最新高等数学场论基本概念
高等数学场论基本概念
数学物理基础梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
场论的基本概念
场论：物理空间与时间的理论
场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
场是一种物理量，它在空间和时间上具有变化。
例如，温度场、电场、磁场等都是场的一种表现。
场论中，场是一个广义的物理量，它可以表示任何类型的物理现象。
场论的基本概念包括场、场量、场值、场的变化、场的梯度、散度、旋度等。
场是一种广义的物理量，场量是场在不同点上的值，场的变化是场在不同点之间的大小和方向的差异。
场的梯度是场在不同点之间的变化率，散度是场在不同点上的向外扩散程度，旋度是场在不同点上的旋转程度。
在场论中，物理现象可以用场的方程来描述。
例如，牛顿第二定律和运动方程可以用场来描述物体的运动状态和受力情况。
麦克斯韦方程组可以用场来描述电磁现象中的电场和磁场的变化和相互作用。
场论在物理学中有着广泛的应用，它可以描述物理现象中的变化和演化，提供了一种数学语言来描述物理现象中的相互作用。
场论也为物理学中的其他领域提供了一种基础理论和工具，例如量子场论、相对论、凝聚态物理等。
总之，场论是物理学中的一个基本概念，它描述了物理现象中空间和时间的性质，以及物质和能量在空间和时间中的分布和运动。
场论提供了一种数学语言，用于描述物理现象中的变化和演化，以及物质和能量之间的相互作用。
场论的相关数学理论
1 / 27场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场 1、 场的概念 设有一个区域（有限或无限）V ，如果V 内每一点M ，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V 中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(M u u =；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A )(M ，其中M 表示区域V 中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz 以后，空间中的点M 由它的三个坐标x 、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x 、、y、z u u = （2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A )(x 、、y、 （2.1.2） 来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、 数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数z y x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
场论
，称之为数量场 u( M ) 在
u u u u cos cos cos l x y z ˆ (cos ,cos ,cos ) l
例题
例1 求函数 u
x y z 在点M (1,0,1)处沿
2 2 2
l i 2 j 2k 方向的方向导数。
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
当div A 0，表示该点为无源场。
散度(Divergence)的表达式 定理 设矢量场A(x, y, z )
重 点
则 A ( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
将s分成许多足够小的面元ds ，
于是
θ
v
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
定义 向量场
v ds
s
A沿选定方向的曲面S的面积分
称为
S ( 定侧 )
A dS
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
A 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。
推论2
若处处散度为0，则通量为0.
推论3 若某些点（或区域）上有散度不为0或不存 在，而在其他点上都有散度为0，则穿出包围这些点 （或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，为一常 数。
电学上的高斯定理： 穿出任一封闭曲面S的电通量， 等于其内各点电荷的代数和。
高斯定理
s
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
场论_预备知识
《流体力学》相关数学知识点补充和复习1. 场论概念场: 物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场，如温度场、密度场、引力场、电场、磁场等。
如果形成场的物理量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为定常场；如果不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场称为非定常场。
在实际中，一般的场都是非定常的场，但为了研究方便，可以把在一段时间内物理量变化很小的场近似地看作定常场。
从各种场的取值性质来看可以分成两大类，一类是每个点对应一个数量，这种场统称为数量场，如温度场、密度场。
另一类是每一个点对应着一个向量，这种场称为向量场，如引力场、梯度场、电场、磁场。
