新人教版初二下册数学全册教学课件PPT
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【31套】人教版八年级数学下册【全册】教学课件汇总【含全课时课件】
25 x3 y 4 0, y 4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b ab（a≥0，
b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x • x3
(3)2 ab • 3 b ( 4) 27 1
( 3 2)( 10 8 5 )
2
2
运算，从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
梳理
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a a bb
a a（a≥0，b＞0） bb
最简二次根式。
巩固练习
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
最简二次根式。
如图，学校要砌一个正方形花坛，
已知外边的正方形边长为 2 2 cm，里面 的正方形的边长为 2cm，两个正方形的
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b ab（a≥0，
b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x • x3
(3)2 ab • 3 b ( 4) 27 1
( 3 2)( 10 8 5 )
2
2
运算，从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
梳理
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a a bb
a a（a≥0，b＞0） bb
最简二次根式。
巩固练习
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
最简二次根式。
如图，学校要砌一个正方形花坛，
已知外边的正方形边长为 2 2 cm，里面 的正方形的边长为 2cm，两个正方形的
新人教版八年级数学下册全册课件
引入新知
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为 正方形的边长为 S .
3 ，面积为S的
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,
则它的宽为
65 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m） 满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t, 那么t为__h 5_.
课件说明
• 学习目标： 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知 道被开方数必须是非负数的理由； 2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
• 学习重点： 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
创设情境 提出问题
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r= 2Rh，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们
练习3 若 16-4n 是整数，则自然数n 的值为 __0_，__3_，__4___.
课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？ 一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号． （2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的
范围是什么？ a 中的a≥0； a≥ 0． 双重非负性
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
比较辨别 探索性质
问题 请比较 a 和0 的大小． 分类讨论思想
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0 时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0； 这就是说， a（a≥0）是一个非负数．
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示0的算术平方根，因此 a
a
=0.这就是说，当 a≥0时， ≥0. a
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 ，我们知道： a ≥0. a
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 二次根式的被开方 数非负 二次根式的值非 负
你们是根据哪 些特征猜出的 呢？
下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高 能表情包.
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么 数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”
----中科院数学与系统科学研究院
李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示a . ( a 0) 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方 时，被开方数只能是正数或0.
在实数范围内有 x 2
2 当x≥2时， x 在实数范围内有意义 .
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
1 （1） ； x 1
解：由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
1 x2 x 在实数范围内有意义，则 x的
