《三阶幻方》课件

幻方
幻方
8
3
1
5
6
7 幻方
4
9
2
幻方的定义
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大禹 治水的时候，在黄河支流洛水 中，浮现出一个大乌龟， 人 们将乌甲上背有9种花点的图 案图案中的花点数了一下 竟惊奇地发现9种花点数正巧是 1—9这9个数，各数位置的排列也相 当奇妙，后来人们就称这个图案为 洛书
8
9
6
8
1
6
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构 造过程。
1 6
11 7
2
3
16
21 17
12
13
8
9
4
5
22
23
18
19 24 224 20
11
4 12
7
8
3
16
5
10
17
18 23 6
13
14 19 2 1
9
22 15
36 3 4 32 27
31 13 16 25 20 6
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
8 1 6 3 5 7 4 9 2
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 22 4 10 11
23 5 6 12 18
6
1
19
14
2
22
15
Merzirac法生成奇阶幻方(阶梯法） 在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
1
1
3 2
1 2 1 5 6
1
1
3
4 1 3 4 5 2 6 7 2
3 4
8 3 4
5 2
1 5 6 7 2
3 4 8 3
2
1 5 6 7
21
上下对易，左右相更
25 11 4 4 17 10 10 23 24 24 12 5 18 6 6 7 25 13 1 19 20 20 8 21 14 2 2 3 16 16 9 21 22 22 15
5
1
四维挺进
11 4 17
24 12 5
7 25 13
20 8 21
3 16 9
10
23
18
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21
．
2 11 10 7 4 3 12 6
8
8
3
7
10
5
9
4
11
6
三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次 某国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
1 7 13 19 24
8 14 20 25 2
15 16 21 3 9
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于 3 阶幻方 的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图： 其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。” 1 4 7 5 2 3 3 4 5 9 2 7 4 9 2 7 5 3 8 1 6
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性，幻 方可以分为奇数阶幻方与偶 数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 5 9 4
2 11 7 14
3 10 6 15
13 8 12 1
•六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7
2
9
26 19 14 15 35
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
8 1 6 3 5 7 4 9 2
幻方有多少
3阶幻方只有1种
4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7 阶幻方有 363916800 种（约三亿 六千四百万）
4
3 8
9
2
7 6
5
1
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三 阶 幻 方
4 3 8
9
2 7 6
5
1
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三 阶 幻 方
4 3
9 5
2 7
8
1
6
练习1：
17
4
12
6 11 16 10 18 5
练习2：
15
3 12 5
7 10 13 8 17
国王研究后发现确实如此，高兴地拿来九 个银元在每一堆中加一个，并打算将这些 银元送给数学家。这时，站立在一旁的一 个宫女对数学家说：“如果我在每一堆中 取出数量相同的银元使之成为一个新的质 数幻方，您能让我带走这些取出的银元 吗？”数学家想了一下，认为这是绝对不 可能的，就答应了。宫女走上前来，在每 一堆中取出两个银元，国王与数学家同时 发现确实得到一个新的质数幻方。数学家 只好让宫女将 18 个银元拿走。
3 ☆ 7
6
4
在空格中填数，使每一行，每一列、每条对角线的和 都等于30.
13 5 12 9 10 11 8 15 7
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、 每条对角线的和都是60
23 16 21 18 20 22 19 24 17
下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
17 ?
19
13
例题2：
补 全 这 个 幻 方
15 3
12
7 10 13 8 17 5
9 5 1 2 7 6
13 11 9 7 5 15
6 8 18 12 14 4
8
4
10 16 2 12
17
12 15 9 19 5
5 25 0 35 10 15
17
13
19 25 11 21
11 5 8 23 2 17
•在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、 •每列以及每条对角线上的三个数的和相等。 8 •那么标有“☆”的方格内应填入的数是_______.
4
9
2
1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数 作一个三阶幻方
24
3 18
9 15 21 12 27 6
1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
10 3 8 5 7 9 6 11 4
三阶幻方的性质
规律1： 幻和=中间数×3
三 阶 幻 方