场本身的性质与坐标选择无关，对各种场的分析和计算应该选择适当的坐标系，以简化分析和计算。
对矢量场A u v，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。
力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即0A d r ⨯=u v v, 称为力线的微分方程式。
式中d r v为力线切向的一段矢量。
在直角坐标内，力线的微分方程式可写成，0xy z xyzij k dx dy dz A d r A A A A A A dx dydz⨯==⇒==v v v u v v2. 数量场(标量场)的方向导数和梯度1) 方向导数定义00()()limM M M u M u M u lM M→-∂=∂,M l ∈2) 计算公式cos cos cos u u u u l x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂方向: cos cos cos l i j k αβγ=++v v v v3) 梯度定义梯度是一矢量场,grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂4) 梯度的主要性质a. 梯度grad u 描述了场内任一点M 邻域内，函数的变化状况，它是标量场非均匀性的量度；b. 梯度grad u 是与标量场u 相关联的一个矢量场，即用标量场来描述矢量场；c. 梯度grad u 的方向与u 等势面的法线重合，且指向u 增大的方向，大小是n v,方向导数un∂∂v ；d. 梯度矢量grad u 在任一方向l上的投影等于该方向上的方向导数，(grad )uu l l∂=∂v v g ； e. grad u 的方向,即等势面的法线方向,是u 变化最快的方向, -grad u 是u 下降最快的方向;f. 梯度矢量grad u 满足grad du d r u = ,反之,如du d r A v u v g =,则grad A u =; g. 若grad A u = ,则0LA d l =⎰ ,反之,若0LA d l =⎰ ,则grad A u =;h. 梯度矢量的定义与坐标系的选择无关. 5) 运算公式a. grad 0c =;b. grad()grad cu c u =;c. grad()grad grad u v u v ±=±;d. grad()grad grad uv v u u v =±;e. 21grad()(grad grad )uv u u v v v=-;f. grad ()()grad f u f u u '=;3. 矢量场的通量及散度a. 通量定义cos n SSSSA dS A d S A d S Pdydz Q dzdx Rdxdy θΦ====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，A P i Q j R k =++，cos(,)cos(,)cos(,)d S n d S dS n x i dS n y j dS n z k dydzi dzdx j dxdy k ==++=++ , θ为A与d S 的 夹角,通量Φ可能为正负或零,取决于法向的选择,通量是个标量。
数学物理方法课件：场论的基本概念
s
s
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
V
( P x
Q y
R z
)dxdydz
因此，散度的微分形式为
divA(M ) P Q R x y z
矢量场的散度：例
例1. 设a 3i 20 j 15k, 对下列数量场分别求出
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
例如：梯度在热传导中的物理解释 热量从温度值较大的等温面流向值小的等温面。 例如：物体在光滑曲面滑落 其经过路径各点的方向上，重力势场具有最大的方 向导数。
数量场的梯度
数量场的记法 u(x, y, z)表示点M(x, y, z)坐标的单值函数，记为u(M). 要求，u存在连续的一阶偏导数。 方向导数 u(x, y, z)在场中的点M(x, y, z)处沿某一方向的变化率
u
u(P) u(M )
lim
l M PM | MP |
l表示从点M出发指向点P的射线方向。
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
场的分类：数量场和矢量场 物理量是否具有方向性； 场的分类：稳定场和不稳定场 物理量是否随时间改变；如：定常流，非定常流。
矢量场的散度和旋度
矢量场的记法：
A(x, y, z)表示点M(x, y, z)坐标的矢量函数，记为A(M) A(M)＝{P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} 其中，P, Q, R称为矢量场A(M)的坐标。
场论第二章2-1
场论
第一节 场的概念
第一节 场的概念
1. 场的概念
如果在全部或部分空间里的每一点， 都对应着某个 物理量的一个确定的值， 就说在这空间里确定了该 物理量的一个场。
如果该物理量是数量，就称这个场为数量场； 若是矢量，就称这个场是矢量场。
例如温度场、 密度场、 电位场等为数量场； 而力场、 速度场等为矢量场。
或
z ( x y )2 .
3. 矢量场的矢量线
所谓矢量线，乃是这样的曲线，在它上面每一 点处，曲线都和对应于该点的矢量相切。
例如静电场的电力线，磁场中的磁力线，流
速场中的流线等，都是矢量线的例子。 说明 矢量线可以直观的表示矢量在矢量场中 的分布状况。
已知矢量场A A( x, y, z )，求矢量线方程
u c1
u c3 u c2
例1 求数量场 x y 2 z 通过点 M 1, 0, 1 的等值面方
程.