x ≥0且x≠2 取值范围是___________的实数时， 在实数范围内有意义？ x2 呢？ x3 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 的被开方数 a的取值范围是什么？它本身 a 的取值范围又是什么？ 当a＞0时， 表示 a a的算术平方根，因此 ＞0；当 a a=0时， 表
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例1 若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
A 1 有意义的条件：
【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零. 初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
A 1 有意义的条件：
【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
人教版数学八年级下册全册课件【完整版】
•计算：(1) 3 答5案：
15
• (2)
1答6案：81
36
考点5 二次根式除法公式_______________________
例5、计算 （1）
24
3
（2）
75 27
32
（3）
27
解题思路：二次根式相除，根指数不变， 把被开方数相除
解：1原式 24 8 4 2 2 2
3
2原式
52 32
练习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？
解：设其宽为2x，长为3x，则有
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
活动三：合作探究
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
02 _____；
布置作业 必做：P4-1，2 选做：P5-2，4
再见 感谢观看
考点3
•二次根式的性质2 a2 a(a 0)
•例3、化简:(1) 16(2)
- 52
•解题思路：化简形如 a的2 式子时，先转化为 ， 再根据aa的符号去绝对值符号。
•解： (1)原式 42 4
2原式 52 5或原式 5 5
3 3
52 5 32 3
3原式 3 2 3 2 2 2 3 6
32 3 32 3 3 3 3 3
精炼考点5
•化 简 （1） 40
•答案： 12 10
2 4
3
2 2 3
3
考点6最简二次根式的两个条件：
(1)__被__开__方__数_不_ 含分母 (2)__被__开__方__数_中__不__含__能_开__得__尽__方的因数或因式
人教版八年级下册全册数学课件-1
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定义: 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
注意: (1)
众数是一组数据中出现次数最 多的数据，是一组数据中的原数据，而不 是相应的次数．
(2) 一组数据中的众数有时不只一个， 如数据2、3、－1、2、1、3中，2和3都出现 了2次，它们都是这组数据的众数．
想一想 某地举办体操比赛，由7位评委现场 给运动员打分，已知7位评委给某运动员 的评分如下：
Æ Î À ¯ À · Æ Ö 1Å º 2Å º 3Å º 4Å º 5Å º 6Å º 7Å º 9.2 9.8 9.6 9.5 9.5 9.4 9.3
请你利用所学的统计知识，从不同 角度给出这位运动员的最后得分。（精 确到0.01）
求这一天10名工人生产的零件的中位数。
需要更完整在一次英语口试中，20名学生的得分如下 ：
70 80 80 70 100 90 60 80 80 90 70 80 90 70 50 90 80 60 70 80
求这次英语口试中学生得分的众数。
注意：1.求中位数要将一组数据按大小顺序， 而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于 最中间的一个数（或最中间的两个数的平均 数），排序时，从小到大或从大到小都可以． 2．当数据个数为奇数时，中位数是这组数 据中的一个数据；但当数据个数为偶数时，其 中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定 与这组数据中的某个数据相等。
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1、在一次数学竞赛中，5名学生的成
绩从低分到高分排列名次是： 55 57 61 62 98 那么，它们的中位数是多少？
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定义: 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
注意: (1)
众数是一组数据中出现次数最 多的数据，是一组数据中的原数据，而不 是相应的次数．
(2) 一组数据中的众数有时不只一个， 如数据2、3、－1、2、1、3中，2和3都出现 了2次，它们都是这组数据的众数．
想一想 某地举办体操比赛，由7位评委现场 给运动员打分，已知7位评委给某运动员 的评分如下：
Æ Î À ¯ À · Æ Ö 1Å º 2Å º 3Å º 4Å º 5Å º 6Å º 7Å º 9.2 9.8 9.6 9.5 9.5 9.4 9.3
请你利用所学的统计知识，从不同 角度给出这位运动员的最后得分。（精 确到0.01）
求这一天10名工人生产的零件的中位数。
需要更完整在一次英语口试中，20名学生的得分如下 ：
70 80 80 70 100 90 60 80 80 90 70 80 90 70 50 90 80 60 70 80
求这次英语口试中学生得分的众数。
注意：1.求中位数要将一组数据按大小顺序， 而不必计算，顾名思义，中位数就是位置处于 最中间的一个数（或最中间的两个数的平均 数），排序时，从小到大或从大到小都可以． 2．当数据个数为奇数时，中位数是这组数 据中的一个数据；但当数据个数为偶数时，其 中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定 与这组数据中的某个数据相等。
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1、在一次数学竞赛中，5名学生的成
绩从低分到高分排列名次是： 55 57 61 62 98 那么，它们的中位数是多少？
