。
1 2 Mv A Ph 2
等效质量 等效力 求一阶导数后即为加速度，一般具有如下形式：
1 2 T Mv C 2
M为刚体的总质量。
2、转动刚体的动能
z
1 1 2 T mi vi ＝ mi (ri ) 2 2 2 1 2 2 mi ri 2 1 2 T J Z 2
与平动刚体的动能相对比，只需将 对应的平动量换为转动量即可。 与质量M相对应，转动惯量JZ则是刚体 转动惯性的度量。
解：取物体来研究，
h
1 2 W P（h＋s）－ ks 2
T1 0
T2 0
T2 T1 W
1 2 P（h＋s）－ ks ＝0 解出s即可。 2
§5.质点系的动能定理
设一质点系由n个质点构成，第 i个质点有：
mi vi d Wi＋We 2
对整个质点系，可 列出n个方程：
2
· mv · · F · z · · · · F
W F dr Fds cos
将F与dr投影到直角坐标轴上： 元功的解析式：
M
z
ds
r
F o
dr
y
F Xi Yj Zk dr dxi dyj dzk x
w Xdx Ydy Zdz
因此，变力F在曲线路程上功的总和为：
W w F cosds
δ2
F kx
l0
F
δ1
x
δ
W k
2
1Leabharlann k 2 2 kxdx＝ （ 1 － 2） 2
弹性力的功取决于弹簧刚度系数和初始和末 位置的伸长量，与路径无关。
3、作用在转动刚体上的力的功
z
W M z d
1
W F ds F rd mz d
§3. 质点系和刚体的动能 一、质点的动能 二、质点系的动能 三、刚体的动能 1、平动刚体的动能
1 2 T mv 2
动能是标量，恒取正 值。 单位为焦耳 J 。
1 T Ti mi vi2 2
平动时刚体上各点的速度相等，质心C点的速度为vC， 则平动刚体的动能为：
1 1 2 2 T mi vi (mi )vC 2 2
当质点系内两点间的距离AB变化时，内力的功不 等于零；对于刚体来说，由于两点间的距离不变， 内力的功等于零。
C、磙子做纯滚动时静摩擦力的功 磙子做纯滚动时，静摩擦力不作功
F
不可伸长的绳索、刚性杆、光滑支撑面、光滑铰链、轴 承、滚动支座等，其约束反力的元功之和恒为零！把这些 其约束力不做功的约束称为理想约束。即，理想约束的约 束反力不做功！
2r1 A r2 B v3
v3
1 2 m3 ( 2r1 A ) 2 1 3 2 [ m1 2m2 4m3 ]( r1 A ) 2 2 1 2 Mv A 2
④计算系统在整个运动过程中所有力所作的功；
W m3 gh
⑤代入动能定理：
T2 T1 W
此式即可求出vA，要求加速度aA，直接将 此式对时间 t 求一阶导数即可：
积分前式，
T2 T1 W
1 1 2 2 m 2 m1 W 2 2
即质点动能在某段时间内的变化，等于质点所受得力 在此过程中所做的功，质点动能定理的积分形式。
例1：质量为m的物体从高h处自由 下落，碰到弹簧钢度系数为k的弹簧 末端并一起运动，不计弹簧质量， 求物体下降的最大距离s。
l 2 O n m (YO mg ) cos X O sin aC 2 φ l m (mg YO ) sin X O cos 2 9mg
C
XO
8
sin 2
aC
mg
A
3 cos 3 sin 1 2 YO mg(1 ) mg(1 9 cos ) 2 4 4
O
l W mg cos 2 3 g cos l
2
φ
C
mg
A
又 J O M O , 即 : 3g sin 2l
1 2 l ml ε mg sin 3 2
练习题:在上题中，求O点的支反力。 解:受力如图
man Σ Fn ma Σ F C C
T2 T1 WF
动能定理主要用来求解 v、ω、a、ε，不能求反力！
练习题:均质圆柱体重为P，放在倾角为α的斜面上，轮子 只滚不滑，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离S时O 点的速度与加速度。 解：取圆柱来研究，
T1 0
3 2 T2 m o 4 W mgs sin
S
O
T2 T1 W
3 2 m o＝mgs sin 4 4 2 o＝ gs sin 3
α
2 3gs sin o＝ 3 2gsin a o＝ 3
练习题:长为l、质量为m的均质杆从水平位置无初速落下到图示位 置φ时，求杆的角速度和角加速度。 解：
T1 0,
1 m l2 2 T J O 2 2 2 6
i
i i
i
e
i
o
y x
mi vi d Wi＋We 2 dT Wi＋We
2
质点系动能的微分等于质点系所受 的外力和内力的元功之和。
积分上式：
T2 T1 Wi＋We
即质点系的动能在某段时间内的变化，等于质点系所 受的外力和内力在此过程中所做的功之和。 当质点系所受的力分为主动力和约束力时，并且约束 属于理想约束，则约束反力不作功，只有主动力做功。
由于轮心O作直线运动，将上 式两端对时间求一阶导数得到：
O
P
α
2 g (Q P) sin a0 2Q 3P
练习题:均质圆柱体重为P，放在倾角为α的斜面上，只滚不滑，轮 心O处系一绳子，跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连，两轮半径相 等，系统初始静止，求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速 度。 A S
第十二章
动能定理
动能定理描述了作用于物体上的力所作的功与物体 动能变化之间的关系.
§1. 功和功率
一、力的功：力在路程上对物体的累积作用效应。
F
1、常力的功
W F S FS cos
α是力F与位移之间的夹角。 功的单位为焦耳（J）， 1J=1Nm
S
α
由功的定义知，功是代数量。
2、变力的元功
2
ω
当Mz为常力偶矩时，有:
dφ
ds r
W M z
当力偶矩与转角同向时作 正功，异向时作负功。
4、几种约束力的功
A、光滑固定面反力的功
N
B、质点系内力的功
F
F` rB
B
dW F dr ＋F dr
‘ A
A
B
rA
＝F drA－F drB
＝F（drA－drB）＝F dBA
1 2
S ( P sin Q) g v0 2 2Q 3P W
前式两端对时间求导，即得加速度：
2 g ( P sin Q) a0 2Q 3P W
例：两均质圆轮如图所示，在重物C的作用下，轮A与水平面间只滚 不滑，求重物C由静止开始下降了距离h时A轮质心的加速度aA。 解：①研究整体，不要拆开；
z
1、重力的功
M （x，y，z）
W
M2
M1
( Xdx Ydy Zdz)
z2 z1
0 0 Pdz
P( z2 z1 ) Ph