量子力学主要知识点复习资料

大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分

1能量量子化

辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε

2.波粒二象性

波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2

λ

h

m p =

=v

3.波函数及其物理意义

在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程

0),()](2[),(2

2=-∇+∂∂t r r V m

t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅

表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以，

应

该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。

自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ

波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义

常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )

附件出现概率的描述是相同的。

相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附

件出现概率的描述是相同的。

表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1

必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值

2|(,,)|x y z ψ2

|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y z τ∆=∆∆

∆2

|(,,)|1

x y z dxdydz ψ∞=⎰

(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ

既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __

，由概率论，有 又如，势能V 是 r 的函数：)(r V

，其平均值由概率论，

可表示为⎰

+∞

∞

-=r d r r V r V 3*)()()(

ψψ⎰+∞

∞

-=r

d r r V r V 3*)()()(

ψψ

再如，动量 的平均值为：

为什么不能写成 因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？ 可以，但需要表示为p __

r d r p

r ⎰+∞

∞

-=

3*)(ˆ)(

ψψ

其中 为动量 的算符

6.算符

量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算

如动量算符∇-≡

i p

ˆ 能量算符E

t

i E ˆ≡∂∂=

动能算符22

2ˆ∇-=m

T

动能平均值r d r T r T ⎰

+∞

∞

-=3*)(ˆ)(

ψψ 角动量算符p

r l ˆˆ

⨯= 角动量平均值r d r l r l ⎰

+∞

∞

-=3*

)(ˆ)( ψψ

薛定谔方程

),()],(2[),(2

2t r t r V m

t r t i ψψ+∇-=∂∂

算符 ，被称为哈密顿算符， 7.定态

数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中 方程 称为能量本征方程，

被称为能量本征函数， E 被称为能量本征值。 当E 为确定值，),(t r ψ=)(r E ψ)exp(Et i

-

拨函数所描述的状态称为定态，处

22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =

23

*3|()|()(),

x r xd r r x r d r ψψψ+∞

+∞

-∞

-∞

==⎰

⎰3

d r dxdydz

=*3()(),

p p p p d p ϕϕ+∞

-∞

=⎰⎰

+∞

∞

-=

r

d r r p r p 3*)()()(

ψψ∇-≡ i p ˆp

ˆAf af =ˆA →算符,f →本征函数,a →本征值2

2ˆ()2H V r m =-∇+22ˆ[()]()()()()2E E E E V r r E r H r E r m ψψψψ-∇+=→=)(r E ψ