2019年高中数学竞赛试题及答案及答案

高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请

把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）

1．集合{0,4,}A a =，4

{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．

①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.5

0.320.5,

log 0.4,

cos

3

a b c π

-===，则

A ．c b a <<

B ．c a b <<

C ．a b c <<

D ．b c a <<

4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为

A . 1

B . 2

C . 0或2

D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2

A π

ϕ><

）的图象如图所

示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像

A ．向右平移

6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12

π

个单位长度

6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为

A ．6

B ．5

C ．3

D ．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则

m = .

8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．

10.求值：

=+

250

sin 31

70cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(2

2

y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则

（第5题图）

（第8题图）

3

侧视图

正视图

2

2

22

=)2011(f .

12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .

答 题 卡

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）

7． 8． 9． 10． 11． 12．

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）

为预防(若疫苗有效

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；

（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.

已知函数x x x f 2sin )12

(cos 2)(2

++

=π

．

（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）

如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是

AB AA AC ,,1的中点．

（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；

（3）求三棱锥EFG B -1的体积.

A

C

B

B 1

A 1

C 1

F

G

E

已知函数t t x x x f 32)(2

2

+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；

(2)是否存在0

q t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.

已知圆2

2

:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作

MAC ∆.

（1）当点A 的横坐标为4且

45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得

45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.

18．（本题满分14分）

在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1

x g x

y =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1

f x =-

． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211

()()2

f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式x

ax +≥-11

1恒成立，求实数a 的取值范围．

参考答案

一、选择题：C B A D D C

二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞

10.

3 11．22011

12. 31(,),(1,0),(3,4)22

-- 三、解答题：

13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，