耦合电感与谐振电路

1 I1 jL1 j M j L2
2 I2
I1 j L1 M
1
2 I2 j L2 M
3 I
I
3 j M
0
03
（a） （b） 图4.11 耦合电感的T形等效
4.2.5 耦合电感电路的一般分析方法
在计算含有耦合电感的正弦电流电路 时，仍可采用相量法，KCL的形式仍然不变， 但在KVL的表达式中，应计入由于耦合电感 引起的互感电压。 计算含有耦合电感的正弦电流电路一 般都采用支路电流法或网孔分析法。含有 耦合电感电路的功率计算与前面的方法相 同。
k
M L1 L2
21 12 k 11 22
一般情况下，0≤k≤1。k值越大，表示漏 磁通越小，即两个线圈之间耦合越紧密。 当k=1时，无漏磁，两线圈全耦合。 耦合系数k的大小与线圈的结构、相互 位置以及周围磁介质有关。如果两个线圈 密绕在一起，如图4.2(a)所示，则k值可以接 近于1，反之，如果它们相隔很远，或者它 们的轴线互相垂直，如图4.2(b)所示，则k值 就很小，甚至可能接近于零。
当线圈电流和由它引起的互感电压的 参考方向对于同名端是不一致（即同名端 有相反的参考电压极性）时，有
U 21 jMI 1 jX M I 1 U 12 jMI 2 jX M I 2
上面各式中M X M ，称为互感电抗，单位
1 11 12 L1i1 Mi2 2 21 22 Mi1 L2 i2
11
1
21
22
2
11
1
21
2
12
N1 i1 u12 i2 u11 * u1 * 1 2 1
（a）
N2 u21 u22 u2 2
4.1.4 同名端及其测定
同名端是用来说明具有磁耦合两线圈绕 向间的关系的。若一对磁耦合线圈同时通以 电流，每个线圈中自感磁通和互感磁通方向 一致（或者说自感磁通和互感磁通相助）， 则流入电流的两个端钮即为同名端。常用星 号（*）或小圆点（）作标记。
图4.4是耦合电感元件的电路符号，它 是由实际耦合线圈抽象出来的理想化电路 模型，由L1、L2和M三个参数来表征。
L1 L2 2M 0
4.2.3 耦合电感的并联
两个耦合电感线圈的并联也有两种接法，
如图4.10所示。图4.10（a）电路为同侧并联，
即同名端在同一侧。图4.10（b）电路为异侧
并联，即异名端在同一侧。
I
j M
I
j M

U
I1 *
jL1
I2 *

U
12
22 N1 i1 u12 i2 u11 * u1 1 2 1
（b）
N2 u21 u22 u 2 * 2
图4.3 耦合电感线圈的电压电流关系
对于图4.3(b)所示两个线圈，其自感磁通与互 感磁通方向相反，我们称之为磁通相消。则 有
1 11 12 L1i1 Mi2 2 21 22 Mi1 L2 i2
I1 *
jL1
I2
U 12 jL2
U 21
U 12 jL2
U 21

R1 R2


R1

* R2


（a） 图4.10 耦合电感的并联
（b）
两个耦合线圈并联后的等效阻抗为
Z eq
2 Z1 Z 2 Z M U I Z 1 Z 2 2Z M
u 21 e21 dt M dt
由此可见，互感电压与产生它的相邻线圈的 电流变化率成正比。
同理，对图4.1(b)有互感电压
d 12 di2 u12 e12 M dt dt
4.1.3 耦合电感线圈上的电压、电流关系
若一对磁耦合线圈中同时通过电流i1和i2时， 则每个线圈的总磁链为自感磁链和互感磁链的 合成。取总磁链与自感磁链有相同的参考方向， 对于图4.3(a)所示两个线圈，其自感磁通和互感 磁通方向一致，我们称之为磁通相助。设线圈 1和线圈2的总磁链分别为 和 1 2 ，则有
图4.1示一对磁耦合线圈，设每个线圈的 电流与其产生的磁链参考方向符合右手 螺旋定则。
11
1
2
21
(a)
i1 N1
1
1 1
N 2 e21 u 21 2 2
12
2
22
(b)
N1 e12 u12 1 1
i2 N 2
2
2
图4.1 两个线圈的互感
对图4.1(a)有 11 i1 11 11 L1 i1
4.2 含有耦合电感的正弦电流电路的分析
4.2.1 互感电压的相量形式
如果通过耦合线圈的两个电流为同频率的 正弦电流，由它们产生的互感电压也是同频 率的正弦量。当线圈电流和由它引起的互感 电压的参考方向对于同名端是一致（即同名 端有相同的参考电压极性）时，有
U 21 jMI 1 jX M I 1 jMI jX I U 12 2 M 2
为。
4.2.2 耦合电感的串联
两个耦合电感线圈的串联有顺向串联和反向 串联两种接法。顺向串联如图4.9(a)所示，图 中的R1、L1和R2、L2分别代表两个线圈的电阻 和自感，M为两个线圈的互感。图中还标出 了电流、电压和互感电压的参考方向和极性， 根据KVL，线圈的端电压分别为 U R I jωL I U R I jωL I jωMI
4.3 空心变压器
变压器是利用互感来实现从一个电路 向另一个电路传输能量或信号的一种器件， 空心变压器是由绕在非铁磁材料制成的芯 子上并且具有互感的线圈组成的，它不会 产生由铁心引起的能量损耗，广泛应用在 高频电路中，也应用在测量设备中。
i1
M
*
i2
i1
M
*
i2
u1 u11 u12 L1