解： 点 M 的坐标是 x0 1，y0 0，z0 =1， 则该点的数量场
值 x0 y0 z0 =0 .
2
其等值面方程为
( x y )2 z 0 .
图 1-1 矢量场的矢量线
. M
2 2 2 例2 求矢量场A xy i x y j zy k的矢量线方程.
解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
dy dx xy 2 x 2 y 从而有 dx dz 2 2 xy y z
此外，若场中之物理量在各点处的对应值都随 时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳 定场。后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果 也适合于不稳定场的每一瞬间情况） 。
数学物理中的场论
数学物理中的场论场论可以说是数学物理学中非常重要的一个分支，其主要研究的是具有空间分布性质的物理场，如电磁场、引力场、量子场等。
场论是数学和物理学高深复杂的交叉学科，其应用广泛，贯穿于整个物理学和工程学的各个领域。
首先，让我们来看一下什么是物理场。
物理场是由在空间中存在的物理量所构成的。
物理量指的是描述物理世界状态和性质的数或向量。
比如我们所熟悉的温度、速度、电场、电势等物理量，这些物理量都是可以在空间中建立起来的，它们随着位置的变化而变化，从而形成了物理场。
场论的基础概念是场和场量。
场是空间中各个点的物理量在某种范围内的集合，场存在于物理空间中。
物理学家常说的物质场是指物质状态在空间和时间上分布的物理量，比如说电磁场、流体力学场和引力场等等。
而更为基础的是标量场，即不随空间方向而变化的物理变量。
比如说温度场，电势场等等。
场量是指场在某一点的值或场的变化量，是一种与场相关的数值，比如说电荷、质量、能量等等。
场论主要分为经典场论和量子场论两个方面。
经典场论是研究电磁场、引力场和流体场等经典物理场的性质和相互作用的物理学理论。
它是在经典物理学范畴内发展起来的，在宏观世界中非常有效。
量子场论跟经典场论类似，试图描述宇宙中各种基本粒子的行为，它着重于描述物质粒子的行为，特别是声子、玻色子等量子粒子的行为。
量子场论与经典场论有很大的差别，其中最基本的差别是对物理量的测量不可能完全精确，因此基本粒子的性质在量子场论中是随机和模糊的。
场论的研究涉及到数学、物理学、天文学、化学、工程学等众多学科。
在数学中，场论使得微分方程、椭圆方程和双曲方程可以更加容易被处理。
在物理学中，场论首先被用来研究电磁波的性质。
后来，它被用来研究引力场以及基本粒子之间的相互作用，成为了研究宇宙学的重要工具。
总之，场论是数学物理学中至关重要的一个分支，它为了解自然世界的本质起到了至关重要的作用，目前仍在不断被推陈出新，拓展着我们对宇宙的认识。
场论基础最新
y
r r' eR R r r' r r' 在整个工程电磁场的学习过程中，R 是非常重要的量
这个量联系着源点与场点，决定着场量与场源之间的 空间关系.