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正方形的边长为_______ S 。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则
它的宽为________ 65 。
3.一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时
间为t（单位：S）与开始落下时离地面的高度为
h（单位：m）满足关系h=5t2,如果用含有h的式子
h 表示t，那么t=_______ 5
【想一想】
------------强化训练--------------
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解:
2
∵
∴
3
2
3
2
4 x 3 (2 x) 3
2
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
------------强化训练-------------下列式子 2x 6 1 2x 取值范围是 __________ _
（2） 2a 3 （4） 5 a
【必须掌握】
当a＞0时， a 表示a的算术平方根， 因此 a ＞0；当a=0时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0 。
二次根式的双重非负性：
a≥0,
a≥0
火眼金睛
根据算术平方根的意义填空： 4 2 2 ( 0.01) 0.01 ( 4)
1 2 ) 3
已知y 2 x x 2 5, 5 y 则 ____ 2 x
2-X≥0 X-2≥0
x ≤2 ∴x=2, y=5
x≥2
------------强化训练-------------实数p在数轴上的位置如图所示， 化简： (1 p) 2 2 p 2
பைடு நூலகம்
0
1
2
解：原式 1 p (2 p) p 1 2 p 1
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则
它的宽为________ 65 。
3.一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时
间为t（单位：S）与开始落下时离地面的高度为
h（单位：m）满足关系h=5t2,如果用含有h的式子
h 表示t，那么t=_______ 5
【想一想】
------------强化训练--------------
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解:
2
∵
∴
3
2
3
2
4 x 3 (2 x) 3
2
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
------------强化训练-------------下列式子 2x 6 1 2x 取值范围是 __________ _
（2） 2a 3 （4） 5 a
【必须掌握】
当a＞0时， a 表示a的算术平方根， 因此 a ＞0；当a=0时， a 表示0 的算术平方根，因此 a =0 。
二次根式的双重非负性：
a≥0,
a≥0
火眼金睛
根据算术平方根的意义填空： 4 2 2 ( 0.01) 0.01 ( 4)
1 2 ) 3
已知y 2 x x 2 5, 5 y 则 ____ 2 x
2-X≥0 X-2≥0
x ≤2 ∴x=2, y=5
x≥2
------------强化训练-------------实数p在数轴上的位置如图所示， 化简： (1 p) 2 2 p 2
பைடு நூலகம்
0
1
2
解：原式 1 p (2 p) p 1 2 p 1
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解：设其宽为2x，长为3x，则有
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、C （2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
AC=5-3=2 AB=5-2=3 根据勾股定理,得
2பைடு நூலகம்
1 3
________;
0 2 __0_______;
合作交流
与同伴交流你是怎样得到的？
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方 等于4的非负数，因此有
同理，
分别是2， ， 0的算术平方根，因此有
一般地，
例2 计算：
1 1.5 2 ; 2 2 5 2
2ab b.
被开方数 4a2b3含4,a2,b3这 样的因数或因式， 它们通过开方后 可以移到根号外， 它们是开得尽方 的因数或因式.
例3 计算：
1 14 7;
2 3 5 2 10； 3 3x 1 xy.
3
解：1 14 7 14 7 72 2 72 2 7 2；
23 5 2 10 3 2 510 6 52 2 6 52 2
6 5 2 30 2；
3 3x 1 xy 3x 1 xy 3 1 x2 y x2 y x2 y x y.
3
3
3
练习
1.计算：
1 2 5;
2 3 12； 3 2 xy 1 ;
y
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
2x 3x 18 6x2 18
x2 3
解得x1 （3 舍去）, x2 3
所以长方形宽为2 3，长为3 3.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5，3）、C （2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知
AC=5-3=2 AB=5-2=3 根据勾股定理,得
2பைடு நூலகம்
1 3
________;
0 2 __0_______;
合作交流
与同伴交流你是怎样得到的？
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方 等于4的非负数，因此有
同理，
分别是2， ， 0的算术平方根，因此有
一般地，
例2 计算：
1 1.5 2 ; 2 2 5 2
2ab b.
被开方数 4a2b3含4,a2,b3这 样的因数或因式， 它们通过开方后 可以移到根号外， 它们是开得尽方 的因数或因式.
例3 计算：
1 14 7;
2 3 5 2 10； 3 3x 1 xy.
3
解：1 14 7 14 7 72 2 72 2 7 2；
23 5 2 10 3 2 510 6 52 2 6 52 2
6 5 2 30 2；
3 3x 1 xy 3x 1 xy 3 1 x2 y x2 y x2 y x y.
