高考数学一轮复习： 专题6.4 数列求和(测)

专题6.4 数列求和

一、填空题

1．(·皖西七校联考)在数列{a n }中，a n ＝2n

－12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝321

64

，则n =______

【解析】由a n ＝2n

－12n ＝1－12n 得S n ＝n －12＋122＋…＋12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，则S n ＝32164＝n －⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12n ，将各选项中的值代入验证得n ＝6.

2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋5

2

，a 11成等比数列．若p －q ＝10，则

a p －a q ＝______

3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n

，那么S 100的值为______

【解析】当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，所以a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，所以a n ＝n ，

故a n ＝⎩⎪⎨

⎪⎧

1n 为奇数，

n

n 为偶数，

于是S 100＝50＋

2＋100×50

2

＝2 600.

4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为______ 【解析】因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009

5．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x 2，

记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为______

【解析】由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝1.∵f (π－

x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.∵a 1＋a 9

＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9. 6．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－5

2，则数

列⎩⎨

⎧

⎭

⎬⎫

12n ＋1

a n 的前n 项和T n ＝______ 【解析】设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋

a 3－a 12＝3

2a 1－5

4

，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－

152，S 1， S 2，S 4成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－542＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－152a 1，整理得4a 2

1＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝

－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a 3－a 1

2＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－1

2

(2n －1)，所以

1

2n ＋1

a n

＝－

2

2n －1

2n ＋1

＝－

12n －1－12n ＋1，所以其前n 项和T n ＝－1－13＋13－15＋…＋1

2n －1

－12n ＋1＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1 7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *

，则a 1＝________，S 5＝________.

8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2

n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于________．

【解析】因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2

n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝

⎩⎪⎨⎪⎧

12，n ＝2k －1k ∈N *，

1，n ＝2k k ∈N *，

故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12＝1 512.

9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】∵a n ＋1－a n ＝2n

，

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2

n －1

＋2

n －2

＋…＋22

＋2＋2＝2－2n

1－2

＋2＝2n －2＋2＝2n

.

∴S n ＝2－2n ＋1

1－2

＝2n ＋1

－2.

10．(·福建泉州五中模拟)已知lg x ＋lg y ＝1，且S n ＝lg x n

＋lg(x n －1

y )＋lg(x n －2y 2)＋…＋

lg(xy

n －1

)＋lg y n

，则S n ＝________.

【解析】因为lg x ＋lg y ＝1，