第二节 标量场的等值面与梯度
1.标量场的等值面
co s
1 2
2 3
1 2
2 3
0
2 2 3
标量场的梯度
定义：如果在空间中任一点M处存在矢量 G
，其方向 为场函数在M点处变化率最大(方向导数最大)的方向， G 其模|G|是这个最大变化率的数值，则称矢量 为标量场u在点M处得梯度 梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率
矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。
F ( x, y, z )
若矢量场
A(r )
分布于空间中，
en
在空间中存在任意曲面S，则定义：
S A(r ) dS
A(r )
dS
面元矢量
为矢量
沿有向曲面 S 的通量。
若S 为闭合曲面
时变标量场和矢量场可分别表示为：( x, y, z, t ) 、 F ( x, y, z, t ) u
Z
Z
Y
Y
X
X
温度场分布示意图
电场分布示意图
源点与场点
源点： r ' 场源所在的位置 场点： r
z
r'
o
P' ( x' , y ' , ' ) z R
空间分布的物理量所在的位置
高数第七节 场论初步09-07
第七节场论初步
一、场的概念
二、数量场的等值面与梯度
三、向量场的通量与散度
四、向量场的环流量与旋度
五、保守场与势函数
一、场的概念
物理上：电场、磁场、速度场、温度场…
数学上：向量函数------向量场数量函数------数量场
()()()()A F M P M i Q M j R M k ==++u r u r r r r ()(,,)
u f M f x y z ==场就是函数，场的大小就是变量范围
二、数量场的等值面与梯度
数量场：等值面：
()u
f M =()f M C =梯度：{,,}x y z grad f f f f =
三、向量场的通量与散度向量场：I Pdydz Qdzdx Rdxdy Σ
=++∫∫通量：单位时间内流过Σ指定侧的量()()()A P M i Q M j R M k =++u r r r r
若Σ是封闭曲面外侧，由高斯公式：
高斯公式的物理意义：
散度：
散发“量”的能力
四、向量场的环流量与旋度
环流量：单位时间内沿封闭曲线Γ流动的量
I Pdx Qdy Rdz Γ
=++∫Ñ向量场：()()()A P M i Q M j R M k
=++u r r r r 由stokes
公式：
stokes
公式：
五、保守场与势函数
保守场：第二类曲线积分与路径无关
du Pdx Qdy Rdz =++向量场：()()()A P M i Q M j R M k =++u r r r r 条件
保守场就是无旋场，也是有势场。
势函数：(原函数)。
高等数学大学课件 9-7.ppt
1. 通量的定义:
设 有 向 量 场
A (x,y,z)P(x,y,z)iQ (x,y,z)jR (x,y,z)k
沿 场 中 某 一 有 向 曲 面 Σ 的 第 二 类 曲 面 积 分 为
AdSAn0dS
PdydzQdzdxRdxdy
称 为 向 量 场 A (x ,y ,z )向 正 侧 穿 过 曲 面 Σ 的 通 量 .
2. 散度的定义:
设 有 向 量 场 A (x,y,z),在 场 内 作 包 围 点 M
的 闭 曲 面 ,包 围 的 区 域 为 V,记 体 积 为 V.若
当 V收 缩 成 点 M 时 ,
Stokes公式的物理解释:
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
例 转动,设其一角刚速体度绕过原(点1,O 的2 ,某3个),刚轴
体 线上 速每 场一 ,则点向处量的r线速OM度构成一个
x, y, z在点M 处的线速度
L
| grad(fx, y)|
f 2 x
f
2
y
.
梯度的概念可以推广到三元函数
三 元 函 数 uf(x,y,z)在 空 间 区 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 对 于 每 一 点 P (x,y,z) G ，
都 可 定 义 一 个 向 量 (梯 度 )
gr(a x,y d ,z)ffif jfk . x y z
场的变化规律的描述
散度：反映其通量源与场的关系
①向量场 旋度：反映其漩涡源与场的关系
只有对场的散度和旋度同时确定后，其变化规 律才是确定的，缺一不可。
大学场论资料
它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 它表示两质点间的引力 方向朝着原点 大小与质量 的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 的乘积成正比 与两点间距离的平方成反比 m 这说明了引力场是数量场 的梯度场, 因此常称 的梯度场 因此常称 r m 引力势. 为引力势 r
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Φ = ∫∫ AdS
S
即为矢量场A(M)穿过曲面 的通量 穿过曲面S的通量 即为矢量场 穿过曲面 Φ = ∫∫ AdS = ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy
S S
物理含义： 物理含义：正、负、零、水管流量 代数和， 漏洞，正源，负源（封闭曲面） 代数和，源，漏洞，正源，负源（封闭曲面）
方向导数等于梯度在该方向的投影. 方向导数等于梯度在该方向的投影 梯度与方向导数、数量场等值面之间的联系 梯度与方向导数、数量场等值面之间的联系 梯度与空间坐标关联 梯度场
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∂ ∂ ∂ , , , ∇ = 引进符号矢量 ∂x ∂y ∂z 当把它作为运算符号来看待时, 当把它作为运算符号来看待时 梯度可写作
grad u = ∇u .