L2 u21u22 u2
（a）
*

u1 u11 u12 L1
（b）

L2 u21u22 u2 *

图4.4耦合电感元件的电路符号
互感电压的符号可按下述规则确定：若某 线圈电流参考方向和由它引起的互感电压 的参考方向都是由同名端指向另一端，即 当线圈电流与它引起的互感电压的参考方 向对于同名端是一致时，则它们是关联参 考方向，这时互感电压为正，即
di1 di2 u12 M , u 21 M dt dt
否则就是非关联参考方向，互感电压为负， 即 di1 di2
u12 M dt , u 21 M
dt
有时会遇到具有磁耦合的线圈绕向无法知
道的情况，例如，线圈封装在不易开启的外
壳中，或者线圈被绝缘层覆盖而无法查明其
绕向，这时可用实验的方法来判断其同名端。
第4章 耦合电感与谐振电路
4.1 耦 合 电
感
4.2 含有耦合电感的正弦电流电路的分析 4.3 空 心 变 压 器 4.4 串 联 谐 振
4.5 并 联 谐 振
4.1.1 互感
4.1 耦合电感
当两个或多个线圈彼此相互邻近时，无 论哪一个线圈电流变化，除存在自感现象外， 还会在其他线圈产生互感应电压，这种现象 称为互感。这时两个线圈间就存在磁耦合， 可以用耦合电感作为其电路模型。
图4.5就是用直流法确定同名端的一种实验电
路。
S 1
2

US V

1 2

图4.5 测定同名端电路
由此，也可以看出同名端的另一个意 义，当一个线圈的电流从同名端流入且增大 时，使磁耦合另一线圈感应互感电动势，在 同名端引起较异名端为高的电位，并由同名 端向外电路（例如电压表）流出电流。这表 明同名端同极性。


U 12 U1
* U
R2
*
jL2
U 21 U2

（a） 图4.9 耦合电感的串联
（b）
反向串联如图4.9（b）所示，按图所示的电 流、电压和互感电压的参考方向和极性， 根据KVL有
U 1 R1 I jωL1 I U 12 R1 I jωL1 I jωMI U 2 R2 I jωL2 I U 21 R2 I jωL2 I jωMI
式中 Z M j M，当 R1 R2 0 时 L1L2 M 2 Z eq j Leq L1 L2 2M 同侧并联时，磁场增强，等效电感增大，分 母取负号；异侧并联时，磁场削弱，等效电 感减小，分母取正号。
4.2.4 耦合电感的T形等效
两个耦合电感线圈有一端相联接，如图 4.11（a）所示，可以化为等效的无互感电路， 即去耦等效电路。这种方法称为互感消去法 （或去耦法）。考虑到同名端在同侧和异侧 两种不同的联接方式，由此得出如图4.11（b） 所示的无互感的等效电路。
M i1 i2
互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产 生磁链的能力，通常两个耦合线圈的电流产 生的磁通只有部分磁通相互交链，而彼此不 交链的那一部分磁通称为漏磁通。为了表征 两个线圈耦合的紧密程度，把两个线圈互感 磁链与自感磁链的比值的几何平均值定义为 耦合系数k，即
21 12 k 11 22
对图4.3(b)有下式
d 1 d 11 d 12 di1 di 2 u1 L1 M u11 u12 dt dt dt dt dt d 2 d 21 d 22 di1 di 2 u2 M L2 u 21 u 22 dt dt dt dt dt
（线圈1的自感）
21
21
同理对图4.1(b)可定义
i1 （线圈1对线圈2的互感）
M
21
L2
22
i2
（线圈2的自感） （线圈2对线圈1的互感）
M 12
12
i2
应该指出：在该定义式中分子分母两量间 必须符合关联参考方向，即各磁链及相应电 流参考方向之间符合右手螺旋定则，因而电 感L1、L2及互感M21、M12均为正值。 实践和理论均可证明， M21＝ M12＝M所以不 必区分M21和M12，可统一用M表示，称为互感， 即 21 12
若各线圈的端电压与本线圈的电流的参考 方向相关联，电流与其产生的磁通的参考方 向符合右手螺旋定则，对图4.3(a)有下式
d 1 d 11 d 12 di1 di 2 u1 L1 M u11 u12 dt dt dt dt dt d 2 d 21 d 22 di1 di 2 u2 M L2 u 21 u 22 dt dt dt dt dt
1 1 1 12 1 1
U 2 R2 I jωL2 I U 21 R2 I jωL2 I jωMI
j M
j M
R2
I
R1
*
jL1
*
jL2
I
R1
jL1


U 12 U1 U
U 21 U2
可见，耦合电感串联时两种情况下等效阻 抗为
Z eq U R1 R2 j L1 L2 2M I
显然，顺向串联时，等效电感增加，反向 串联时，等效电感减少。利用这个结论，也 可以用实验方法判断耦合电感的同名端，上 式还提供了测量耦合电感M的方法。 应该注意，反向串联有削弱电感的作用， 互感的这种作用称为互感的“容性”效应。 在一定的条件下，可能有一个线圈的自感小 于互感M，则该线圈呈容性反应，即其端电 压滞后于电流。但串联后的等效电感也必然 大于或等于零，即
图4.2来自百度文库耦合线圈的耦合系数与相互位置的关系
4.1.2 互感电压 对图4.1(a)有
i1 21 21 e21 u21
若根据线圈的绕向选择i1和21的参考方向使 它们符合右手螺旋定则，e21和 21的参考方向 也符合右手螺旋定则，并设u21与e21的参考方 向相同。则根据电磁感应定律，可得互感电 d 21 di1 压