3
3
3
练习
1.计算：
1 2 5;
2 3 12； 3 2 xy 1 ;
y
6 5
C(2,5)
4
3 2
A(2,3)
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新人教版八年级数学下册全 套PPT课件汇总
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
人教版八年级下册全册数学课件-33
3：3：2：2 2：2：3：3
录取谁？ 录取谁？
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练习：教材P139-1.2
86 6＋90 4 ＝87.6 2 .x甲＝ 6＋4 92 6＋83 4 x乙＝ ＝88.4 6＋4 x甲 x乙 从成绩看选乙
第二十章 数据的分析 20.1.1平均数
一次数学测验，3名同学的数学成绩 分别是60，80和100分，则他们的平均 成绩是多少？你怎样列式计算？算式中 的分子分母分别表示什么含义？ 如果有n个数(用χ1、χ2、χ3、…χn)那 么它们的平均数我们表示为
x1 x2 x n
xn
平均数是一组数据的数值的代表值，它刻 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 - 画了这组数据整体的平均状态。
天数
2
3
2
2
1
该市7月中旬最高气温的平均数是_____, 这个平均数是_________平均数.
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练习P141、142－1、2
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86+90 92+83 1、 1 .x甲＝ ＝88， x乙＝ ＝87.5 2 2
2. 88.5
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练习：
1、从一批机器零件毛坯中取出20件，称得它 们的质量如下（单位：千克）： 208 200 202 192 182 218 198 187 213 计算它们的平均质量。 . 2、某市的7月下旬最高气温统计如下 气温 35度 34度 33度 32度 28度
如果知道有一个小组中3名学生得了 60分，5名学生得了80分，还有一名学 生得了100分，此时这个小组的数学测 验平均分还是一问中的答案吗？该如何 计算呢？
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B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(x
2)0
(8)
x≥-1且x≠2
x 2 （9） x2 1
x
x>0
x为全体实数
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14； （2）81； （3） - 0.8 ；（4） -3x (x 0)
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
新人教版 八年级下册初中数学
全册教学课件
16.1二次根式
二次根式有意义的条件和非负性
导入新知 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关 r= 2Rh
系
2Rh1
，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电
视塔的高2分Rh2别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比
是 式子
. 2Rh1 表示什么？
2Rh2
公式中r= 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
探究新知
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为_____65_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t5h 为_____．
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞；0 当a=0时， 表 示0的算术平方根，因此 .这a＝就0 是说，当a≥0时， . a 0 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知
归纳总结
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知 （2） x 3
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
？ （1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥a0.
二次根式的 双重非负性
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2பைடு நூலகம் 3
是
1
（10） 3 是
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
例3
a 3 b 2 (c 1)2 0
若
，
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中求阶2段a 学-b过+3的c的非值负.数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
（5）m (m，n异号，n 0）（6） x2 4 ；（7）3 15
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
1.下列各式是二次根式吗?
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(x
2)0
(8)
x≥-1且x≠2
x 2 （9） x2 1
x
x>0
x为全体实数
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14； （2）81； （3） - 0.8 ；（4） -3x (x 0)
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65， h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
新人教版 八年级下册初中数学
全册教学课件
16.1二次根式
二次根式有意义的条件和非负性
导入新知 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关 r= 2Rh
系
2Rh1
，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电
视塔的高2分Rh2别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比
是 式子
. 2Rh1 表示什么？
2Rh2
公式中r= 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
探究新知
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为_____65_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t5h 为_____．
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞；0 当a=0时， 表 示0的算术平方根，因此 .这a＝就0 是说，当a≥0时， . a 0 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知
归纳总结
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知 （2） x 3
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
？ （1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥a0.
二次根式的 双重非负性
二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2பைடு நூலகம் 3
是
1
（10） 3 是
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
例3
a 3 b 2 (c 1)2 0
若
，
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中求阶2段a 学-b过+3的c的非值负.数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c= -3×2-2+3×1= -5.
（5）m (m，n异号，n 0）（6） x2 4 ；（7）3 15
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
1.下列各式是二次根式吗?