算符， 注 ∇通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符， 读作 “Nabla”. 梯度有以下一些用 ∇ 表示的基本性质 表示的基本性质: 1. 若 u, v 是数量函数, 则 是数量函数
∇c = 0
∇cu = c∇u
∇ ( u + v ) = ∇u + ∇v .
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∇ ( u ⋅ v ) = u(∇v ) + (∇u)v .
特别地有
∇ ( u 2 ) = 2u(∇u) .
u 1 ∇ = 2 (v∇u − u∇v ) . v v
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
理解数学中的场论与高斯定理
理解数学中的场论与高斯定理场论是数学中的一个分支，研究的是物理学中的场的属性和行为。
场是指在空间中每一点上的物理量，例如电场、磁场和重力场等。
而高斯定理是场论中的一个重要定理，揭示了场的密度和场的流量之间的关系。
本文将深入探讨数学中的场论与高斯定理。
一、场论的概念与基本原理在物理学中，场被定义为在空间中的每一点上都有数值的物理量。
场可以是标量场，如温度场或者电势场，也可以是矢量场，如速度场或者磁场。
通过场论的研究，我们可以描述和理解物理现象中的相互作用和传递行为。
场论的基本原理是场的导引方程，它描述了场在空间中传播和演化的规律。
导引方程通常采用微分方程的形式，根据具体的场和物理现象而定。
通过求解导引方程，我们可以得到场在空间中的分布和变化规律，从而理解和解释相应的物理现象。
二、电场与高斯定理电场是一种标量场，用来描述电荷在空间中的作用。
高斯定理是电场理论中的一个重要定理，它揭示了电场的密度和电场的流量之间的关系。
根据高斯定理，电场的流出或者进入某个封闭曲面的总电通量等于该曲面内的电荷总量除以电介质的电响应。
换句话说，电场通过封闭曲面的流量与曲面内的电荷分布有关，电荷的分布越密集，电场通过曲面的流量也就越大。
高斯定理的数学表达可以用以下公式表示：∮E·dA = Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E通过封闭曲面的流量，Q表示曲面内的电荷总量，ε₀为真空中的电介质常数。
从公式中可以看出，高斯定理将电场的流量和电荷的密度联系在一起，为解析和计算电场提供了便利。
三、磁场与高斯定理磁场是一种矢量场，用来描述磁荷和电流在空间中的作用。
不同于电场，磁场的高斯定理并不以这种形式存在。
事实上，高斯定理在磁场理论中不适用，因为不存在磁荷的单极矩。
然而，在磁场理论中存在安培环路定理，它类似于高斯定理。
安培环路定理描述了磁场的环路积分与该环路内的电流之间的关系。
根据安培环路定理，磁场的环路积分等于该环路内的电流总量。
场论基本概念与定理
场论基本概念与定理场论是关于场的描述和研究的一门学科，它是自然科学中的重要分支之一。
场是一种物理量，可以用于描述在空间和时间中的变化情况。
场论中涉及许多基本概念和定理，以下将依次介绍。
场的定义首先，我们需要了解场的定义。
场是指在每一个点上都有确定的数值的物理量，它可以用一个函数来表示。
例如，温度场、电场和磁场等都是场，它们在空间和时间上的变化情况可以由一个函数来描述。
场的分类场可以分为标量场和矢量场两种。
标量场是指只有大小而没有方向的场，比如温度场、压力场等；矢量场是指有大小和方向性的场，比如电场、磁场等。
场的强度场的强度是指场在某个点上的大小。
在标量场中，场的强度只有一个大小，而在矢量场中，场的强度有大小和方向。
例如，在电场中，电场强度表示电场在某个点上的大小和方向。
场的流量场的流量是指场在某个区域内通过的物质量或能量量。
例如，流体动力学中的流量指的是流体在某个区域内通过的质量；电磁学中的流量指的是电磁能在某个区域内通过的能量量。
场的高斯定理场的高斯定理是场论中的一项重要定理。
它表明，场通过一个封闭曲面（比如一个球面）的总流量等于该场在这个曲面内部的源的总量。
这个定理在物理学中有着很广泛的应用，比如在电磁学中可以用来计算电场或磁场在某个表面的总通量。
场的环路定理场的环路定理也是场论中的一项基本定理。
它表明，在一个封闭回路上绕行的场的积分等于该场在这个回路内部的代数和。
在电磁学中，环路定理可以用来计算电磁感应现象，也可以用来推导Maxwell方程组中的一个方程。
场的Maxwell方程组场的Maxwell方程组是介绍场的一系列重要方程。
它们描述了电动力学和磁学中电场、磁场和它们的相互作用。
