武汉市光谷为明实验学校数学三角形解答题单元测试卷(解析版)

武汉市光谷为明实验学校数学三角形解答题单元测试卷（解析版）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，

（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小； （3）如图3，若∠B =α，11

,PAC DAC PCA E n n

AC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．

【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n n

α∠=-⨯- 【解析】 【分析】

（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；

（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；

（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=

1

11-1802

2

α︒

⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】

解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.

（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE

11

()22

ACO ACE αβ∴∠=

∠=+ 同理可得：1

()2

CAO αγ∠=

+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，

∴11

180180()()22

O ACO CAO αβαγ︒

︒

∠=-∠-∠=-

+-+

1180()2αβαγ︒=-+++111

180()1809090222

αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；

（3）∵∠B=α，11

,PAC DAC PCA E n n

AC ∠=

∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1

180902α︒

︒

--=

111-1802

2

α︒

⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n n

α∠=-⨯-. 【点睛】

本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.

2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX 等于多少度；

②如图3，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数； ③如图4，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2…、G 9，若∠BDC=133°，∠BG 1C=70°，求∠A 的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°． 【解析】 【分析】

（1）连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B ，∠CDF=∠C+∠CAD ，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C ；

（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC ，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX 的度数；

②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，即可求出∠DCE 的度数； ③由②得∠BG 1C=110（∠ABD+∠ACD ）+∠A ，设∠A 为x°，即可列得1

10

（133-x ）+x=70，求出x 的值即可.

（1）如图（1），连接AD并延长至点F，

根据外角的性质，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴1

2

（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴

1

2

ADC ADB

∠=∠，

1

2

AEC AEB

∠=∠，

∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,

=1

2

（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,

=45°+40°, =85°；

③由②得∠BG1C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=70°，

∴设∠A为x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x°

∴

1

10

（133-x）+x=70，

∴13.3-

1

10

x+x=70，

解得x=63，

即∠A的度数为63°.