Maxwell方程组包括四个方程，分别是电场的高斯公式、磁场的高斯公式、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这些方程被广泛应用于物理学、化学和工程学等领域。
总之，场论是物理学中一门重要的学科，它描述场的变化和相互作用关系。
22_4 场论初步
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
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定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
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数学物理基础梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。
散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。
III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。
比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。
再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。
如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。
IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。
若令(7)则从而将上面三式相加结果也为零。
所以说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。
而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。
V.旋度的旋度：旋度的旋度将是本文的重点。
若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：(8)(9)(10)(11)对(9)式两端取旋度(12)再将(8)式代入(12)式有(13)看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。
即有：(14)这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：(15)为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。
还是做(7)式那样的处理，即令则于是(16)而令(17)两式相减有(18)类似地有由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成(19)这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。
它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。
有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。
VI.几个矢量恒等式：前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。
由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。
①②这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。
得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。
但是对于▽算子，则一般但是一般有实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展上两式相减有记忆上式的方法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。
③这个等式相对容易证明，但前提是要在直角坐标下。
电磁波与趋肤效应I.波动方程上一篇文章里提到了一维波动方程，也根据麦克斯韦方程推得了电磁场的三维波动方程，揭示了电磁波的存在。
(1)而傅里叶级数告诉我们：复杂的振动可以看作是简谐振动之和。
因此研究电磁波的简谐运动具有代表性，但这里要把振动和波结合到一起，即为简谐波的波动方程。
上式括号中的加减号分别表示波沿x轴的负方向和正方向传播，利用欧拉公式可以把上式写成复数形式，λ是波长，A是振幅，为一常数，φ是初相。
当然写成复数形式后两者不再相等，但是可以认为是等价的。
即(2)令x=0时，上式就是某个质点振动的函数；令t=0时，上式是波在空间各点的振动情况。
显然式(2)是式(1)的一个解。
把(2)式代入(1)式有于是可知a=1/v，而上文讲过，时变电磁场在无源空间，即ρ=0，J=0处满足三维波动方程，即(3)(4)于是可以知道便是电磁波传播的速度。
真空中的介电常数和磁导率分别近似为ε0=1/36π×10-9F/m，μ0=4π×10-7H/m，所以真空中的光速为事实上只要比较式(1)两端的单位，或者(3)式、(4)式的单位就可见端倪。
例如(3)式，电场的单位为V/m，关于位移求两次偏微商后▽2E的单位是V/m3，关于时间求两次偏微商后∂2H/∂t2的单位是V/m·s2，为了使等式成立，με具有s2/m2的单位。
在各种介质中，με往往不是与位置无关的常数，所以约定下面的讨论均假定介质为各向同性、均匀、线性的理想介质。
满足式(3)和式(4)的波振的表达式为(5)(6)上两式假设了初相为0，不影响讨论的一般性，得到复数形式的麦克斯韦方程。
(7)(8)学习电磁场和电磁波课程时，结合已学过的电路分析的知识来理解麦克斯韦方程很有好处。
但是对于(8)式，中间的那个形式很多初学者可能会认为电流相加类似于RC并联，那么串联呢？实际上跟串并联没有关系，(8)式的右端告诉我们实际上是实数与虚数相加（位移电流比传导电流相位超前90度，当然这不意味着位移电流和传导电流空间上正交，注意区分）。
也正是由于(8)式右端是一个既非纯实数也非纯虚数的复数，导致了良导体的趋肤效应。
在无源空间中，即ρ=0，J=0。
对(7)式和(8)式两端取旋度得整理上两式后得(9)(10)这两式称为电磁场的亥姆霍兹方程。
这两个方程现在只与空间有关，而与时间无关。
三维波动的数学形式是很复杂的，为了简化分析我们来讨论所谓的均匀平面波，均匀平面波也是一种理想化模型。
II.平面波均匀平面波是这样的波：①电场和磁场只有沿x轴和y轴方向的分量，没有沿z轴方向的分量；②任意时刻坡印廷矢量S=E×H指向z轴正方向的，即电磁波向z轴正方向传播，为入射波。
反之为反射波；③任意作一个垂直于z轴的截平面，截平面上处处电场强度相等，磁场强度相等。
由第一条以及div D=0和div H=0的条件，得根据第三个条件知，平面波在无源空间中注意前面对标量（z方向上的分量）求微商，后面是对矢量求微商。
这样的电磁波称为电磁波（TEM波）。
这样就得到以下四个亥姆霍兹方程：(11)(12)(13)(14)假设平面波是线极化波（极化波的概念以后在讲），那么就是一维的波动，调整坐标后使电场只有x轴方向上的分量，即E y=0，E=i E x（这里小写黑体的i表示x轴方向上的单位向量，j和k也类似，注意和虚数单位j区分）。
式(11)的特征方程为：解得微分方程有解(15)这里其中ϕi为初相，E im为电场的振幅。
这里可以看到电场的振幅是恒定的，即没有衰减。
上式等号右边的第一项是沿+z方向传播的讨论下k的物理意义，前面说过sqrt(με)为波速的倒数1/v。
角频率ω=2π/T，周期T乘以波速v即为波长，所以k称为波数，即2π长度的距离包含了几个波长。
再根据麦克斯韦方程，有(16)上式表面磁场只有沿y轴方向的分量，将式(15)代入式(16)得(17)上式中具有欧姆的量纲，而与介质有关，故称为特征阻抗。
关于特征阻抗将另作讨论，此处不深入。
作一下单位分析，根号内的单位是亨利（Henry）除以法拉（Faraday），不就类似于电路分析中的感抗乘以容抗么？因此可以作结论在理想均匀各项同性无源空间中，平面电磁波的电场和磁场相互垂直。
电场和磁场同相位。
III.趋肤效应前面的讨论都假定电磁波在无源均匀介质中传播，无源介质中电导率为0。
但在导体中电导率σ不等于0，且在良导体中是一个比较大的值。
这样一来，麦克斯韦方程式(7)和式(8)就不再完美地对称，式(8)就改为：上式往往写成(18)其中εc称为复介电常数。
对上式两端取散度得所以电荷密度仍为零。
若是电导率较小的导体，则复介电常数的虚部可以忽略不计；对于良导体，则对于一维的情况同样得到式(15)的解，但此时k是一个复数，对于良导体常常令γ=jk=α+jβ，γ称为传播常数，α称为衰减常数，β称为相位常数。
式(15)改写为出现了e的实指数，且与z有关，这就意味着波的振幅会衰减或增大。
显然上式最右端第一项为入射波，且振幅沿着+z方向衰减，第二项为反射波，振幅沿-z方向衰减。
也就是说α和β为正实数，显然能量不会凭空产生。
这意味着电磁波在良导体中会迅速衰减，这就是所谓的趋肤效应。